Jiří Militký KTM, Technická universita v Liberci, LIBEREC, Česká Republika Milan Meloun, KACH, Universita Pardubice, Česká Republika

Transkript

1 Různé pohled na kalbrační úloh Jří Mltký KTM, Techncká unversta v Lberc, 46 7 LIBEREC, Česká Republka Mlan Meloun, KACH, Unversta Pardubce, Česká Republka Abstrakt Cílem této práce je ukázat některé problém vsktující se př řešení klasckých (ne)lneárních kalbračních úloh. Je ukázáno jaké tp úloh se př kalbrac vsktují a jak postupovat př jejch řešení. Je naznačena obecná defnce nverzního odhadu a jejího rozptlu jsou uveden základní model působení poruch a jejch vlv na odhad modelových parametrů. Jako unfkovaný kalbrační model je navržen regresní polnomcký splne. Jeho flexblta je zajštěna vhodnou volbou uzlových bodů. Napříkladu kalbrační přímk jsou demonstrován různé tp kalbrace.. ÚVOD Kalbrace patří mez základní úloh řešené nejen v analtcké úloh, ale obecně v techncké prax.z metrologckého hledska jde o tpcký problém tzv. nepřímých měření[]. Občejně je účelem stanovt hodnot nesnadno měřtelné nebo vůbec neměřtelné velčn (hledaná velčna, cílová velčna T- target). Tato velčna je funkčně spjata se snadno měřtelnou velčnou x (sgnál, M-měření). Příkladem T je koncentrace, teplota, vlhkost. Jako M je standardně používáno elektrcké napětí nebo proud případně absorbance. Funkční přřazení f(x, a) () je buď známo předem (z fzkálního prncpu měření) nebo se hledá metodam regrese. Vžd je však třeba určt odhad modelových parametrů a ab blo možno kalbrační model použít. Vlastní kalbrace se skládá ze dvou fází tvorba kalbračního modelu použtí kalbračního modelu. Ve fáz tvorb kalbračního modelu je účelem nalézt model f( x, a ). Praktck se provádí pro sadu nastavených hodnot,...n měření hodnot x,...n. Hodnot jsou tpck nastaven s vužtím velm přesných metod nebo jsou k dspozc ve formě standardů s defnovanou hodnotou. Je ted možno nalézt vlastně funkc x f ( ) (vz obr.) Kalbrační vzork... měření... n xf() x x... x n Obr. Fáze tvorb kalbračního modelu

2 Ve fáz použtí kalbračního modelu je účelem pro neznámý vzorek určt odhad cílové velčn z měření sgnálu x. Jde ted v případě klascké kalbrace o nalezení nverzní funkce f ( x) ke kalbračnímu modelu f(). Schematck je tato stuace znázorněna na obr.. neznámý vzorek známé měření x f - (x) Obr. Fáze použtí kalbračního modelu Pole toho jakého tpu se uvažují velčn x a ve fáz tvorb kalbračního modelu se pak rozeznávají tto tp kalbrace[3] a) C - kalbrace ( se uvažují jako determnstcké nebo měřené se zanedbatelnou chbou vůčměření x) x f(, ) +x... x a σ () Pro tento tp kalbrace je nutné řešení nverzníúloh př predkc ce b) I - kalbrace (x se uvažují jako determnstcké nebo měřené se zanedbatelnou chbou vůč nastavení hodnot ) f(x, ) +... a σ (3) Pro tento tp kalbrace je možná přímá predkce n. c) 0 - kalbrace (obě proměnné jsou náhodné srůzným rozptl) f(x+x, ) +...Pσ / x a σ (4) Pro řešení této kalbrační úloh postačuje znalost poměru rozptlů P. Pro P jde o mnmalzac kolmých vzdáleností mez kalbračním modelem a expermentálním bod. Pro tento tp kalbrace je možná přímá predkce ŷ ok. Pro případ klascké C-kalbrace je vžd třeba řešt nverzní úlohu t.j nalézt funkc f (x). Pro I-kalbrac a O-kalbrac není třeba řešt nverzní úlohu. Ve všech případech je však sgnál x0 pro neznámý vzorek měřená velčna (náhodná), takže predkce ŷ je 0 náhodná velčna ajetřeba odhadnout její varabltu resp. nterval spolehlvost. Zde je vdalším pojednáno o způsobech odhadu parametrů kalbračních modelů v souvslost srůzným tp působení poruch. Samostatným problémem je volba kalbračního modelu pro případ, kd nelze nalézt teoretcké přřazení tpu rov. (). Pro tto účel je v této prác navrženo použtí regresních splne.. MODELY PŮSOBENÍ PORUCH

3 Ilustrujme s různé model působení poruch na úloze I - kalbrace.pro případ C-kalbrace se pouze zamění pořadí proměnných resp. jejch charakter. Nechť jsou expermentální data {x T, },,..., n, a kalbrační model f(x, a) jeznám. Vsvětlovaná resp. nastavovaná (závsle) proměnná jechápana jako výsledek měření aje ted zatížena chbam ( nepřesností měření, varabltou měřeného materálu, zanedbáním proměnných atd.). Celková chba závsle proměnné je pak kombnací všech dílčích chb. Obvklesepředpokládá, že celková chba měření má nulovou střední hodnotu, E( ) 0,,..., n. Pokud je E( )konst. 0chbí v modelu absolutní člen. Způsob působení chb je charakterzován modelem měření (adtvní, multplkatvní, smíšený atd.). Obecný model kalbrace, zahrnující jak vlastní kalbrační model, takmodel měření, jepakmožné vjádřt ve tvaru Z (x,, a),..., n (5) Konkrétní tvar funkce Z (.) závsí na předpokládaném mechansmu působení chb a konkrétním tvaru kalbrační funkce. Pokud představují hodnot výsledk expermentů, předpokládá se občejně adtvní model měření, prokterý je Z f(x, a ) + (6) V řadě případů musí být naměřené hodnot,,..., n, kladné nebo mít alespoň přrozený počátek. Dále rozptl chb měření bývají nekonstantní. Konstantní jsou většnou relatvní chb měření. Tomu vhovuje např. multplkatvní model měření, prokterý platí f(x, ) exp( ) Z a (7) V prax se vsktuje také smíšený model měření, popsaný vztahem Z f(x, a ) exp(v ) + (8) kde o chbách v a se předpokládá, že jsouvzájemně nezávslé. Pokud není model chb znám jemožno vjít z obecné tříd modelů zahrnující jak adtvní tak multplkatvní model. Jedna taková obecná třída modelů se dá vjádřt s pomocí Box - Coxov transformace ( λ) λ (x λ pro λ Obecný model měření pak má tvar ( λ ) ( ) f λ (x, a) + 0 resp. ( λ) ln(x) pro λ 0 Př dentfkac kalbračního modelu se pak hledá optmální & a následně modelové parametr a. V provozech a laboratořích se často provádí měření na jedné soustavě. Dochází pak ke vznku kumulatvních chb. Navíc jsou měření, prováděná na přístrojích, zatížena občejně konstantní relatvní chbou v() σ() / f(x, a), takže rozptl měřené velčn σ () f (x, a)

4 je úměrný čtverc hodnot modelované funkce. Celková chba je v této stuac vjádřena vztahem j + v j å u kde v jsou chb měření au j jsou procesní chb. Procesní chb jsou způsoben fluktuací podmínek expermentů, tj. teplot, tlaku, čstot surovn a mají kumulatvní charakter. Občejně se předpokládá, že chb,vjádřené rovncí (9), působí adtvně. Pro nalezení krtéra regrese a statstckou analýzu je třeba určt rozdělení náhodných velčn. Toto rozdělení bude úzce souvset s rozdělením chb,které je dáno sdruženou hustotou pravděpodobnost p(). Ta je také funkcí určtých dstrbučních parametrů, jakoje rozptl σ,atd. Běžně bývá rozdělení chb unmodální, smetrcké s maxmem E() 0. Často se předpokládá, kdž někd nesprávně, že chb měření jsou také vzájemně nezávslé. Sdružená hustota pravděpodobnost p() jepakdána součnem margnálních hustot p ( ). Ted p ( ) n p ( ) Skupnu rozdělení, zahrnujících rozdělení normální, rovnoměrné, Laplaceovo a lchoběžníkové, jemožno vjádřt hustotou pravděpodobností p ( ) Q N æ ç - exp ç α è p ö ø kde Q N je normalzační konstanta a α je parametr úměrný rozptlu. Je-l p, jde o Laplaceovo, pro p o normální a pro p o rovnoměrné rozdělení. Nevýhodou rozdělení p( ), defnovaného vztahem (), je skutečnost, že prop<není okolí počátku lokálně kvadratcké. Používají se proto také alternatvní sstém hustot pravděpodobnost, jako je zobecněné Studentovo rozdělení, atd. Prax blžší je případ, kd chb nejsou nezávslé, ale jsou charakterzován kovaranční matcí chb C. Je-l rozdělení chb smetrcké, unmodální se střední hodnotou E() 0, volí se sdružená hustota pravděpodobnost ze tříd elptckých rozdělení p ( ) Q N det( B) h ( B ) T kde Q N je normalzační koefcent, B je matce souvsející skovaranční matcí chb C ah(.)je kladná funkce, defnovaná na ntervalu á0, ) s konečným moment do řádu (n+). Nejpoužívanějším rozdělením je vícerozměrné normální rozdělení N(0, C), které vjde př volbě h(x) exp(-0.5 x ). Jeho sdružená hustota pravděpodobnost má tvar p ( ) (π) n / (det C ) / exp( 0.5 T C ) (0) () (9) () (3)

5 Je možno také použít vícerozměrného Laplaceova rozdělení, Studentova rozdělení resp. dalších[]. Tvar kovaranční matce chb C souvsí s tpem závslost chb. Jednoduchá je v případě heteroskedastct, kd jsou chb vzájemně nezávslé, ale mají nekonstantní rozptl E( )σ.matcec je potom dagonální sprvkσ na dagonále a sdružená hustota pravděpodobnost (3) přechází na tvar (0). Př různých tpech autokorelace není jž matce C dagonální ajejí mmodagonální prvk C j odpovídají kovarancím mez a j,tj. C j E( j ). Př znalost buď sdružené hustot pravděpodobnost chb měření p() nebo margnálních hustot p( )můžeme určt hustotu pravděpodobnost p() nebop( )nazákladě vztahu pro hustotu pravděpodobnost funkce náhodné velčn. Pro případ nezávslých náhodných chb platí vztah p( ) p [ Z ( x,, ) ] kde smbol Z - (.) označuje nverz k funkc Z(.). Pro adtvní model měření (6) je Z (.) - f(x, a) Dosazením do rov. (4) pak vjde p( ) p ( - f(x, a)) Z (.) (4) δ - Z a dervace. δ Ztohovplývá, že adtvní model měření nezpůsobuje žádné deformace rozdělení měřených velčn vzhledem k rozdělení chb. Pro multplkatvní model měření (7) je Z (.) ln ln f(x, a) (.) a dervace δ Z (.) δ (4) Předpokládají se pouze kladné hodnot měřených velčn. Po dosazení do (4) bude p( ) p (ln ln f(x, a)) (6) Tato hustota pravděpodobnost jž neodpovídá hustotě pravděpodobnost chb p(.). Z přehledu modelů chb vplývá, že podle konkrétních podmínek expermentu a představ o působení různých druhů chb lze odvodt rozdělení měřených hodnot velčn. Ve většně případů se předpokládá normalta chb měření a adtvní model jejch působení. Rozdíl jsou pouze v tom, zda kovaranční matce C, obsahuje jen dagonální a nebo nedagonální prvk.

6 Sdružená hustota pravděpodobnost pro vektor naměřených hodnot {,..., n } T se označuje jako věrohodnostní funkce L(α). Tato funkce je závslá na vektoru parametrů α, který obsahuje parametr modelu a a dstrbuční parametr σ. Maxmálně věrohodné odhad parametrů se určují maxmalzací logartmu věrohodnostní funkce ln L( α) n ln p( ) å ln p( ) (7) Druhá rovnost v rovnc (7) platí pouze pro specální případ nezávslých chb měření. Maxmálně věrohodné odhad mají asmptotcký rozptl, který je roven nverz očekávané Fsherov nformační matce α D( α) I ( ) (8) Prvk matce I(α) jsou dán vztahem I j E é ê êë ln L( α) α α j ù ú úû Pro praktcké účel se očekávaná nformační matce I(b) nahrazuje odhadovanou nformační matcí Î (.) s prvk Î j é ê êë ln L( α) α α j ù ú úû α αˆ Odhadovaná nformační matce je pro konstrukc ntervalů spolehlvost výhodnější než očekávaná nformační matce. Pro maxmálně věrohodné odhad lze odvodt řadu důležtých výsledků: (9) (0). Odhad αˆ jsou pro n (tzn. asmptotck) nevchýlené, tj. vchýlení h α E (ˆ α) 0 () je nulový vektor. Pro konečné počt měření n jsou však odhad vchýlené a velkost h závsí na stupn nelneart regresního modelu.. Odhad αjsou asmptotck vdatné a rozptl odhadů D( α j ) jsou mnmální ve třídě všech nevchýlených odhadů. Kovaranční matce D( α) leží na dolní mez Cramerov- Raovnerovnost [5]. Prokonečné výběrnení an tato vlastnost obecně zachována. ( 3. Náhodný vektor n α α) má asmptotck normální rozdělení N(0, I - ) s nulovou střední hodnotou a rozptlem rovným nverz Fsherov nformační matce. Pokud je rozdělení chb přblžně normální, platí normalta odhadů prokonečné výběr. Pro dostatečně velké rozsah měření lze vužít výše uvedených vlastností odhadů α. Pro konečné počt měření ční značné potíže předevšímvchýlení odhadů. Př znalost sdružené hustot pravděpodobnost p() lze pak nalézt maxmálně věrohodné odhad nebo krtérum pro jejch určení, tzv.krtérum regrese.

7 V prax nejčastější je případ, kd chb měření jsou nezávslé, s nulovou střední hodnotou, konstantním rozptlem a normálnímrozdělenímn(0, σ E). Platí také adtvní model měření defnovaný vztahem (5). Rozdělení měřené velčn je pak také normální N(f, σ ). Platíže æ - ö ç ( - f ) p( ) exp, πσ è σ ø kde f f (x, a) Vektor hledaných parametrů nechť je α T (a T, σ ). Logartmus věrohodnostní funkce ln L(α) má pak tvar n n ln L( α) åln p( ) ln(πσ ) σ Smbol S(a) značí součet čtverců odchlek å S( a) () n S (a) ( f ) (3) Pro analtckou maxmalzac ln L(α) podleσ platí ln L( α) n + S( a) 0 4 σ σ σ Po úpravě vjde σ ˆ S( a) n Odhad σ je pro malé rozsah měření vchýlený. Jeho nevchýlená verze je σ ˆ S( a) n m Dosazením z rovnce (5) do () se určí tzv. koncentrovaná věrohodnostní funkce ln L(a), pro kterou platí ln( a) n ( + ln(π)) 0.5lnS( a) (4) (5) (6) (7) Maxmum ln L(a) zřejmě odpovídá mnmu krtéra S(a), což je vlastně krtérum metod nejmenších čtverců (MNČ). Metoda maxmální věrohodnost je pro tento případ totožná s metodou nejmenších čtverců odchlek. Na základě rovnce (8) platí, že kovaranční matce odhadů D( α) je rovna

8 D( αˆ ) é ê êë σˆ 0 ( J T J) 0 ù ú (8) 4 σ / núû kde smbol J označuje Jakobán, tj. matc rozměru (n x m) prvních dervací modelu dle parametrů J j f (x a, a) j Z rovnce (8) plne, že odhad σ a ajsou nezávslé akovaranční matce D( a )σ (J T J) -. Svužtím vlastností metod maxmální věrohodnost lze jednoduše konstruovat nterval spolehlvost a testovat statstcké hpotéz []. Hledání lokálního extrému věrohodnostní funkce vede obecně na úlohu nelneární optmalzace. Pokud je známa kovaranční matce chb C, lzepropřípad, že platí adtvní model měření a normalta chb N(0, C), nalézt maxmálně věrohodné odhad a parametrů a mnmalzací krtéra zobecněných nejmenších čtverců S( a) ( f ) T C ( f ) Tr T [ C e e ] kde e - f je vektor rezduí asmbol Tr(A) značí stopu matce A. Pokud je matce C dagonální, stuace je značně jednodušší. Krterální podmínka metod nejmenších čtverců (30) přechází na tvar å n S( a) w ( f ( x, a)) (3) kde w /C jsou váh úměrné recprokým hodnotám dagonálních prvků kovaranční matce. Zavedením proměnných * w af * w f(x, a) přechází rov.(3) na krtérum klascké metod nejmenších čtverců odchlek å n * * S (a) ( f (x,a)) (3) Př znalostvahw lze ted úlohu vážené a zobecněné metod nejmenších čtverců převést na úlohu klascké metod nejmenších čtverců pro modfkované proměnné. Tento postup je vhodný proneznámou dagonální matc C, pokud se její prvk určují odděleně, např. na základě modelu heteroskedastct. Pro případ heteroskedastct vede klascká (nevážená) metoda nejmenších čtverců knevchýleným odhadům a, odhad kovaranční matce jsou však vchýlené. Př řešení kalbračních úloh se téměř výhradně vužívá klascká nevážená MNČ. Tovšak může proněkteré stuace vést k nepoužtelnýmvýsledkům. Pokud platí, že: a)vhovuje multplkatvní model měření je třeba použít krtéra nejmenších čtverců v logartmech (9) (30)

9 b)měření probíhá za podmínek konstantní relatvní chb (varačního koefcentu) je třeba použít krtéra vážených nejmenších čtverců s vaham w / f(x, a)~/ c) měření probíhá za podmínek úplné kumulace chb je třeba použít krtéra nejmenších čtverců vprvních dferencích d) měření probíhá za podmínek kde se mohou vsktovat velké odchlk s všší pravděpodobností je vhodné použít krtéra nejmenších absolutních odchlek e) mají být odchlk od kalbračního modelu co do velkost přblžně stejné volí se krtérum mnmalzace maxmální odchlk Tento neúplný výčet ukazuje, že krtérum MNČ není zdaleka unverzální apř kalbrac je třeba zkoumat otázk tpu poruch (chb) a jejch rozdělení. Výhodou použtí metod maxmální věrohodnostje to, že umožňuje také určení rozptlů jednotlvých odhadů další statstckou analýzu. Podrobnost jsou uveden v prác []. 3. INVERZNÍ KALIBRAČNÍÚLOHA Inverzní kalbračníúloha se vsktuje pouze u C-kalbrace. Ve fáz použtí kalbračního modelu. Účelem je nalezení odhadu cílové velčn a odpovídající nejstot (ntervalu spolehlvost) ze známého sgnálu x *. Jde ted formálně ourčení nverzní funkce * * ŷ f (x, a ) g(x, a) (33) Tato úloha se dá matematck převést na problémhledání kořene nelneární rovnce * f (, a ) x 0 (34) vzhledem k proměnné. Pokud nelze tuto úlohu řešt analtck používá se celé řad postupů. Poměrně účnná je teratvní metoda Newtonova vžadující znalost první dervace funkce f().. Problémem je určení odpovídajícího rozptlu pokud je f() nelneární. Nazákladě Talorova rozvoje kalbrační funkce lze nalézt přblžný odhad rozptlu D( * )vetvaru f(, ) D ( ) æ è ç a ö + ø ( Dx ( ) Df ( (, a)) ) Občejně je rozptl sgnálu totožný s rozptlem chb jeho měření σ x (vz. rov. ()).Pro rozptl predkce kalbrační funkce f(,a) vmístě * přblžně platí Df ((, a)) d D() a d d ( J J) d (35) T T T σ (36) Zde d je vektor prvních dervací kalbrační funkce s prvk d j f (, a) a j a J je Jakobán tj. matce prvních dervací kalbrační funkce ve všech bodech. Pro slně nelneární model je rov. (34) velm aproxmatvní a volí se jné postup (Bootstrap nebo odhad založené na věrohodnostnímpoměru [7] (37)

10 Pro případ malých rezduí (to je u většn kalbračních modelů splněno) a málo nelneárních modelů se konstruují nterval spolehlvost odhadované cílové velčn * na základě předpokladu její normalt. Pro přblžný 95%-ní nterval spolehlvost jsou dolní L resp. horní U meze ve tvaru L 96. D( ) resp. U D( ) Přesnější odhad lze nalézt v prác []. Tam jsou také uveden odhad rozptlu predkce * pro případ nverzní kalbrace (odpovídá odhadu rozptlu predkce u nelneárních regresních modelů). 4. REGRESNÍ SPLINE Pro nelneární kalbrac se často používá emprckých modelů. Jako dostatečně flexblní se uvažují zejména polnomcké model. Jejch výhodou je, že jde o lneární regresní model, takže lze snadno odhadnout jejch parametr. Inverzníúloha vede na řešení polnomcké rovnce, což je pro nízké stupně polnomu možno realzovat analtck.nevýhodou polnomů zejména všších stupňů je jejch tendence osclovat mmo expermentální bod. Navíc je předem defnován počet extrémů a nflexních bodů, což je pro neasocatvní fzkální model nepřjatelné. Odstranění těchto problémů př zachování jednoduchost manpulace a odhadu parametrů zajšťují tzv. lokální funkce (polnom). Kalbrační model je zde tvořen soustavou lokálních funkcí (polnomů) spojtých v celém defnčním ntervalu v zadaném počtu dervací. Pro tto model je třeba kromě expermentálních bodů defnovat také posloupnost tzv. uzlových bodů t j j,...k. Uzlové bod tvoří hrance ntervalů, kde jsou jednotlvé lokální funkce defnované.v každém ntervalu I j ohrančeném uzlt j-,t j je kalbrační model vjádřen jako g j (x). Kvaltu kalbrace zde závsí na počtu a polohách jednotlvých uzlových bodů t j, tvaru funkcí g j (x) a třídě C m,dokterékalbrační model g(x) patří. Uveďme, že funkce g(x) ze tříd C m je spojtá vprvních m dervacích. Specálnímtpemlokální funkce jsou lokální polnom jsou regresní splne. Splne S m+ (x) jsou funkce tříd C m,kteréjsou defnován jako lokální polnom maxmálního stupně (m+). Vlastnost splne funkcí jsou defnován v prác []. Pro účel kalbrace vhovují dobře kvadratcké splne S (x), které jsou spojté ahladké (tj. spojté vprvní dervac). Splne S (x) je možno jednoduše defnovat pomocí uřezaných polnomů Platí, že ( ) S( x) b + bx+ b3x+ x t j ( x) ( x) x pro x B 0 pro x 0 å k (38) j + Pro známé hodnot t j přestavuje S (x) lneární regresní model vzhledem k parametrům b. Jestlže platí adtvní model měření a chb jsou vzájemně nezávslé náhodné velčn skonstantním rozptlem lze odhadnout parametr b j j,...k+3 pomocí metod lneárních nejmenších čtverců.

11 S ohledem na specální tvar kubckého splne vjádřeného přes useknuté polnom lze převést úlohu lneárních nejmenších čtverců na řešení soustav lneárních (normálních) rovnc []. Z numerckého hledska je tato soustava rovnc špatně podmíněná, a proto je vhodné použít specálních algortmů (např. SVD).Kezlepšení numercké stablt je vhodné provést lneární transformac x-ové souřadnce do ntervalu [, ]. Flexbltu regresních splne zajšťuje především vhodná selekce uzlových bodů t.vprogramu KALIBRACE sstému ADSTAT jsou k dspozc tř alternatv: a) konstantní délka ntervalu mez uzlovým bod, b) poloh uzlů takové, že vkaždém ntervalu I j je stejnýpočet dat, c) užvatelem volené poloh a počet uzlových bodů Příklad vlvu různé stratege výběru uzlových bodů na výsledek splne kalbrace je na obr.3 a obr.4. Obr 3. Kvadratcká splne regrese (varanta a) - dva uzl)

12 Obr 4. Kvadratcká splne regrese (varanta b) - třbod) 5. KALIBRAČNÍ PŘÍMKA Kalbrační model ve tvaru přímk patří mez často používané v praktckých aplkacích. Lze použít jak klascké C tak nverzní I kalbrace resp. celé řad modfkací. Jetedtřeba zvolt vhodná krtéra pro výběr tpu kalbrace resp. porovnání jejch vhodnost. Problémem je, že exstujecelá řada přístupů kvýběru tpu kalbrace, které vedou k různým tpům závěrů. Vtéto kaptole je učněn pokus o porovnání různých tpů kalbrace s ohledem na praktcké použtí. Výchozí data je n- tce bodů (,x ),..., n Pro výpočt v obou fázích tvorb kalbračních modelů postačuje znalost průměrů, rozptlů akovarance n x,, s, sx, C( x, ) å( )( x x) n Vdalším jsouukázán jak postup odhadu cílové hodnot, tak způsob porovnání jednotlvých tpů kalbrace C - kalbrace Vchází sezpředpokladu platnost modelu měření x x x x a + a +, N( 0, σ ) (39) 0 Pro MNČ odhad kalbračního modelu platí

13 Cx (, ) x x + ( ) s Odhad směrnce a úseku lze vjádřt ve tvaru a C( x, ) / s, x a a 0 Odhad nverzní funkce a predkce cílové velčn pro velkost sgnálu x jsou ve tvaru /, a x a a s 0 ce + Cx (, ) ( x x ) Odhad cl je vchýlený, protože obecně Ex ( a 0 ) E ( cl ) Ea ( ) cl Na druhou stranu jde o maxmálně věrohodný odhad., pro který lze jednoduše sestavt nterval spolehlvost (vz []). Tento nterval je konečný jen pokud platí, že a je dostatečně velké. Nazákladě předpokladu, že chb x jsou dostatečně malé bl odvozen asmptotcké aproxmace pro vchýlení Bastřední kvadratckou chbu MSE klasckého odhadu cl (vz. [9]) (40) I - kalbrace: Tato technka bla navržena Krutchoffem pro případ, že je x determnstcké. Vchází se zpředpokladu platnost modelu měření b + b x+, N( 0, σ ) 0 MNČ odhad kalbrační přímk je přímo predkce n cílové velčn pro velkost sgnálu x n Cx (, ) Cx (, ) ( ), + x x b s s x (4) Na základě předpokladu, že chb jsou dostatečně malé bl odvozen asmptotcké aproxmace pro vchýlení Bastřední kvadratckou chbu MSE nverzního odhadu n (vz. [9]) Uoboumodelů je možné odhadnout příslušný rozptl chb ( σx resp. σ )z rezduálního rozptlu σ c RSC n Exstují práce, které ukazují na přednost klasckého odhadu. Na druhé straně je nverzní odhad Baesovým odhadem a platí pro něj, že x

14 n é ê ë F F+ ( n ) ù ú û cl (4) kde F n å a ( ) σ c Pokud je F dostatečně větší než kvantl F rozdělení F α (,n-) je klascký odhad cl dostatečně přesný. Pokud to neplatí, afjeomálo větší než F α (,n-), je klascký odhad nepřesný alépe je použít nverzní odhad n.pokud je σ c malé (tj.data leží téměř na kalbrační přímce) a F je velké (kalbrační přímka má významnou směrnc) nejsou rozdíl mez oběma tp kalbrace praktck významné. Je ted užtečné porovnat odchlk mez oběma odhad. Snadno lze ukázat, že n C ( x, ) R s s cl x Z tohoto výrazu je patrné, že: pokud je R rovno jedné, jsou oba odhad stejné, (43) protože musí platt, že R je menší nebo rovno jedné, je nverzní odhad vžd blíže kprůměru než odhad klascký Vprác [8] bl odvozen vztah pro určení pravděpodobnost, že R se bude lšt od jedné o malou předepsanou hodnotu q. Tato pravděpodobnost P q je vjádřena vztahem P P( F < ( n )( q)/ q) q N Zde F N označuje necentrální Frozdělen s a n - stupn volnost a parametrem necentralt s a / σ.přvolbě P q 0:05 a q % platí, že oba odhad se praktck nelší, pokud A s a 5 n σ Př praktckých výpočtech je možno jednotlvé parametr nahradt jejch odhad. Přesnější postup je popsánvprác [8]. Je zajímavé, že asmptotcké vchýlen nversního odhadu je (n - 3) krát všší než asmptotcké vchýlen klasckého odhadu. Pro extrémně malé výběr < n 8 než odhad cl. (44) je z hledska MSE odhad n vžd lepší Porovnání C a I kalbrace S vužtím rov (43) je možno vjádřt vztah mez oběma odhad ve tvaru

15 n cl Z této nerovnost plne, že: a) n je blíže k centru než ce, b) pro σ c 0 je n ce, c)i-kalbracelépe vsthuje chování dat v oblast centra ( x, ) a C - kalbrace na krajích, S ohledem na mnmální střední kvadratckou chbu MSE E ( ) je I - kalbrace lepší v ntervalu s + σ / a, + s + σ / a x x než C - kalbrace. Př praktckých výpočtech se opět nahrazují parametr a a σ x odhada a σ c určeným podle výše uvedených vztahů. Kombnovaná kalbrace Vužívá se vhodné vážené kombnace cl a n resp..jeden z prvních kombnovaných odhadů se snaží posunout klascký odhad cl směrem k těžšt p c cl + ( c) Dá se ukázat, že exstujehodnotac,prokteroujetentoodhadlepší než odhad cl.vprác [9] je navržen jný kombnovaný odhad Přvolbě v ( v) op cl + v n n vjde asmptotck nevchýlen odhad s malýmmse.jevžd lepší než klascký odhad cl a také lepší než nverzní odhad n pokud jsou skutečné hodnot vzdálené od průměru. V okolí průměru jsou nejlepší nverzní odhad n. O - kalbrace Pro známý poměr rozptlů P C /σ x lze určt predkc cílové velčn pro velkost sgnálu xpřímo ze vztahu [ ] s Psx 0 Θ+ s ( C( x, )) Θ + P ( x x), Θ Cx (, )

16 Podrobnost o této kalbrac a konstrukc ntervalů spolehlvost pro cílovou velčnu lze nalézt vprác []. Příklad K lustrac bl použt jednoduchý příklad z práce [3]. Data jsou uvedena v tab. Tabulka Data pro lneární kalbrac Základní statstcké nformace jsou x číslo Target Measurement měření x 5 4 6,5 3 4,5 6, , ,5 7 6, , ,75 0, ,5 9,5 0,5 3 0,5 x 8, 6346 s 7, 37 6,4808 s 70, 308 C(x, ) 66,84 C - kalbrace Použtím lneární MNČ všlo x k0+ k+ x, x , ce x Korelační koefcent všel 0,905 a rezduální rozptl σ c 0, Bl vpočten také kalbrační lmt (vz. []): Mez detekce: 5.78 Mez krtcká:.859 Mez stanovení: 0.30 Na obr. 5 je znázorněna kalbrační přímka spolu s 95 % ntervalem spolehlvost.

17 Obr. 5 C-kalbrační přímka I - kalbrace Použtím lneární MNČ všlo n x Bl vpočten kalbrační lmt (vz. []): Mez detekce: 4.53 Mez krtcká:.54 Mez stanovení: 3.53 Na obr. 6 je znázorněna kalbrační přímka spolu s 95 % ntervalem spolehlvost. Obr. 6 I-kalbrační přímka

18 Z rov. (43) bl určen parametr R 0,864 a z rov (44) parametr A 5,375. Klascký odhad se ted významně nelší od nverzního. Interval, ve kterém je n lepší než cl zhledskamsevšel 5473., Lze ted shrnout, že n je sce lepší než cl v šrokém ntervalu, ale rozdíl mez oběma odhad je praktck nevýznamný. 6. ZÁVĚR Jak je patrné zvýše uvedeného záleží proměnných a jejch varabltě. Proměnná x(m): občejně dost přesně stanovená (elektrcká velčna, absorbance), x zahrnují předevšímneuvažované proměnné (teplota,...) σ x...může být nekonstatní Proměnná (T): určená zexterních nformací (jné přístroje,etalon,...), zahrnuje chb měření, σ...jeobčejně rostoucí funkcí. výběr tpu kalbrace na charakteru Poměr rozptlů Pσ / σ x se může měnt v mezích (0, ).Výběr mezi-nebockalbrací se dá provést buď na základě poměru rozptlů nebo použtím jných krtérí. Také př lneární kalbrac je obecně třeba řešt problémvýběru modelu měření. Poděkování: Tato práce vznkla s podporou grantu MŠMT č. VS LITERATURA [] Meloun M., Mltký J.: Zpracování expermentálních dat, EAST Publshng, Praha 998 [] De Boor C.: A Practcal Gude to Splnes, Sprnger Verlag, New York 998 [3] Martens H. Naes T.: Multvarate Calbraton,, Wle, Chchester, 993 [4] Sngh M., Kanj G. K., El-Bzr K. S.: A note on nverse estmaton n non-lnear models, J. Appl. Statstcs. 9, 473, 99 [5] Cheng Ch.-L., van Ness J. W.: On estmatng lnear relatonshp when both varables are subjecttoerrors, J. R. Stat. Soc., 56, 67-83, 994 [6] Mltký J.: Non-lnear calbraton n practce,proc. Frst Mansoura Engneerng Conference, Mansoura, March 995 [7] Huet S. a kol.: Statstcal tools for nonlnear regresson, Sprnger New York 996 [8] Chow S., Shao J.: On the dfference between classcal and nverse methods of calbraton, J. Ro. Stat. Soc. C39, 9, 990 [9] Srvastava V. K., Sngh N.:Small dsturbance asmptotc theor for lnear calbraton Technometrcs 3, 373, 989

19 Název souboru: kalbra Adresář: E:\Pom Šablona: D:\Program Fles\Mcrosoft Offce\Sablon\Normal.dot Název: KALIBRACE Předmět: Autor: Mltk Klíčová slova: Komentáře: Datum vtvoření: :39 Číslo revze: Poslední uložení: :39 Uložl: Mlan Meloun Celková doba úprav: mnuta Poslední tsk: :43 Jako poslední úplný tsk Počet stránek: 8 Počet slov: 4 8 (přblžně) Počet znaků: (přblžně)