Příklady ke cvičením z matematické analýzy- ZS 2008/2009- Série I.

Transkript

1 Příklady ke cvičením z matematické analýzy- ZS 008/009- Série I. Jako slunce zastiňuje hvězdy svým jasem, tak i vzdělaný člověk může zastínit slávu druhých lidí ze společnosti, bude-li předkládat matematické úlohy, a dosáhne ještě víc, bude-lijeřešit. Brahmagupta. Opakování: úpravy algebraických výrazů, rovnice a nerovnice.upravtedanývýrazaurčetepodmínky,zakterýchmádanývýrazsmysl: a) ( y y +y) : ( ) y 0, y 0, ±y; ] y y b) ( + ( ) 4 5) 5 0 Ê; ] c) ]. Řešte v Ê následující rovnice a nerovnice: a) + <0,0 (,0; 0,99)] b) < (0; 3 )] c) 3 =6 { ;7}] d) + =5 {±3}] e) +3+ =+4 { ;}] f) + = 0; ] g)sin = h)3+ <0 { π 6 +kπ,5 π+kπ, k }] 6 0] i) + 0 ( ; ) ;+ )] j) 5 ;5 ] k)+ ln =0 = e ] 3.ŘeštevÊ,resp. Ê 3 následujícísoustavyrovnic: a) 9 + y = y = c) 3 y + z = + y + z = 5 6y z = 9 4. Určete definiční obor funkce: a) f()= 3 4 b) + 3 y = 4 + y = 3 ( ;) (6;+ )]

2 b) f()= ( )(+) c) f()= +5+6 ( ;0 (;+ )] ( ; 3) ( ;+ )] d) f()=ln( 4 ) ( 6;)]. Komplení čísla. Určete reálnou a imaginární část kompleních čísel: a) z= +i i + i +i z= i] b) z= +i 3 i +(i )(4 i) z= 3 +3i] c) z= i + +i + i z= i]. Vypočítejte: 3i a) i b) ( 3 i) Vypočítejte(+i) 6 pomocía)moivreovyvěty b)binomickévěty. 8 i] 4. Převed te komplení číslo na goniometrický tvar: a) z=+ 3i. (cos π 3 + isin π 3 )] b) z= cos 7π+ 4 isin7π] 4 c) z= i 3 +i. ( cos 3π+ 4 isin3 4 π) ] 5.Řeštev rovnici z 3 =+i. 6.Vypočítejtereálnýparametr ctak,abyrovnice 6+c=0mělakomplení kořen, jehož imaginární část je rovna. Určeteobakořenyrovnice. c=3; =3 i, =3+i] 7.Určetevšechnareálnáčísla btak,abyprokompleníčísla z=3 biplatilo z > 0. Tato čísla znázorněte v Gaussově rovině. 8. Která komplení čísla vyhovují rovnici a) z. z+ z=6+i {+i, +i}] b) z 4 = z {0, ±, ±i}] c) z 4z+6=0 { ± i}] d) z iz+6=0? {3i, i}]

3 3. Důkazy.Dokažte,žečíslo n jeiracionálníprokaždépřirozené n.. Dokažte, že prvočísel je nekonečně mnoho. 3. Dokažte, že součet třetích mocnin tří po sobě jdoucích přirozených čísel je dělitelný devíti. 4.Dokažte,žeprovšechnapřirozenáčísla nje n 3 ndělitelnéšesti. 5.Dokažte,žeprovšechnapřirozenáčísla nje n 7 ndělitelnésedmi. 6.Dokažte,žeprokaždépřirozené nječíslo n 4 +3n dělitelnéčtyřmi. 7.Dokažteprovšechnapřirozená n:jestližečíslo n +nenídělitelnétřemi,pakje třemi dělitelné číslo n. 8. Dokažte binomickou větu: (a+b) n = n k=0 ( ) n a k b n k. k 9.Dokažte,žečíslodělíprokaždépřirozené nčíslo4 n+ +5 n. 0.Matematickouindukcídokažte,žeprokaždé n Æplatí a)++ +n= n(n+) b) + + +n = 6 n(n+)(n+) c) n 3 =(++ +n) d) n! < ( ) n+ n,pro n e) (n+)=(n+) f) g) n(n+) = n n (n )(n+) = n n+.dokažte,žepro ϕ Êan Æplatí: (cosϕ+isin ϕ) n =cosnϕ+isin nϕ.

4 . Matematickou indukcí dokažte vzorec pro součet prvních n členů geometrické posloupnostisprvnímčlenem a =akvocientem q.rozlištepřípad q=aq. 3.Uvažujtearitmetickouposloupnost a n+ = a n + d, d Ê.Matematickouindukcí dokažte vzorec pro n-tý člen této posloupnosti. 4. Dokažte, že libovolnou částku peněz větší než 4Kč vyjádřenou v celých korunách lze sestavit jen užitím dvoukorun a pětikorun. 5.Fibonaccihoposloupnost {F n }=,,,3,5,8,3,...jedefinovánarekurentnětakto: F =, F =, F n+ = F n+ + F n pro n Æ. Dokažte,žeplatíidentita n F i = F i+. i= 6. Je dáno n navzájem různoběžných přímek v rovině, z nichž žádné tři neprochází jedním bodem. Na kolik částí rozdělí všechny tyto přímky rovinu? Své tvrzení řádně dokažte! 4. Funkce a jejich vlastnosti. Načrtněte grafy následujících funkcí: a) f ():y= ( ) b) f ():y= ln c) f 3 ():y=( 3) + d) f 4 ():y= + + e) f 5 ():y=sin( π )+ f) f 6():y=cos g) f 7 ():y= + + h) f 8():y=tg(+π) i) f 9 ():y=(+) 3 4 j) f 0 ():y=log (+) 3 k) f ():y= cotg l) f ():y=tg m) f 3 ():y= o) f 5 ():y= sin sin cos cos cos n) f 4 ():y= cotg cotg p) f 6 ():y=sin +sin q) f 7 ():y=lnsin r) f 8 ():y=ln(lnsin )

5 . Rozhodněte, které vlastnosti funkce má a které nemá: je/ není periodická/ sudá/ lichá/ omezená. a) f():y= cos b) f():y=ln( +5) c) f():y=ln( +5) d) f():y= Rozhodněte, které vlastnosti funkce má a které nemá: je/ není rostoucí/ klesající/ nerostoucí/ neklesající. a) y=e + b) y=ln( ) c) y= ( ) +3, (; ). 4. Rozhodněte, které funkce jsou na svém definičním oboru prosté: a) f()= e + ano, Ê] b) f()=+log ano, >0] c) f()=+. ne, Ê] 5. K následujícím funkcím(na příslušném definičním oboru) stanovte inverzní funkci: a) f()= e +, Ê; f ()= ln( ); (; )] b) f()=+log, >0; f ()=0 ; Ê] c) f()=+, 0; f ()= ; ] d) f()= +, 0; f ()= ; ] e) f()=ln( ), D(f); f ()=( e ) ; ( ;ln ] f) f()=ln( 5), D(f); f ()= 5 ( e ); Ê] 6. Rozhodněte, které funkce jsou na svém definičním oboru periodické: a) f()=e cos b) f()=3cos4 c) f()=5+5sin( ) d) f()=cose. a)b)c)periodické] 7. U periodických funkcí z předchozího příkladu tohoto odstavce určete jejich primitivní(nejmenšíkladnou)periodu. a) p=π b) p= π c) p=4π]

6 Příklady ke cvičením z matematické analýzy ZS 008/009 Série II. 5. yklometrické funkce. Určete následující hodnoty: a)arcsin60,arcsin0,arcsin b)arccos π,arccos,arccos c)arctg0,arctg,arctg 3 d)arccotg( ),arccotg0,arccotg( 3).. Nakreslete grafy funkcí: a) arcsin(sin ) b)cos(arccos). 3. Určete definiční obor a obor hodnot funkcí: Látce rozumíte bezpečně teprve tehdy, kdyžjsteschopnýjivysvětlitvlastníbabičce. A. Einstein a) f():y=arccos( ) D(f)= 0;4, H(f)= 0;π ] b) f():y=arccos +5 D(f)= ;, H(f)= 5;5+π ] c) f():y=arctg D(f)=R\{0}, H(f)=( π ; π )\{0}] d) f():y=ln(arctg( )) D(f)=( ; ), H(f)=( ;ln π )] e) f():y=arcsin(ln ) D(f)= e ; e, H(f)= π ; π ] f) f():y=arctg. D(f)= 0;), H(f)= π 4 ; π )] 4. K daným funkcím najděte funkci inverzní: a) f():y=arccos( ) f ()=cos +, D(f )= 0;π ] b) f():y=arccos +5 f ()neeistuje, f()neníprostá] c) f():y=arctg f ()=cotg, D(f )=( π ; π )\{0}] d) f():y=ln(arctg( )) f ()= ( tge ), D(f )=( ;ln π )] e) f():y=arcsin(ln ) f ()=e sin, D(f )= π ; π ] f) f():y=arctg. f ()=( cotg ), D(f )= π 4 ; π )]

7 5. Ověřte platnost následujících identit: a) 0; arcsin =arccos b) ; arcsin +arccos = π c) R arcsin + =arctg d) ( ;) arctg =arcsin. y Π y Π y arcsin 0 Π y arccos Π 0 y y Π Π Π 0 y arctg y arccotg Π 0

8 Příklady ke cvičením z matematické analýzy ZS 008/009 Série III.. Supremum a infimum Látce rozumíte bezpečně teprve tehdy, kdyžjsteschopnýjivysvětlitvlastníbabičce. A. Einstein.Zjistěte,zdamnožina Mjeomezená(resp.omezenáshoranebozdola)aurčetejejí infimum a supremum. Zjistěte, zda eistuje maimum a minimum dané množiny: a) M= {4} b) M= { 3,9, 3, π,,ln} 3 c) M= 5,5π d) M=( 5,5π) e) M= 5,5π) f) M= Æ g) M=( ; π) h) M= É i) M= Ê j) M= { n ; n Æ} k) M= { ; n Æ} n l) M= {, 3,4 n+,...,,...; n Æ} 3 n m) M= {n m ; n Æ, m Æ} n) M= {n m ; m Æ, n > m}. Vyšetřete eistenci suprema a infima množiny A: a) A={sin, Ê} b) A={, Ê} + c) A={arctg, Ê} d) A={arccos, ; } e) A={arccos, ( ;)} f) A={arccos, 0;)} 3. Vyšetřete eistenci suprema a infima množiny M a podle definice dokažte, že jde skutečně o infimum/ supremum: a) M= { n n+ sup M=, inf M=] 3 b) M= { n+3, n Æ} n+ sup M=, inf M=] c) M= { ( )n, n Æ}. sup n M=, inf M= ] 4. Uved te příklad množiny, která má supremum, ale nemá maimum. 5. Uved te příklad množiny, která má infimum, ale nemá minimum.. Limita posloupnosti n+. Dokažte podle definice, že lim =. n n. Dokažte, že 0 a < a= lim n an = a > neeistuje a ( ).

9 00n 3. Vypočtěte limitu lim n n Ověřte, že 5. Vypočtěte limity: 000 a) lim n n c) lim n 3 n n+ lim n nm =0 Limitaposl.vevlastnímboděnemásmysl!] pro m É lim n nm =+ pro m É +. b) lim n d) lim n 000n 000 n + 3 n sin(n!) n+ ( ) n +3 n e) lim a)0 b)0 c)0 d)0 e) n ( ) n+ +3 ] n Vypočtěte limity: a) lim n (n 3 n +n ) n 3 n c) lim n n 3 + e) lim n ( n 5 +3n n 5 3n + b) lim n (n 4 n 3 n 5 +4) d) lim n n + n 3 n 3 ) f) lim n 3n n+ 5n a)+ b) c) d)0 e)4 f)+ ] 7. Vypočtěte limity: ( a) lim ) n n n + n+ + n c) lim n + + +n n e) lim n (n 3) 0 (3n+) 30 (n+) 50 ( ++ +n b) lim n ) n n+ d) lim n n 3 n 4 f) lim n n 3 +6n n 7n+7 8. Vypočtěte limity: a) lim n ( ) n! n c) lim n n a) b) c)+ d) e) ( ) 30 3 f)+ ] 4 n b) lim n n n 3 4 n d) lim n 5 n 9. Dokažte pomocí věty o limitě vybrané posloupnosti, že lim n sin nneeistuje.

10 0. Vypočtěte limity: n+ n+ n a) n lim n+ n + n c) lim n n e) lim n ( n+ n) b) lim n n+ 3 n+ 4 n n+ d) lim( n(n+a) n), a Ê n f) lim n ( ) n n( n+ n). Důležité příklady limit: a) b) c)0 d) a e)0 f)neeistuje] lim n lim n lim n lim n lim n n k an=0 a >, k Æ; a n n! =0 log a n =0 a >0, k Æ; n n k a= a >0; n n!=+.. Dokažte, že lim n n n=. 3. Vypočtěte limity: a) lim n k= n k(k+) 4. Vypočtěte limity: návod:aplikacevěty odvoupolicajtech ] n b) lim n k= n + k. a) lim n n A n + B n + n, A, B, >0 b) lim n sgn(n 3 000n +) n c) lim n ln n+n 3 + n +en +5 n log n+n 4 +5 n + n 3 4 n d) lim n (n+)!+(n+)! (n+)! (n+)! 5. Vypočtěte limity: (n+)(n +) (n m +) a) lim n (mn) m +] m+ b) lim n ln(n+) ln n

11 c) lim n (sin(ln(n+)) sin(ln n)) d) lim n ln(+e 3n ) ln(3+e 3n ) 6. Vypočtěte limity: a) m m (m+) b)0 c)0 d)] a) lim n ln(+ n+ 3 n) ln(+ 3 n+ 4 n) c) lim n 3n 3 cos(n) n 3 + b) lim n n4 +3n n 3 n3 + n d) lim n (n +)sinn 3n 3 7. Vypočtěte limity: ( a) lim + ) 8n+7 n n b) lim( n 5 3 sin n cosn) n n ( 3 c) lim n 3 + n 3 ) n 3 3n3 + n n k d) lim n n, Ê k= 8. Najděte limitu posloupnosti zadané rekurentně: a) a =, a = +,...,a n+ = +a n b) a >0, a n+ = (a n + ) an c) a =, a n+ = +a n. 9. Vypočtěte limity: ( p a) lim a 0 +0,85 ) kn, k Æ, a 0 >0 n 00 n { n n b) lim 365+ n cosnr 4 cosnr + 00 cosnr n}, R=90, N

12 Příklady ke cvičením z matematické analýzy ZS 008/009 Série IV. Bez příkladů, pouček a cvičení seničemuneučí,ledanesprávně. Jan Ámos Komenský. Limita funkce V následujících úlohách vypočtěte limity:. a) lim 9+ 5 c) lim 8 3. a) lim b) lim n n 3. a) lim 0 (+)(+)(+3) c) lim 0 (+m) n (+n) m e) lim m n ( m g) lim n ) m n b) lim ( d) lim ( 3 + ) ). 4 a) 3 b)0 c) 5 d) 3 8 ] a) 49 4 b) n (n+)] b) lim 0 (+)(+)...(+n) d) lim ( ) 0 ( 3 +6) 0 n+ (n+)+n f) lim ( ) h) lim ( 3 ) + a)6 b),f) n mn (n+) c) (n m) d) ( ) 0 3 e) m g) (m n) h) ] n 4 4. a) lim b) lim ( + ) ( c) lim ) d) lim ( ) ( e) lim 3 ++ f) lim ) g) lim 0 + h) lim 0 n +

13 a+ a i) lim a + a j) lim 0 ( ) a) 3 3 b), c) 3 d) 4 e) 4 f) g) h) n i) a j)0] 5. lim 0 m + n + α α= m n α < 0 α > m > n..., m < n a) lim 0 m +a n +b b) lim cos 7. a) lim 0 tg c) lim 0 cos b) lim π tg tga d) lim a a a) a m b n b) 3 ] a)neeistuje b) π c) d)+tg a] 8. a) lim + sin c) lim π sin n sin m a)neeistuje b)0 c) ± n m b) lim (sin + sin ) + d) lim a sin sina a (vzávislostinaparitě n, m) d) cos a sin a ] 9. a) lim 0 cos 3 cos sin c) lim 0 coscoscos3 cos a) b) c)4 d)0] ln(+3 ) 0. a) lim ln(+ ) c) lim a log a log a a b) lim 0 cos cos d) lim 0 + cos cos b) lim 0 + ln(cosa) ln(cos b) d) lim ( )log a)0 b) a b c) alog a. a) lim + c) lim 0 sgn d) log] b) lim arctg(ln ) + d) lim arccotg

14 ( e) lim ) + f) lim e arctg + g) limln h) lim ( ) 0 tg a)+ b) π c) d) π e) f)0 g)+ h) ]. a) lim arccotg(e ) c) lim 0 + arctg(sin ) b) lim + arccotg(e ) d) lim + arcsin a) π b)0 c)+ d) π ] ( 3. a) lim b) lim(sin ) ) tg π ( ) ( ) +tg sin +a c) lim d) lim 0 +sin a a)e b) c) d)e a ] ( ) π 4. a) lim arcsin + + arcsin c) lim 0 ln(+) arctg b) lim π ( d) lim arctg π ) a) b) c) d) ] log α 5. a) lim, α, β >0 b) lim + β + c) lim 0+ α log β, α, β >0 d) lim + e +ln e) lim ln(e 3 +e 3 ) a)0 b)0 c)0 d) e) e 3 ] α eβ, α, β >0 ln(+e ) 6. a) lim c) lim + e) lim 0 arccotg(e sin ) + b) lim 0 ln( ) ( ) sin d) lim 0 cos +tg + f) limsin ln 0 ++ a) 5 b)neeistuje c)4 d) e) π f)0]

15 sin 7. a) lim 0 sin ( c) lim 5 a)0 b)e c)e d)e] ln(a+) ln a 8. a) lim 0 c) lim 0 log log0 log 0 ( ) 3 b) lim 3+ ) d) lim 0 + (+), a >0 b) lim + a) a b)+ c) d)neeistuje] 9. a) lim sin c) lim π π e) lim g) lim ln ( ) + + ( 9 +( ) e + arctg d) lim 0 cos b) lim + ln ( arctge ) d) lim ( ) ( + f) lim + ) a)0 b) c) d) e) f) 3 g) 3 ] ( ) + + ) 0. a) lim 9+ ( ) arcsin c) lim π+arccotg a) 9 b) 5 c) d)3]. a) lim 0 esin cos c) lim π 6 sin +sin sin 3sin + b) lim log( +) log( 0 + +) 3 + d) lim sin(+) b) lim 0 cos cos3 a) b)4 c) 3]

16 Příklady ke cvičením z matematické analýzy pro učitele ZS008/009 SérieV.. Derivace funkce jedné reálné proměnné. Vypočtěte následující derivace: a) f (π), f()= +cos b) f (0), f()=tg(sin ) c) f (), f()=ln(+ + ) d) f (), f()=0 e) f ( 3), f()= +3 f) f ln (), f()=e g) f (), f()=(arctg) h) f (), f()=.. Ve kterých bodech mají křivky o rovnicích Matematika nám neslúži len na poznávanie prírody, alejetiežmohutnýmnástrojomnajejovládnutie. Štefan Schwarz y= 3 ay=3 4+ rovnoběžnétečny? (, ),(,0)] 3. Dokažte, že funkce f()=arctg +arcsin + jepro (0; )konstantníaurčetehodnotutétokonstanty. 4. Dokažte, že funkce f()=arcsin 4+ arcsin(8 ) je konstantní. Určete hodnotu této konstanty a definiční obor funkce f. 5. Vypočtěte derivace následujících funkcí ve všech bodech definičního oboru: a) f()=arcsin arcsin( ) b) f()=3 3 3 ( ) c) f()=+ arccos d) f()= +.

17 . L Hospitalovo pravidlo Vypočtěte limity:. a) lim b) lim π arctg ln(+ ) lnsin a c) lim, a, b >0 0 + lnsin b a) ln4 ln5 b) c) d)0] d) lim ln 0 +. a) lim( e )cotg 0 ( c) lim π cotg π ) cos ( b) lim 0 ) e d) lim +sin sin a) b) c) d),alel Hnelzepoužít] 3. a) lim (sin π) ln c) lim e a) b)e c)0 d) ] ( 4. a) lim cotg ) 0 c) lim 0 + b) lim (sin ) ln 0 + d) lim 0 cos sin ( ) b) lim 0 π arctg d) lim 0 cosh cos a)0 b) c) d)] 5. a) lim 0 e e sin c) lim { α ln + } a) b) c)e α d)] ( b) lim 0 + ) d) lim 0 tg sin 6. lim 0 ln(+) sin ]

18 Příklady ke cvičením z matematické analýzy pro informatiky ZS 009/00- Série VIII. To,costojízasdělení,sevejdedodvoutřířádků. Zbytekjsouvysvětlivkyknejasnýmformulacím.. Průběh funkce Při vyšetřování průběhu funkce postupujte podle těchto kroků:. definiční obor;. průsečíky grafu s osami souřadnými; 3. spojitost v bodech definičního oboru; sudost, lichost; 4. limity v krajních bodech definičního oboru a v bodech nespojitosti, pokud eistují; 5.asymptotyv av,vertikálníasymptoty; 6. eistence a hodnota oboustranné derivace, resp. jednostranných derivací; 7. maimální intervaly, na nichž je funkce monotónní; 8. etrémy a lokální etrémy; 9. maimální intervaly, na nichž je funkce konkávní, resp. konvení, inflení body; 0. nakreslete graf funkce a určete obor hodnot. Vyšetřete průběhy následujících funkcí: a) f()= +4 b) f()= c) f()=e d) f()= ln e) f()= ln f) f()= ln g) f()=e h) f()= e i) f()=arctg(ln ) j) f()= arctg k) f()= + + m) f()= + l) f()= + n) f()= e

19 Příklady ke cvičením z matematické analýzy ZS 008/009- Série VII.. Taylorova věta. Taylorův polynom.najdětetaylorůvpolynomstupně nfunkce f()vokolíbodu 0 : a) f()= e +e, 0=0, n= T ()= +] 4 b) f()=e, 0 =0, n=3 T 3 ()= ] c) f()= +sin, 0 =0, n=3 T 3 ()= ] d) f()= ln + +, 0=0, n= T ()=+ 3 ]. Najděte Taylorův polynom. stupně pro funkci f()= vbodě 0 =3.Vyjádřetezbytekazjehotvaruzjistěte,zdaje f(3,)většínež T (3,). T ()=+ ( 3) ( 8 3), T (3,) < f(3,)] 3. Pro která platí cos schyboumenšínež0,5 0 4? <0,86] 4.Jestliženahradímehodnotue 5 hodnotoutaylorovapolynomupátéhostupně,dopustímesechybymenšínež0 6? ano] 5. Pomocí Taylorova polynomu vypočtěte limity: ( a) lim 0 ) sin b) lim 0 sin 3 c) lim 0 e sin (+) 3 d) lim 0 cos arctg (e e ) 0] ] 6 ] 3 5] 6 6. Najděte Taylorův polynom. stupně pro funkci f()= vokolíbodu 0 =.Vyjádřetezbytekazjehotvarudokažte,zdaplatí f(0,9) > T (0,9). T ()=+ ( )+3( 8 ),neplatí]

20 7. Energie volné částice je v teorii relativity dána vztahem E= mc = m 0c. v c Ukažte,žepro v cpředstavujeveličina T= E m 0 c kinetickouenergiinewtonovské mechaniky.. Etrémy funkce na dané množině. Mezi všemi obdélníky se zadaným obvodem L najděte ten s největším obsahem. čtverecostraně L 4 ]. Do kruhu o poloměru R vepište obdélník s největším obsahem. čtverecostraně R ] 3. Z koule o poloměru r vyřízněte kužel maimálního objemu. poloměrpodstavy 3 r,výška 4 3 r] 4.Naválcovoukonzervusesmíspotřebovat Sdm plechu.jakémámítrozměry,aby měla co největší objem? poloměr podstavy r = S,výškar] 6π 5.Doelipsy4 +9y =36vepišteobdélníkmaimálníhoobsahu.Určetejehorozměry. a=3, b= ] 6.Určeterozměryválcovénádobys(resp.bez)víkatak,abypřiobjemulitryměla nádoba minimální povrch. r= 3 π, v= 3 8 π ;resp. r=v= 3 π ] 7. Určete stranu čtverce, který musíme vystřihnout ve všech rozích obdélníkového papíruorozměrech8cm 5cmtak,abyposloženívzniklakrabičkamaimálního objemu. cm]

21 PříkladykecvičenímzMAproinformatiky LS009/00 SérieI. Vyhýbám se s hrůzou nejjednoduššímu sčítání; ale podnes lituji, že jsem nebyl ani trochu zasvěcen do tajemství integrálů a diferenciálů. Nebot není, myslím, účelem střední školy, aby absolvent podržel slovíčka a vzorce, jimž se učil, nýbrž myšlenkové metody, na kterýchtovševisí.umět,tojedočasné,aleporozumět,tojetrvaléobohaceníducha. K. Čapek. Primitivní funkce.dokažte,žedanédvěfunkce F ()af ()jsouprimitivníktéžefunkciaurčete konstantu, o kterou se liší: a) F ()=ln +3, F ()=ln 4 b) F ()=cos, F ()=6cos +4sin.Dokažte,žefunkce F()jeprimitivnífunkcekf(): a) F()=(arctg+arctg )+π, f()= π, >0 b) F()=ln(+ +3), f()= Najděte příslušné primitivní funkce(a proved te zkoušku): a) ( 3 + )d b) (3 7)d c) d) g) j) (+) 3 d e) ( )( +)df) d 4 3 d + 3 d h) + + d i) 3 + d (sin cos)d k) (cos3+3+)d l) sind 4. Najděte primitivní funkce: a) b) c) d) e) d sin cosd e 5 d d, <0 +] ] cos+ ] ] 5ln5e (5e) + 5 dy. 5 y+ ] 5. Najděte primitivní funkce(metodou substituce):

22 a) 5 3 d b) c) +3d ] 5 3 3ln5 + ] 3 (+3)3 + ] d 4 arcsin+ d) e) f) +4 d arctg ] + ] 4 + d arctg d. ] 3 6 arctg Najděte primitivní funkce(metodou substituce): a) b) c) d) e) +3d 3 ( +3) 3 + ] e +e d ln(+e )+] +e d ln(+e )+] 3 +9 d ln3 arctg d. 7. Najděte primitivní funkce(metodou per-partes): a) e d b) c) d) e) lnd ln(+)d cosd arctgd. ] arctg(+)+] e (+)+] ] 3 (3ln )+ 9 (+)ln(+) +] sin+ 4 cos+] arctg ln(+ )+] 8. Zvolte vhodnou metodu a najděte příslušnou primitivní funkci: a) tg d tg +]

23 sin b) 5cos d 5 cos+] c) sin d sin +] d) e) f) g) cos sin cos d ln d cotg d sin 3 d cotg tg+] ln +] ln sin +] cos + 3 cos3 +] h) i) d ( +arcsin ) + ] ( ) + d ] j) k) l) 3 +5d 3 sin d cos 3 sin d ( 3 +5) 3 + ] cos+sin +cos+] 4 cos4 +] m) n) o) p) q) r) s) ln d ln +] arcsin d arcsin + + ] sin lntgd cos lntg+ln tg( ) +] ln(+ + )d ln(+ + ) + + ] lnsin sin d cotg (+lnsin ) +] sin sin sin3d cos6 cos4 4 6 cos+] 8 sinln d. (sinln cosln )+]

24 Příklady ke cvičením z matematické analýzy LS 008/009 - Série II. Matematikovy výtvory, stejně jako malířovy či básníkovy, musí zaujmout svojí krásou... Krása je základním měřítkem a nepěkná matematika nikde ve světě dlouho neobstojí. G. H. Hardy. Najděte příslušné primitivní funkce. Správnost výpočtu si ověřte derivováním výsledku. a) b) c) d) e) f) d cotg (/) + ] cos sin d sin 5 cos d cos 3 d cos 4 d tg + tg 3 + ] 3 (tg tg ) d t g) ( + t ) dt návod: volte ϕ(t) = + t ] h) t + t dt návod: volte ϕ(t) = + t ] arctg i) + d návod: volte ϕ() = arctg ] j) a + b d + ] k) d návod: volte t = l) m) a + a d d 4 návod: volte 4 = + t ] n) o) + sin d návod: volte t = tg ] d návod: volte t = tg (/)] 3 sin + cos + 5

25 p) q) r) sin d + 3 sin cos cos návod: volte t = tg ] d + + návod: volte + + = + t ] cos + sin d návod: volte z = sin, + z = z + t ] s) t) u) v) w) ) e e d ln e e + sin + cos d sin 3 cos sin + 5 cos d + ] ] návod: volte t = tg 4 ln tg + (tg + 5) ] + ( ) ] d 9 4 arcsin d návod: volte t = 3 ] d 6 ( 6 6 arctg 3 ) ] 6 + 3

26 Příklady ke cvičením z matematické analýzy- LS 008/009 Série III. Věděníjepoklad,alepraejekněmuklíč. Thomas Fuller Teoretický základ: určitý integrál Newtonův a Riemannův, nevlastní integrál, aplikace určitého integrálu. Určitý integrál. Vypočtěte: a) π 0 3 sin d π 3 6π] b) c) d) e) d π 4] ( + )d ] {, 0; f()d, f()= ln3] 3 { 3, ;3 f()d, f()= +0, 3;4 3]. Vypočtěte nevlastní integrály: a) e d ] b) c) d) d ( d,integráldiverguje] ) d 3+ π ] + 9 4ln9 8]

27 e) f) Vypočtěte: a) ln d ( 3)( 4) ln d b) integráldiverguje] d. integráldiverguje] 0 ln d. a) ;b) 4] 4. Rozmyslete si, zda lze u následujících příkladů použít nabízenou substituci: a) 4 d, =sin z nelze] b) π 0 +tg +k tg d, k >0, k, y=tg. přímonelze,problémv π ]. Střední hodnota. Vypočtěte střední a efektivní hodnotu střídavého proudu. Vypočtěte střední hodnotu funkce 3. Odhadněte hodnotu integrálu i(t)=i m sin ωt. I=0, I ef = I m] f(t)= +t naintervalu ;. π 4 ] I= d I.6] 3. Geometrický význam určitého integrálu. Určete obsah rovinného obrazce omezeného grafem funkce f: y= aosou. 9 j ]. Určete obsah obrazce omezeného křivkami o rovnicích y= a y=. 8 3 j ] 3. Určete obsah obrazce omezeného křivkami o rovnicích y= 3 a y=4. 8j ]

28 4. Určete obsah obrazce omezeného křivkami o rovnicích y=, y=a =0. (ln) j ] 5.Určeteobsahobrazceohraničenéhoparabolou P: y= +4 3ajejímitečnami vbodech T =0, y ]at =3, y ]. 9 4 j ] 6. Určete obsah rovinného obrazce ohraničeného grafy funkcí f()= cos3, g()=cos, π ; π. 4 3 j ] 7. Určete obsah rovinného obrazce ohraničeného grafy funkcí f()=, g()= 4,ah()=. 3 8 j ] 8. Určete obsah obrazce omezeného křivkami o rovnicích =, y= a y=, ( ;. 0 3 j ] 4. Aplikace určitého integrálu. Vypočtěte plošný obsah obrazce ohraničeného grafy funkcí a) f()=tg, g()=tg, 0, π 4 π 4 +ln ] b) f()=( )ln( ), g()=0, 0, 8 (ln +)] c) f()=cos, g()=0, π 4,0). π 8 4 ]. Vypočtěte délku křivky zadané parametricky a) (t)= (+t) 3, y(t)= ( t) 3, t, 7 ( 0 3,5 3 )] b) (t)= t, y(t)= +t, t, π] c) (t)= 4 t, y(t)=t+, t, π] d) (t)= t, y(t)= 9 t, t 3,3. 3π] 3. Vypočtěte objem sudu s parabolickou oblinou, je-li poloměr dna r, poloměr středníhořezu > ravýškasudu v? 4. Vypočtěte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného grafem funkce cos ) π sin,, ) π,, a)f()= b) f()= aosou kolemosy.načrtnětegraffunkce f(). a) π;b)π] 5.Křivka r=sinϕmátvar dvojlístku. VypočtěteplošnýobsahPjednoholístku. π 8 ]

29 6. Vypočtěte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného grafem funkce f()= (+ ), 0 3 aosou kolemosy.načrtnětegraffunkce f(). 3 6 π ] 7. Vypočtěte obsah čtvrtiny kruhu o poloměru R ležící v I. kvadrantu pomocí aplikace určitého integrálu. Souřadnice uvažujte a) kartézské b) polární. 8. Vypočtěte délku kružnice dané a) kartézsky b) polárně. 9.Vypočtěteobjemparaboloiduvýšky v. πv ] 0. Vypočtěte povrch pláště kužele o poloměru podstavy R a výšce v.. Vypočtěte délku křivky zadané v polárních souřadnicích r(ϕ)=4ϕ, ϕ 0,π. 4π +4π +ln(π+ +4π )]

30 Příklady ke cvičením z matematické analýzy LS 008/009- Série IV..MnožinybodůvE n ajejichvlastnosti Určete a nakreslete definiční obor funkce dvou proměnných f(, y) a rozhodněte, které z následujících vlastností množina D(f) má/ nemá: otevřená, uzavřená, souvislá, konvení, omezená, kompaktní? f(, y)=ln 5 y 3 f(, y)= + y f(, y)= 4 y f(, y)=arctg(y ) f(, y)= +y+ y jeotevřená] jeot.,uz.,souv.,konv.] jeuz.,souv.,konv.,omez.,komp.] jeot.,uz.,souv.,konv.] jeuz.,souv.,konv.] f(, y)= 4 + y jeuzavřená] f(, y)= ( + y) jeuz.,souv.] f(, y)=ln(ln(y )) f(, y)= + y jeotevřená] jeot.,souv.] f(, y)=cotg y f(, y)=arcsin y+ln(4 y ) jeotevřená] jekonv.,souv.,omez.] f(, y)= 4 y + y jesouv.,omez.] f(, y)= y + y. nemážádnouzuvedenýchvlastností]. Funkce více proměnných.načrtnětegraffunkce f(, y): a) f(, y)= + y Pozn.rotačníparaboloid] b) f(, y)= + y Pozn.rotačníkuželováplocha] c) f(, y)= y Pozn. sedlo ] d) f(, y)= +3y Pozn.rotační elipsoid ] e) f(, y)=8 y Pozn.rotačníparaboloid] f) f(, y)= 4. Pozn. tunel -polovinaválcovéplochy]

31 . Vypočtěte limity: y y 3 + a) lim,y],] ( y) 4 ] 3 y b) lim,y] 0,0] +y limita neeistuje] 5( + y ) c) lim,y] 0,0] + y +4 0] 4 y 4 d) lim,y] 0,0] y y e) lim,y] 0,0] + y y f) lim,y] 0,0] 4 + y. 3. Rozhodněte o spojitosti funkce 0] limitaneeistuje] limitaneeistuje] a) f(, y)=8 y funkcejespojitánasvémdef.oboru] b) f(, y)= y +y funkcejespojitánasvémdef.oboru] c) f(, y)= 4 y 4 y d) f(, y)= y + y e) f(, y)=sgn(sin( + y )). funkcejespojitánasvémdef.oboru] funkcejespojitánasvémdef.oboru] funkceneníspoj.vbodech {, y] Ê : + y = kπ, k }] 4.Vypočtěteparciálníderivace f(,y), f(,y) : y a) f(, y)= 3 y+ y +3 f =3 y+ y +3, f y = 3 y ] b) f(, y)=e +y f(, y)= f = f y ] c) f(, y)=arctg(+y) f = f y = +(+y) ] d) f(, y)=sin(+y) f =cos(+y), f y =cos(+y)] e) f(, y)= y f = y, f y = y ] f) f(, y)= y. f = y y, f y = y y ] 5. Napište rovnice tečných rovin k ploše +y +3z = rovnoběžnýchsrovinou α:+4y+6z=0. τ : +4y+6z =0, τ : +4y+6z+=0]

32 6. Dokažte, že plochy +y lnz+4=0 a y 8+z+5=0 sedotýkajívbodě T=, 3,]. vdanémboděmajítotožnétečnéroviny] 7.Vypočtětegradientfunkce fvbodě A: a) f(, y, z)= ; A=,3, ] (,, )] y+ z b) f(, y)=arcsin y ; A=,] ( 3 3, 3 3 )] c) f(, y)=y+3 y ; A=, 4] (8,0)] d) f(, y)= y ; A=,]. (, )] 8.Najdětebody, y],vekterýchmáfunkce f(, y)=ln +y gradientgradf(, y)=( 6 9,). A = 3 4, 3 ], A 3 4,7 3 ]] 9.Napišterovnicitečnérovinykploše z= ( + y )vbodě a) A=, ] +y =0] b) B=, ]. y z+ =0] 0.Určetebody,vnichžmáfunkce f(, y)= 3 + y 3 3y derivaci ve směru libovolného vektoru rovnou nule. A =0, 0], B =, ]]. Dokažte, že funkce u(, y)= +y y +y vyhovuje uvedené parciální diferenciální rovnici: u u y + u y =0..NapišteTaylorůvpolynomstupně n=3profunkci f(, y)naokolíbodu0;0]: f(, y)=cos cosy. T 3 (, y)=+ ( y )] 3. Vypočtěte totální diferenciál funkce f(, y)=arctg +y y. +y + ] ( y) +(+y) d+ ( y) +(+y) dy

33 4. Pomocí totálního diferenciálu vhodně zvolené funkce ve vhodném bodě vypočtěte přibližnou hodnotu arcsin 0,98,06 f(, y)=arcsin y vbodě,],. =0,49473] 5. Pomocí diference i diferenciálu určete změnu obsahu obdélníku, jehož strana a=65cmsezvětšíocmastrana b=,0msezmenšíocm. 6. Dokažte, že funkce vyhovuje parciální diferenciální rovnici 7. Vypočtěte totální diferenciál funkce u(, y)=ln( + y+ y ) u + y u y =. f(, y)= + y vbodě A=,]. 8. Napište rovnici tečné roviny k ploše určené grafem funkce f(, y)= 3 + y df(,)= d+ 5 5 dy] vbodě A=,, z A ]. τ: z=0+3( )+4(y )]

34 Příklady ke cvičením z matematické analýzy LS 008/009 Série VI.. Etrémy funkcí více proměnných. Najděte lokální etrémy funkce více proměnných: a) f(, y)= 3 +3y 5 y lok.ma.vb., ],lok.min.vb.,]] b) f(, y, z)=+ y 4 + z y + z lok.min.,,],lok.ma.,, ]] c) f(, y, z)= + y + z ++4y 6z lok.min.vbodě,,3]] d) f(, y, z)= + y + z y +3y 4z+6 lok.min.vbodě 3, 4 3,]] e) f(, y)=6y 3 y 3 lok.ma.vbodě,]] f) f(, y)= (y ) funkcenemážádnýlokálníetrém] g) f(, y)=( +y +6y+34) lok.ma.vbodě, 4]] h) f(, y)= y lok.ma.vbodě0,0]] i) f(, y)=e y ( +y )lok.ma.vbodech0, ±],lok.min.vbodě0,0]] j) f(, y)=e (+y +y) lok.min.vbodě, ]]. Určete absolutní maimum a minimum funkce f(, y)= + y 4y+ nauzavřenémtrojúhelníkusvrcholy A=0,0], B=3,0], =0,5]. 3. Najděte absolutní etrémy funkce f(, y)=y (4 y) vuzavřenéoblasti M= {(, y) Ê : 0, y 0, +y 6}. ma. f(0,5])=6,min. f(,])= 4] ma. f(,)=4,min. f(,4)= 64] 4. Najděte lokální etrémy funkce uvnitřobdélníku(0, ) (0, y). f(, y)=y y lok.min.vbodě5,]] 5.Najdětelokálníetrémyfunkce f(, y)= + y zapodmínky +y=. lok.min.vbodě,]] 6. Najděte absolutní etrémy funkce f(, y)= +y 4+8y vuzavřenéoblasti M= {(, y) Ê :0,0 y }. ma. f(,)=7,min. f(,0)= 3]

35 7.Určeterozměrypravoúhlévodnínádržeoobjemu3m 3 tak,abydnoastěnyměly dohromady co nejmenší povrch. 4m, 4m, m] 8. Určete rozměry kvádru s daným objemem V tak, aby kvádr měl minimální povrch. a=b=c= 3 V] 9. Číslo 4 rozložte na součet tří kladných čísel tak, aby jejich součin byl minimální. 0. Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(, y)= y vbodě;; f()].zjistěte,zdamáfunkcevbodě;]lokálníetrém.. Najděte lokální etrémy funkce f(, y)= + yln ] z=0,nemáetrém,jdeosedlovýbod] Vtěchtobodechnapišteobecnourovnicitečnérovinykegrafufunkce f.. Najděte lokální etrémy a sedlové body funkce f(, y)=lny y funkce nemá žádný lokální etrém] a napište obecnou rovnici tečné roviny ke grafu funkce f v některém z nalezených etrémů. lok.ma.,], z=ln 3] 3. Najděte lokální etrémy funkce f(, y)= (+y ). Vtěchtobodechnapišteobecnourovnicitečnérovinykegrafufunkce f. 4. Najděte lokální etrémy a sedlové body funkce f(, y)=y+ y ln lok.min.,0], f(,0)=, z= ] a napište obecnou rovnici tečné roviny ke grafu funkce f v některém z nalezených etrémů. lok.ma.vbodě, ], z=,sedlovýbod,]]

36 Příklady ke cvičením z matematické analýzy LS 008/009 Série VI.. Funkce více proměnných- derivace složené funkce. Jsou dány funkce f(u, v)=ue v, g(, y, z)=yz, +y+3z] afunkcesložená F= f g.vypočtěte F (, y, z). y. Jsou dány funkce F(a, b), a(, y)=y, b(y, z)=yz afunkcesložená f(, y, z)=f(a(, y), b(y, z)).vypočtěte f (, y, z). y z 3. Jsou dány funkce f (, y, z)= F F (y+yz)+ ] y z a b b F(a, b), a(, y, z)= + y, b(, y, z)= + z afunkcesložená f(, y, z)=f(a(, y, z), b(, y, z)).vypočtěte f (, y, z). y 4. Jsou dány funkce F(a, b), a(, y, z)=yz, b(, y, z)= + z f y (, y, z)=4y ( F a + F a b afunkcesložená f(, y, z)=f(a(, y, z), b(, y, z)).vypočtěte f (, y, z). y z 5.Necht z (Ê ).Transformujtediferenciálnívýraz f y z (, y, z)= F a yz+ F a b z + F a ] z y y z ) ] dopolárníchsouřadnic r, ϕ(=rcosϕ, y= rsin ϕ). Uvažujte(r, ϕ) (0, ) (0,π). ẑ ; ẑ(r, ϕ)=z(, y)] ϕ 6.Necht z (Ê ).Transformujtediferenciálnívýraz z + y z y dopolárníchsouřadnic r, ϕ(=rcosϕ, y= rsin ϕ). Uvažujte(r, ϕ) (0, ) (0,π). 7. Transformujte Laplaceův operátor r ẑ ; ẑ(r, ϕ)=z(, y)] r do polárních souřadnic. z= z + z y ẑ r + r ẑ ϕ + r ] ẑ r

37 . Funkce zadaná implicitně. Najděte pro funkci y = f() definovanou implicitně rovnicí y+sin y =0 Taylorůvpolynom3.stupněvbodě0,0]. T 3 ()= ]. Zjistěte, zda spojitá funkce y = f() definovaná implicitně rovnicí e +y y+y=0 je v bodě, ] rostoucí/ klesající/ konvení/ konkávní. klesající, konkávní] 3.Ověřte,ževokolíbodu A=0,0]jerovnicí F(, y)= 3 y sin y sin =0 implicitně definována funkce y = f(). Napište Taylorův polynom. stupně funkce f() vbodě 0 = 0apomocí tohotopolynomu vypočtěte přibližnou hodnotu f( 0,). T ()=, f( 0,). =0,] 4.Ověřte,ževokolíbodu A=,]jerovnicí F(, y)=ln y yln =0 implicitnědefinovánafunkce y= f().zjistěte,zdavokolíbodu 0 =jefunkce f()rostoucí,klesající,konvení,konkávní.máfunkce f()pro 0 = lokální etrém? Načrtněte graf funkce f() v okolí bodu A. rostoucí, konvení] 5.Ověřte,ževokolíbodu A=,0]jerovnicí F(, y)=y+cosy 3 =0 implicitně definována funkce y = f(). Napište Taylorův polynom. stupně funkce f()vbodě 0 =apomocítohotopolynomuvypočtětepřibližnouhodnotu f(,). 6.Ověřte,ževokolíbodu A=,]jerovnicí T ()=3( )+ 5 ( ), f(,). =0,375] F(, y)=+y ln y =0 implicitnědefinovánafunkce y= f().zjistěte,zdavokolíbodu 0 = jefunkce f()rostoucí,klesající,konvení,konkávní.máfunkce f()pro 0 = lokální etrém? Načrtněte graf funkce f() v okolí bodu A. rostoucí, konvení]

38

39

40 . VARIAE KONSTANTY

41

42

43 Příklady ke cvičením z matematické analýzy LS 008/009 Série VI. Rozcvička a) Najděte všechna řešení diferenciální rovnice Moudrý je ten, kdo zná spíše užitečné věci než mnoho věcí. Aischylos y ( ) = y ln y. Rozhodněte, zda je možné v bodě, ] použít slepení řešení. y = e ( ), slepená funkce by v daném bodě neměla derivaci ] b) Najděte řešení úlohy s podmínkou y(0) = y (0) = 0, y (0) =. y y + y = e y = e ] Snížení řádu a) Metodou snížení řádu řešte diferenciální rovnici y + y = + e. y = + e + ln (e + ) e ln (e + )] b) Metodou snížení řádu najděte všechna řešení diferenciální rovnice y + y y = 0. c) Metodou snížení řádu řešte diferenciální rovnici y = + e + 3 e, R] y = (y ) s počáteční podmínkou y() =, y () =. y = ( + ), (0, ) ] Homogenní a homogenizovatelné rovnice a) y = y + y =, R, > 0, resp. < 0] b) y = y + 9 3y + 3(y + ) ( + 5)(y + ) + ( + 5) = ] Bernoulliho rovnice a) y + y = y ln y( + + ln ) = 0] b) y = + y y, > 0 y + = 0]

44 Příklady ke cvičením z matematické analýzy LS 009/00 Série I. Vyhýbám se s hrůzou nejjednoduššímu sčítání; ale podnes lituji, že jsem nebyl ani trochu zasvěcen do tajemství integrálů a diferenciálů. Nebot není, myslím, účelem střední školy, aby absolvent podržel slovíčka a vzorce, jimž se učil, nýbrž myšlenkové metody, na kterýchtovševisí.umět,tojedočasné,aleporozumět,tojetrvaléobohaceníducha. K. Čapek Aplikace určitého integrálu- opakování Objem rotačního tělesa V = π b a y ()d. Vypočtěte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného grafem funkce a) f()= cos,, ) π b) f()= sin,, ) π aosou kolemosy.načrtnětegraffunkce f(). a) π;b)π]. Vypočtěte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného grafem funkce f()= (+ ), 0 3 aosou kolemosy.načrtnětegraffunkce f(). 3 6 π ] 3. Vypočtěte objem rotačního válce o poloměru podstavy R a výšce v. 4. Vypočtěte objem koule o poloměru R. 5.Vypočtěteobjemparaboloiduvýšky v. πv ] 6. Vypočtěte objem rotačního kužele o poloměru podstavy R a výšce v. 7. Vypočtěte objem elipsoidu určeného rovnicí a y z + + b c =. 8. Vypočtěte objem sudu s parabolickou oblinou, je-li poloměr dna r, poloměr středníhořezu > ravýškasudu v.

45 9. Objem tělesa, které vznikne rotací rovinného obrazce omezeného podmínkami 0 a b,0 y y()(kde y()představujespojitoufunkci),kolemosy y,je roven Dokažte! V y =π b a y() d. 0. Vypočtěte objem tělesa omezeného plochou, která vznikne rotací křivky y = sin, 0 π a)kolemosy, V = π] b)kolemosy y. V y =π ] Délka křivky dané parametricky L= t t (ϕ (t)) +(ψ (t)) dt. Vypočtěte délku křivky zadané parametricky a) (t)= (+t) 3, y(t)= ( t) 3, t, 7 ( 0 3,5 3 )] b) (t)= t, y(t)= +t, t, π] c) (t)= 4 t, y(t)=t+, t, π] d) (t)= t, y(t)= 9 t, t 3,3. 3π]. Vypočtěte délku jednoho oblouku cykloidy o parametrizaci (t)=a(t sin t), y(t)=a( cost), a >0,0 t π.

46 Příklady ke cvičením z matematické analýzy LS 009/00 Série II. Aplikace určitého integrálu pokračování. Určete plošný obsah obrazce ohraničeného grafy funkcí Obrazec načtrtněte! Moudrost není produktem vzdělání, aleceloživotnímúsilím. A. Einstein y=sin a y= ( π)(+π), π;π π3]. Určete plošný obsah obrazce ohraničeného polární osou a jedním závitem Archimédovy spirály dané v polárních souřadnicích rovnicí r = ϕ. 4 π3] 3 3. Určete obsah rovinného obrazce omezeného grafem funkce f: y= aosou. 9 ] 4. Určete obsah obrazce omezeného křivkami o rovnicích y= a y=. 8 3 ] 5. Určete obsah obrazce omezeného křivkami o rovnicích y= 3 a y=4. 8] 6. Určete obsah obrazce omezeného křivkami o rovnicích y=, y=a =0. (ln) ] 7.Určeteobsahobrazceohraničenéhoparabolou P: y= +4 3ajejímitečnami vbodech T =0, y ]at =3, y ]. 9 4 ] 8. Určete obsah rovinného obrazce ohraničeného grafy funkcí f()= cos3, g()=cos, π ; π. 4 3 ] 9. Určete obsah rovinného obrazce ohraničeného grafy funkcí f()=, g()= 4,ah()=. 3 8 ] 0. Určete obsah obrazce omezeného křivkami o rovnicích =, y= a y=, ( ;. 0 3 ]. Vypočtěte plošný obsah obrazce ohraničeného grafy funkcí a) f()=tg, g()=tg, 0, π 4 π 4 +ln ] b) f()=( )ln( ), g()=0, 0, c) f()=cos, g()=0, π 4,0). π 8 4 ]

47 .Vypočtětedélkuastroidyoparametrizaci (t)=acos 3 t, y(t)=asin 3 t, a >0, t 0; π. Jak velký plošný obrazec tato křivka ohraničuje? 6a; 3 πa] 8 3.Vypočtětedélkuobloukugrafufunkce y=lnsin, π 3 ; 3 π. ln3] 4.Křivka r=sinϕmátvar dvojlístku. VypočtěteplošnýobsahPjednoholístku. π 8 ] 5. Vypočtěte délku křivky zadané v polárních souřadnicích r(ϕ)=4ϕ, ϕ 0,π. 4π +4π +ln(π+ +4π )] 6. Vypočtěte moment setrvačnosti rotačního válce o hmotnosti m a poloměru R vzhledemkoserotace. J= mr] 7. Vypočtěte moment setrvačnosti plné homogenní koule o hmotnosti m a poloměru R vzhledem k ose jdoucí jejím středem. J= mr] 5 8. Vypočtěte moment setrvačnosti rotačního kužele o hmotnosti m a poloměru R vzhledemkoserotace. J= 3 mr] 0

48 Příklady ke cvičením z matematické analýzy LS 009/00 Série III. Dvojný integrál Zvědavost je nezřízená touha poznat věci neužitečné a zakázané. Jan Ámos Komenský Teoretický základ: dvojný integrál, Fubiniho věta. Proved te záměnu pořadí integrace: ( ) f(, y) dy d.. Vypočtěte: 0 0 y y f(, y) d dy a) e +y d dy, D = 0, 0, (e ) ] D b) sin y d dy, D =, 0, π 3 ] D c) D ( + y) d dy, D = {(, y); + y, 0, y 0} d) y d dy, D = 0,, D 4 3 ] ] ln 3 e) y e y d dy, D = 0, 0, ] D 3. Vypočtěte dvojný integrál e y d dy, jestliže množina M je trojúhelník s vrcholy 0, 0], 0, ],, ]. M ] e 4. Vypočtěte dvojný integrál e +y d dy, jestliže množina M je trojúhelník s vrcholy, 0],, 0], 0, ]. M ] e 3 e 5. Vypočtěte dvojný integrál e d dy, M jestliže množina M je lichoběžník s vrcholy A =, 0], B =, 0], = 0, ], D = 0, ]. e + e ]

49 6. Vypočtěte dvojný integrál cos ( + y) d dy, M jestliže množina M je trojúhelník ohraničený přímkami y =, = 0, y = π. ] 7. Vypočtěte dvojný integrál M ln( y) y d dy, jestliže množina M je rovnoběžník s vrcholy A = 0, ], B =, 0], = 0, 3], D =, ]. ln ln 3 ] 8. Proved te záměnu pořadí integrace: a integrál vypočtěte. 0 4 y 9. Vypočtěte dvojný integrál cos πy 4 d dy, y d dy, 0 ( 0 cos πy ) ] 4 dy d = 8 π jestliže množina M = {(, y) R + y, + y 0}. M ] 0 0. Vypočtěte dvojný integrál M d dy, y jestliže množina M je ohraničená křivkami y =, =, y = Vypočtěte pomocí dvojného integrálu obsah trojúhelníku AB, kde A = 0, 0], B = 3, 3], =, ]. Správnost výsledku si poté ověřte pomocí analytické geometrie. ]. Vypočtěte integrál d dy, M jestliže množina M je ohraničená křivkami y = 4, + y =, y =. 96 ] 3

50 Příklady ke cvičením z matematické analýzy LS 009/00 Série IV. Dvojný integrál substituce Představivostjejedinázbraňveválceprotirealitě. Teoretický základ: dvojný integrál, Fubiniho věta, polární souřadnice, Jacobiho matice. Vypočtěte sin + y ddy, M jestliže M= {(, y) R π + y 4π }. 6π ]. Vypočtěte (+y)ddy, jestliže M= {(, y) R + y, 0, y 0}. M 4 3 ] 3. Vypočtěte f(, y)ddy, f(, y)= 4 + y, D jestliže D značí přirozený definiční obor funkce f(, y) π] 4. Vypočtěte +ysin( y)ddy, M jestliže Mječtyřúhelníksvrcholy0,0],,], π, π ],+ π, π ]. 6 3 ] 5. Vypočtěte jestliže M= {(, y) R a M + y 6. Vypočtěte a y b ddy,, a, b >0}. b + y ddy, 3 πab] jestliže M= {(, y) R + y R, R >0}. M 3 πr3] 7. Vypočtěte f(, y)ddy, f(, y)=e y, D jestliže D značí přirozený definiční obor funkce f(, y). π]

51 8. Vypočtěte M (+y) ddy, jestliže M= {(, y) R + y 36, y } π] 9. Vypočtěte (+y)ddy, jestližeuzavřenáoblast Mjeohraničenakřivkou + y = +y. M π ] 0. Vypočtěte e y +y ddy, M jestliže uzavřená oblast M je ohraničena trojúhelníkem s vrcholy0, 0],, 0],0, ]. 4 (e e )].Vypočtětemírumnožiny M E,ohraničenékřivkami y=0, + y =, y=, =.. Uvažujte množinu M z předchozí úlohy a vypočtěte ddy + y. ] π 8 3.Vypočtětemírumnožiny M E,ohraničenésrdcovkou(kardoidou) M ] ln(+ ) π 4 r(ϕ)=+cosϕ, ϕ (0,π). 3 π] 4.Vypočtětemírumnožiny M E,ohraničenélemniskatou ( + y ) =a ( y ). a ] 5. Dvojným nebo trojným integrálem vypočtěte objem tělesa, které je ohraničeno plochami z=6( + y ) 64, z=0. 8π]

52 Příklady ke cvičením z matematické analýzy LS 009/00 Série V. Trojný integrál Z toho, co člověk zná, nelze usuzovat, kolik nezná. Teoretický základ: trojný integrál, Fubiniho věta, sférické, eliptické a válcové souřadnice. Vypočtěte ( y z ) d dy dz, y M jestliže M = 0,, 0,. ln ]. Vypočtěte objem elementárního čtyřstěnu (tj. čtyřstěnu o vrcholech 0, 0, 0],, 0, 0], 0,, 0], 0, 0, ]). 6] 3. Vypočtěte míru množiny M ohraničené rovinami = 0, y = 0, z = 0, + y =, z = + y, ležící v prvním oktantu. 3] 4. Vypočtěte objem tělesa ohraničeného plochou z = 4 y a rovinou z = 0. 8π] 5. Vypočtěte + y + d dy dz, M jestliže M = {(, y, z) R 3 + y, z, 0, y 0, z 0}. π 6 ( ) ] 6. Vypočtěte y d dy dz, jestliže M = {(, y, z) R 3 0, y 0, + y z }. M 4 3] 7. Vypočtěte z d dy dz, jestliže M = {(, y, z) R 3 + y z 6}. M 34π] 8. Vypočtěte míru množiny M ležící v prvním oktantu, ohraničené podmínkami y + z = 6, 3y = 0, = 0, z = 0. 3] 9. Vypočtěte střední hodnotu funkce f(, y, z) = na elementárním čtyřstěnu o vrcholech 0, 0, 0],, 0, 0], 0,, 0], 0, 0, ]. 4]

53 0. Vypočtěte ( + y )z d dy dz, D kde D R 3 je válec o poloměru podstavy r = a výšce v = 5, osa válce je totožná s osou z, podstava válce leží v rovině z = 0, z 0. 00π]. Vypočtěte ( + y ) d dy dz, D kde množina D R 3 je omezená plochami + y = z, z =. 6 3 π]. Vypočtěte míru množiny M R 3, kde M = {(, y, z) R 3 + y r, 0, 0 z v } r, r, v > 0. vr] 3 3. Vypočtěte míru množiny M R 3, kde M = {(, y, z) R 3 + y + z az, z } + y, a > 0. πa 3 ] 4. Vypočtěte objem tělesa ohraničeného plochou ( ( y ) ( z ) ] + + = a, a, b, c > 0. a) b c 3 πa3 bc ] 5. Vypočtěte d dy dz, D kde množina D = {(, y, z) R 3 + y + z 5, + y 6}. Výsledek ověřte pomocí vztahů pro výpočet objemu koule, válce a kulového vrchlíku (rozmyslete si, jak množina D vypadá). 36π] 6. Vypočtěte d dy dz, D kde množina D = {(, y, z) R 3 + y + z 5, + y 9}. Výsledek ověřte pomocí vztahů pro výpočet objemu koule, válce a kulového vrchlíku (rozmyslete si, jak množina D vypadá) π ]

54 Příklady ke cvičením z matematické analýzy LS 009/00 Série VI. Aplikace dvojného a trojného integrálu Hmotnost mtělesaoobjemu V ahustotě (, y, z): m= (, y, z)ddydz V Povězmiazapomenu;ukažmiajásivzpomenu; alenechmnesezúčastnitajápochopím. Konfucius Souřadnice těžiště dim desky D: (, y)ddy D T = (, y)ddy, y T= D y (, y)ddy D (, y)ddy D Moment setrvačnosti dim desky D vzhledem k souřadnicovým osám, y: I = y (, y)ddy, I y = (, y)ddy D D Moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose z: I z = ( + y ) (, y, z)ddydz V. Najděte souřadnice těžiště homogenní desky omezené křivkami ay=, +y=a, (a >0). T = a; y T= 85 a ]. Najděte souřadnice těžiště homogenní desky omezené osou a polovinou kardoidy 3. Vypočtěte objem koule o poloměru R r= a(+cosϕ), a >0, ϕ 0, π. T = 5 6 a; y T= 6 ] 9π a a) pomocí vztahu pro objem rotačního tělesa vzniklého rotací grafu funkce jedné proměnné kolem osy,

55 b) pomocí dvojného integrálu, c) pomocí trojného integrálu. 4. Vypočtěte souřadnice hmotného středu homogenní polokruhové desky o poloměru R a středu v počátku soustavy souřadné. T =0; y T = 4R ] 3π 5. Vypočtěte hmotnost polokoule o poloměru R se středem v počátku, ležící v polorovině z 0,je-lijejíhustota (, y, z)= + y. ] 4 5 πr5 6. Určete souřadnice těžiště homogenního tělesa ve tvaru poloviny rotačního elipsoidu ( a ) + ( y b ) + ( z c ), z 0. T =0; y T =0; z T = 38 c ] 7. Najděte souřadnice těžiště homogenní desky omezené osou a částí cykloidy (t)=a(t sin t), y(t)=a( cost), a >0, t 0,π. T = πa; y T = 5 6 a] 8. Rozložení tlaku p na ploše ( a ) + ( y b ) je dáno vztahem ( ) ( ) y p=p 0 (. a b) Vypočtěte střední hodnotu tlaku působícího na tuto plochu. p 0] 9.Vypočtětemomentysetrvačnosti I, I y vzhledemksouřadnicovýmosám, yhomogenní oblasti ohraničené kardoidou r=a(+cosϕ), a >0, ϕ 0,π. I = 3 πa4 ; I y = 49 ] 3 πa4 0. Určete moment setrvačnosti homogenní koule hmotnosti m o poloměru R a středu 0,0,0]vzhledemkose z. mr] 5

56 Příklady ke cvičením z matematické analýzy LS 009/00 Série VII. Křivkový integrál ze skalárního pole Neučímeseproškolu,aleproživot. Seneca. Odvod te vzorec pro výpočet délky křivky zadané v polárních souřadnicích rovnicí r=r(ϕ), ϕ α, β. L= β ] (r(ϕ)) +(r α (ϕ)) dϕ. Najděte parametrické vyjádření křivky zadané rovnicí 3 + y 3 =. Vypočtěte délku této křivky. astroida, 6] 3. Vypočtěte délku srdcovky popsané rovnicí 4. Vypočtěte délku cykloidy : r= r(ϕ)=+cosϕ, ϕ 0,π. (t)=a(t sin t), y(t)=a( cost), a >0, t 0,π. 5. Vypočtěte délku křivky dané parametricky: 8] 8a] (t)= t t, y(t)= +t +t, t,. π] 6. Vypočtěte hmotnost drátu ohnutého do tvaru čtvrtiny astroidy (t)=cos 3 t, y(t)=sin 3 t, t 0, π ohustotě (, y)= 3 y. 3 6 π] 7. Vypočtěte délku jednoho závitu Archimédovy spirály r=r(ϕ)=aϕ, a >0, ϕ 0,π. a ( π +4π +ln(π+ +4π ) )] 8. Vypočtěte ( + y) ds, kde jeúsečka AB,kde A=0,]aB=,4]. ] 3 3

57 9. Vypočtěte y ds, kde jeúsekcykloidy (t)=a(t sin t), y(t)=a( cost), a >0, t 0,π. 4πa a] 0. Vypočtěte ( + y + z ) ds, kde jeúsekšroubovice (t)=acost, y(t)=asin t, z(t)=bt, a, b R, t 0,π. a + b (πa π3 b ) ]. Vypočtěte (+y) ds, kde jeobvodtrojúhelníku AB, A=0,0], B=,0], =0,]. + ]. Vypočtěte (+y) ds, kde jeobvodpolovinykruhu,kterýmástředvbodě S=0,0],poloměr r=4a ] ležívpolorovině +y Vypočtěte z ds, kde jekřivka =tcost, y= tsin t, z= t, t 0,π. 3 ( )] (+π ) 3 4. Vypočtěte z ds, kde ječástkřivky =t 4, y=+t, z=t, t R,mezijejímiprůsečíky srovinami y=0, z=0. 4 ( 3 3) ] 3 5. Vypočtěte (3+z) ds, kde jeúsečka AB, A=4,,3], B=,3,3]. 4 ]

58 Příklady ke cvičením z matematické analýzy LS 009/00- Série VIII. Křivkový integrál ze skalárního a vektorového pole Nestačívědět,věděnísemusípoužít. Goethe. Vypočtěte (+y+ z) ds, kde křivka je dána parametrickými rovnicemi: (t)=4sint, y(t)=sin t 3cost, z(t)=sin t+3cost, t 0, π. 8 ].Vypočtětehmotnostobloukuvetvarukřivky y=ln,,,0 < <, je-li lineární hustota v libovolném bodě křivky číselně rovna čtverci vzdálenosti ( ) ] tohotoboduodosy y. (+ 3 ) 3 (+ ) 3 3. Vypočtěte (y+ z) ds, kdekřivka jetvořenaobloukemkřivky =t, y=cos t, z=sin t, t π, π a úsečkou, která spojuje koncové body tohoto oblouku. π] 4. Vypočtěte y ds, kde jeobvodparabolickéúseče y. 0] 5. Vypočtěte sinds, kde jeobloukemgrafufunkce f()=cosnaintervalu 0, π. 3 ( ) ] 6. Vypočtěte + y ds, kdekřivka jekružniceorovnici( ) + y =. 8] 7. Vypočtěte z ds, kdekřivka = {(, y, z) R 3 + y + z =, 0, z 0, y=0}. ]

59 8. Vypočtěte y ds, kdekřivka = {(, y) R 9 + y =, 0, y 0}. 3 4 ] 9. Vypočtěte ( ) e +y d+e +y dy, kdekřivka ječtvrtkružnice +y =8zbodu A=, ]dobodu B=, ]. Křivku načrtněte. 0] 0.Vypočtětedélkukřivky : (t)=sin4t, y(t)=cos4t, z(t)= 3t, t π, π.5π]. Vypočtěte (y+) d+( +4y) dy, kdekřivka ječástelipsy9 +4y =36mezibody A=0,3]aB=,0].Křivku načrtněte. 4]. Vypočtěte y ds, kdekřivka jeobvodemkruhovéúseče + y, y +. + ] 3. Vypočtěte y ds, kde jeobvodpůlkruhusestředemvpočátku,poloměrem r=,kterýležívpolorovině 0. Pozn. Obvod půlkruhu je půlkružnice a úsečka. 4π+ ] Vypočtěte d dy +y, kdekřivka jeobvodemčtverceabd,kde A=,0], B=0,], =,0]. Uvažujte křivku orientovanou v kladném smyslu. 4]

60 Příklady ke cvičením z matematické analýzy LS 009/00 Série IX. Potenciál vektorového pole Vzdělání má hořké kořeny, alesladkéovoce. Démokritos.Najdětepotenciálvektorovéhopole F: a) F(, ( y)= e +y,e +y ) U(, y)=e +y + ] b) F(, y)= ( ) ] ( e y ) (+ ), e y U(, y)= ey c) F(, y)=(e sin y, e cosy) U(, y)= e sin y+ ] d) F(, y, z)=(, (y+ z), y) polenemápoteciál] e) F(, y)=(y, + y ) U(, y)= y+ ] 3 y3 + ( ) f) F(, y++ 3 y y)=, + y + y ( ( )) g) F(, y)= cosy,siny cos 3 y ( ) h) F(, y y)= (y ) +, y (y ) y. Ověřte, že diferenciální forma (arccos y+ ) d+ U(, y)=arctg(y)+ + ] U(, y)= cosy+tg y+ ] U(, y)=ln y + y3 3 ] y + y+ dy y jetotálnímdiferenciálemnějakéfunkce f(, y)naoblasti G.Určetetutooblasta funkci f(, y)tak,abyplatilo f(, )=0. G={(, y) R >0 < y <}; f(, y)=arccosy y+ + π 3

61 3. Ověřte, že dané vektorové pole je potenciální a vypočtěte křivkový integrál (3y ) d+(6y y ) dy, kde ječástparaboly ] y = probíhanáodbodu A=4, ]dobodu B=0,0] Ověřte,žefunkce U(, y)=e +y,(, y) R R,jepotenciálemvektorovéhopole a vypočtěte křivkový integrál (e +y (+), e +y ) (+)e +y d+e +y dy, kde ječástparaboly y=( ) mezibody A=,0]aB=0,],probíhanáod bodu A do bodu B. Křivku nakreslete. e] 5.Ověřte,ževektorovépole(y, )jepotenciálníavypočtětekřivkovýintegrál y d+ dy, kde ječástelipsy9 +4y =36mezibody A=0,3]aB=,0],probíhanáod bodu A do bodu B. 0] 6. Ověřte, že diferenciální forma y d y y dy jetotálnímdiferenciálemfunkce f(, y)=arcsin, y >0, y < < y y a vypočtěte y d y y dy, kde ječástparaboly y=3 probíhanáodbodu A=, y A ]dobodu B= ], y B ].Křivku nakreslete. π 3

62 Příklady ke cvičením z matematické analýzy LS 009/00 Série X. Potenciál, rovnice ve tvaru totálního diferenciálu.určetereálnáčísla a, b tak,abyvektorovépole ( ay F(, y)= ) y +,ln b + y y 3 Tak, jak je snadné derivování, taknesnadnéjeintegrování. J. Bernoulli bylo potenciální. Vypočtěte pro tento případ potenciál daného pole. a=, b= ; U(, y)=yln y + + ] y +. Řešte následující diferenciální rovnice. Je-li to nutné, použijte metodu integračního faktoru: a)( y)d+(y )dy=0 3 3 y+ ] 3 y3 =, R b)e dy+( ye )d=0 +ye =, R] c) y d+(y3 +ln )dy=0 d)(+ y)d ydy=0 e)( + y+ )d+(y )dy=0 f)(y + y)d dy=0 yln + ] 4 y4 =, R ] + 3 ( y) 3 =, R y ] +ln +y =, R + ] y =, R g)( y )d+ydy=0 y =, R] h)(+y )d dy=0 e arctg y ] =, R i)(sin +e y )d+cos dy=0 e y cos=, R]

63 j)(sin y+ y)d+( cosy+ ln )dy=0 sin y+ yln =, R] k)yd+( y )dy=0 y ] 3 y3 =, R l)( 9y )d+(4y 6 3 )ydy=0 3 3 y + y 4 =, R] m)(y+ )d dy=0 n)(y+e )y + y +ye =0 y =, R ] ] y e + ye =, R 3. Při rovinném proudění je tvar proudnic určen diferenciální rovnicí d v (, y) dy v y (, y) =0. Určetetvarproudnic,jestližeprosložkyrychlostíplatí v =a, v y = ay,kde a jekonstanta. y= K, K R] 4. Řešte danou diferenciální rovnici s počáteční podmínkou y() =. 3y+ y +( + y)y =0 3 y+ ] y =0 5. Řešte danou diferenciální rovnici ) ) ( 4 + e4 + (4ysin y e4 y =0 y 4 s počáteční podmínkou y(0) =. y e 4 4 y 4 cosy = ] 4 cos

64 Příklady ke cvičením z matematické analýzy LS 009/00 Série XI. Potenciál vektorového pole tří proměnných Inteligenceneníchorobanakažlivá. O. Wilde. Ověřte, že diferenciální forma ( y ) d+ (arccotg y ) dy+dz + jetotálnímdiferenciálemnějakéfunkce f(, y, z)naoblasti G.Určetetutooblasta funkci f(, y, z)tak,abyplatilo f(,,0)= π 4. G={(, y, z) R 3 >0, y <0, z R} f(, y, z)=yarccotg+ + y + z+ π. Určete definiční obor vektorového pole F(, y, z)= (ln z y, y + 3 ) y ln z, + y 3 z a zjistěte, zda je potenciální. V kladném případě najděte příslušný potenciál. R, y >0, z >0 U(, y, z)= ln z y+ y3 ln z+, R 3. Určete definiční obor vektorového pole ( ln z F(, y, z)= y, y +y z, ) + y z z ] a zjistěte, zda je potenciální. V kladném případě najděte příslušný potenciál. >0, y 0, z >0 ] 4. Určete definiční obor vektorového pole ( F(, y, z)= + y + z, U(, y, z)= lnz y + y z+, R y + y + z, ) z + y + z a zjistěte, zda je potenciální. V kladném případě najděte příslušný potenciál. + y + z 0 U(, y, z)=ln + y + z +, R ]

65 5. Zjistěte, zda diferenciální forma ( y +z ) d+ydy+ ( z+ z 3) dz je totálním diferenciálem. Pokud ano, vypočtěte potenciál U(, y, z). U(, y, z)=y + z + ] 4 z4 +, R 6. Ověřte, že vektorového pole F(, y, z)= je potenciální v oblasti ( z y z + z, z y, + z ) y G={(, y, z) R 3 >0, y >0, z >0}. Najděte jeho potenciál U. 7. Určete rotaci vektorového pole kde r=(, y, z), r o. U(, y, z)= z y arctg ] z +, R F= k r 3 r, rot F= ] o 8.Ověřte,žeprosilovépole F(, y, z)=(y +z,y, z+ z 3 ) platí identita rot(rot F)=grad(div F) F. Nápověda: div F= F + F y y + F z ( z F gradf=, F y, F ) ( z rotf= Fz y F y z, F z F z, F y F ) ( y ) F F = + F y + F z

66 Příklady ke cvičením z matematické analýzy LS 009/00 Série XII. Opakování křivkový integrál Pokud neděláš chyby, nepracuješ na dostatečně těžkýchproblémech.atojevelkáchyba. F. Wikzek. Vypočtěte ds, kdekřivka jegrafemfunkce y= f()=arcsin +,. 4]. Vypočtěte (+y)d+(y )dy, kdekřivka = {(, y) R +y =4}(orientacikřivkyvoltevkladnémsmyslu otáčení). 8π] 3. Vypočtěte yd dy+ zdz, kde křivka je kladně orientovanou hranicí oblasti O={(, y, z) R 3 3+y+6z=6, >0, y >0, z >0}. 4. Vypočtěte ds +y, kdekřivka jeúsečka AB,kde A=,], B=3,4]. 6] ln3 ] 5. Vypočtěte d+y dy+ z dz, kde = {(, y, z) R 3 + y + z =4, =y, z 0}. ] ± 8 (dle orientace) 3 6. Vypočtěte F d r, kde F =( z, y, y)akřivka jedanáparametrickýmirovnicemi =t, ] y= t, z= t 3, t 0,,orientovanásouhlasněsrostoucímparametrem. 9 0