Z-TRANSFORMACE. TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Hálkova 6, Liberec 1, CZ. Teorie automatického řízení II. Katedra řídicí techniky

Transkript

1 Čílcové říí Příloh EHNIKÁ UNIVERIA V LIBERI Hálov 6, 46 7 Lbrc, Fult mchtro moborových žýrých tudí or utomtcého říí II -RANSFORMAE Studí mtrál oc Ig Ovld Modrlá, Sc Ktdr řídcí tch oc Ig Ovld Modrlá, Sc 45

2 Čílcové říí Příloh Obh -trformc ětá -trformc 3 -trformc ouutým očátm 5 Ltrtur 9 oc Ig Ovld Modrlá, Sc 45

3 Čílcové říí Příloh -RANSFORMAE Llcov trformc výmým mtmtcým rátm ř řší lárích úloh oblt oté utomtcé rgulc Umožňu lýu otých rgulčích obvodů ávrh otmálích rmtrů tu PI rtcí otých roců v důldu váděí čílcových rvů do říí rgulc rot vým -trformc Jí mtmtcý rát dodušu řší lárích dfrčích rovc umožňu oovt dmcé dě drtových roců v tovém tvru, trého možo výhodou vužít ř ávrhu lgortmu říí odl clé řd rtérí ot říí -trformc vcháí Llcov trformc olouot čově ouutých rcových mulů, chž dotová loch modulová fučím hodotm fuc () Př vorováí (drtc) oté fuc (t) v omžcích t, ro vá olouot číl { } { } {,,K},, bo rcových mulů v tvru řd () t ( ) ( t ) * δ, d rod vorováí, (δ (t ) ) olouot čově ouutých rcových mulů Llcův obr této řd omlxí fuc () t ( ) * vdím ové omlxí roměé, íám dfčí vth -trformc { ( )} ( ) (P ) -obr {()} fuc omlxí roměé (dl dfc) bo o úrvě roměé Obrm olouot { } v -trformc ývám fuc omlxí roměé ( ) { } (P ) rétí hodot fuc () bo olouot { } ývám řdmětm (orgálm), fuc () obrm mbol trformc Vět o xtc obru oc Ig Ovld Modrlá, Sc 45

4 Čílcové říí Příloh -obr drétích hodot fuc () bo olouot { } xtu thd thd, tlž xtuí ldé očé ott M, Φ tové, ž ro všch ltí ( ) MΦ, MΦ (P ) Podmíu () ro < můžm též vádřt oučm ()η(t) d η(t) drétí dotová oová fuc, ro trou ltí ro η ( ) ro < Poám N rodíl od Llcov trformc, ro íž xtc ou formulová ou odmí otčuící, řdtvu v -trformc odmí (P-) odmíu utou otčuící Fuc č olouot lňuící odmíu (P-) ývám fucm č olouotm xocálího řádu Obr () ltcá fuc ro > R () ltcá v bodě řd (P-) ovrgu bolutě toměrě možě omlxích číl > R Čílo R ývá oloměr ovrgc Koc oám Poám l dfčího vthu (P-, P-) -obr omlxí fuc roměé ováí fucí omlxě roměé vš v důldu áorých xotů řílš dlouhvé rcé, řčmž l tto obr ( roměou ) otuí ř lý té řdu výhod Proto, b dodušl á, vádí rovotí q (P 3) formálí ová omlxí roměá q fčí vth (P-) můž být vádř ( q) ( ) q (P 4) Ndá v žádém řídě o ovou trformc, l ou o formálí vdí omlxí roměé q vthm (P-3) Všch -obr možo formálě t omocí roměé q Koc oám Příld P Určt -obr olouot { } {,,, } (drétí dotová fuc η()) Řší 3 K Komlxí fuc () tvoří oučt gomtrcé řd voctm q, tlž <, oc Ig Ovld Modrlá, Sc 3 45

5 Čílcové říí Příloh (P 5) Poloměr ovrgc R Koc říldu Příld P Určt -obr drétí fuc () η() Řší () ( / ) Řd ( / ) očý ltí gomtrcá řd voctm ( ) Jtlž < oučt η( ) (P 6) Poloměr ovrgc R Koc říldu áldí rvdl vltot -trformc o o Llcově trformc t o -trformc ltí řd vět obcé ovh, tré ám udňuí rtcé oužtí tohoto rátu, b ěhož b řší ětrých tchcých úloh lý té drétích řídících témů blo odttě ložtěší (řší dfrčích rovc, určováí vdrtcého rtér ot rgulc td) Uvdm d (b důu) ouhr vltotí v formě vět t, b blo možo brotřdě vužít ř řší robírých říldů Vět o lrtě Nchť { ()} (); { ()} () c, c ou ott Potom ltí { c ( ) c ( )} c c (P 7) Větu l rošířt ýolv očt čítců Vět o ouutí v orgál Pou vrvo v obr P : Nchť {()} (), () ro < oc Ig Ovld Modrlá, Sc 4 45

6 Čílcové říí Příloh Budž m clé čílo Potom ltí m { ( m )} { ( m ) ( m )} Pou vlvo v obr P : η (P 8) m m v { ( m )} ( v ) (P 9) v 3 Vět o ubttuc v obr (Vět o tlumí) Nchť {()} () Potom drétí fuc () () má obr () (/ ) rvdl íšm Obdobě ltí { ( ) η ( )} ( / ) { ( ) ( )} ( ) (P ) η / (P ) 4 Vět o drvc obru Nchť {()} () Potom drétí fuc () ()()η() má obr d rvdl íšm d d η (P ) d { ( ) ( )} Jím vícáobým oužtím možo ít obr drétí fuc () () ()η() ř ro ltí oc Ig Ovld Modrlá, Sc 5 45

7 Čílcové říí Příloh d d {( ) ( ) η( )} ( ) d d (P 3) 5 Vět o obru dfrc ) dořdá dfrc Nchť {()} () chť dořdou dfrc () dfum rovotí () () () Jím -áobým oužtím l ít -tou dfrc v tvru Potom ltí [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) { ( )} { ( ) ( )} ( ), (P 4) { ( )} ( ) { [ ]} ( ) ( ) { ( )} ( ) ( ), (P 5) ro () () b) ětá dfrc Nchť {()} () chť ětá dfrc () dfová rovotí () () [( )] Jím -áobým oužtím l ít -tou dfrc [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) -obr ětých dfrcí ou [ ] { ( )} { ( )} { [ ( ) ]} { ( )} ( ) (P 6) { [ ]} (P 7) ro (/) (-) oc Ig Ovld Modrlá, Sc 6 45

8 Čílcové říí Příloh η Příld P 3 Určt -obr druhé (dořd) dfr fu Řší { ( )} ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Koc říldu 6 Vět o obru ovoluc, { ( )} ( ) ( )( ) Nchť g() drétí váhová fuc xtu {g()} G(), {u()} U() Potom drétí fuc ; ( ) u( ) g( ) g( ) u( ) má obr () ltí ( ) g( ) g( ) u( ) G U 7 Vět o obru olouot čátčých oučtů Nchť {()} (), olouot čátčých oučtů [( ) ] ( ), (P 8), ro,, 3, (P 9) má -obr ltí ( ) (P ) Pro -obr úlého oučtu včtě drétí hodot () ltí { ( )} ( ) 8 Vět o oučtu fučích hodot (P ) Nchť {()} () ro všch > (oloměr ovrgc R ) chť ( ) < (řd ( ) ovrgu), xtu lm ltí oc Ig Ovld Modrlá, Sc 7 45

9 Čílcové říí Příloh ( ), rálá lm (P ) 9 Vět o obru ouču Nchť { ()} (), { ()} () oloměrm ovrgc o řdě R >, R > Potom drétí fuc () () má obr () ltí π { ( )} { ( ) ( )} ( ξ ) dξ (P 3) ξ ξ Itgru o ružc dé ξ ρ ϕ, R < ρ <, > mx(r, R ), < ϕ < π Poám 3 Itgrál (P-3) vočítá omocí rduové vět Pltí dξ { ( )} ( ξ ) r ( ξ ) π ξ ξ ξ ξ ξ r ( ξ ), (P 4) ( / ξ ) ξ ξ d ξ ou olové gulárí bod (ól) fuc (ξ) (/ξ) ou olové gulárí bod (ól) fuc (/ξ) Přomňm ětré áldí vět o rduích ch výočtu Vět o výočtu rdu v -áobém ólu Nchť bod -áobým ólm fuc () P ltí d r lm [( ) ] ( ), ro! d r ( ) lm! d d Vět o výočtu rdu ouču fucí Nchť fuc F() ltcá v bodě chť fuc G() má v bodě doduchý ól P r F G F rg [ ] 3 Vět o výočtu rdu odílu fucí Nchť G(), F() ou ltcé fuc v bodě Nchť dál G( ), F( ), F ( ) (t doduchým ulovým bodm fuc F() P ltí G G( ) d r F, d F ( ) F F ( ) d Koc oám 3 Příld P 4 Určt -obr drétí fuc () () () () omocí vět o -obru ouču -obr fuc () () určím tbul ou rov oc Ig Ovld Modrlá, Sc 8 45

10 Čílcové říí Příloh {( )}, { } ( ) -obr ouču dvou fucí rov { ( )} π ξ ξ ( ξ ) / ξ / ξ dξ ξ Hodotu tgrálu určím odl rduové vět o ouču dvou fucí ( vužtím vět o výočtu rdu v -áobém ólu) Pro ξ ξ ltí { ( )} r Koc říldu ( ξ ) / ξ / ξ d lm ξ dξ / ξ ξ ( ξ ) ξ / ξ Přvědčt o rávot výldu t, ž oužt větu o tlumí (P ) Vět o obru ouču vádřá vorc (P 3), (P 4) cháí též ultěí ř té lgortmu říí Umožňu vádřt hodotu vdrtcého rtér ot říí áldě -obru rgulčí odchl č výtuí vlč K doduší úloh té řívá též vdí omu lárího ouču v M, d M vtorový rotor rcoálích fucí (obrů) Přdoládm, ž ( ) ( ) < (P 5) ž xtu obr { ()} (), { ()} () P možo vužít vět o oučtu fučích hodot ltí π rálé π dq q q ( ) ( ) lm { ( ) ( )} lm ( q) ( q) dq, q q d ldě ortová dotová ružc; (q), (/q) ou rcoálí lomé fuc omlxí roměé q Slárí ouč v M dfová výrm, π dq q q ( q) ( ) ( ) (P 6) oc Ig Ovld Modrlá, Sc 9 45

11 Čílcové říí Příloh Příld P 5 Určt oučt řd 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 K Součt řd xtu ro < -obr () () ou (), ( ) Podl (P 6) ltí π ( ) ( ) ( q) dq q q π q ( q ) / q / q dq q Itgrál určím omocí rduové vět [Vbrm-l ól (/q) ] ltí ( ) ( ) r ( q) ( / q) { / q} ( ) r ( / q) / q ( / q ) { } lm ro < / q / q Koc říldu Budž řomuto, ž tgrál (P 6) xtu, dž í lě odmí (P 5), l ltí, ž rov oučtu oučů drétích hodot Vět o oučtu dvomoc drétích hodot Nchť () drétí fuc chť lňu odmíu (P-5), íž obr {()} () () - () - () Očím-l, d ruhm čím družý olom, ltí K d ( ), π d orm fuc (), (P 7) [ ] Příld P 6 Určt ( ) ( ) -obr fuc () bl vočt v Př P-4 rov () Podl vět o ( ) oučtu dvomoc drétích hodot ltí d / ( ) d π π ( ) ( / ) Itgrál vočtm omocí rduové vět ( ) Pltí oc Ig Ovld Modrlá, Sc 45

12 Čílcové říí Příloh r ( ) ( / ) d lm d ( ) ( ) lm d d Koc říldu lm ( ) 3 ( ) ( ) 3 Vět o drvc obru odl rálého rmtru ( )( / ) Nchť fuc (t, ) má -tou otou rcálí drvc odl rmtru ro ždé,b ro ždé xtu obr (, ) ro t Potom Obcě ltí (, ) ( t, ) (P 8) (, ) ( t, ) Vět o očátčí hodotě Nchť {()} () Potom ltí lm ( ) lm 3 Vět o očé hodotě (P 9) (P 3) Nchť {()} () oloměrm ovrgc R chť xtu očá lmt lm, otom ltí lm ( ) lm ( ) rálé (P 3) PĚNÁ -RANSFORMAE ětou -trformcí roumím úlohu lét dému -obru (fuc () omlxí roměé ) řdmět drétí fuc () bo olouot t, b {() () bo { } () Podmí xtc ěté trformc í dfčí vth možo formulovt do álduící vět oc Ig Ovld Modrlá, Sc 45

13 Čílcové říí Příloh 3 Vět o ěté -trformc Fuc omlxí roměé () obrm té drétí fuc č olouot thd thd, -l ltcá v bodě Přdmět, hož obrm, otom urč dočě tvoří ho olouot ofctů Lurtov rovo ltcé fuc () v oolí bodu rétí hodot řdmětu určím omocí rduové vět výru π ( ) d r (P 3) d : ρ ϕ, ϕ π, ρ > R Součtm rduí rvé trě roumí oučt rduí v všch (olových) gulárích bodch, tré fuc - F() má Příld P 7 Určt dfc ěté -trformc řdmět obru ( ) Řší -obr () má d -áobý ól Podl vět o ěté trformc ltí ( ) d d r lm π! d ( ) d lm! d [ ] ( ) ( ) Potuě dotm ro ) ; η(), d ) ; lm ( ) ( )! d! η, d 3) 3; ( ) ( ) lm ( )! d!! η 4) Pro obcé > ltí d ( )( ) K( ) lm ( )! d 3K( ) Koc říldu η ( ) Poám 4 Pro výhoděší oužít vět o očátčí hodotě vorc (P-3) Kofct Lurtov rovo v oolí bodu možo tovt drvováím ltí! lm d d ( F ) (P 33) Koc oám 4 Jtlž obr () rcoálí lomá fuc, řdmět (), možo určt oc Ig Ovld Modrlá, Sc 45

14 Čílcové říí Příloh oc Ig Ovld Modrlá, Sc 3 45 ) mtodou roldu rcálí lom ) rovom olomálího lomu (očým dělím), 3) rurtí formulí Prcovým lgortmm ) ětá trformc mtodou roldu rcálí lom áldí mšl tohoto otuu určí ěté trformc, odobě o u Llcov trformc, očívá v tom, ž rcoálě lomou fuc () o doduché úrvě roložím oučt rcálích lomů to ž do řvdm do řdmětu Pro oř rálé růé oř rálé áobé o áobot v rovdm rold rcálí lom (r rcoálí lomé fuc) () / v tvru v B A Rcoálí lomou fuc () můžm vádřt o oučt v tvru v B A Pro t, odovídí dotlvým dílčím člům, tré ou -obr lmtárích fucí v b, řdmět A A A A t η η / ˆ, (P 34) / ˆ / B t B B B t η, (P 35) ro,,, v Korodc (P 6), (P 34, 35) ltí též ro omlxí oř Přdmět odovídící dvoc doduchých omlxě družých ořů ± β ω možo vádřt v tvru b ω coω ˆ, (P 36) d b, b, β, rctg β ω bo v tvru ϕ ω co ˆ, (P 37)

15 Čílcové říí Příloh oc Ig Ovld Modrlá, Sc 4 45 d b rctg ϕ, b Pro oř omlxě družý áobot v ltí buď orodc v tvru ˆ v [ ] [ ] co ˆ b v η ω ω (P 38) bo [ ] co ˆ v v η ϕ ω (P 39) Poám 5 O ltot dtt (P 38, 39) čtář můž řvědčt ám, tím ž do vorců (P 34, 35) dodí dvoc omlxích ořů výld vhodě urví ětou -trformcí roldm rcálí lom íám řdmět v ltcém vádří (v tvru uvřého fučího výru) Koc oám 5 Rovo olomálího lomu (očé dělí) to ůob vždu lot ólů fuc (), íám vš ltcé vádří fuc () Vcháí dfc -trformc v (P ) ro trou ltí K Rovm-l -obr () v Lurtovu řdu třdm v, ofct Lurtov řdu ou rov drétím hodotám fuc () Rovo rcoálí lomé fuc b b b A B m m K K, m v Lurtovu řdu dotm dělí olomu v čttl olomm v movtl Vádřím-l obr () v tvru () K K K 3 3 m m β β β β váobím-l lvou rvou tru olomm ( - - ) orováím ofctů u tých moc dotm

16 Čílcové říí Příloh β ( ) β,, β ( β ), ( ) β ( ) ( β () ) ( ) ( ) K ( ) β ( ) β ( ) ( ) ( ), ro (P 4), ro > (P 4) 3 Rurtí formul Prcův lgortmu Prcův lgortmu vcháí utčot, ž () rcoálě lomá fuc, trou možo ovžovt obr váhové fuc -obr váhové fuc totožý drétím řom td možo uvdých řdoldů oložt ( - ) G( - ) P možo formálě t dfrčí rovc íám rurtí formul tvru ( ) ( ) ( ) b u( v ) K b u( v m ) K m, (P 4) d u( ) ro u( ) ro, v,, v m, ro (-) (-) možo dl (P-4) otuě vočítt všch hodot () ž () ro dé 3 -RANSFORMAE S POSUNUÝM POČÁKEM (modfová -trformc) Nchť (t) otá omlxí fuc rálé roměé xocálího řádu, lňuící odmíu (t) ro t < Nchť rod vorováí, ro lbovolý čový omž uvtř trvlu vorováí t ( ε) d ε, dfová - trformc ouutým očátm rovotí { ( )} (, ε ) [ ( ε ) ] ε (P 43) Poám 6 Smbolu {%} r (, ε) bud též vužíváo ro důrěí -trformc oté fuc uvtř trvlu vorováí mbolů {%} r () očí -trformc olouotí číl bo rcových mulů dfovým vhm Koc oám 6 oc Ig Ovld Modrlá, Sc 5 45

17 Čílcové říí Příloh ětá trformc ε -, t lí řdmětu [( ε)] obru (, ε) rovádí tým otu o ř určováí řdmětu, () obru () Příld P 8 Určt -obr oté fuc (t) t η(t) v obr P-8 rodou vorováí (η(t) dotový o ho oučm fucí t formálě šťu lěí odmí (t) ro t < ) Řší t (, ) η( t) ε ( ε ) ε { } ( / ) ε to řd ovrgu má očý oučt, -l lě odmí / < Pltí t ε { () t } ε η (P 44) Koc říldu Vltot -trformc ouutým očátm áldí vltotí -trformc uvdé v P můžm ště rošířt o dlší Vět o obru drvc Nchť (t) fuc xocálího řádu chť má otou -trou drvc odl t J-l rod vorováí, ltí () t ( ε ) d, ε η() t dt ε Vět o obcém ouutí vrvo (P 45) Nchť ε {(t)} (, ε) chť obcé ouutí vrvo o τ možo vádřt v tvru τ ( m ξ ), d m clé, ξ (, rod vorováí P ltí ε { ( t τ ) η( t τ )} ( m) (, ε ξ ) ro ε < ξ m (, ε ξ ) ro ε ξ (P 46) oc Ig Ovld Modrlá, Sc 6 45

18 Čílcové říí Příloh 3 Vět o obru tgrálu Nchť ε {(t)} (, ε) chť xtu tgrál ( τ ) ltí t ε t ( τ ) dτ (, ε ) dε (, ε ) ε dε 4 Vět o římé trformc Llcov obru v -obr dτ J-lt rod vorováí, Nchť () ltcá fuc mící očý očt ólů,,, 3,, Nchť () lňu odmíu lm () rod vorováí P ltí c ε { L [ () ]} d r () ε π c (P 47) Vět o římé trformc možo oužít ro fuc ouuté o τ Nchť τ ( m ξ ), d m clé, ξ, P ltí τ m { () } r () ( ε ξ ) τ m { () } r () ( ε ξ ), ε < ξ (P 48), ε ξ (P 48b) oc Ig Ovld Modrlá, Sc 7 45

19 Čílcové říí Příloh SLOVNÍK -RANSFORMAE tm δ ( t m )!! 3 3! 4 η, t <, t t m ε t ε ( ε ) 3 t ε ( 3ε 3ε ) ( 6ε 6) t! ε,, 3, lm -t ε ; obcé omlxí čílo t -t ε ε! ( ) 3! ( ) t -t ε ( ε ) ε t -t ε ( t ) ε ( ) ω ω ω ω ( ) ω ( ) ω 3 ωt ωε ω ( ε ) coω co ωt coωε coω( ε ) coω t ωt ε ωε ω( ε ) ε coω t coωt ε coωε coω ε ε coω t / t / obc omlx čílo ( ) ;,, 3, ε t /,, 3, ε ( ) oc Ig Ovld Modrlá, Sc 8 45

20 Čílcové říí Příloh Ltrtur [] Píro, : Llcov trformc SNL/ALFA Prh/Brtlv, 97 [] Föllgr, O: Lr Abtttm, Auflg, Oldbourg Vrlg, 98 [3] Ubhu, H: Rglugtch II utdrglug, dgtl ud chtlr Rgltm 6 Auflg, Vwg ud Soh, Bruchwg/Wbd, 993 [4] Ogt, K: crt-tm otrol Stm Prtc-Hll, Eglwood lff, 987 oc Ig Ovld Modrlá, Sc 9 45