Nosné stavební konstrukce Výpoet reakcí Výpoet vnitních sil pímého nosníku

Transkript

1 Stvení sttik.roník kláského studi osná stvení konstruke osné stvení konstruke ýpoet rekí ýpoet vnitníh sil pímého nosníku osná stvení konstruke slouží k penosu ztížení ojektu do horninového msívu n nmž je ojekt zložen. usí mít dosttenou únosnost dlouhodoou použitelnost (líže pedmt Pružnost plstiit). Skládá se z horní konstruke ze zákldové konstruke Reálné ztížení nosnýh stveníh konstrukí Prut (geometriký popis vnjší vzy nehynost silové ztížení složky rekí) ýpoet vnitníh sil pímého vodorovného nosníku Ktedr stvení mehniky Fkult stvení ŠB - Tehniká univerzit Ostrv Kongresové entrum Brno Tídní nosnýh konstrukí podle geometrikého tvru Konstruke je oen složen z konstrukníh prvk:. Prutový konstrukní prvek (prut) délk je výrzn vtší než dv píné rozmry idelize dokonle tuhourou (pímá neo zkivená) Ztížení nosné konstruke Rozdlení ztížení: ) silové - vnjší síly momenty ) deformní - oteplení sedání poddolování. Plošný konstrukní prvek tloušk je výrzn menší než zývjíí dv rozmry idelize rovinným neo prostorov zkiveným orzem. Dlí se n stny (ztížení ve vlstní rovin) desky (ztížení kolmo k rovin) skoepiny (zkivený plošný prvek). 3. sivní trojrozmrný konstrukní prvek osnou konstruki mže tvoit jediný konstrukní prvek zprvidl je tvoen nkolik konstrukními prvky soustv konstrukníh prvk. osná konstruke z lepeného lmelového dev soustv prutovýh prvk desky Lhti Finsko foto: Ing. Antonín Lokj Ph.D. 3 ) sttiké - velikost smr umístní sil se vse nemní np. ztížení oytnýh udov ) dynmiké - vyvoláno ryhlou zmnou velikosti polohy neo smru sil vede k rozkmitání konstruke np. ztížení most jedouími vozidly ) deterministiké - vlstnosti jednoznn vymezeny normou np. mrné tíhy stviv ) stohstiké (prvdpodonostní pístup) velikost ztížení není pedepsáno jednou hodnotou nýrž prvdpodonostní funkí 4

2 Prut - geometriký popis prutu idelize Pohyové možnosti volnýh hmotnýh ojekt h d l y z F l F F Prut rovinn neo prostorov lomený. Sttiké shém sttiký model nosné konstruke F R x R z F d h x Zákldní pojmy: Rovin soumrnosti prutu ídííár os prutu (pímý prut) stednie (pímý i zkivený prut) Prez prutu Tžišt prezu l R z Stupe volnosti n v : možnost vykont jednu složku posunu v ose soudného systému neo pootoení. volný hmotný od v rovin: n v (posun v oeném smru rozložen do kolmýh smr osy soudného systému) volný tuhý prut (desk) v rovin: n v 3 (posun ve dvou osáh pootoení) volný hmotný od v prostoru: n v 3 (posun rozložen do tí os) tuhé tleso v prostoru: n v 6 ( oený posun pootoení) z γ m[x m z m ] z x x 5 6 Píkldy jednoduhýh vze tuhého prutu v rovin njší vzy odeírjí ojektu stupn volnosti. n násoná vz ruší ojektu n stup volnosti. Zjištní nehynosti prutu K pevnému podepení ojektu je pote tolik vze v y zrušily všehny stupn volnosti n v. ázev vzy ásonost vzy Oznení vzy reke Kyvný prut Posuvná klouová podpor R z R z neo R z v n v v < n v Podepení ojektu je kinemtiky urité zjištn nehynost ojektu použitelná jko stvení konstruke. Podepení ojektu je kinemtiky neurité nehynost ojektu není zjištn jko stvení konstruke nepípustná (nedosttený poet vze). Pevná klouová podpor Posuvné vetknutí Dokonlé vetknutí 3 R x R z R z neo R x R z v > n v Podepení ojektu je kinemtiky peurité nehynost ojektu zjištn použitelná jko stvení konstruke (vtší poet vze než je nezytn nutné). zy musí ýt vhodn uspoádány y skuten zjišovly nehynost ojektu nesmí se jednt o tzv. výjimkový pípd kinemtiky urité neo peurité konstruke. R x R z 7 8

3 Stupe sttiké neuritosti nosníku v rovin Kinemtiky i sttiky uritá konstruke v. 3. v v e... poet vnjšíh vze nosníku... poet jednonásonýh vze... poet dvojnásonýh vze 3... poet trojnásonýh vze n v v 3 n v sttiky i kinemtiky uritá soustv 3 n v... poet stup volnosti nosníku v rovin v n v v 3 n v 3 Prostý nosník: Podepení ojektu je kinemtiky urité Prut je sttiky uritý (3 složky rekí 3 podmínky rovnováhy) R x R z R z v 3 n v 3 s n v < v sttiky neuritá kinemtiky peuritá soustv n v > v sttiky peuritá kinemtiky neuritá soustv Stupe sttiké neuritosti s v - n v Konzol: R x y R z v 3 n v 3 s 9 Kinemtiky peuritá sttiky neuritá konstruke Kinemtiky neuritá konstruke v > n v kinemtiky peurité sttiky neurité podepení v < n v kinemtiky neurité podepení Stupe sttiké neuritosti: s v - n v R x R z R z R x v 4 n v 3 s R z R z R x y y R x v 6 n v 3 s 3 Ojekt v rovnováze jen z uritého ztížení e stvení prxi nepoužitelné. R z R z

4 ýjimkové pípdy podepení Idelizovné silové ztížení prut zy musí ýt vhodn uspoádány nesmí vzniknout výjimkové pípdy podepení které jsou ve stvení prxi nepoužitelné. Bodová síl v [k] [] () Bodový moment v [km] [m] ) kroutíí ) ohýjíí R x R x () ejstji vzniká pi peložení exentriké síly do psoišt n ose prutu (or.6..) R z () () () R z R z R z Bodová ztížení Or. 6.. / str. 8 Bodové momenty Or. 6.. / str Liniová ztížení Sttiky uritá konstruke Silové liniové ztížení - píné v [k/m] [/m] Píkldy: tíh zdné píky psoíí n stropní nosník nhodilé ztížení stropu [k/m ] soustedné n nosník formou srného pásu v n v Prut je sttiky uritý (v rovin: v 3 n v 3) 3 neznámé složky rekí lze vypoítt ze 3 podmínek rovnováhy. R x R z R z Píkld píného silového liniového ztížení nosníku Or. 6.. / str. 8 5 R x y R z 6

5 oené rovinné soustvy sil Soustv je v rovnováze tehdy pokud souet všeh sil v ose x z souet všeh moment k liovolnému momentovému stedu s je roven. 3 podmínky rovnováhy ) silové momentová:. P. P 3. i i x i z s ) prktikýh plikíh jesto výhodnjší sestvit momentové podmínky k momentovým stedm : i.. Tyto pomínky se doplní tetí podmínkou - silovou: P i x 3. pokud je v ose x pouze jedn neznámá složk reke 3. P pokud je v ose z pouze jedn i z neznámá složk reke 3) Užívné jsou tké 3 momentové podmínky ke tem liovolným momentovým stedm které nesmí ležet v jedné píme.. 3. i i i i 7 oené rovinné soustvy sil píkld : R x Pix i i s s s 3 R z R P P R s s l s 3 R R z P iz i i P P R z R x l R x 8 oené rovinné soustvy sil oené rovinné soustvy sil píkld : R x píkld : R x R x R x Pix P Pix P i i R z P P R z l i i R z P P R z s P s P s s s s s 3 R R s 3 R P iz i i R z R x s s s 3 R R s 3 R P iz i i R z R x 9

6 oené rovinné soustvy sil Píkld : PROSTÝ OSÍK píkld : R x Pix i i s s s 3 R z R P P R s s s 3 R R z P iz i i P P R z R x R x R z F i x F i z P l/ l/ Snh odhdnout smr rekí i i R x R z R z Silová ve smru ve kterém psoí pouze jedn složk reke omentová k jednomu podporovému odu omentová k druhému podporovému odu Kontrol: Silová ve smru ve kterém psoí o složky rekí P R x R z Zdné hodnoty: l6m P6k Po doszení: R x k R z P/ 3k ( ) skut.sm. R z P/ 3k ( ) skut.sm. Píkld : PROSTÝ OSÍK Píkld 3: PROSTÝ OSÍK superpozie pedešlýh úloh l R x Snh odhdnout smr rekí km P6k 3 3 R z R z R zp 3k R zp 3k F i x i F i z i Kontrol: Zdné hodnoty: l 6m km Po doszení: R x k R z /l k ( ) skut.smr R z /l k ( ) skut.smr 3 R z k R z k km P6k 3 3 R zel k R zel 5k 4

7 Píkld 4: PROSTÝ OSÍK Píkld 5: PROSTÝ OSÍK km P6k 3 3 R z R x R z R x R z P z P 7 k P Rz P P sin γ x P P osγ z P z F i x F i z i i Kontrol: Rx k Rz 5k ( ) skut.smr Rz k ( ) skut.smr 5 F i x : i i F i z : : Kontrol: : R x - -.P z 6.R z R x 66 k ( ) skut. smr R z 67 k ( ) skut. smr 4.P z - 6.R z R z 333k ( ) skut. smr - R z - R z P z 66 k P z 35 k 6 Píkld 6: PROSTÝ OSÍK Píkld 7: PROSTÝ OSÍK náhrdní emeno Q 3.7 k q 3k/m náhrdní emeno Q k q 4k/m R x R x R z 3 7 R z R z R z F i x i i F i z : : : Kontrol: : R x - Q.65 R z. R z 365 k ( ) Q.35 R z. R z 735 k ( ) - R z - R z Q 7 F i x i i : : : Kontrol: F i z : R x - Q.6 R z.9 R z k ( ) Q.3 R z.9 R z 6 k ( ) F iz : - R z - R z Q 8

8 Píkld 8: OSÍK S PEISLÝ KOCE Píkld 8: OSÍK S PEISLÝ KOCE R x 5 5 q 4 k/m Q 8 náhrdní emeno: Q 4. 4 k R x 4 náhrdní emen: q 4 k/m Q Q Q k 8 Q k R z R z R z R z F i x i i : : : Kontrol: R x - Q.5 R z.8 R z 5 k ( ) - R z.8 Q.3 R z 9 k ( ) F i x i i : : : Kontrol: R x R z. 8 Q. 4 Q. 9 R z 5 k ( ) - R z. 8 Q. 4 Q. R z 9 k ( ) F i z : - R z - R z Q 9 F i z : - R z - R z Q Q 3 Píkld 9: KOZOLA Píkld : KOZOLA P z 45 P z 636k Q k q k/m R x P 9k R x R z R z F i x F i z i i : : Kontrol: : : R x - R x 636k ( ) - R z P z R z 636k ( ) P z.5 38km ( ) R z. 5 3 F i x F i z i i : : : Kontrol: : R x k - R z Q R z k ( ) - Q.6 7 km ( ) - R z. 9 Q.3 3

9 Píkld : OSÍK S PEISLÝI KOCI q 4 k/m nitní síly Prut v rovin 3 volnosti 3km R x P 6k Podepení - 3 vzy oderány 3 volnosti sttiky uritá úloh F i x i i 3 3 P 4k R z R z : : : Kontrol: R x P R x 4 k ( ) skut. smr - R z. 6 Q. Q. 45 P.7 R z 85 k ( ) - - R z. 6 Q. 4 Q. 5 P. R z 55 k ( ) njší ztížení reke musí ýt v rovnováze 3 podmínky rovnováhy z nih 3 neznámé reke njší ztížení reke se nzývjí vnjší síly Uvnit nosníku psoením vnjšíh sil vznikjí vnitní síly Oenou výslednii vnitníh sil rozkládáme n ti složky v ose x - normálová síl v ose z - posouvjíí síl ohyový moment F i z : - R z - R z Q Q P ýpoet nosníku v osové úloze Psoí-li ztížení pouze v ose nosníku. Jedn vnjší vz v ose x z podmínky rovnováhy: F R ix x : R R () () x R R x R Složk vnitníh sil v ose nosníku normálová síl. () (d) ýpoet reke normálové síly v osové úloze Or. 7.. / str ormálová síl ormálová síl v liovolném prezu x nosníku je rovn lgerikému soutu všeh vnjšíh sil psoííh v ose nosníku zlev neo zprv od x. Kldná normálová síl vyvozuje v prezu x th psoí z prezu. opném pípd je normálová síl záporná vyvozuje tlk. njší síly R x R x os nosníku - th F F tlk 36

10 Píkld síly ýpoet nosníku v píné úloze R x 8k F F 6 F 3 Ztížení síly v ose z momentové ztížení. píné úloze dv druhy vnitníh sil: posouvjíí síl ohyový moment. F 8 Zdání: sestrojit prh normálovýh sil F F 3 6 R x k P R x l/ l/ Prh normálovýh sil po elé déle se znázoruje grfiky formou digrmu (grfu). kldné normálové síly se vynášejí nhoru záporné dol R z R z ešení píkldu 4. Or / str Posouvjíí síl Píkld síly Posouvjíí síl v liovolném prezu x nosníku je rovn lgerikému soutu všeh vnjšíh sil psoííh kolmo k ose nosníku zlev neo zprv od x. Kldná posouvjíí síl poítán zlev smuje nhoru. opném pípd je záporná. Kldná posouvjíí síl poítán zprv smuje dol. opném pípd je záporná. njší síly R F os nosníku - R 39 F k F 4k F 3 k d e 4 R z 34 R z 8 F k F 4k F 3 k d e 4 R z 34 R z 8 Doplte hodnoty sil znménk: s podpormi ez podpor jen síly kldné posouvjíí síly se vynášejí nhoru záporné dol 4

11 Ohyový moment Ohyový moment v liovolném prezu x nosníku je roven lgerikému soutu všeh sttikýh moment od všeh vnjšíh sil zlev neo zprv od x. Kldný ohyový moment poítný zlev otáí po smru hodu hodinovýh ruiek. opném pípd je záporný. Kldný ohyový moment poítný zprv otáí proti smru hodu hodinovýh ruiek. opném pípd je záporný. Kldným ohyovým momentem jsou dolní vlákn tžen horní tlen (nosník je prohýán smrem dol). U záporného ohyového momentu je to nopk. R R tlk th th tlk os nosníku F R - F R 4 Píkld ohyové momenty F k F 4k F 3 k d e 4 R z 34 R z 8 F k F 4k F 3 k d e 4 R z 34 R z s podpormi ez podpor jen síly ohyové momenty se vynášejí n strnu tženýh vláken u nosníku nhoru záporné dol kldné hodnoty 4 Smr psoení vnitníh sil Shwedlerovy vzthy - Difereniální podmínk rovnováhy elementu v osové úloze Kldné smry vnitníh sil: n x x x d z Záporné smry vnitníh sil: - x ýslednie všeh sil psoííh n element musí ýt nulová: R x : - (d) n. d n 43 44

12 x Shwedlerovy vzthy Difereniální podmínky rovnováhy elementu v píné úloze ýslednie všeh sil psoííh n element musí ýt nulové: d x x x z m dq q. q d R z : - (d) q. Σ ix : d q - (d). q../ m. pro m: d m d 45 Závry ze Shwedlerovýh vzth extrémní hodnoty vnitníh sil Závry: d q pro m: d Shwedlerovy vzthy Johnn Wilhelm Shwedler (83-894) význmný nmeký inženýr Extrém funke f(x): ( x) df Extrém posouvjííh sil je v prezu kde q Extrém ohyovýh moment je v prezu kde neo mní znménko d d d. n. q 3. d q d Derivn integrní shém pro m: -q 46 Shrnutí - urení extrémníh hodnot vnitníh sil Souvislost mezi spojitým píným ztížením prhy vnitníh sil Extrém mže vzniknout: ) v podporovýh odeh ) v psoištíh osmlýh sil (znménko se mní skokem) ) pod spojitým ztížením v míst kde je d Extrém v prezu kde neo mní znménko n neezpený (kritiký) prez Závry: d q d d -q q º º n - n - º º mx mx 47 Souvislost mezi spojitým píným ztížením prhy vnitníh sil Or / str. 3 48

13 R x R z 735 Prvidl která je nutno dodržet piešení vnitníh sil x n L n q 3 k/m x n P R z (94) mx 35 km ýpoet rekí dodržet všehn prvidl: 3 podmínky rovnováhy kontrolní zetelné znení skuteného smru n d nitní síly - vykreslit shém pro všehny 3 vnitní síly (i nulové) - kldné nd osu n strnu tženýh vláken - vlevo od kždého shémtu oznit o kterou vnitní sílu se jedná. Znení v kroužku np. - v kždém orzi zetelné znménko vnitní síly - orze u šrfovt kolmo n osu nosníku neo poneht prázdné - znení stup polynom - znení odu kde se mní stupe polynom (od ) - všehny potené hodnoty vnitníh sil do orázku: v míst zmny ztížení (od ) minimáln hodnot v poli pod spojitým ztížením (od d) extrémní moment - oznit okótovt místo neezpeného prezu - u stí potené hodnoty v orázku nejsou nutné rovnie výpotu - výpoet polohy neezpeného prezu - nutná rovnie - výpoet moment pro všehny hodnoty nutné rovnie 49 píkld normálové síly P z 35 k P 7 k 6 R x 66k 66 k 4 R z 333k 6 R x R z 67k hodnoty kreslit nd osu zlev: - R x - R x zprv: - 5 píkld posouvjíí síly píkld ohyové momenty P z 35 k P 7 k R x 66k 6 R z 333k 66 k 4 6 P z 35 k hodnoty kreslit nd osu R z 67k zlev: R z R z - P z R x R z P z 35 k P 7 k 6 l 66 k l oh.momenty vynášet n strnu tženýh vláken (dole znménko) R z zlev: x R z. x R z. l x R z. x - P z. (x - l ) R z. l - P z. l R z R z - 67 zprv: - R z - R z P z 5 R z P z 35 k 4667 ( R z. l R z. l ) R z zprv: x R z. x R z. l x R z. x - P z. (x - l ) R z. l - P z. l 5

14 38km R x 636k píkld zdání 5 R z 636k x 45 (x) P - P z. x L P 9k (x) L R z. x P - x L ešení 38km 45 P 9k R x 636k P z 636 R z 636k x P píkld 3 zlev: - úsek x - Rz. x - Rz. 6 - Rz. 6 - úsek x - Rz. x - Rz. l zprv: - úsek x Rz. x Rz. 3 Rz. 3 - úsek x Rz. x - Rz. l - x L (zlev) R z 333k 3km - R z. x x P (zprv) R z 333k -333 v od poítt hodnotu momentu krát!!! momentový skok54 Okruhy prolém k ústníásti zkoušky Ztížení nosnýh stveníh konstrukí Zjištní nehynosti prutu kinemtiká sttiká uritost neuritost peuritost stupe sttiké neuritosti Typy podpor složky rekí ve vnjšíh vzáh ýjimkové pípdy kinemtiky uritého podepení prut ýpoet vnitníh sil pímého vodorovného nosníku Difereniální podmínky rovnováhy elementu pímého nosníku Shwedlerovy vzthy využití Urení extrémníh hodnot vnitníh sil 55