11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16

11. Skalární součin a ortogonalita 11. Skalární součin a ortogonalita p. 1/16

11. Skalární součin a ortogonalita p. 2/16 Skalární součin a ortogonalita 1. Definice skalárního součinu 2. Norma vektoru 3. Norma indukovaná skalárním součinem 4. Ortogonální množiny vektorů 5. Gramův Schmidtův ortogonalizační proces 6. Ortogonální matice

11. Skalární součin a ortogonalita p. 3/16 11.1 Definice skalárního součinu x 2 v 2 v α u 2 α 2 u 0 α 1 v 1 u 1 x 1

11. Skalární součin a ortogonalita p. 3/16 11.1 Definice skalárního součinu x 2 v 2 v α Pro kosinus úhlu α vektorů u a v platí cosα = cos(α 2 α 1 ) = = cosα 1 cosα 2 +sinα 1 sinα 2 = = u 1 + u 2 u 2 1 +u2 2 Označíme-li v 1 v 2 1 +v2 2 u 2 1 +u2 2 v 2 v 2 1 +v2 2 u = u 2 1 +u 2 2, v = v 2 1 +v 2 2 u 2 0 α 1 v 1 α 2 u u 1 x 1 (u,v) = u 1 v 1 +u 2 v 2 dostaneme cosα = (u,v) u v

11. Skalární součin a ortogonalita p. 4/16 11.1 Definice skalárního součinu DEFINICE 1 Skalární součin na reálném vektorovém prostoru V je symetrická bilineární forma na V, jejíž odpovídající kvadratická forma je pozitivně definitní.

11. Skalární součin a ortogonalita p. 4/16 11.1 Definice skalárního součinu DEFINICE 1 Skalární součin na reálném vektorovém prostoru V je symetrická bilineární forma na V, jejíž odpovídající kvadratická forma je pozitivně definitní. Označíme-li si (u,v) skalární součin vektorů u,v, platí tedy pro jakékoliv vektory u, v, w a α R:

11. Skalární součin a ortogonalita p. 4/16 11.1 Definice skalárního součinu DEFINICE 1 Skalární součin na reálném vektorovém prostoru V je symetrická bilineární forma na V, jejíž odpovídající kvadratická forma je pozitivně definitní. Označíme-li si (u,v) skalární součin vektorů u,v, platí tedy pro jakékoliv vektory u, v, w a α R: S1 (u+v,w) = (u,w)+(v,w)

11. Skalární součin a ortogonalita p. 4/16 11.1 Definice skalárního součinu DEFINICE 1 Skalární součin na reálném vektorovém prostoru V je symetrická bilineární forma na V, jejíž odpovídající kvadratická forma je pozitivně definitní. Označíme-li si (u,v) skalární součin vektorů u,v, platí tedy pro jakékoliv vektory u, v, w a α R: S1 (u+v,w) = (u,w)+(v,w) S2 (αu,v) = α(u,v)

11. Skalární součin a ortogonalita p. 4/16 11.1 Definice skalárního součinu DEFINICE 1 Skalární součin na reálném vektorovém prostoru V je symetrická bilineární forma na V, jejíž odpovídající kvadratická forma je pozitivně definitní. Označíme-li si (u,v) skalární součin vektorů u,v, platí tedy pro jakékoliv vektory u, v, w a α R: S1 (u+v,w) = (u,w)+(v,w) S2 (αu,v) = α(u,v) S3 (u,v) = (v,u)

11. Skalární součin a ortogonalita p. 4/16 11.1 Definice skalárního součinu DEFINICE 1 Skalární součin na reálném vektorovém prostoru V je symetrická bilineární forma na V, jejíž odpovídající kvadratická forma je pozitivně definitní. Označíme-li si (u,v) skalární součin vektorů u,v, platí tedy pro jakékoliv vektory u, v, w a α R: S1 (u+v,w) = (u,w)+(v,w) S2 (αu,v) = α(u,v) S3 (u,v) = (v,u) S4 (u,u) > 0 pro u o

11. Skalární součin a ortogonalita p. 4/16 11.1 Definice skalárního součinu DEFINICE 1 Skalární součin na reálném vektorovém prostoru V je symetrická bilineární forma na V, jejíž odpovídající kvadratická forma je pozitivně definitní. Označíme-li si (u,v) skalární součin vektorů u,v, platí tedy pro jakékoliv vektory u, v, w a α R: S1 (u+v,w) = (u,w)+(v,w) S2 (αu,v) = α(u,v) S3 (u,v) = (v,u) S4 (u,u) > 0 pro u o Například (u,v) = u Av, kde A je pozitivně definitní.

11. Skalární součin a ortogonalita p. 5/16 11.2 Norma vektoru DEFINICE 2 Necht V je vektorový prostor. Zobrazení, které každému vektoru v V přiřazuje nezáporné reálné číslo v, se nazývá norma, jestliže pro každé u,v V a libovolný skalár α platí:

11. Skalární součin a ortogonalita p. 5/16 11.2 Norma vektoru DEFINICE 2 Necht V je vektorový prostor. Zobrazení, které každému vektoru v V přiřazuje nezáporné reálné číslo v, se nazývá norma, jestliže pro každé u,v V a libovolný skalár α platí: N1 u+v u + v

11. Skalární součin a ortogonalita p. 5/16 11.2 Norma vektoru DEFINICE 2 Necht V je vektorový prostor. Zobrazení, které každému vektoru v V přiřazuje nezáporné reálné číslo v, se nazývá norma, jestliže pro každé u,v V a libovolný skalár α platí: N1 u+v u + v N2 αu = α u

11. Skalární součin a ortogonalita p. 5/16 11.2 Norma vektoru DEFINICE 2 Necht V je vektorový prostor. Zobrazení, které každému vektoru v V přiřazuje nezáporné reálné číslo v, se nazývá norma, jestliže pro každé u,v V a libovolný skalár α platí: N1 u+v u + v N2 αu = α u N3 u = 0, právě když u = o

11. Skalární součin a ortogonalita p. 5/16 11.2 Norma vektoru DEFINICE 2 Necht V je vektorový prostor. Zobrazení, které každému vektoru v V přiřazuje nezáporné reálné číslo v, se nazývá norma, jestliže pro každé u,v V a libovolný skalár α platí: N1 u+v u + v N2 αu = α u N3 u = 0, právě když u = o PŘÍKLAD 1 na R 2. 1. Předpis u = max{ u 1, u 2 } definuje normu 2. Předpis u 1 = u 1 + u 2 definuje normu na R 2.

11. Skalární součin a ortogonalita p. 6/16 11.3 Norma indukovaná skalárním součinem VĚTA 1 (SCHWARZOVA NEROVNOST) Necht V je reálný vektorový prostor se skalárním součinem. Pak pro každé dva vektory u,v V platí (u,v) 2 (u,u)(v,v). Rovnost nastane, právě když jsou u, v závislé.

11. Skalární součin a ortogonalita p. 6/16 11.3 Norma indukovaná skalárním součinem VĚTA 1 (SCHWARZOVA NEROVNOST) Necht V je reálný vektorový prostor se skalárním součinem. Pak pro každé dva vektory u,v V platí (u,v) 2 (u,u)(v,v). Rovnost nastane, právě když jsou u, v závislé. DŮKAZ: Tvrzení je zřejmé, je-li některý z vektorů nulový.

11. Skalární součin a ortogonalita p. 6/16 11.3 Norma indukovaná skalárním součinem VĚTA 1 (SCHWARZOVA NEROVNOST) Necht V je reálný vektorový prostor se skalárním součinem. Pak pro každé dva vektory u,v V platí (u,v) 2 (u,u)(v,v). Rovnost nastane, právě když jsou u, v závislé. DŮKAZ: Tvrzení je zřejmé, je-li některý z vektorů nulový. Předpokládejme proto, že v o, a všimněme si, že pro každé dva vektory u, v platí 0 (u+αv,u+αv) = (u,u)+2α(u,v)+α 2 (v,v).

11. Skalární součin a ortogonalita p. 6/16 11.3 Norma indukovaná skalárním součinem VĚTA 1 (SCHWARZOVA NEROVNOST) Necht V je reálný vektorový prostor se skalárním součinem. Pak pro každé dva vektory u,v V platí (u,v) 2 (u,u)(v,v). Rovnost nastane, právě když jsou u, v závislé. DŮKAZ: Tvrzení je zřejmé, je-li některý z vektorů nulový. Předpokládejme proto, že v o, a všimněme si, že pro každé dva vektory u, v platí 0 (u+αv,u+αv) = (u,u)+2α(u,v)+α 2 (v,v). Zvolíme-li si α = (u,v) (v,v),

11. Skalární součin a ortogonalita p. 6/16 11.3 Norma indukovaná skalárním součinem VĚTA 1 (SCHWARZOVA NEROVNOST) Necht V je reálný vektorový prostor se skalárním součinem. Pak pro každé dva vektory u,v V platí (u,v) 2 (u,u)(v,v). Rovnost nastane, právě když jsou u, v závislé. DŮKAZ: Tvrzení je zřejmé, je-li některý z vektorů nulový. Předpokládejme proto, že v o, a všimněme si, že pro každé dva vektory u, v platí 0 (u+αv,u+αv) = (u,u)+2α(u,v)+α 2 (v,v). Zvolíme-li si α = (u,v) (v,v), dostaneme po úpravě 0 (u,u) (u,v)2 (v,v),

11. Skalární součin a ortogonalita p. 6/16 11.3 Norma indukovaná skalárním součinem VĚTA 1 (SCHWARZOVA NEROVNOST) Necht V je reálný vektorový prostor se skalárním součinem. Pak pro každé dva vektory u,v V platí (u,v) 2 (u,u)(v,v). Rovnost nastane, právě když jsou u, v závislé. DŮKAZ: Tvrzení je zřejmé, je-li některý z vektorů nulový. Předpokládejme proto, že v o, a všimněme si, že pro každé dva vektory u, v platí 0 (u+αv,u+αv) = (u,u)+2α(u,v)+α 2 (v,v). Zvolíme-li si α = (u,v) (v,v), dostaneme po úpravě 0 (u,u) (u,v)2 (v,v), odkud po vynásobení obou stran nerovnosti(v, v) a jednoduché úpravě dostaneme nerovnost.

11. Skalární součin a ortogonalita p. 6/16 11.3 Norma indukovaná skalárním součinem VĚTA 1 (SCHWARZOVA NEROVNOST) Necht V je reálný vektorový prostor se skalárním součinem. Pak pro každé dva vektory u,v V platí (u,v) 2 (u,u)(v,v). Rovnost nastane, právě když jsou u, v závislé. DŮKAZ: Tvrzení je zřejmé, je-li některý z vektorů nulový. Předpokládejme proto, že v o, a všimněme si, že pro každé dva vektory u, v platí 0 (u+αv,u+αv) = (u,u)+2α(u,v)+α 2 (v,v). Zvolíme-li si α = (u,v) (v,v), dostaneme po úpravě 0 (u,u) (u,v)2 (v,v), odkud po vynásobení obou stran nerovnosti(v, v) a jednoduché úpravě dostaneme nerovnost. Rovnost nastane, jen když (u+αv,u+αv) = 0, t.j.1 u+αv = o.

11. Skalární součin a ortogonalita p. 7/16 11.3 Norma indukovaná skalárním součinem DŮSLEDEK: Necht V je vektorový prostor se skalárním součinem a necht je pro každý vektor v V definováno v = (v,v). Pak pro každé dva vektory u,v V platí u+v u + v a zobrazenív v je norma na V.

11. Skalární součin a ortogonalita p. 7/16 11.3 Norma indukovaná skalárním součinem DŮSLEDEK: Necht V je vektorový prostor se skalárním součinem a necht je pro každý vektor v V definováno v = (v,v). Pak pro každé dva vektory u,v V platí u+v u + v a zobrazenív v je norma na V. DŮKAZ: Z axiomů skalárního součinu a Schwarzovy nerovnosti plyne u+v 2 = (u+v,u+v) = (u,u)+2(u,v)+(v,v) u 2 +2 u v + v 2 = ( u + v ) 2. Platnost zbývajících dvou axiomů normy je bezprostředním důsledkem axiomů skalárního součinu.

11. Skalární součin a ortogonalita p. 7/16 11.3 Norma indukovaná skalárním součinem DŮSLEDEK: Necht V je vektorový prostor se skalárním součinem a necht je pro každý vektor v V definováno v = (v,v). Pak pro každé dva vektory u,v V platí u+v u + v a zobrazenív v je norma na V. DŮKAZ: Z axiomů skalárního součinu a Schwarzovy nerovnosti plyne u+v 2 = (u+v,u+v) = (u,u)+2(u,v)+(v,v) u 2 +2 u v + v 2 = ( u + v ) 2. Platnost zbývajících dvou axiomů normy je bezprostředním důsledkem axiomů skalárního součinu. Norma definovaná předpisem v = (v,v), kde v R n a (v,v) = v 2 1 +v 2 2 +...+v 2 n, se nazývá eukleidovská norma.

11. Skalární součin a ortogonalita p. 8/16 11.4 Ortogonální množiny vektorů Definice ortogonality vektorů je motivována známou skutečností, že dva polohové vektory v rovině či prostoru jsou ortogonální, právě když je kosinus jejich úhlu roven nule.

11. Skalární součin a ortogonalita p. 8/16 11.4 Ortogonální množiny vektorů Definice ortogonality vektorů je motivována známou skutečností, že dva polohové vektory v rovině či prostoru jsou ortogonální, právě když je kosinus jejich úhlu roven nule. DEFINICE 3 Necht V je vektorový prostor se skalárním součinem. Množina vektorů E = {e 1,...e k } je ortogonální, právě když (e i,e j ) = 0 pro i j.

11. Skalární součin a ortogonalita p. 8/16 11.4 Ortogonální množiny vektorů Definice ortogonality vektorů je motivována známou skutečností, že dva polohové vektory v rovině či prostoru jsou ortogonální, právě když je kosinus jejich úhlu roven nule. DEFINICE 3 Necht V je vektorový prostor se skalárním součinem. Množina vektorů E = {e 1,...e k } je ortogonální, právě když (e i,e j ) = 0 pro i j. Jestliže navíc (e i,e i ) = 1 pro všechna i = 1,...,k, pak je E ortonormální.

11. Skalární součin a ortogonalita p. 8/16 11.4 Ortogonální množiny vektorů Definice ortogonality vektorů je motivována známou skutečností, že dva polohové vektory v rovině či prostoru jsou ortogonální, právě když je kosinus jejich úhlu roven nule. DEFINICE 3 Necht V je vektorový prostor se skalárním součinem. Množina vektorů E = {e 1,...e k } je ortogonální, právě když (e i,e j ) = 0 pro i j. Jestliže navíc (e i,e i ) = 1 pro všechna i = 1,...,k, pak je E ortonormální. Množina všech vektorů x V, které jsou ortogonální k dané množině vektorů U, se nazývá ortogonální doplněk U (vzhledem k množině V) a značí se U.

11. Skalární součin a ortogonalita p. 9/16 11.4 Ortogonální množiny vektorů LEMMA 1 Je-liE = {e 1,...,e k } ortogonální množina nenulových vektorů, pak je E nezávislá.

11. Skalární součin a ortogonalita p. 9/16 11.4 Ortogonální množiny vektorů LEMMA 1 Je-liE = {e 1,...,e k } ortogonální množina nenulových vektorů, pak je E nezávislá. DŮKAZ: Po skalárním vynásobení rovnosti x 1 e 1 + +x k e k = o vektorem e i E dostaneme (e i,x 1 e 1 + +x k e k ) = (e i,o), odkud pomocí axiomů skalárního součinu získáme x i (e i,e i ) = 0, tedyx i = 0

11. Skalární součin a ortogonalita p. 9/16 11.4 Ortogonální množiny vektorů LEMMA 1 Je-liE = {e 1,...,e k } ortogonální množina nenulových vektorů, pak je E nezávislá. DŮKAZ: Po skalárním vynásobení rovnosti x 1 e 1 + +x k e k = o vektorem e i E dostaneme (e i,x 1 e 1 + +x k e k ) = (e i,o), odkud pomocí axiomů skalárního součinu získáme x i (e i,e i ) = 0, tedyx i = 0 PŘÍKLAD 2 Vypočtěte souřadnice vektoru x vektorového prostoru V v ortogonální bázie = (e 1,...,e k ).

11. Skalární součin a ortogonalita p. 9/16 11.4 Ortogonální množiny vektorů LEMMA 1 Je-liE = {e 1,...,e k } ortogonální množina nenulových vektorů, pak je E nezávislá. DŮKAZ: Po skalárním vynásobení rovnosti x 1 e 1 + +x k e k = o vektorem e i E dostaneme (e i,x 1 e 1 + +x k e k ) = (e i,o), odkud pomocí axiomů skalárního součinu získáme x i (e i,e i ) = 0, tedyx i = 0 PŘÍKLAD 2 Vypočtěte souřadnice vektoru x vektorového prostoru V v ortogonální bázie = (e 1,...,e k ). ŘEŠENÍ: Z rovnosti x = x 1 e 1 + +x k e k dostaneme po skalárním vynásobení obou stran vektorem e i E a úpravě, že x i = (e i,x) (e i,e i ). Nemusíme tedy řešit žádnou soustavu rovnic.

11. Skalární součin a ortogonalita p. 10/16 11.4 Ortogonální množiny vektorů VĚTA 2 Necht A je libovolná matice. Pak N(A ) je ortogonální doplněk H(A).

11. Skalární součin a ortogonalita p. 10/16 11.4 Ortogonální množiny vektorů VĚTA 2 Necht A je libovolná matice. Pak N(A ) je ortogonální doplněk H(A). DŮKAZ: Necht x H(A) a y N(A ). Pak A y = o axlze vyjádřit ve tvarux = Az.

11. Skalární součin a ortogonalita p. 10/16 11.4 Ortogonální množiny vektorů VĚTA 2 Necht A je libovolná matice. Pak N(A ) je ortogonální doplněk H(A). DŮKAZ: Necht x H(A) a y N(A ). Pak A y = o axlze vyjádřit ve tvarux = Az. Platí tedy x y = (Az) y = z A y = 0, takže množiny N(A ) ah(a) jsou ortogonální. Pro matici A typu (m,n) platí, že h(a) = h(a ) nebot sloupcová hodnost je rovna hodnosti řádkové. Pro každou matici A jeh(a )+d(a ) = m a tudíž h(a)+d(a ) = m. Odtud N(A ) je ortogonální doplněk H(A).

11. Skalární součin a ortogonalita p. 10/16 11.4 Ortogonální množiny vektorů VĚTA 2 Necht A je libovolná matice. Pak N(A ) je ortogonální doplněk H(A). DŮKAZ: Necht x H(A) a y N(A ). Pak A y = o axlze vyjádřit ve tvarux = Az. Platí tedy x y = (Az) y = z A y = 0, takže množiny N(A ) ah(a) jsou ortogonální. Pro matici A typu (m,n) platí, že h(a) = h(a ) nebot sloupcová hodnost je rovna hodnosti řádkové. Pro každou matici A jeh(a )+d(a ) = m a tudíž h(a)+d(a ) = m. Odtud N(A ) je ortogonální doplněk H(A).

11. Skalární součin a ortogonalita p. 11/16 11.4 Ortogonální množiny vektorů PŘÍKLAD 3 Necht e 1 (x) = x a e 2 (x) = 1 xjsou dvě lineární funkce vektorového prostoru P 2 všech lineárních funkcí se skalárním součinem definovaným rovností (p,q) = p(0)q(0)+p(1)q(1).

11. Skalární součin a ortogonalita p. 11/16 11.4 Ortogonální množiny vektorů PŘÍKLAD 3 Necht e 1 (x) = x a e 2 (x) = 1 xjsou dvě lineární funkce vektorového prostoru P 2 všech lineárních funkcí se skalárním součinem definovaným rovností (p,q) = p(0)q(0)+p(1)q(1). Snadno se ověří, že předpis skutečně definuje skalární součin na P 2 a že E = (e 1,e 2 ) tvoří ortonormální bázi P 2, nebot

11. Skalární součin a ortogonalita p. 11/16 11.4 Ortogonální množiny vektorů PŘÍKLAD 3 Necht e 1 (x) = x a e 2 (x) = 1 xjsou dvě lineární funkce vektorového prostoru P 2 všech lineárních funkcí se skalárním součinem definovaným rovností (p,q) = p(0)q(0)+p(1)q(1). Snadno se ověří, že předpis skutečně definuje skalární součin na P 2 a že E = (e 1,e 2 ) tvoří ortonormální bázi P 2, nebot (e 1,e 2 ) = 0(1 0)+1(1 1) = 0, (e 1,e 1 ) = 1, (e 2,e 2 ) = 1.

11. Skalární součin a ortogonalita p. 11/16 11.4 Ortogonální množiny vektorů PŘÍKLAD 3 Necht e 1 (x) = x a e 2 (x) = 1 xjsou dvě lineární funkce vektorového prostoru P 2 všech lineárních funkcí se skalárním součinem definovaným rovností (p,q) = p(0)q(0)+p(1)q(1). Snadno se ověří, že předpis skutečně definuje skalární součin na P 2 a že E = (e 1,e 2 ) tvoří ortonormální bázi P 2, nebot (e 1,e 2 ) = 0(1 0)+1(1 1) = 0, (e 1,e 1 ) = 1, (e 2,e 2 ) = 1. Pak libovolnou lineární funkci e(x) = a+bx můžeme vyjádřit ve tvaru kde e = α 1 e 1 +α 2 e 2,

11. Skalární součin a ortogonalita p. 11/16 11.4 Ortogonální množiny vektorů PŘÍKLAD 3 Necht e 1 (x) = x a e 2 (x) = 1 xjsou dvě lineární funkce vektorového prostoru P 2 všech lineárních funkcí se skalárním součinem definovaným rovností (p,q) = p(0)q(0)+p(1)q(1). Snadno se ověří, že předpis skutečně definuje skalární součin na P 2 a že E = (e 1,e 2 ) tvoří ortonormální bázi P 2, nebot (e 1,e 2 ) = 0(1 0)+1(1 1) = 0, (e 1,e 1 ) = 1, (e 2,e 2 ) = 1. Pak libovolnou lineární funkci e(x) = a+bx můžeme vyjádřit ve tvaru kde α 1 e = α 1 e 1 +α 2 e 2, = (e,e 1 ) = e(0) e 1 (0)+e(1) e 1 (1) = e(1) = a+b α 2 = (e,e 2 ) = e(0) e 2 (0)+e(1) e 2 (1) = e(0) = a.

11. Skalární součin a ortogonalita p. 11/16 11.4 Ortogonální množiny vektorů PŘÍKLAD 3 Necht e 1 (x) = x a e 2 (x) = 1 xjsou dvě lineární funkce vektorového prostoru P 2 všech lineárních funkcí se skalárním součinem definovaným rovností (p,q) = p(0)q(0)+p(1)q(1). Snadno se ověří, že předpis skutečně definuje skalární součin na P 2 a že E = (e 1,e 2 ) tvoří ortonormální bázi P 2, nebot (e 1,e 2 ) = 0(1 0)+1(1 1) = 0, (e 1,e 1 ) = 1, (e 2,e 2 ) = 1. Pak libovolnou lineární funkci e(x) = a+bx můžeme vyjádřit ve tvaru kde α 1 e = α 1 e 1 +α 2 e 2, = (e,e 1 ) = e(0) e 1 (0)+e(1) e 1 (1) = e(1) = a+b α 2 = (e,e 2 ) = e(0) e 2 (0)+e(1) e 2 (1) = e(0) = a. Snadno si ověříme, že skutečně platí a+bx = (a+b)x+a(1 x).

11.5 Gramův Schmidtův ortogonalizační 11. Skalární součin a ortogonalita p. 12/16 proces Kde vzít ortogonální bázi? Z každé bázef = (f 1,...,f k ) prostoru V lze sestavit ortogonální bázie = (e 1,...,e n ).

11.5 Gramův Schmidtův ortogonalizační 11. Skalární součin a ortogonalita p. 12/16 proces Kde vzít ortogonální bázi? Z každé bázef = (f 1,...,f k ) prostoru V lze sestavit ortogonální bázie = (e 1,...,e n ). Na začátku si všimneme, žef 1 o, a položíme e 1 = f 1.

11.5 Gramův Schmidtův ortogonalizační 11. Skalární součin a ortogonalita p. 12/16 proces Kde vzít ortogonální bázi? Z každé bázef = (f 1,...,f k ) prostoru V lze sestavit ortogonální bázie = (e 1,...,e n ). Na začátku si všimneme, žef 1 o, a položíme e 1 = f 1. Předpokládejme, že máme ortogonální vektory e 1,...,e k takové, že pro každéi {1,...,k} je vektor e i lineární kombinací vektorů f 1,...,f i. Najdeme koeficienty α 1,...,α k tak, aby

11.5 Gramův Schmidtův ortogonalizační 11. Skalární součin a ortogonalita p. 12/16 proces Kde vzít ortogonální bázi? Z každé bázef = (f 1,...,f k ) prostoru V lze sestavit ortogonální bázie = (e 1,...,e n ). Na začátku si všimneme, žef 1 o, a položíme e 1 = f 1. Předpokládejme, že máme ortogonální vektory e 1,...,e k takové, že pro každéi {1,...,k} je vektor e i lineární kombinací vektorů f 1,...,f i. Najdeme koeficienty α 1,...,α k tak, aby e k+1 = f k+1 α 1 e 1... α k e k byl ortogonální k e 1,...,e k.

11.5 Gramův Schmidtův ortogonalizační 11. Skalární součin a ortogonalita p. 12/16 proces Kde vzít ortogonální bázi? Z každé bázef = (f 1,...,f k ) prostoru V lze sestavit ortogonální bázie = (e 1,...,e n ). Na začátku si všimneme, žef 1 o, a položíme e 1 = f 1. Předpokládejme, že máme ortogonální vektory e 1,...,e k takové, že pro každéi {1,...,k} je vektor e i lineární kombinací vektorů f 1,...,f i. Najdeme koeficienty α 1,...,α k tak, aby e k+1 = f k+1 α 1 e 1... α k e k byl ortogonální k e 1,...,e k. Jelikož pro i {1,...,k} by mělo platit 0 = (e k+1,e i ) = (f k+1 α 1 e 1... α k e k,e i ) = (f k+1,e i ) α i e i 2,

11.5 Gramův Schmidtův ortogonalizační 11. Skalární součin a ortogonalita p. 12/16 proces Kde vzít ortogonální bázi? Z každé bázef = (f 1,...,f k ) prostoru V lze sestavit ortogonální bázie = (e 1,...,e n ). Na začátku si všimneme, žef 1 o, a položíme e 1 = f 1. Předpokládejme, že máme ortogonální vektory e 1,...,e k takové, že pro každéi {1,...,k} je vektor e i lineární kombinací vektorů f 1,...,f i. Najdeme koeficienty α 1,...,α k tak, aby byl ortogonální k e 1,...,e k. e k+1 = f k+1 α 1 e 1... α k e k Jelikož pro i {1,...,k} by mělo platit 0 = (e k+1,e i ) = (f k+1 α 1 e 1... α k e k,e i ) = (f k+1,e i ) α i e i 2, stačí položit α i = (f k+1,e i )/ e i 2.

11.5 Gramův Schmidtův ortogonalizační 11. Skalární součin a ortogonalita p. 13/16 proces Právě popsaný algoritmus se nazývá Gramův Schmidtův ortogonalizační proces.

11.5 Gramův Schmidtův ortogonalizační 11. Skalární součin a ortogonalita p. 13/16 proces Právě popsaný algoritmus se nazývá Gramův Schmidtův ortogonalizační proces. Normalizací vektorů bázee = (e 1,...,e n ) dostaneme ortonormální bázig = (g 1,...,g n ) s vektory g 1 = e 1 e 1,..., g n = e n e n.

11. Skalární součin a ortogonalita p. 13/16 11.5 Gramův Schmidtův ortogonalizační proces Právě popsaný algoritmus se nazývá Gramův Schmidtův ortogonalizační proces. Normalizací vektorů bázee = (e 1,...,e n ) dostaneme ortonormální bázig = (g 1,...,g n ) s vektory PŘÍKLAD 4 Necht g 1 = e 1 e 1,..., g n = e n e n. A = 2 1 0 1 2 1 0 1 2 Najděte ortogonální bázir 3 vzhledem ke skalárnímu součinu (x,y) A = x Ay..

11.5 Gramův Schmidtův ortogonalizační 11. Skalární součin a ortogonalita p. 14/16 proces ŘEŠENÍ: Bázi sestavíme Gramovým Schmidtovým ortonormalizačním procesem ze standardní bázes = (s I 1,s I 2,s I 3).

11.5 Gramův Schmidtův ortogonalizační 11. Skalární součin a ortogonalita p. 14/16 proces ŘEŠENÍ: Bázi sestavíme Gramovým Schmidtovým ortonormalizačním procesem ze standardní bázes = (s I 1,s I 2,s I 3). e 1 = s I 1 = 1 0 0.

11.5 Gramův Schmidtův ortogonalizační 11. Skalární součin a ortogonalita p. 14/16 proces ŘEŠENÍ: Bázi sestavíme Gramovým Schmidtovým ortonormalizačním procesem ze standardní bázes = (s I 1,s I 2,s I 3). e 1 = s I 1 = 1 0 0. Položíme e 2 = s I 2 αe 1 a určíme α aby platilo 0 = (e 1,e 2 ) A = e 1As I 2 αe 1Ae 1 = 1 2α, odkud α = 1 2 a

11.5 Gramův Schmidtův ortogonalizační 11. Skalární součin a ortogonalita p. 14/16 proces ŘEŠENÍ: Bázi sestavíme Gramovým Schmidtovým ortonormalizačním procesem ze standardní bázes = (s I 1,s I 2,s I 3). e 1 = s I 1 = 1 0 0. Položíme e 2 = s I 2 αe 1 a určíme α aby platilo 0 = (e 1,e 2 ) A = e 1As I 2 αe 1Ae 1 = 1 2α, odkud α = 1 a 2 e 2 = 0 1 0 ( 1 2) 1 0 0 = 1 2 1 0.

11. Skalární součin a ortogonalita p. 15/16 11.5 Gramův Schmidtův ortogonalizační proces ŘEŠENÍ (Pokračování): Položíme e 3 = s I 3 α 1 e 1 α 2 e 2 a určímeα 1,α 2 aby platilo

11.5 Gramův Schmidtův ortogonalizační 11. Skalární součin a ortogonalita p. 15/16 proces ŘEŠENÍ (Pokračování): Položíme e 3 = s I 3 α 1 e 1 α 2 e 2 a určímeα 1,α 2 aby platilo 0 = (e 1,e 3 ) A = e 1As I 3 α 1 e 1Ae 1 = 2α 1, 0 = (e 2,e 3 ) A = e 2As I 3 α 2 e 2Ae 2 = 1 3α 2 2.

11.5 Gramův Schmidtův ortogonalizační 11. Skalární součin a ortogonalita p. 15/16 proces ŘEŠENÍ (Pokračování): Položíme e 3 = s I 3 α 1 e 1 α 2 e 2 a určímeα 1,α 2 aby platilo 0 = (e 1,e 3 ) A = e 1As I 3 α 1 e 1Ae 1 = 2α 1, 0 = (e 2,e 3 ) A = e 2As I 3 α 2 e 2Ae 2 = 1 3α 2 2. Řešením této soustavy dostaneme α 1 = 0,α 2 = 2 a 3

11. Skalární součin a ortogonalita p. 15/16 11.5 Gramův Schmidtův ortogonalizační proces ŘEŠENÍ (Pokračování): Položíme e 3 = s I 3 α 1 e 1 α 2 e 2 a určímeα 1,α 2 aby platilo 0 = (e 1,e 3 ) A = e 1As I 3 α 1 e 1Ae 1 = 2α 1, 0 = (e 2,e 3 ) A = e 2As I 3 α 2 e 2Ae 2 = 1 3α 2 2. Řešením této soustavy dostaneme α 1 = 0,α 2 = 2 a 3 0 1 ( e 3 = 0 0 0 2 ) 1 2 1 = 3 1 0 0 1 3 2 3 1.

11. Skalární součin a ortogonalita p. 16/16 11.6 Ortogonální matice Čtvercová matice U, která splňuje U U = I, se nazývá ortogonální matice. Ortogonální matice má tedy ortonormální sloupce a splňuje U 1 = U.

11. Skalární součin a ortogonalita p. 16/16 11.6 Ortogonální matice Čtvercová matice U, která splňuje U U = I, se nazývá ortogonální matice. Ortogonální matice má tedy ortonormální sloupce a splňuje U 1 = U. VĚTA 3 Necht U je čtvercová matice řádu n. Pak jsou následující tvrzení ekvivalentní: 1. U U = I. 2. Pro všechny sloupcové vektory x řádu n platí (Ux) (Ux) = x x. 3. Pro všechmy sloupcové vektory x, y řádu n platí (Ux) (Uy) = x y.