Mtemtk 4: Příručk pro přežtí Verze ze dne 8. září 208 Jn Chleboun Obsh Úvod................................................................... 2 Komplexní čísl......................................................... 2 2 Lneární lgebr........................................................ 4 2. Vlstní čísl, vlstní vektory....................................... 4 2.2 Geršgornov vět................................................. 6 2.3 Normovný lneární prostor........................................ 6 2.4 Normy vektorů mtc............................................ 7 2.5 Sklární součn vektorů............................................ 9 2.6 Poztvně defntní mtce.......................................... 0 2.7 Řešení soustv lneárních lgebrckých rovnc...................... 0 2.7. Gussov elmnční metod................................ 2.7.2 Iterční metody............................................ 2 2.8 Číslo podmíněnost................................................ 6 3 Řeštelnost okrjových úloh v D........................................ 7 4 Metod sítí zákldní schémt........................................ 8 5 Příprv n vrčně pojté okrjové úlohy v D........................ 24 5. Sklární součn funkcí............................................. 24 5.2 Okrjové úlohy dferencální operátory........................... 25 6 Užtečné drobnost...................................................... 27 6. Některé pojmy, vzthy hodnoty.................................. 27 7 Zpět do. ročníku...................................................... 27 7. Řešíme soustvy lneárních lgebrckých rovnc.................... 28 7.2 Vypočítáváme nverzní mtc...................................... 30 7.3 Počítáme determnnty............................................ 3 7.4 Hledáme extrémy funkce jedné proměnné.......................... 32 Ltertur.................................................................. 33
Úvod Cíl těchto stránek je trojí: () Zchytt to podsttné z přednášek týkjících se lneární lgebry. (b) Některé část přednesené látky doplnt o podrobnost souvslost, n něž př přednášce nebyl čs. (c) Přpomenout ty prte z předmětů Mtemtk, Mtemtk 2 Mtemtk 3 (řeštelnost okrjových úloh), bez nchž se v Mtemtce 4 (zejmén př řešení příkldů) nelze obejít. Některé část textu tedy přednášku přeshují jsou jen nformční, npříkld metod sdružených grdentů je uveden pro svou důležtost, ncméně u zkoušky se neobjevuje. Jné úseky jsou nopk pro úspěšné bsolvování zkoušky zásdní, to se týká především oddílů, 2., 2.2, 2.4, 2.5, 2.7., 2.7.2 (zejmén Jcobov metod) 2.8, jk je osttně ptrné z příkldů uvedených ve sbírce [9]. Kptol 7 je věnován prktckým ukázkám toho, jk se řeší soustv lneárních lgebrckých rovnc hledá extrém funkce jedné proměnné, což jsou dovednost v [9] zhust využívné. V lstopdu 204 byly přdány dvě nové část. Kptolu 3 tvoří tvrzení vzthy postčující pro zvládnutí stndrdních školních problémů změřených n řeštelnost okrjových úloh. Kptol 6 sestává z útržkovtých nformcí, které se mohou upltnt př řešení úloh zdných u zkoušky. Práce se sbírkou [9] všk odhlí, že název Příručk pro přežtí je více reklmní než prvdvý. Příkldy v [9] totž pokrývjí témt, o nchž se příručk vůbec nezmňuje, tkže nstudování příručky k bezproblémovému zvládnutí zkoušky z Mtemtky 4 nemusí stčt. Komplexní čísl Komplexní číslo má tvr α = + b, kde b jsou reálná čísl je mgnární jednotk, pro nž pltí mgnární os 2 =, 3 =, 4 =. b α = + b Reálné číslo se nzývá reálná část čísl α, r reálné číslo b se nzývá mgnární část čísl α. Je-l = 0, nzýváme α ryze mgnárním φ reálná os číslem. Množnu komplexních čísel znčíme C, množnu reálných čísel znčíme R. Sčítání násobení komplexních čísel dle prvdel pro úprvu lgebrckých výrzů: ( + b ) + ( 2 + b 2 ) = ( + 2 ) + (b + b 2 ), ( + b )( 2 + b 2 ) = ( 2 b b 2 ) + ( b 2 + 2 b ). V žádném přípdě nejde o ucelený učební text podrobného výkldového typu, jko jsou npříkld skrpt učebnce. 2
Npříkld 2 + 4 + 7 5 = 5, ( 2 + 4)(7 5) = 4 + 28 + 0 2 20 = 6 + 38. Číslu b říkáme číslo komplexně sdružené k číslu α = + b, komplexní sdruženost oznčujeme α. Pro komplexní čísl α, β, γ pltí ( ) α (α + β) = α + β, αβ = α β, = α γ γ, kde γ 0. Absolutní hodnotou komplexního čísl α = + b nzýváme reálné číslo α = 2 + b 2. Npříkld 3 4 = 3 2 + ( 4) 2 = 25 = 5. Převrácená hodnot komplexního čísl + b je komplexní číslo /( + b). Tento tvr čísl nám všk nedává dobrou předstvu o reálné mgnární složce převrácené hodnoty, proto je žádoucí vhodná úprv. Je zložen n vynásobení hodnotou zpsnou ve tvru zlomku b b. Pk b + b b = b 2 + b. 2 Konkrétně npříkld 3 + 4 = 3 25 4 25. S podílem dvou komplexních čísel s pordíme stejným způsobem: Konkrétně npříkld 2 3 3 + 4 c + d + b = c + d b + b b = (c + d)( b) 2 + b 2. = (2 3)(3 4) (3 + 4)(3 4) = 6 8 9 + 2 2 3 2 ( 4) 2 = 6 25 7 25. Úprvou tedy dostáváme komplexní číslo ve tvru p + q, kde p q ovšem mohou být reálná čísl ve tvru zlomků. Nenulová komplexní čísl lze psát v gonometrckém tvru α = + b = r(cos φ + sn φ) = re φ, kde r = α úhel φ (vz 2 obrázek) je dán (ž n celé násobky 2π) vzthy cos φ = 2 + b, sn φ = b 2 2 + b. 2 Výhodou gonometrckého vyjádření je sndné násobení komplexních čísel, nebot pro α = r (cos φ + sn φ ) α 2 = r 2 (cos φ 2 + sn φ 2 ) pltí, že α α 2 = r r 2 [cos(φ + φ 2 ) + sn(φ + φ 2 )]. Dlší nformce npříkld v [2, Kptol.6]). 2 Toto místo je m příležtostí k výzvě čtenářům, by nepodléhl hromdnému bludu nepsl z vz tečku. V nglčtně se píše vz., le význm je zcel odlšný. Kdo v českém textu píše vz., nedělá s dobrou reklmu. 3
2 Lneární lgebr Odkzy n lterturu jsou spíše nmátkové knhy [, 6] se témtu věnují do hloubky. Zákldy lneární lgebry (vektorový prostor, mtce, vlstní čísl vlstní vektory, řešení soustv lneárních lgebrckých rovnc td.) jsou vyloženy příkldy lustrovány v mnoh běžně dostupných skrptech, npř. [4, 5, 8, ]. Zákldní nformce nbízí [2]. Leccos je n nternetu, doporučuj odkzy, k nmž se dostnete z webové stránky předmětu MA 4. 2. Vlstní čísl, vlstní vektory Zprcováno především podle [6]. Necht A je čtvercová(!!!) mtce 3 s reálným nebo komplexním prvky. Nenulový(!!!) vektor x se nzývá vlstní vektor mtce A, pltí-l Ax = λx pro nějké číslo 4 λ C. Toto λ se nzývá vlstní číslo 5 mtce A odpovídjící vlstnímu vektoru x. Dvojc (λ, x) budeme pro jednoduchost říkt vlstní pár. Aby číslo λ bylo vlstním číslem mtce A, je nutné postčující, by mtce A λi byl sngulární, tj. by det(a λi) = 0, jným slovy, by hodnot λ byl kořenem chrkterstckého polynomu mtce A. Přpomeňme, že (čtvercová) mtce B je sngulární právě tehdy, když exstuje nenulový vektor x tkový, že pltí 6 Bx = 0. Poznámk 2. Mtce s reálným prvky může mít komplexní vlstní čísl vlstní vektory s komplexním složkm, vz [9]. Některé vlstnost [2, ] (A je čtvercová mtce n-tého řádu): Mtce A = ( j ) má právě n vlstních čísel (počítáme je s jejch násobnostm), oznčme je λ, λ 2,..., λ n. O jejch součtu součnu pltí 7 n n λ =, λ λ 2... λ n = det A. = = Vlstní vektory mtce A odpovídjící různým vlstním číslům jsou lneárně nezávslé. (Pltí pro komplexní mtce.) Mtce A je sngulární právě tehdy, když má vlstní číslo 0. (Pltí pro komplexní mtce.) Je-l λ vlstní číslo mtce A, pk je λ tké vlstní číslo mtce A T. To je důsledek toho, že determnnt mtce k ní trnsponovné mtce je v obou přípdech stejný, když mtce není symetrcká. Proto det(a λi) = det ( (A λi) T) = det ( A T λi ), 3 Přpomeňme, že mtce je obdélníková tbulk čísel (obecněj jných mtemtckých objektů výrzů, funkcí j.), která má m řádků n sloupců, je tedy typu (m, n) č, jnk psáno, m n. O čtvercových mtcích, tj. mtcích typu (n, n), říkáme, že jsou řádu n. 4 Už v předchozí část bylo zvedeno, že symbol C oznčuje komplexní čísl. 5 Zdůrzněme, že vlstní číslo může být rovno nule, kdežto vlstní vektor je z defnce vždy nenulový! 6 Symbol 0 zde znčí nulový sloupcový vektor. 7 Číslo n =, tj. součet dgonálních prvků čtvercové mtce, se nzývá stop mtce znčí se tr A. 4
tedy ob chrkterstcké polynomy jsou stejné mjí stejné množny kořenů ( s násobnostm). Je-l (λ, x) vlstní pár reálné mtce A, je tké ( λ, x) vlstní pár mtce A. To je ptrné z rovností A x = Ā x = (Ax) = (λx) = λ x. Je-l (λ, x) vlstní pár (reálné nebo komplexní) mtce A, je (λ k, x) vlstní pár mtce A k, kde k je přrozené číslo. To je vdět z toho, že A k x = A k (Ax) = A k (λx) = λa k x = λa k 2 (Ax) = λa k 2 (λx) = λ 2 A k 2 x = = λ k Ax = λ k x Exstuje-l A, tj. mtce nverzní k mtc A, je (λ, x) vlstním párem mtce A právě tehdy, když (/λ, x) je vlstním párem mtce A (tj. A A mjí stejné vlstní vektory, le převrácená vlstní čísl), nebot Ax = λx A Ax = A (λx) x = λa x λ x = A x, pk stejnou úvhu provedeme pro A ˆx = ˆλx, kde (ˆλ, ˆx) je vlstní pár mtce A. (Pltí pro komplexní mtce.) Je-l A reálná symetrcká 8 mtce, pk všechn její vlstní čísl jsou reálná vlstní vektory odpovídjící různým vlstním číslům jsou vzájemně kolmé. 9 Vlstní čísl dolní nebo horní trojúhelníkové mtce jsou rovn prvkům mtce ležícím n hlvní dgonále. 0 Rozlšujeme dvě násobnost vlstního čísl λ mtce A typu n n: Algebrcká násobnost je násobnost kořene chrkterstckého polynomu det(a λi), tj. násobnost řešení chrkterstcké rovnce det(a λi) = 0. Geometrcká násobnost je dmenze (pod)prostoru N (A λi) = {v R n : (A λi)v = 0}, tj. mxmální počet lneárně nezávslých vlstních vektorů příslušných vlstnímu číslu λ. Pltí: geometrcká násob. vl. čísl λ lgebrcká násob. vl. čísl λ n. Množn všech vlstních čísel mtce se nzývá spektrum mtce. Spektrum mtce A budeme oznčovt σ(a). Reálnému číslu ϱ(a) = mx{ λ : λ σ(a)} říkáme spektrální poloměr mtce A. K výpočtu vlstních vektorů se nepřímo vrcí kptol 7.. 8 Přpomeňme, že mtce trnsponovná k mtc A = ( j ) typu (m, n) vznkne prohozením řádků sloupců mtce A, tedy A T = ( j ) je typu (n, m). Pltí (A ) T = (A T ), det A = det A T pro součn mtc AB pltí (AB) T = B T A T. O mtc A řekneme, že je symetrcká, jestlže A = A T. 9 Anlogcké tvrzení pltí pro jstý typ komplexních mtc (hermtovské mtce), le tím se nebudeme zbývt. 0 Nebot det(a λi) = Π n = ( λ). 5
2.2 Geršgornov vět Zprcováno dle [6, str. 83]. Necht A = ( j ) je komplexní nebo reálná čtvercová mtce n-tého řádu (tj. typu (n, n)). Potom všechn vlstní čísl mtce A leží v komplexní rovně ve sjednocení n = K kruhů K o středu poloměru j j : { } n K = z : z j, =, 2,..., n. j V kždé komponentě tohoto sjednocení leží právě tolk vlstních čísel mtce A, z kolk kruhů tto komponent vznkl. Specálně v zolovném kruhu leží právě jedno vlstní číslo. Kruh K s je zolovný tehdy jen tehdy, pltí-l pro všechny ndexy t s, že ss tt > s s + j t tj, kde se v první sumě sčítá přes ndex v druhé přes ndex j. 2.3 Normovný lneární prostor Zprcováno dle [3, str. 46 ]. Reálný vektorový prostor je množn V (její prvky se nzývjí vektory, když nemusejí být tvořeny uspořádným n-tcem), n níž jsou defnovány dvě operce, jmž se říká sčítání (prvků vektorového prostoru) násobení (prvků vektorového prostoru) sklárem. V nšem přípdě se sklárem myslí lbovolné reálné číslo. Pro kždou dvojc vektorů x, y V pro kždou dvojc α, β R pltí, že výsledek lneární kombnce αx + βy opět leží v prostoru V. Operce sčítání násobení (sklárem) dále mjí následující vlstnost: Kždé dvojc vektorů x y je přřzen vektor x + y tk, že x + y = y + x; pro kždou trojc vektorů x, y z pltí x + (y + z) = (x + y) + z; V obshuje jedný vektor 0 (nulový vektor nebol počátek) tkový, že x + 0 = x pro kždé x V ; konečně kždému x V je přřzen jedný vektor x tkový, že x + ( x) = 0. Kždé dvojc α, x, kde x V α R je sklár, je přřzen vektor αx V tkový, že x = x, α(βx) = (αβ)x jsou splněny dv dstrbutvní zákony α(x + y) = αx + αy, (α + β)x = αx + βx. Zcel obdobně lze zvést komplexní vektorový prostor, pk sklár znmená komplexní číslo. Reálný (nebo komplexní) vektorový prostor X se nzývá normovný lneární prostor, jestlže kždému x X je přřzeno reálné číslo x, které se nzývá norm x, jsou splněny tyto podmínky: Též se říká lneární prostor. 6
x 0 x X, () x + y x + y x, y X, (2) αx = α x x X, α R (α C, je-l X komplexní), (3) x = 0 x = 0. (4) Povšmněme s, že pro u, v, w X pltí u v u w + w v, (5) což plyne z rovnost u v = u w + w v, v níž položíme x = u w y = w v, pk upltníme (2). Nerovnost (2), le (5) se říká trojúhelníková nerovnost. Pro 0 (nulový prvek prostoru X) pltí 0 = 0 (vz (3)-(4), kde α = 0). 2.4 Normy vektorů mtc Více podrobněj v [6, str. 64 dlší]. Vektorem x nyní rozumíme mtc typu (n, ), tj. x = (x, x 2,..., x n ) T C n, přípdně x R n. Poždvkům ()-(4) vyhovuje mnoho různých defnc norem vektorů. V lneární lgebře se všk jko nejprktčtější osvědčly tyto: Pro p je l p -norm defnován vzthem její důležté specální přípdy jsou x = ( n ) /p x p = x p, = n x (oktedrcká norm), = ( n ) /2 x 2 = x 2 = (eukldovská norm). Lmtním přípdem l p -normy (pro p ) je mx-norm: x = mx x. {,2,...,n} V dlším se pro jednoduchost omezme n reálné mtce n reálné vektory. 2 2 Pro zvídvé: Níže uvedené defnce norem mtc by byly pltné pro komplexní mtce, jen normu 2 by bylo nutné defnovt mírně odlšně. 7
Uvžujme množnu všech (reálných) mtc typu (m, n) povšmněme s, že zvedemel obvyklé sčítání mtc násobení mtc sklárem, tvoří tto množn vektorový prostor; oznčme jej M. Necht X n Y m jsou (reálné) prostory m-dmenzonálních n- dmenzonálních vektorů optřené normou Xn normou Ym. Pk vzthem 3 A Ym X n = sup { Ax Ym : x X n, x Xn = } (6) defnujeme pro kždou mtc A M normu A Ym X n ; důkz, že A Ym X n oprvdu má vlstnost normy, je podán npříkld v [6]. O normě YmXn říkáme, že je generován normm Xn Ym. Z (3) ze spojtost zobrzení x Ax plyne, že (6) lze ekvvlentně defnovt tkto A YmX n = Ax Ym mx. (7) {x X n : x 0} x Xn Povšmněme s, že jestlže pltí y = Ax, kde x X n y Y m, pk z (7) plyne y Ym A Ym X n x Xn. (8) Jsou-l v obou prostorech použty normy stejného typu konkrétně ξ, kde ξ odpovídá, 2, p nebo, pk normu mtce A generovnou normm ξ budeme znčt A ξ. V některých přípdech se dokonce můžeme vyhnout nepohodlnému výpočtu normy z defnce (6) č (7), protože lze ukázt (vz [6]), že pltí A = A = mx k {,2,...,n} mx {,2,...,m} m k, = n k, k= A 2 = (ϱ(a T A)) /2 (spektrální norm), kde A T znčí mtc trnsponovnou k mtc A. Jest ϱ(a T A) = ϱ(aa T ) = λ mx (AA T ) = λ mx (A T A), kde λ mx (A T A) znčí největší vlstní číslo mtce A T A (mtce A T A je symetrcká poztvně semdefntní, všechn její vlstní čísl jsou reálná nezáporná). Je-l mtce A reálná symetrcká, je A 2 = (ϱ(a T A)) /2 = (ϱ(a 2 )) /2 = ϱ(a). Čsto používná Frobenov norm ( m ) /2 n A F = k 2 = není (pro n > nebo m > ) normou mtce generovnou z norem v prostorech X n Y m. Povšmněte s, že pro I n, jednotkovou mtc n-tého řádu, je I n F = n, kdežto I n ξ =, kde ξ =, 2, p,. Lze dokázt [6, Vět 9.2], že je-l A čtvercová mtce Frobenov nebo lbovolná generovná norm, pk ϱ(a) A. Z předchozího už víme, že v přípdě, že A je symetrcká mtce, pltí ϱ(a) = A 2 3 Pokud nejste obeznámen s pojmem supremum, nhrd te jej ve vzthu (6) pojmem mxmum, tj. A Ym X n = mx { Ax Ym : x X n, x Xn = }. 8 k=
2.5 Sklární součn vektorů I v této část předpokládáme, že mtce vektory jsou reálné. Přpomeňme defnc sklárního součnu v prostoru n-rozměrných reálných vektorů: 4 sklárním součnem vektorů x = (x,..., x n ) y = (y,..., y n ) rozumíme číslo (x, y) = n x k y k. (9) k= Pro x, y, z R n α R pltí (y, x) = (x, y), (0) (x + z, y) = (x, y) + (z, y), () (αx, y) = α(x, y), (x, αy) = α(x, y), (2) (x, x) 0, (3) (x, x) = 0 x = 0. (4) Ovšem tké (0, x) = (x, 0) = 0, vz (2) př α = 0. Pomocí sklárního součnu defnujeme eukldovskou normu vektoru x 2 = (x, x). (5) Z defnce sklárního součnu přímým výpočtem dostneme ([6, Vět 2.3]), že (Ax, y) = (x, A T y) = j,k jky j x k. Přpomeňme ještě, že o vektorech x, y R n, pro něž (x, y) = 0, řekneme, že jsou vzájemně kolmé (ortogonální). Důležtá užtečná je Cuchyov nerovnost (též někdy nzývná Schwrzov nerovnost) (x, y) x 2 y 2, (6) jejíž odvození není obtížné: Jestlže y je nulový vektor, pk (6) pltí, nebot 0 0. Jestlže y 0, pk spočítejme kvdrát normy specálně zvoleného vektoru (je to smozřejmě nezáporné číslo) 2 0 (x, y) x y y 2 = 2 2 = x 2 (x, y)2 2 2 + y 2 2 ( x (x, y)2 y 2 2 (x, y) y, x y 2 2 = x 2 2 ) (x, y) y y 2 2 (x, y)2. y 2 2 4 Pro zájemce. Defnce sklárního součnu komplexních vektorů se lší jen v (0) (2), konkrétně (y, x) = (x, y), α(x, y) = α(x, y), (x, αy) = ᾱ(x, y), v defnc se tedy vyskytují komplexně sdružená čísl. 9
Porovnáním levého prvého konce řetězce zjstíme, že 0 x 2 (x, y)2 2, y 2 2 (x, y) 2 x 2 y 2, 2 2 (x, y) 2 x 2 2 y 2 2. Poznámk 2.2 Pozděj pro nás bude důležtý sklární součn funkcí defnovný pro funkce z lneárního prostoru C([, b]) funkcí spojtých n uzvřeném ntervlu [, b], jenž je pro u, v C([, b]) defnován tkto (u, v) = b u(x)v(x) dx. (7) Uvědomte s, že určtý ntegrál součnu dvou funkcí oprvdu splňuje poždvky kldené n sklární součn, vz (0)-(4), defnuje normu n prostoru C([, b]), vz (5). Zároveň pltí nerovnost (6) o funkcích u, v C([, b]), pro něž pltí (u, v) = 0, říkáme, že jsou ortogonální. Sklární součn (7) je důležtý př studu dferencálních rovnc s okrjovým podmínkm. Tké se zmyslete nd tím, že C([, b]) s obvyklým sčítáním dvou funkcí s násobením funkce reálným číslem tvoří vektorový (lneární) prostor. K těmto témtům se vrátíme v kptole 5.. 2.6 Poztvně defntní mtce Mtce A = ( j ) typu (n, n) se nzývá poztvně defntní, pltí-l pro kždý nenulový n-rozměrný reálný vektor x (Ax, x) > 0, tj. n n j x x j > 0. j= j= Lze ukázt, že symetrcká(!) mtce A je poztvně defntní právě tehdy, když všechn vlstní čísl mtce A jsou kldná. (To je jen jedn z mnoh ekvvlentních chrkterzcí, jež uvádí npř. [6, Vět 2.7].) Jestlže pltí jen neostrá nerovnost, tj. (Ax, x) 0, hovoříme o mtc semdefntní. Poznámk 2.3 Rozmyslete s, že pro mtc A typu (n, n) sloupcové vektory x, y typu (n, ) pltí y T Ax = (Ax, y) = (x, A T y) = (A T y, x) = (y, Ax) = (Ax) T y = x T A T y. 2.7 Řešení soustv lneárních lgebrckých rovnc Uvžovné mtce jsou čtvercové typu (n, n) všecky jejch prvky jsou reálné, vektory jsou n-rozměrné sloupcové. Nepředpokládá se, že mtce jsou poztvně defntní. 0
2.7. Gussov elmnční metod Metodu znáte z prvního semestru, je vyložen npř. ve stndrních skrptech Mtemtk I. Těm, kdo s j chtějí přpomenout, doporučuj přejít ke kptole 7.. Níže uvádím jen jádro metody v podobě vzthů používných př elmnc [6, str. 203], vz tké npř. [4] mnohé jné zdroje. Vzthy se mohou hodt těm, kdo by s chtěl metodu nprogrmovt. Řešme soustvu Ax = b se čtvercovou mtcí n-tého řádu, kde b R n tké všechny prvky j mtce A jsou reálné. Oznčme (0) = defnujme vzthy závslé n k =, 2,..., n, (k) j b (k) = (k ) j = b (k ) (k ) k (k ) k přtom se předpokládá, že hlvní prvky jsou nenulové ( (k ) kk ) (k ) kj,, j = k +,..., n, (8) ( (k ) kk ) b (k ) k, = k +,..., n, (9) 0, () 22 0, (2) 33 0,..., (n 2) n,n 0, (20) by se v (8)-(9) neděllo nulou. Smyslem (8) je v k-tém kroku vynulovt tu část k- tého sloupce mtce, která leží pod hlvní dgonálou, to odečtením vhodných násobků k-tého řádku. Vynulovné prvky už nejsou vzthem (8) zchyceny. Odpovídjící úprvy prvé strny popsuje vzth (9). Zved me zjednodušené oznčení l k = (k ) k ( (k ) kk ), = k +,..., n, (2) u kj = (k ) kj, j = k, k +,..., n, k =, 2,..., n. Pk soustv Ax = b přejde po elmnc prvků pod hlvní dgonálou n ekvvlentní soustvu 5 Ux = b, kde U je horní trojúhelníková mtce n-tého řádu s prvky u kj. Defnujme dolní trojúhelníkovou mtc L = (l j ) n-tého řádu: vz (2), jestlže > k, l k =, jestlže = k, 0, jestlže < k. Lze ukázt, že A = LU, tedy Ux = L b, kde L b = b. Pk x = U b. V prx se mtce U nenvertuje, le soustv Ux = b se řeší zpětným chodem, přčemž vektor b se z rovnce L b = b tké vypočítá dopřednou obdobou zpětného chodu. Není-l splněno (20) nebo potřebujeme-l se vyhnout numerckým problémům, 6 pomůžeme s pvotcí, tj. výběrem hlvního prvku, v úprvách vystupuje v ( (k ) kk ). Nejjednodušší je částečná pvotce zložená n prohození řádků (včetně odpovídjících složek 5 To je t soustv, k níž dospějete postupem, který znáte už z MA, cestou používáte nformce, jež zchycuje mtce L zmíněná dále. 6 Výpočetní nesnáze provázené ztrátou přesnost řešení se objevují, když (k ) kk je mlé číslo, tedy ( (k ) kk ) je číslo velké.
vektoru n prvé strně soustvy). Př úplné pvotc se n místo hlvního prvku přesouvá ten prvek nedokončené část mtce, jenž je v bsolutní hodnotě mxmální. Přtom se mohou prohodt sloupce mtce, což znmená změnu pořdí složek vektoru neznámých. Je-l mtce A symetrcká poztvně defntní, je (20) splněno, k pvotc všk mohou vést ohledy n přesnost výsledku získného v počítčové rtmetce. Je-l mtce A symetrcká poztvně defntní, je výhodný rozkld (Choleského rozkld, metod) A = LL T, kde L = (l j ) je dolní trojúhelníková mtce s prvky počítným postupně pro r =, 2,..., n: r l rr = ( rr lrs) 2 /2, s= l r = r ( r l rs l s ), = r +,..., n. l rr s= O mtc řekneme, že je řídká, pokud nejvýše 5% prvků mtce je nenulových. Zplnění mtce (nglcky fll-n): Jev př Gussově elmnc chrkterzovný tím, že př ekvvlentních úprvách vedoucích k horní trojúhelníkové mtc se zvyšuje počet nenulových prvků rostou nároky n pmět počítče počet opercí. Příkldem může být mtce nulová ž n hlvní dgonálu, první řádek první sloupec. Oslbuje se č ztrácí chrkter řídké mtce. Mtce (p, q)-pásová: její prvky ležící mmo pás kolem hlvní dgonály jsou nulové. Přesněj [6] p = mx(p 0, 0), p 0 = mx{k ;, k, k 0}, q = mx(q 0, 0), q 0 = mn{k ;, k, k 0}. Počet rtmetckých opercí nutných pro vyřešení soustvy Ax = b Předpokládejme, že není třeb provádět pvotc že náročnost jednoho dělení odpovídá náročnost jednoho násobení sčítání. Pk (vz [, Secton.4.3]) k vyřešení soustvy s () plnou mtcí potřebujeme zhrub n 3 /3+n 2 flops (flotng pont opertons, rtmetckých opercí s plovoucí řádovou čárkou), (b) plnou symetrckou mtcí zhrub n 3 /6 + n 2 flops, (c) (q, q)-pásovou mtcí zhrub (q + ) 2 n + 2qn flops, (d) (q, q)-pásovou symetrckou mtcí zhrub (q + ) 2 n/2 + 2qn flops. 2.7.2 Iterční metody Budeme se zbývt řešením soustvy lneárních lgebrckých rovnc s regulární (tj. čtvercovou) reálnou mtcí. U zkoušky se můžete setkt s příkldy týkjícím se Jcobovy Gussovy-Sedelovy metody. 2
Vět 2. (podrobněj vz [6, Vět 2.]) Necht pro spektrální poloměr ϱ(a) mtce A pltí ϱ(a) <. Pk pro lbovolný vektor b kždý počáteční vektor x (0) posloupnost vektorů {x (k) } k=0,,2,... určená vzthem x (k+) = Ax (k) + b, k = 0,, 2,..., (22) konverguje (po souřdncích) k vektoru x, jenž je řešením soustvy (I A)x = b. (23) Postčující podmínkou pro ϱ(a) < je, by pro některou generovnou normu A mtce A pltlo A <. Pk tké pltí odhdy x x (k) A k x (0) + A k b, A (24) x x (k) A A x(k) x (k ). (25) Důkz nerovnost (25) je velm jednoduchý. Protože x = A x + b, pltí (s užtím (22)) tento řetězec rovností x x (k) = A x + b (Ax (k ) + b) = A( x x (k ) ) + b b = A( x x (k) + x (k) x (k ) ) = A( x x (k) ) + A(x (k) x (k ) ). Normy levé prvé strny rovnost jsou s rovny, le, po upltnění trojúhelníkové nerovnost, normu členů A( x x (k) ) A(x (k) x (k ) ) odhdneme shor pomocí (8) x x (k) A x x (k) + A x (k) x (k ), což po lgebrcké úprvě dává nerovnost (25). Povšmněme s, že nerovnost (24)-(25) nám umožňují odhdnout chybu (ve význmu nepřesnost ) terčního řešení v k-tém kroku, nž bychom znl přesné řešení x! My se všk v prx nesetkáváme se soustvm ve tvru (23), nýbrž ve tvru Cx = y. (26) Musíme tedy od (26) přejít k (23), což lze udělt npř. tkto [6, str. 27]: Npíšeme 7 C = (c j ) jko D Ĉ, kde D = dg{c, c 22,..., c nn } je mtce, jejíž hlvní dgonál je totožná s hlvní dgonálou mtce C, le jejíž všechny osttní prvky jsou nulové, Ĉ = (ĉ j) je mtce s prvky ĉ = 0, ĉ j = c j pro j. 7 Celý postup lze ekvvlentně zpst s odlšnou znménkovou konvencí, t všk může někomu více vyhovovt. Npíšeme C = (c j ) jko D + C, kde C = ( c j ) je mtce s prvky c = 0, c j = c j pro j. Jsou-l všechny dgonální prvky c nenulové, položíme (povšmněte s znménk v defnc mtce A zde v (27)) A = D C, b = D y. Ověřme, že soustvy (I A)x = b Cx = y mjí stejné řešení x: (I A)x = b (I + D C)x = D y (D + C)x = y Cx = y. 3
Jsou-l všechny dgonální prvky c nenulové, položíme A = D Ĉ, b = D y. (27) Ověřme, že soustvy (I A)x = b Cx = y mjí stejné řešení x: (I A)x = b (I D Ĉ)x = D y (D Ĉ)x = y Cx = y. Iterční metod (22), kde mtce A vektor b jsou dány předpsem (27), se nzývá Jcobov lze j zpst tkto x (k+) = D Ĉx (k) + D y, k = 0,,..., (28) kde počáteční vektor x (0) R n zvolíme, pk postupně vypočítáváme vektory x (), x (2), x (3),... Zpsáno po složkách x (k+) = c ( j= c j x (k) j + n j=+ c j x (k) j ) + y c, =, 2,..., n, (29) kde x (s) r znčí r-tou složku vektoru x (s), c j jsou prvky mtce C y jsou složky vektoru y. Podle věty podmínk ϱ(d Ĉ) < zručuje konvergenc Jcobovy metody pro kždou prvou strnu y př lbovolné volbě počátečního vektoru x (0). Tuto podmínku všk bývá nesndné ověřt, proto se v prx používjí podmínky jednodušší, uved me dvě. Vět 2.2 ([6, Vět 2.2]) Necht mtce C = (c j ) n-tého řádu má převládjící dgonálu, tj. necht exstují kldná čísl h, h 2,..., h n tk, že c h > k c k h k, =,..., n. Pk Jcobov metod pro řešení soustvy Cx = y konverguje pro kždou prvou strnu y kždý počáteční vektor x (0). (Poznámk: V prx někdy stčí volt h = h 2 = = h n =.) Vět 2.3 ([6, str. 29]) Má-l reálná symetrcká mtce C všechny prvky n hlvní dgonále kldné je-l D dgonální část mtce C (defnc mtce D vz výše), konverguje Jcobov metod pro kždý počáteční vektor kždou prvou strnu, právě když C 2D C jsou poztvně defntní mtce. Jný rozkld mtce C vede n jnou metodu. Pšme C = D + L + U, (30) kde D je opět dgonální část mtce C, L je dolní trojúhelníková mtce, která je pod hlvní dgonálou dentcká s mtcí C jnde nulová, U je horní trojúhelníková mtce, 4
která je nd hlvní dgonálou dentcká s mtcí C jnde nulová; mtce L U mjí nulové hlvní dgonály. Defnujme A = (D + L) U, b = (D + L) y (3) ověřme, že Iterční metod (I A)x = b (I + (D + L) U)x = (D + L) y (D + L + U)x = y Cx = y. x (k+) = (D + L) Ux (k) + (D + L) y, k = 0,,..., (32) se nzývá Gussov-Sedelov metod. Z (32) plyne, že vektor x (k+) řeší soustvu (D+L)x (k+) = Ux (k) +y. Této rovnost se využívá v mplementc lgortmu Gussovy-Sedelovy metody, př níž se sndno vyhneme výpočtu nverzních mtc. Protože mtce D + L je dolní trojúhelníková, lze první složku vektoru x (k+) hned vypočítt. Tuto složku pk dosdíme do rovnce pro druhou složku vektoru x (k+), čímž počet neznámých této rovnce redukujeme o jednu (tj. n jednu); vypočteme druhou složku. První druhou složku vektoru x (k+) dosdíme do rovnce pro třetí složku vektoru x (k+), čímž počet neznámých této rovnce opět redukujeme n jednu; vypočteme třetí složku. Tkto postupujeme tk dlouho, ž vypočteme celý vektor x (k+). Předchozí slovní pops můžeme sndno vyjádřt mtemtckým zápsem (vz [2]): ( x (k+) = c j x (k+) j + c j= n j=+ c j x (k) j ) + y c, =, 2,..., n, (33) kde c j jsou prvky mtce C y složky vektoru y. Srovnejte (29) (33). Lze ukázt [6, Vět 2.4], že má-l mtce C převládjící dgonálu (vz výše), je ϱ((d L) U) <, tj. metod konverguje pro kždou volbu počátečního vektoru kždou prvou strnu. Velm užtečné je toto tvrzení: 8 Vět 2.4 ([6, Vět 2.5]) Gussov-Sedelov metod konverguje, je-l mtce C poztvně defntní. Dnes prvděpodobně nejpoužívnější metodou pro terční řešení soustv se symetrckou poztvně defntní mtcí je metod sdružených grdentů její vylepšení. 8 Numercké řešení mnoh prktckých úloh je zloženo n vyřešení soustvy lneárních lgebrckých rovnc. To, že odpovídjící mtce je poztvně defntní ( čsto symetrcká), lze u některých metod (npříkld u metody konečných prvků) u řdy důležtých nženýrských problémů sndno ukázt přímo z vlstností výchozí úlohy, nž by bylo nutné nlyzovt konkrétní mtc. Předpokld tvrzení tedy v prx bývá splněn. 5
Pro s.p.d. mtc A typu (n, n) je metod defnován tkto (vz npř. [6, str. 22] nebo [0, str. 05]): Necht x (0) je počáteční proxmce řešení soustvy Ax = b tková, že Ax (0) b. Položme p (0) = r (0) = b Ax (0) počítejme pro k = 0,,..., n (k) = (r(k), r (k) ) (Ap (k), p (k) ), x (k+) = x (k) + (k) p (k), r (k+) = r (k) (k) Ap (k), b (k) = (r(k+), r (k+) ), (r (k), r (k) ) p (k+) = r (k+) + b (k) p (k). Není-l pro žádné k < n vektor r (k) nulový, je x (n) řešení. Nstne-l (poprvé) pro nějké k < n, že vektor r (k) je nulový, je x (k) řešení. Předchozí tvrzení zručuje, že řešení nlezneme v nejvýše n krocích; jde tedy vlstně o metodu přímou. Zároveň ( čstěj) je všk počítán mez metody terční; jednk kvůl nepřesné počítčové rtmetce proces nebývá ukončen nulovostí vektoru r, jednk v mnoh prktckých přípdech je uspokojvé přesnost řešení dosženo mnohem dříve než po n krocích. O metodě přístupným způsobem pojednává [0], velm podrobně []. Obdobou nerovností (24)-(25) je odhd (vz npř. [0]) x x (k) A 2 ( κ(a) κ(a) + ) k x x (0) A, k = 0,, 2,..., kde κ(a) je číslo podmíněnost 9 defnovné jko podíl největšího vlstního čísl mtce A k nejmenšímu vlstnímu číslu mtce A x A = x T Ax je (energetcká) norm (že jde o normu, to plyne z poztvní defntnost mtce A). 2.8 Číslo podmíněnost Necht je nějká generovná norm necht A je regulární mtce (tj. exstuje mtce A ). Pk číslo κ(a) = A A se nzývá číslo podmíněnost mtce A vzhledem k normě. Přpomeňme s, že je-l A reálná symetrcká mtce použjeme-l normu 2, je A 2 = ϱ(a). Předpokládejme nvíc, že mtce A je poztvně defntní, pk ϱ(a) = λ mx, kde λ mx je největší vlstní číslo mtce A (všechn vlstní čísl poztvně defntní mtce jsou kldná). Protože vlstní čísl mtce A jsou převráceným hodnotm vlstních čísel (poztvně defntní) mtce A, je A 2 = /λ mn, kde λ mn je nejmenší vlstní číslo mtce A. Pk tedy κ(a) = λ mx /λ mn (je-l mtce A symetrcká poztvně defntní). Je-l mtce A jen reálná symetrcká, je k výpočtu norem A 2 A 2 zpotřebí vzít bsolutní hodnoty vlstních čísel, nebot příslušná vlstní čísl mohou být záporná. 9 Podrobněj v oddílu 2.8. 6
Číslo podmíněnost ukzuje, jk ctlvé může být řešení soustvy lneárních lgebrckých rovnc n mlé změny soustvy prvé strny. Je-l z řešení soustvy Az = b x řešení soustvy s mtcí A + Γ s prvou strnou b + β, přčemž prvky mtce Γ vektoru β jsou mlé, tj. (A + Γ)x = b + β, pk pro velkost reltvního rozdílu mez z x pltí [, Theorem A.3 ] x z z [ κ(a) Γ A Γ A + β ], (34) b z předpokldu, že A Γ <. Předchozí odstvec popsuje npříkld stuc, kdy místo přesné soustvy Az = b řešíme soustvu (A+Γ)x = b+β, která odpovídá nepřesně spočítné mtc A nepřesně určenému vektoru b (nepřesnost jsou reprezentovné mtcí Γ vektorem β). To je v prx běžné, pokud prvky mtce A vektoru b počítáme nějkou numerckou, tudíž přblžnou metodou. Nerovnost (34) nám říká, že součet reltvních nepřesností (výrz v [ ]) je zesílen κ(a) fktorem, jenž př velkém κ(a) může být velm velký. Pk je horní mez pro A Γ reltvní chybu n levé strně (34) tké velká. Prxe ukzuje, že skutečná chyb oprvdu velká bývá. Ještě srozumtelnější je tvrzení [6, Vět.]: Necht A je regulární mtce x 0 řešení soustvy Ax = b 0 x řešení soustvy Ax = b, kde b 0 b, pk pltí x x 0 x 0 κ(a) b b 0, (35) b 0 kde κ(a) je číslo podmíněnost mtce A vzhledem k normě. Přtom k dné mtc A exstují vektory b 0 0 b 0 b tkové, že v (35) nstne rovnost. Jným slovy, když se od sebe prvé strny soustvy lší málo, mohou se příslušná řešení lšt velm mnoho. 3 Řeštelnost okrjových úloh v D Řeštelnost obyčejné dferencální rovnce u + λu = f, (36) kde f je funkce spojtá n ntervlu [, b], doplněné o okrjovou podmínku u() = 0, u(b) = 0 (37) nebo o okrjovou podmínku u() = 0, u (b) = 0 (38) nebo o okrjovou podmínku u () = 0, u(b) = 0 (39) je popsán tkto (vz [5, tvrzení 4.9 vět 5.5]): 7
Není-l λ vlstní číslo okrjové úlohy dné rovncí (36) okrjovou podmínkou, má úloh právě jedno řešení. Je-l λ vlstní číslo f je ortogonální k vlstní funkc příslušné λ, má úloh nekonečně mnoho řešení. Je-l λ vlstní číslo f není ortogonální k vlstní funkc příslušné λ, nemá úloh žádné řešení. Okrjovou podmínkou se myslí podmínk (37) nebo (38) nebo (39). Pro plkc předchozích tvrzení je tedy nutné znát systémy vlstních čísel vlstních funkcí. Okrjová úloh (36), (37). Vlstní čísl λ k = k 2 π 2 (b ), vlstní funkce u k(x) = sn 2 Okrjová úloh (36), (38). ( ) 2 (k /2)π Vlstní čísl λ k =, vlstní funkce u k (x) = sn b, 2,... Okrjová úloh (36), (39). ( ) 2 (k /2)π Vlstní čísl λ k =, vlstní funkce u k (x) = cos b, 2,... kπ(x ), k =, 2,... b (k /2)π(x ), k = b (k /2)π(x ), k = b Pro všechny tř typy okrjových úloh pltí, že cu k, kde 0 c R, je opět vlstní funkce příslušná vlstnímu číslu λ k že vlstní funce příslušné různým vlstním číslům jsou ortogonální n ntervlu [, b]. 20 4 Metod sítí zákldní schémt h... krok sítě ve směru x, tj. h = x x q... krok sítě ve směru y, tj. q = y j y j τ... krok ve směru t, tj. τ = t k t k U... hodnot přblžného řešení v uzlu x (D úlohy) U j... hodnot přblžného řešení v uzlu (x, y j ) (Possonov rovnce) 20 U okrjových úloh (36), (38) (36), (39) se můžete setkt s formálně odlšným vzthem defnujícím vlstní čísl vlstní funkce, to ( ) 2 (k + /2)π λ k =, ũ k (x) = sn b ( ) 2 (k + /2)π λ k =, ũ k (x) = cos b (k + /2)π(x ), k = 0,, 2,... b (k + /2)π(x ), k = 0,, 2,... b Vzthy v hlvním textu se od vzthů v této poznámce lší znménkem před /2 dolní mezí pro prmetr k. Systémy vlstních čísel vlstních funkcí jsou ovšem stejné, lší se jen pořdovým čísly, tj. λ k = λ k ũ k = u k, kde k =, 2,... 8
U k... hodnot přblžného řešení v uzlu (x, t k ) (rovnce závslé n čse t) f j f(x, y j ) Obyčejné dferencální rovnce, okrjové úlohy n ntervlu [, b] Rovnoměrná sít uzlů x = + h pro = 0,, 2,..., m, kde x 0 x m b. Náhrd první dervce přesného řešení u v bodě x Náhrd druhé dervce Grfcké znázornění u (x ) U + U 2h (symetrcké schém). 2 u (x ) U 2U + U + h 2. U U U + x x x + N hrncích oblst jsou uzlové hodnoty dány okrjovým podmínkm bud přímo u() = α U 0 = α, u(b) = β U m = β, α, β R, nebo nepřímo prostřednctvím rovnc. Je-l v okrjové podmínce přítomn dervce řešení, tj. u, pk zvedeme pomocný uzel vně ntervlu [, b] odvodíme dvě dferenční rovnce. Jednu z okrjové podmínky druhou z dferencální rovnce uvžovné v krjním bodě ntervlu. Npříkld podmínk u () = α vede k U U 2h = α U = U 2hα, (40) kde U u(x ) x = h je pomocný uzel. Dferencální rovnce proxmovná v bodě x 0 dává lneární rovnc svzující uzlové hodnoty U, U 0 U s hodnotou prvé strny dferencální rovnce v bodě x 0. V této dferenční rovnc se elmnujeme U tím, že z U dosdíme z (40). Tím se zbvíme hodnoty v pomocném uzlu rovnce spjtá s uzlem x 0 bude obshovt jen neznámé U 0 U. Anlogcky se postupuje v bodě b (pomocný bod x m+ = b + h) nebo v přípdě jných typů okrjových podmínek, npř. u (b) = α(u(b) β). Possonov rovnce ( =, b = ), její zobecnění ( 0, b 0) 2 u x + u 2 b 2 = f. (4) y2 2 Je možné uvžovt proxmc u (x ) U + U h, t je všk méně přesná, proto se jí, pokud je to možné, vyhýbáme. Vz též postup zprcování okrjové podmínky obshující dervc. 9
Dferenční rovnce v uzlu (x, y j ) (pětbodové schém): U j 2U j + U j + h 2 + b U j 2U j + U j+ = f j q 2. (42) V obecném přípdě je nutné použít (4). Ve specálních přípdech je proxmce jednodušší. Jestlže h q = b, pk U j 2U j + U j + h 2 Jestlže h = q (čtvercová sít ) b, pk + U j 2U j + U j+ = q 2 f j. (43) (U j + U j j + ) + b(u + U j+ ) 2( + b)u j = h 2 f j. (44) Jestlže h = q (čtvercová sít ) = b, pk U j + U j + + U j + U j+ 4U j = h2 f j. (45) Jestlže nvíc f = 0 (Lplceov rovnce), pk U j + U j + + U j + U j+ 4U j = 0, (46) z čehož dostneme U j = ( U j 4 + U j + + U ) j + U j+. (47) Vzthy (42)-(46) jsou vlstně lneární lgebrcké rovnce pro hodnoty přblžného řešení ve vntřních uzlech; je třeb sestvt celou soustvu rovnc, pk j vyřešt. Ze vzthu (47) vychází Lebmnnov terce. Grfcké znázornění schémtu y j+ U j+ U j+ U j+ + y j U j U j U j + y j U j U j U j + x x x + N hrncích oblst jsou uzlové hodnoty dány okrjovým podmínkm Drchletov typu. 22 22 Jné okrjové podmínky jsou možné, le nebudeme se jm zbývt. 20
Upozornění: Aby dferencální operátor přímo odpovídjící Possonově rovnc byl poztvně defntní, uvádí se (4) čsto s podmínkou > 0, b > 0 ve tvru 2 u u x 2 b 2 y = ˆf, 2 jenž, př ˆf = f, je s (4) ekvvlentní (přenásobení číslem ). Tomu pk odpovídá schém U j 2U j + U j + b U j 2U j + U j+ = h 2 q ˆf j 2. Rovnce vedení tepl u t = 2 u 2 x. 2 Dferenční rovnce v uzlu (x, τ k ) (čtyřbodové explctní schém): U k+ U k τ = 2 U k 2U k + U k + h 2. (48) Podmínk stblty τ h2 2. 2 Z (48) dostáváme explctní vyjádření uzlové hodnoty U k+ (hodnoty n k-té vrstvě jsou jž známy): volb τ = h2 rovnost dále zjednoduší 22 U k+ = U k + 2 τ ( ) U k h 2 2U k + U+ k, U k+ = ( ) U k 2 + U+ k. n (k +)-ní čsové vrstvě Grfcké znázornění schémtu t k+ U k+ U k+ U k+ + t k U k U k U+ k t k U k U k U k + x x x + 2
Dferenční rovnce v uzlu (x, τ k ) (čtyřbodové mplctní schém): U k U k τ = 2 U k 2U k + U k + h 2. Metod je stblní pro lbovolné τ. Hodnoty n (k )-ní čsové vrstvě jsou jž známy, le n k-té vrstvě ještě ne. Nelze je explctně určt, nýbrž je nutné ze sít ových rovnc sestvt soustvu, jejímž vyřešením dostneme uzlové hodnoty přblžného řešení n k-té čsové vrstvě. Grfcké znázornění schémtu t k+ U k+ U k+ U k+ + t k U k U k U+ k t k U k U k U k + x x x + V obou schémtech se uzlové hodnoty pro počáteční čs t 0 = 0 dostnou z počáteční podmínky 23 hodnoty n koncích prostorového ntervlu (pro t, t 2,... ) z okrjových podmínek. Vlnová rovnce 2 u t = 2 u 2 2 x, > 0. 2 Dferenční rovnce v uzlu (x, τ k ) (pětbodové explctní schém): U k+ 2U k + U k = 2 U k 2U k + U+ k. (49) τ 2 h 2 Podmínk stblty τ h. Z rovnost (49) dostáváme explctní vyjádření uzlové hodnoty U k+ čsové vrstvě (hodnoty n k-té (k )-ní vrstvě jsou jž známy): n (k + )-ní ) U k+ = 2 ( 2 τ 2 U k + 2 τ 2 ( ) U k h 2 h 2 + U+ k U k, 23 Počáteční podmínkou je tedy určen počáteční čsová vrstv může být zhájen explctní č mplctní přechod k dlší čsové vrstvě. 22
volb τ = h vede k U k+ = U k + U+ k U k. Grfcké znázornění schémtu t k+ U k+ U k+ U k+ + t k U k U k U+ k t k U k U k U k + x x x + Uzlové hodnoty pro počáteční čs t 0 = 0 se dostnou z počáteční podmínky předepsující u(x, 0). Uzlové hodnoty pro čs t = t 0 +τ se určí pomocí počáteční podmínky předepsující u t (x, 0). Tj. U = U 0 + τ u t (x, 0). 24 Hodnoty n koncích prostorového ntervlu (pro t, t 2,... ) jsou dány okrjovým podmínkm. Problémy se stbltou metody odpdjí u vhodných mplctních schémt, npř. u sedmbodového schémtu [ U k+ 2U k + U k = U k+ k+ τ 2 2 2 2U + U k+ + + U ] k k 2U + U k +, h 2 h 2 v němž je druhá prcální dervce podle x proxmován průměrem dferenčních podílů n čsových vrstvách k + k. Pro kždé tř sousední uzlové hodnoty n (k + )-ní čsové vrstvě je třeb sestvt lneární lgebrckou rovnc. Výsledné soustvě odpovídá třídgonální mtce. Jejím vyřešením získáme hodnoty U k+, =,..., M (hodnoty U0 k+ U k+ M jsou známy z okrjových podmínek). Grfcké znázornění schémtu 24 Počátečním podmínkm jsou tedy určeny dvě čsové vrstvy může být zhájen explctní přechod k dlší čsové vrstvě. 23
t k+ t k t k U k+ U k+ U k+ + U k U k U+ k U k U k U k + x x x + Stejně jko u explctní metody, uzlové hodnoty pro počáteční čs t 0 = 0 se dostnou z počáteční podmínky předepsující u(x, 0). Uzlové hodnoty pro čs t = t 0 + τ se určí pomocí počáteční podmínky předepsující u t (x, 0), tj. U = U 0 + τ u t (x, 0). Poznámk Některá schémt vedou k sestvení lneárních lgebrckých rovnc pro neznámé hodnoty U j (nebo U k ) v těch uzlech sítě, v nchž přblžné řešení nelze určt přímo z počátečních okrjových podmínek. Oznčení se dvěm ndexy je z hledsk lgortmu řešení soustvy rovnc neobrtné. Proto se neznámé přejmenují novým symbolem s jedním ndexem, npř. W l uspořádjí do sloupcového vektoru w. Pk lze soustvu psát mtcově Aw = g, kde sloupcový vektor g vznkne z hodnot f j přblžného řešení n nžší čsové vrstvě. (u Possonovy rovnce) nebo z hodnot 5 Příprv n vrčně pojté okrjové úlohy v D 5. Sklární součn funkcí Necht je zobrzení, které dvojc funkcí η, ξ C([, b]), kde C([, b]) znčí množnu všech spojtých funkcí n uzvřeném ntervlu [, b], přřdí reálné číslo defnovné určtým ntegrálem tkto (η, ξ) = b η(x)ξ(x) dx. (50) Stejně jko (9) defnce (50) splňuje (0) (4), jsme tedy oprávněn hovořt o (50) jko o sklárním součnu. Jestlže defnujeme η L 2 (,b) = (η, η), (5) kde η C([, b]), pk () (4) pltí pro kždé funkce η, ξ C([, b]) (normu nhrzujeme symbolem L 2 (,b), místo x, y užíváme η, ξ prostor X nhrzujeme prostorem 25 25 Povšmněte s, že množn C([, b]) s přrozeně zvedeným sčítáním funkcí násobením funkce sklárem (reálným číslem) splňuje všechny poždvky, kterým jsme v kptole 2.3 chrkterzovl vektorový/lneární prostor. 24
C([, b]). Proto o hodnotě η L 2 (,b) R hovoříme jko o normě funkce η o množně C([, b]) jko o normovném lneárním prostoru spojtých funkcí s normou 26 L 2 (,b). Mějme nyní symetrcký poztvně defntní operátor A n D(A), vz kptolu 5.2. Pk je předpsem (η, ξ) A def = (Aη, ξ) = b (Aη)(x)ξ(x) dx (52) tké defnován sklární součn n D(A) C([, b]), opět jsou totž splněny poždvky (0) (4). Sklární součn (Aη, ξ) se z jstých důvodů počítá s využtím metody ntegrce po částech. O (η, ξ) A hovoříme jko o energetckém sklárním součnu o normě jko o energetcké normě. η A = (η, η) A (53) 5.2 Okrjové úlohy dferencální operátory Cílem je njít funkc u M def = C k ([, b]) C 2 ((, b)) tkovou, by pltlo α(x)u (x) + β(x)u (x) + q(x)u(x) = f(x) pro kždé x (, b) (54) zároveň by byl splněn zdná okrjová podmínk (OP) (55) nebo (56) nebo (57) u() = 0 = u(b), (55) u() = 0 = u (b), (56) u () = 0 = u(b). (57) Funkce α, β, q f jsou zdány jsou spojté n (, b). Je-l OP dná (55), stčí v M, by k = 0 (C 0 ([, b]) C([, b]) jsou spojté funkce n [, b]). V přípdě OP (56) nebo (57) poždujeme pro jednoduchost k = (funkce spojté n [, b] včetně první dervce). Rovnc (54) s OP (55) nebo (56) nebo (57) se říká okrjová úloh (OÚ). Do levé strny (54) můžeme dosdt lbovolnou funkc z množny M, po provedených opercích dervování násobení dostneme spojtou funkc n ntervlu (, b). Zved me nyní D(A), podmožnu množny M, D(A) def = {v M v splňuje OP}. Množně (přesněj lneárnímu prostoru 27 ) D(A) se říká defnční obor operátoru A defnovného předpsem Au def = α(x)u (x) + β(x)u (x) + q(x)u(x), kde u D(A). 26 Oznčení L2 (,b) má svůj původ v jném, obecnějším prostoru funkcí, jenž obshuje všechny funkce z C([, b]) ještě dlší funkce, které n nejsou spojté. Z jstých důvodů není norm L 2 (,b) pro prostor C([, b]) přrozená. Pro spojté funkce je vhodnější norm η C([,b]) = mx x [,b] η(x), le to už jdeme z rámec nšch potřeb. 27 Oprvdu, množn má vlstnost chrkterzující lneární prostor součet dvou funkcí z D(A) leží opět v D(A), součn konstnty funkce z D(A) opět pdne do D(A) td. 25
Okrjová úloh v operátorovém tvru: Njít tkovou funkc z D(A), by pltlo Az = f. Posoudt řeštelnost OÚ s obecnou rovncí (54) může být nesndné. Stuce se zjednoduší, pokud mez funkcem α β je tkový vzth, že operátor A je možné zpst v dvergentním tvru Az def = ( p(x)z (x) ) + q(x)z(x), kde z D(A), p C ([, b]) q C([, b]). O dferencálním operátoru A řekneme, že je (n svém defnčním oboru D(A)) symetrcký, jestlže pro kždou dvojc v, w D(A) pltí (Av, w) = (v, Aw), kde závorky znčí sklární součn (50). Operátor v dvergentním tvru je n D(A) symetrcký, nebot (Av, w) = (v, Aw) = b ( p(x)v (x) ) b w(x) dx + q(x)v(x)w(x) dx b p. p. = [p(x)v (x)w(x)] x=b x= + ( p(x)v (x)w (x) + q(x)v(x)w(x) ) dx, b v(x) ( p(x)w (x) ) b dx + v(x)q(x)w(x) dx b p. p. = [p(x)v(x)w (x)] x=b x= + ( p(x)v (x)w (x) + q(x)v(x)w(x) ) dx. (58) }{{} výrz Pltí (Av, w) = (v, Aw), protože výrzy s hrntým závorkm jsou rovny nule díky OP, které jsou zhrnuty v defnc D(A). Zbývjící ntegrální členy jsou dentcké. Využl jsme ntegrc po částech (per prtes). 28 O dferencálním operátoru A řekneme, že je (n svém defnčním oboru D(A)) poztvně defntní, jestlže exstuje kldná konstnt c > 0 tková, že pro kždou funkc v D(A) pltí (Av, v) c(v, v) (v jné vrntě (Av, v) c ( (v, v) + (v, v ) ) ; zdůrzněme, že konstnt c nezávsí n funkc v. 29 Je-l ve výrzu v (58) p(x) > 0 q(x) > 0 pro všechn x [, b], je sndné ukázt, že operátor A je poztvně defntní. Z jných okolností je stuce složtější (vz postup níže), vždy je všk nutné, by pro kždé x [, b] pltlo p(x) > 0. Čsto se upltní Fredrchsov nerovnost: Pro kždou funkc ω C ([, b]) tkovou, že ω() = 0 nebo ω(b) = 0, pltí nerovnost b ω 2 (x) dx 28 Integrování po částech funkcí r, s C ([, b]): b 2 (b ) 2 b b r (x)s(x) dx = [r(x)s(x)] x=b x= r(x)s (x) dx. ω 2 (x) dx. (59) 29 Povšmněte s, že pojmy symetrcká mtce, poztvně defntní mtce č sklární součn vektorů zvedené v kptole o lneární lgebře, korespondují s obdobným pojmy pro operátory z kptoly 5. Je to tím, že jk mtce, tk nše dferencální operátory spdjí do říše lneárních operátorů, proto mjí mnoho společných nebo spoň podobných vlstností. 26
Př dokzování poztvní defntnost operátoru postupujeme tkto (Av, v) (58) = b b mn t [,b] Fr. ner. (59) ( = ( p(x)v 2 (x) + q(x)v 2 (x) ) dx p(t)v 2 (x) dx + mn t [,b] 2 p(t) (b ) 2 b mn s [,b] b 2 (b ) mn p(t) + mn q(s) 2 t [,b] s [,b] q(s)v 2 (x) dx b v 2 (x) dx + mn q(s) v 2 (x) dx s [,b] ) b v 2 (x) dx. (60) Pokud je v (60) hodnot v závorce kldná, ukázl jsme, že operátor je poztvně defntní. 6 Užtečné drobnost Tto kptol sestává z velce stručného přehledu různých mtemtckých pojmů vzthů, jejchž znlost by mohl usndnt řešení úloh předmětu Mtemtk 4. Přehled podává jen jádro nformcí, neobshuje podsttné detly (tj. npříkld defnční obory, vymezení pltnost td.). 6. Některé pojmy, vzthy hodnoty Funkce Lchá funkce f: f( x) = f(x). Sudá funkce g: g( x) = g(x). Gonometrcké funkce sn x je lchá funkce, cos x je sudá funkce, sn(x + 2π) = sn x, cos(x + 2π) = cos x, sn 2 x + cos 2 x =, sn(α + β) = sn α cos β + cos α sn β, cos(α + β) = cos α cos β sn α sn β, sn 2α = 2 sn α cos α, cos 2α = cos 2 α sn 2 α, sn(α/2) = ( cos α)/2, cos(α/2) = ( + cos α)/2, sn(π/6) = /2 = cos(π/3), sn(π/4) = 2/2 = cos(π/4), sn(π/3) = 3/2 = cos(π/6). Logrtmy log 2 0,30, log 3 0,477, log 5 0,7, log 7 0,845, log,04, log 3,, log 7,23, log 9,28, log 23,36, log 29,46, log 3,49, log 37,57, log 39,59, log 4,6, log 43,63, log 47,67. 7 Zpět do. ročníku Pro ožvení pozpomenuté látky s přpomeňme postupy, bez nchž je bsolvování zkoušky z Mtemtky 4 stěží možné. 27
7. Řešíme soustvy lneárních lgebrckých rovnc N ukázku vyřešme tuto soustvu rovnc (vz [7, Příkld 2.22]) Zpšme j mtcově uprvujme: 0 5 5 0 5 0 2 5 4 0x 5x 2 + 5x 3 + 0x 4 = 5, x + x 2 x 3 x 4 = 0, x + 2x 2 x 3 + x 4 = 5, x + x 2 + x 3 x 4 = 4. 2 2 0 2 5 4 0 0 0 2 5 0 3 3 4 0 2 0 2 4 0 2 5 2 2 4 0 0 0 2 5 0 0 3 0 6 0 0 0 6 6 Nejprve jsme první řádek poděll číslem 5 (krok ), pk jsme první řádek přesunul o dv řádky dolů (krok ), v kroku jsme od druhého řádku odečetl první řádek, od třetího řádku odečetl dvojnásobek prvního řádku k poslednímu řádku přčetl první řádek. Nkonec (krok ) jsme k třetímu řádku přčetl trojnásobek druhého řádku od posledního řádku jsme odečetl dvojnásobek druhého řádku. Část mtce vlevo od svslé čáry jsme uprvl n horní trojúhelníkový tvr. Poslední řádek můžeme ještě vydělt číslem 6, uprvené mtc pk odpovídá soustv x + x 2 x 3 x 4 = 0, x 2 + 2x 4 = 5, 3x 3 + 0x 4 = 6, x 4 =. Hodnost mtce soustvy hodnost rozšířené mtce soustvy jsou stejné, exstuje tedy řešení soustvy. Soustv má čtyř neznámé hodnost její mtce je 4, soustv má tedy právě jedno řešení. Poslední rovnce uprvené soustvy už přímo určuje, že x 4 =, což dosdíme do třetí rovnce, tj. 3x 3 + 0 = 6, odkud x 3 = 2. S využtím x 4 = dostneme z druhé rovnce x 2 = 3. Dosdíme-l získné výsledky do první rovnce, obdržíme x = 0. Zkoušk 0 5 5 0 2 0 3 2 = potvrzuje správnost výsledku. Přpomeňme, že pokud hodnost mtce soustvy je menší než hodnost rozšířené mtce soustvy, soustv nemá řešení. V Mtemtce 4 se všk čstěj setkáte s přípdem, kdy nopk exstuje nekonečně mnoho řešení npříkld př určování vlstních vektorů mtc. 28 5 0 5 4
Tuto stuc lustrujme Příkldem 2.23 z [7]. Postupujme už stručněj. Jsté soustvě rovnc Ax = b, kde b = (, 3, 4, 4) T, odpovídá rozšířená mtce, kterou se snžíme dále uprvt: 2 0 3 3 3 2 4 4 5 2 0 4 4 2 0 3 3 0 5 3 5 5 0 2 5 2 0 3 3 0 0 5 5 2 0 3 3 0 0 2 0 0 0 0 7 35 35 K třetímu řádku jsme přčetl první řádek k poslednímu řádku jsme přčetl pětnásobek prvního řádku (krok ). Ke třetímu řádku jsme přčetl pětnásobek druhého řádku ke čtvrtému řádku jsme přčetl dvnáctnásobek druhého řádku (krok ). Třetí řádek jsme vyděll číslem 2 čtvrtý řádek jsme vyděll číslem 7, po této úprvě se čtvrtý řádek shoduje s řádkem třetím, nepřnáší tedy žádnou novou vzbu mez proměnným může být z rozšířené mtce vyškrtnut (krok ). Pro čtyř neznámé máme jen tř rovnce, očekáváme tedy nekonečný počet řešení. Uprvenou soustvu. x + 2x 2 + x 3 x 4 =, x 2 x 3 + 3x 4 = 3, x 3 5x 4 = 5 řešíme tk, že jednu zvolenou neznámou povžujeme z prmetr osttní neznámé vyjádříme pomocí tohoto prmetru. Z prmetr zvolme x 4 pro přehlednost oznčme symbolem p, tedy x 4 = p. Z poslední rovnce dostneme x 3 = 5p 5, z druhé rovnce x 2 = 2 2p z první rovnce x = 0. Řešení x tedy můžeme npst tkto x = 0 2 2p 5 + 5p p = u + pv, kde u = 0 2 5 0 v = přčemž p je lbovolné reálné číslo. Jk ověříme správnost řešení? Povšmněme s, že pro lbovolné p R má pltt 0 2 5, b = Ax = A(u + pv) = Au + A(pv) = Au + pav. (6) Z (6) dostáváme vzth b Au = pav, jenž by měl pltt pro všechn čísl p R, což, pokud by vektor Av byl nenulový, nemůže nstt, protože levá strn rovnost n p nezávsí. Musí tedy být Av = o, kde o = (0, 0, 0, 0) T. Odtud pk Au = b. Správnost řešení x tedy ověříme tk, že vektor u vynásobíme mtcí A výsledek srovnáme s nenulovým vektorem b. Vektor Av se nopk musí rovnt nulovému vektoru. Poznmenejme, že pro jnou soustvu se může stát, že její řešení je závslé npříkld n dvou prmetrech, tj. Ax = b, kde, kupříkldu, x = u + pv + qw p, q R. Pk musí pltt, že Au = b 29
že vektory Av Aw jsou nulové. Ukžme to n řešení soustvy s touto rozšířenou mtcí 0 8 8 2 22 2 4 6 3 3 2 4 6 3 3 2 4 6 3 3 6 4 0 7 7 0 4 4 6 4 0 7 7 0 4 4 0 8 8 2 22 4 4 8 5 5 4 4 8 5 5 0 4 4 ( 2 4 6 3 3 0 4 4 ) ( 2 0 2 2 2 0 4 4 Prohodl jsme první druhý řádek, přčemž jsme celý nový druhý řádek děll dvěm (krok ). Od třetího řádku jsme odečetl trojnásobek prvního řádku, od čtvrtého řádku jsme odečetl dvojnásobek prvního řádku (krok ). Po této úprvě jsou třetí čtvrtý řádek jen násobkem druhého řádku, nepřnáší tedy žádnou novou vzbu mez proměnným mohou být z rozšířené mtce vyškrtnuty (krok ). Nkonec druhý řádek ještě vynásobíme 30 číslem přčteme ho k prvnímu řádku, tím se soustv dále zjednoduší. Pro čtyř neznámé máme jen dvě nezávslé rovnce, očekáváme tedy nekonečný počet řešení závslých n dvou prmetrech. Uprvenou soustvu (první řádek vydělíme 2) x + x 3 + x 4 =, 4x 2 4x 3 x 4 = řešíme tk, že dvě zvolené neznámé povžujeme z prmetry osttní neznámé vyjádříme pomocí těchto prmetrů. Z prmetr zvolme x 4 pro přehlednost oznčme symbolem p, tedy x 4 = p. Dále oznčme x 3 = q. Z druhé rovnce dostneme x 2 = /4 + p/4 + q, z první pk x = p q. Řešení x tedy můžeme npst tkto x = p q /4 + p/4 + q q p = u + vp + wq, kde u = /4 0 0, v = /4 0 w = přčemž p q jsou lbovolná reálná čísl. Zkoušk správnost výsledku spočívá ve výpočtu vektoru Ax jeho srovnání s vektorem b = ( 22, 3, 7, 5) T. Musí být Ax = b. Násobt mtcí A přímo vektor x je všk neprktcké kvůl prmetrům p, q nepřehledným součnům. Proto bývá jednodušší ( provázeno menším množstvím početních chyb) ověřt, že Au = b, Av = o Aw = o, kde o = (0, 0, 0, 0) T. 7.2 Vypočítáváme nverzní mtc Jestlže umíme vyřešt soustvu lneárních lgebrckých rovnc, pk tké umíme vypočítt nverzní mtc k regulární mtc řádu n. Jde vlstně jen o vyřešení několk soustv se stejnou mtcí, le s n různým prvým strnm. Ty jsou dány lneárně nezávslým jednotkovým vektory se všem složkm nulovým s výjmkou -té složky, t má hodnotu, =, 2,..., n. Všechny soustvy se řeší zároveň, nebot do rozšířené mtce můžeme njednou npst všechny prvé strny. Levou část rozšířené mtce nestčí uprvt n trojúhelníkový tvr, nýbrž je nutné užít zpětný chod dojít ž k jednotkové mtc. Pk, z předpokldu že jsme počítl bez chyby (nebo se nše chyby vzájemně vyrušly, n kterýžto jev ovšem nelze spoléht), dostneme v prvé část rozšířené mtce hlednou nverzní mtc. 30 Není to nutné, jen se tím v dlším kroku vyhneme záporným znménkům. ). 0, 30