3.2.4 Tekutinové dynamo

Transkript

1 Vybrané jevy 151 1/2 1/2 1/2 2 2 K 2 0 K K K K 2 2 0L 20L 2 2 0L R a pro relaivní změnu heliciy plaí řádový odhad K K R 1/2 (394) Pro rychlé děje (Δ τ R ) je změna heliciy K zanedbaelná Například sluneční koronální erupce s dobou rekonekce ~ s, leárními rozměry L ~ km a koeficienem magneické difúze M ~ 10 6 km 2 s 1 dají charakerisický rezisivní čas R ~ s a relaivní změnu heliciy ΔK/K < 10 5 Opačná siuace je v plazmau okamaku Rezisivní čas je v řádu jednoek sekund a doba udržení v desíkách sekund Změna heliciy je zde podsaná 324 Tekuové dynamo Velmi důležiou čási magneohydrodynamiky je problemaika generování magneických polí v niru Slunce a plane Současná eorie ekuového dynama nedokáže vysvěli vznik ěcho polí, ale úspěšně popisuje jejich udržování, zesilování a překlápění mezi dipólovou a azimuální složkou Cowlgův ani dynamo eorém Anglický asronom Thomas George Cowlg ( ) ukázal v roce 1934, že sacionární osově symerické magneické pole nemůže vznika osově symerickým prouděním plazmau Předsavme si jednoduché osově symerické pole podle obrázku Obr 55: Ani dynamo eorém Elekrický proud generující pole eče v proudové rubici podél neurální lie, kde je roace pole nenulová a samoné pole nulové Na obrázku je neurální lie vyznačena čárkovaně Inegrujme proudovou husou podél éo neurální lie s využiím Ohmova zákona (37): j dl EuBdl

2 152 Magneohydrodynamika Magneické pole je podél neurální lie nulové, a proo je nulový i druhý člen egrace První člen převedeme na plošný egrál ze Sokesovy věy a upravíme ho pomocí Maxwellových rovnic Ze sacionariy plyne poé i nulovos prvního členu: B j dl ro E ds ds 0 S Dosali jsme se ak do sporu s předpokladem, že sacionární osově symerické pole bylo generováno nenulovým proudem ekoucím podél neurální lie Generování magneického pole je složiější záležiosí, dochází k přelévání mezi dipólovou a azimuální složkou Parkerův model ekuového dynama Současnou eorii ekuového dynama v roujícím ělese rozpracoval americký asrofyzik Eugene Parker (1927) K eorii dynama ovšem přispěla i řada dalších fyziků, například významný sověský eoreik Yakov Borisovich Zeldovich ( ) nebo skoský asrofyzik Henry Keih Moffa (1935) Pokud ěleso rouje s diferenciální roací, jsou původně dipólové magneické dukční čáry vyahovány v mísech rychlejší roace (u Slunce v okolí rovníku) v azimuálním směru Tím dochází k naahování magneické dukční čáry, j zvěšování její délky Tomuo jevu říkáme omega efek (podle písmene omega, kerým se zpravidla značí úhlová frekvence roujícího ělesa, ale i podle varu vychlípené dukční čáry) Při omega efeku se mění dipólová složka v azimuální složku U Slunce k omuo jevu dochází nejvýrazněji v blízkosi zv achovrsvy, což je oblas přechodu mezi radiačním a konvekivním přenosem energie Nachází se přibližně 2200 km pod slunečním povrchem Navuí magneické dukční čáry kolem dokola Slunce rvá přibližně 8 měsíců U Země dochází k obdobnému jevu ve vodivém plasickém prosředí na hranici jádra a plášě S Obr 56: Sluneční dynamo Druhým významným jevem je alfa efek Dochází při něm k vychýlení magneické rubice vlivem Coriolisovy síly, k její následné deformaci a překlopení do dipólové složky Jev je nazván podle varu vychlípené dukční čáry, kerá připomíná písmeno alfa řecké abecedy Tyo jevy umožňují vzájemnou ransformaci obou složek pole a udr-

3 Vybrané jevy 153 žování pole ekuovým dynamem Vždy je jedna složka posupně zesilována na úkor druhé a poé naopak Magneický dipól generovaný ímo mechanizmem se proo pravidelně překlápí Například pro Slunce rvá celý cyklus (doba, za kerou je severní pól zpě na svém mísě) 22 le V období překlápění dipólu má pole výrazné vyšší momeny (kvadrupólový a okupólový), pole připomíná vlasaou kouli, na jejímž povrchu se sřídá více oblasí vysupujících a vsupujících dukčních čar Při odvození omega a alfa efeku je podsaná jednak diferenciální roace ělesa a jednak flukuace magneického a rychlosního pole Rozložme obě pole na čás sředovanou přes krákodobé flukuace a na flukuační čás: u u u; B B B (395) Sřední hodnoy flukuačních čásí jsou zjevně nulové: u 0; B 0 (396) Dosaďme nyní rozklad (395) do rovnice pro magneické pole (313): B B 1 2 ro B B u u B B (397) Sředováním éo rovnice zmizí členy leární ve flukuacích a získáme ak rovnici pro sřední hodnou magneického pole: B 1 2 B ro ro u B u B (398) Odečeme-li nyní od (397) rovnici pro sřední hodnoy (398), získáme rovnici pro flukuace magneického pole: 1 2 B B ro u B u B u B u B (399) Chceme-li zjisi časovou změnu magneického pole, musíme naléz řešení rovnice (398), do keré dosadíme řešení flukuací magneického pole z rovnice (399) Sřední hodnoa rychlosního pole je zpravidla dána dynamikou sysému (například oáčením Slunce), flukuace rychlosního pole je možné hleda z rovnice pro rychlosní pole (350) nebo jsou známy experimenálně (například z měřených urbulencí slunečního plazmau) První člen na pravé sraně rovnice (398) pro časový vývoj magneického pole popisuje sandardní difúzi pole, druhý člen je zodpovědný za Ω efek a řeí za α efek, kerýž má původ ve flukuacích rychlosního a magneického pole Omega efek Pro Ω efek je podsaný druhý člen rovnice (398): B ro u B (3100)

4 154 Magneohydrodynamika Sřední hodnoa magneického pole je zamrznuá do sřední hodnoy rychlosního pole, j magneické pole sleduje pohyby plazmau Pokud ěleso rouje konsanní úhlovou rychlosí, var dipólového pole se nemění Například Slunce ale rouje diferenciální roací, na rovníku je úhlová rychlos o řeu věší než na pólech Výsledkem diferenciální roace je vznik azimuální složky magneického pole Pro úplnos uveďme, že na Slunci je v blízkosi achovrsvy nenulová diferenciální roace i v radiálním směru Obr 57: Omega efek Alfa efek Pro α efek je podsaný řeí člen rovnice (398): B ro ub (3101) Alfa efek zajišťuje ransformaci oroidální složky pole zpě na poloidální Celá režie alfa efeku je čisě ve flukuacích rychlosního a magneického pole Z hlediska saisické fyziky předsavuje výraz ub (3102) ; k klm ul Bm korelační funkci <ab> mezi složkami flukuací rychlosi a magneického pole Pokud by byl výraz nulový, neexisovala by žádná korelace mezi rychlosním a magneickým polem, o ale není případ námi popisované vodivé ekuy Pokud jsou flukuace rychlosního pole helikální, sane se ve vodivém plazmau auomaicky helikálním i magneické pole, u kerého se objeví složka kolmá na původní směr Podsanou podmínkou je vznik rychlosních flukuací, keré mají nenulovou sřední hodnou husoy heliciy: urou u 0 (3103) Veliča ro u je vířivos flukuace rychlosního pole Ke vzniku helikálních flukuací může dojí jen v plazmau s nenulovým odporem (když se helicia nezachovává) Za nenulovou heliciu rychlosních flukuací je zodpovědná Coriolisova síla Na jedné sraně od rovníku vznikají flukuace rychlosního pole s kladnou hodnoou husoy heliciy 0 a na druhé sraně se zápornou hodnoou husoy heliciy 0 Další oblasí je achovrsva na spodní čási konvekivní zóny, kde se obracejí sesupné proudy na vzesupné a helicia urbulenních flukuací je opě nenulová

5 Vybrané jevy 155 Příklad 12: Předsavme si, že se v plazmau vyvoří kruhově polarizovaná vlna šířící se ve směru osy x (lokálně, může jí i o azimuální směr): u 0, u0cos( kx ), u0s( kx ) Výsledkem akové poruchy je nenulová vířivos rou ku Uvažovaná flukuace rychlosního pole je Belramovým polem a má husou heliciy u ku 0 Takový ok okamžiě povede k deformaci magneického pole do helikální srukury Výpoče korelační funkce (3102) může bý velmi komplikovaný, časo se provádí jen numerickým řešením rovnice pro flukuace magneického pole (399) Jak uvidíme v následujícím příkladu, při výpoču korelační funkce se objeví několik členů, z nichž jeden je úměrný sřední hodnoě magneického pole, j 2 B (3104) Právě eno člen je zodpovědný za α efek, kerý je pojmenován podle koeficienu úměrnosi α Dosaďme korelační funkci do rovnice pro α efek (3101): B ro B (3105) Roace sřední hodnoy magneického pole je úměrná proudové husoě, a proo má změna magneického pole složku ve směru ekoucího proudu Magneické pole ak díky flukuacím získává komponenu ve směru proudové husoy a nově vznikající (a posupně sílící) čás pole je nuně helikální (jde o Belramovo pole) Tím se vyváří složka pole kolmá na pole původní Pokud jsou rychlosní flukuace periodické jako v příkladu s kruhově polarizovanou vlnou, mění se periodicky i směr dukovaného proudu a magneické pole vyvoří překroucenou smyčku [9]: Obr 58: Překroucení smyčky Uveďme na závěr, že alfa efek sám posačí k překlápění jak oroidální složky v poloidální, ak i poloidální v oroidální Modelu posavenému jen na α efeku se říká αα model Mnohem účnější mechanizmus, kerý jsme popsali již dříve, je zv Parkerův neboli αω model

6 156 Magneohydrodynamika Příklad 13: Odhadněme korelační funkci pro plazma s vysokou hodnoou Reynoldsova magneického čísla Taková siuace je jak na Slunci, ak ve fúzním plazmau Řešení: V rovnici (399) pro flukuaci magneického pole bude na pravé sraně domova řeí člen, neboť magneické flukuace jsou způsobeny především flukuacemi rychlosního pole První člen je vzhledem k předpokladu vysokého Reynoldsova čísla zanedbaelný, členy s kvadráy flukuací jsou vyššího řádu Proo v našem přiblížení máme pro flukuaci pole B ro u B Bk klm mnol un( ) Bo ( ) d, 0 kde jsme provedli egraci flukuace podle času a rozepsali dvojný vekorový souč V zápisu vynecháváme zjevné prosorové závislosi Nyní upravíme dvojí vekorový souč: Bk n uk( ) Bn ( ) d n un( ) Bk ( ) d V dalším kroku provedeme naznačené derivace souču a budeme předpokláda, že plazma se chová jako neslačielná kapala (divergence obou polí jsou nulové): Bk uk, n( ) Bn ( ) d un( ) Bk, n ( ) d Parciální derivace píšeme ve zkrace za čárku v dexu Nyní již můžeme přisoupi k výpoču korelační funkce (3102), kerá je zodpovědná za α efek: u B i ijk j k ijkuj( ) ukn, ( ) Bn ( ) d ijkuj( ) un( ) Bkn, ( ) d Výsledek lze napsa přehledně ako: i (, ) Bn ( ) d (, ) Bk, n ( ) d ; (, ) ijkuj () uk, n ( ), (, ) ijkuj () un ( ) Lze předpokláda, že korelační koeficieny jsou funkcí časové odlehlosi, j (, ) ( ), (, ) ( ) (3106) (3107)

7 Vybrané jevy 157 a do mulosi rychle konvergují k nule Pomalu se měnící sřední hodnou pole a jeho derivaci lze z egrace (3106) poom vyknou: () () B () () B (); i n k, n () ( ) d, 0 () ( ) d 0 (3108) Flukuace magneického pole je edy v našem přiblížení úměrná sřední hodnoě pole samoného a jeho derivacím Koeficieny úměrnosi jsou dány egrály z flukuací rychlosního pole Pokud budeme pro jednoduchos předpokláda izoropii plazmau (o ale nemusí plai vždy), musí plai, (3109) Za našich zjednodušujících předpokladů edy pro korelační funkci (3102) plaí B J (3110) a skuečně má čás úměrnou sřední hodnoě pole V obecném případě jsou k určení složek pole pořebné numerické simulace výchozích rovnic alfa a omega efeku, keré jsou mimořádně náročné Na následujícím obrázku jsou výsledky akových simulací pro zemské dynamo v superpočíačovém cenru v San Diegu Obr 59: Počíačová simulace ekuového dynama uvniř Země Odsínem jsou odlišeny vsupující a vysupující dukční čáry San Diego Supercompuer Cenrum, 1999 Gary Glazmaier, Paul Robers