6.Limityfunkcí 2.část

Transkript

1 6.Limityfunkcí.část Limita podílu dvou funkcí je rovna podílu it těchto funkcí jen tehdy, když má podíl it smysl. V některých případech, kdy podíl it smysl nemá, lze itu podílu najít např. pomocí tohoto tvrzení: Věta 6..l Hospitalovo pravidlo.)nechť a R anechťjsousplněnytyto podmínky:funkce f, gjsoudiferencovatelnévjistém Pa)a ) Pakje ) buď a f)= a g)=0, nebo a g) =+. f) a g) = f ) a g ), eistuje-liitavpravo. Analogickátvrzeníplatíproituzpravavbodech a <+ azlevavbodech a >. Příklad 6.. Ilustrujme užití l Hospitalova pravidla několika typickými příklady: 3 ) 3 ) 4) 5) 6) 7) lg = =0; lg lg= = e = = e= arccotg arccotg= sin =cos=; + =0; e =0; = + =; π/ π )tg= π π/ cotg = π/ sin =. Příklad 6.. Větu 6. lze aplikovat na podíl f/g i několikrát: Splňují-li například nejenfunkce f, g,aleijejichderivace f, g, f, g předpokladyv.6.,je f) a g) = f ) a g ) = f ) a g ) = f ) a g ),eistuje-liposledníita. 65

2 Například tedy je sin cos sin cos 8) 3 = 3 = = = Jak je patrné, při praktické aplikaci l Hospitalova pravidla píšeme rovnosti v jistémsmyslu nadluh.zpočátkutotižnemusímevědět,zdaliplatíprvnítřirovnosti v8), protože na příslušné zlomky nelze aplikovat větu o itě podílu. První čitatel f):=sin ipříslušnýjmenovatel g):= 3 všakmáitu0atotéž platíof ), g ), f ), g ).Platnostprvníchtřírovnostív8)všakzatéto situace)plynezeistenceitypodílu f )/g )= 6 cos. ) Příklad6.3.Je-li α 0,jepodlevětyoitěpodílu) α /e =0, protožečitatel f):= α mábuďitu0,nebo,jmenovatel g):= e itu +.Je-li α R +,diverguječitatelijmenovateldo+ ;je-li nnejmenšípřirozené číslo větší nebo rovné α, lze n- krát aplikovat l Hospitalovo pravidlo, protože funkce g)=g )=...=g n ) )=e máv+ itu+.dostanemetakrovnosti 9) α e = α α αα ) α e = e = αα ) α n+) α n = e =0; posledníznichplynezvětyoitěpodílu,protože α n mábuďitu0,nebo. Poznámka 6.. l Hospitalovým pravidlem lze počítat nejen některé ity podílů, ale i např. rozdílů nebo součinů; před aplikací pravidla je ovšem třeba rozdíl resp. součinupravitnavhodnýpodílsr.s3 ),4),5),7)).Tojemožnévždy,ale úpravanenídánajednoznačně;označíme-li F:=/f, G:=/g,jenapříklad 0 ) 0 ) f) g)= F) G) = G) F), F)G) fg= f G = g F. Daný výraz se vždy snažíme upravit na zlomek, jehož čitatel i jmenovatel má conejjednoduššíderivaci.vpříkladu3 )bynapř.nevedlokcíli,kdybychom narozdíloduvedenéúpravy ponechali včitateliadojmenovateledali/lg; podílderivacíbytotižvtompřípaděbylroven lg,cožjesložitějšínežsoučin, zněhožjsmevyšli.hlavnímcílemvpříkladech3 )a5)byloodstranitderivováním transcendentní funkci lg resp. arccotg, jejíž přítomnost způsobuje, že numerickou hodnotu příslušné ity nevidíme na první pohled. V Př. 6. jsme vypočítali itu několika součinů; uveďme ještě příklad na itu rozdílu: )Kdybyvpodobnésituaciitapodílutřetíchderivacíneeistovala,nezbylobynežkonstatovat, že l Hospitalovo pravidlo nevede k cíli; z toho by samozřejmě vůbec neplynulo, že výchozí itaneeistuje sr.spř

3 ) Příklad 6.4. Je cotg = ) ) = cos sin cos = sin sin sin sin+cos = sin =0. sin +cos Poznámka 6.. Pomocí l Hospitalova pravidla lze počítat i ity některých funkcítvaru f) g) = eph)), kde h) := g)lgf).najdeme-liitu funkce h),stačíuvážit,žepodlev.4.) 0 pro A= ) h)=a f) g) = epa pro A R a a + pro A=+. Eistují-lioběity g),lgf),nemájejichsoučinsmysl,právěkdyž jejednaznichrovna0adruhájenekonečná;toodpovídátěmtosituacím: ) g)=0a f)jerovnabuď0,nebo+ ; ) g)=± a f)=. Doufáme, že ani čtenář, který mánapř. v důsledku chybného výkladu ve škole) tendenci nahrazovat itní přechod dosazením, nebude umocňovat čísla ± na nultouačíslona ± mocniny ± ) 0, ± bymělybýtkaždémupodezřelé. Připomeňme, že tyto symboly nejsou definovány a nemělo by smysl definovat je, protože by se tím nic nezískalo. Skutečně velmi nebezpečná však může být pro nezkušeného studenta situace, kdy f)= g)=0,protoževýraz0 0 jedefinovánjako,zatímco f) g) může být nejen rovna kterémukoli nezápornému číslu, ale nemusí vůbec eistovat! Dokládátonejennásledujícípříklad,aletakéPř.6.6acvičení Příklad6.5.Je-li α R, f):=, g):= α/lgvšudev0,),je f0+)= g0+)=0.protože αlg ) α/lg =ep e α lg všudev0,),jei + f) g) = e α,cožmůžebýtjakékoličíslozr +. Je-li f):=ep ), g ):=/, g ):= /,majítytofunkcev+ itu0a f)g) = e =0, f)g) = e =+. Je-li g 3 ):=cos)/,je g 3 + )=0,funkce F):= f) g3) = e cos všakv+ itunemá např.proto,žepro n je Fnπ)=ep nπ) 0 a Fn+)π)=epn+)π) +. 67

4 Poznámka 6.3. Je zajímavéale bohužel smutné), jak dlouho se na různých školáchvčetně vysokých) a v nejrůznějších učebnicích a sbírkách vzorců udržuje historický termín neurčitý výraz. Uvádí se jich několik: 0 0,, 0,, 00,, 0. Komentujmepodrobnějinapř. neurčitývýraz0/0,kterýzřejměsouvisísitou podílu f)/g) v případě, že ita čitatele i jmenovatele je rovna nule. Přístup k podobným otázkám se nejen v dobách, kdy žili slavní matematikové Guillaume François Antoine de l Hospital, sir Isaac Newton a Gottfried Wilhelm von Leibniz, ale ještě mnohem později, zásadně lišil od nynějšího způsobu uvažování. Když se začaly počítat ity, počítaly se nutně i ity zlomků; pokud ita A čitatele byla konečná a ita B jmenovatele konečná nenulová, bylaa je) ita podílu rovna A/B. V některých případech, kdy ita čitatele byla nenulová, ita jmenovatelenulová,setéžnašlojakési řešení napíšeme A/0ařekneme,žeje to nekonečno; se znaménkem si nebudeme příliš lámat hlavu, stejně někdy vychází zpravajinénežzleva. )Vpřípadě,žeičitatelmáitu0,budemepostupovat analogicky:napíšeme0/0jako výsledek ateprvepakzačnemeuvažovat,cotento záhadný symbol znamená. Z hlediska dnešní logiky je podobný postup naprosto nepřijatelný. Je zřejmé, že sejednáosnahunahraditpočítáníitydosazením,což jakčtenářjiždobřeví neníobecněmožné.tím,ženapíšeme0/0ařekneme,žejdeoneurčitývýraz,nejen že nic neřešíme, ale zatemňujeme podstatu problému: Je-li f)= g)=0,nelzeo f)/g))obecněnicříci,protože itapodílumůžebýtpodlesituace)rovnajakémukoličísluz R anemusídokonce ani eistovat. Tuto smutnouskutečnost ilustrujítriviálnípříklady např.podílsinα)/ má vbodě 0itu α, cožmůže být jakékoličíslozr. Podíl0/0nezavádíme nedefinujeme) proto, že bychom tím zřejmě nic nezískali ať se budeme jakkoli snažit, nikdy nebude platit obecná věta, že ita podílu je rovna podílu it. V souvislostistímnaopakříkáme,žepodíl0/0nemásmysl.tento výraz nenítedy z logického hlediska neurčitý, ale nesmyslný. Podobnějetomusostatními neurčitýmivýrazy 3 ),kteréjsmeuvedli,svýjimkoumocniny0 0,jejížzařazenímezitytovýrazyjeskutečnějižnapováženou, protožejakjsmeukázalivpo.6. avpř.6.5)můžeménězkušenéhostudenta dovést ke zcela falešným závěrům. )Idnesnajdemevněkterýchsbírkáchvzorcůzreálné analýzyrovnost π/ tg= ; některépočítačovéprogramyvpodobnýchpřípadechdávají výsledek vetvaru/0. 3 )Poanglickémstředověkémfilozofu-scholastikoviWilliamoviofOccamseOccamovoubřitvou nazývá princip nezavádění hypotézobecněji: čehokoli, např. názvů, symbolů apod.), kteréza dané situace) nejsou nutně potřebné.v originále zněl princip takto: Assumptions introduced toeplainathingmustnotbemultipliedbeyondnecessity. )Dnešnívědasetímtoprincipem dost důsledně řídí, i když jej, jak ukazuje užívání zbytečného a navíc zavádějícího názvu neurčitý výraz,někteříučitelématematikybohuželignorují. 68

5 Příklad6.6.Ptejmese,prokterá n Neistujeita 3) n +cos) / ; základ má itu, eponent itu +. Podle l Hospitalova pravidla je ± lg n +cos) = ± g n), kde g n ):= nn sin n +cos, atozapředpokladu,žepříslušnáitafunkce g n eistuje.tovšakpodstatnězávisí na n, protože g )=±, g )= ±, g n)= provšechna n >. Limita3) pro n = tedy neeistuje, protože příslušná ita zprava resp. zleva je rovna+ resp.0.je-li n >,ita3)eistuje;jerovna e / pro n=ae / provšechna n >. Poznamenejme ještě, že 3 ) cos) / = e /, protože podle l Hospitalova pravidla je lgcos) sin = cos =. Iv3 )mázákladitu,eponentitu+ ;přidáme-livšakkzákladu malou funkci n majícívbodě0itu0),výslednáita3)můžebýtúplně jiná,protoženezáležíjennatom,jakoumázákladitu,aletakénatom, jak rychle sektétoitěblíží. Tento příklad má varovat před ukvapenými úsudky typu protože se základ změnil jennepatrně,itaceléhovýrazuseasinezmění. Poznámka 6.4. Bylo by omylem domnívat se, že l Hospitalovo pravidlo je za všech okolností nejlepší metodou výpočtu ity podílu, nebo snad dokonce jedinou známou metodou. Za prvé se totiž může stát, že po derivování čitatele a jmenovatele dostaneme zlomek složitější, než byl zlomek původní. Za druhé je možné, že ita podílu f)/g)eistuje,aleitapodílu f )/g )neeistujetakženenísplněnjeden z předpokladů l Hospitalova pravidla). Za třetí je aplikace l Hospitalova pravidla zbytečná tam, kde vystačíme se znalostí derivací.limity ± 3 / / )lzenajítnapř.takto:napíšeme/místo,čímžuvedenéitypřevedemenaity ± 3 )/,cožjsou jak bychommělinaprvnípohledrozeznat derivacefunkce3 vbodě0zprava azleva.protožejea ) = a lgaprokaždé Rakaždé a R +,jetedy ± 3/ / 3 3 )= = =lg3 lg=lg 3 ±. 69

6 Za čtvrté: Při výpočtu ity některých zlomků bychom museli l Hospitalovo pravidlo užít mnohokrát, čímž by se čitatel nebo jmenovatel mohl nadměrně zkomplikovat. Mnohdy vede pohodlnější a rychlejší cesta k výpočtu ity přes tzv. Taylorovy polynomy. První dvě situace budeme nyní ilustrovat jednoduchým příkladem; pak vysvětlíme, co jsou Taylorovy polynomy a jak lze pomocí nich některé ity najít rychleji a elegantněji než l Hospitalovým pravidlem. Příklad6.7.Funkce f):=, g):= +lg sinmajív+ itu+, přičemž f) 4) g) = +lgsin = protoželg)/ 0asinjeomezenáfunkce.Podíl 4 ) + lg sin =, f ) g ) = + sin = +lgcos +sin+lgcos, který je složitější než podíl původní, přitom pro + itu nemá např. proto,žesejehojmenovatelanulujevnekonečněmnohabodech a n divergujících do+. 4 )Ztohojepatrné,žel Hospitalovopravidlonelzevtomtopřípaděužít, ačkoli ita4) eistuje. Je-lifunkce fdefinovánavjistémokolí Ua)jistéhobodu a Raeistuje-lipro některéceléčíslo n 0konečnáderivace f n) a),nazývásefunkce 5) T f a,n ):= n f k) a) a) k, kde R, k! n-týtaylorůvpolynomfunkce fostředu a;je-lizesouvislostizřejmé,okterou funkci faokterýbod asejedná,můžemejejstručnějiznačitnapř. T n ). Taylorovy polynomy užijeme k itní aproimaci příslušných funkcí. Několik nových pojmů a označení nám dovolí jednoduše vysvětlit, co se tím míní, a umožní nám s Taylorovými polynomy efektivně pracovat. Je-li a R ajsou-li f, gdvěfunkcedefinovanévjistém Pa),budesymbol 6) f)=oh)) pro a znamenat, že 7) a f) h) =0; 4 )Spojitáfunkcevejmenovateliposledníhozlomkuv4 )máprokaždé n Nvboděnπ hodnotunπ+lgnπ)) >0,vboděn+)πhodnotun+)π lgn+)π)) <0;někde mezibodynπ,n+)πseprotoanuluje. 70

7 jsou-li f, g, htřifunkcedefinovanévjistém Pa),budezápis 8) f)=g)+oh)) pro a znamenat, že 9) f) g)=oh)) pro a. Analogickysedefinujísymboly,vnichžjebuď a+,nebo a místo a.symbolickézápisy6)resp.8)čteme: f)jemaléó h) resp. f)jerovno) g)plusmaléó h)pro a. Poznámka 6.5. Za situace6) jsou prakticky důležité jen případy, kdy jsou obě ity a f), a h)rovnybuď0,nebo ±.Prvnípřípadodpovídá názornépředstavě,že pro ase f)blížíknulepodstatněrychlejinež h) graf f se vblízkostibodu a přimykákosepodstatnělépenežgraf h);ve druhémpřípaděvšaknaopak f)divergujepro ado ± podstatněpomaleji než h) bod,h))je pro blízkáka podstatnědáleodosynežbod, f)). Jistě nemusíme připomínat, že tyto itní pojmy nemají nic společného shodnotamifunkcí fa hvbodě asamém. Při této terminologii jsou jistě srozumitelné např. tyto výroky: A.Je-li β > α >0,roste β pro + do+ podstatněrychlejinež α.je α / β 0.) B. e konvergujek0pro + podstatněrychlejinežkterákolizáporná mocnina a.prokaždé a R je e / a 0neboli a e +.) C.lgdivergujepro 0+do podstatněpomaleji,nežkterákolizáporná mocnina a divergujedo+.jelg/ a 0neboli b lg 0prokaždé b R +.) Uveďmenyníněkterézákladnívlastnostisymbolu malé o : 5 ) 0) f)=oh)), g)=oh)) f)±g)=oh)); ) f)=oh)), g)=ok)) f)g)=oh)k)); h) ) je-li 0 ±,je f)=oh)) f)=ok)). a k) Dále:Prokaždé α R + je 3) f)=oh)) f α )=oh α )) pro 0+ apro + ; je-li α N,platí3)pro 0 oboustranně ). Příklad6.8.Podle4)a3 )je =oe ) a lg=o) pro +. 5 )Vrelacích0) )vynechávámeprostručnostsymbol a a+, a ). 7

8 Obecněji,prokaždádvěčísla α R +, β Rje 4) 5) 6) β = oe α ) pro +, lg β =o α ) pro +, lg β = o α ) pro 0+. Platí též např. tyto relace: 7) α < β e α = oe β ) pro +, 8) α R +, β R + e α = oe β ) pro +. Věta6.oitníaproimacifunkcípolynomy).Nechť a R,nechť n 0je celéčísloanechťfunkce fmávbodě aspojitou n-touderivaci.pakje 9) f)=t f a,n)+o a) n ) pro a. Obráceně: Jediný polynom p stupně nejvýše n, který splňuje podmínku 30) f)=p)+o a) n ) pro a, je n-týtaylorůvpolynomfunkce fostředu a. Abychom mohli pomocí Taylorových polynomů počítat běžné ity, je nutné spolehlivě znát několik základních aproimací: 3) 3) 33) 34) 35) 36 ) 36 ) Prokaždéceléčíslo n 0je e = cos= sin= cosh= sinh= lg+)= k= lg )= k k! +on ) pro 0; ) k k k)! +on+ ) pro 0; ) k k+ k+)! +on+ ) pro 0; k k)! +on+ ) pro 0; k+ k+)! +on+ ) pro 0; k k ) k +on ) pro 0; k= k k +on ) pro 0; 7

9 37) 38) 39) +) α = arcsin= arctg= α k) k +o n ) pro 0 akaždé α R; k )!! k)!! k+ k+ +on+ ) pro 0; ) k k+ k+ +on+ ) pro 0. Poznámka 6.6. Jak snadno nahlédneme, je n- tý Taylorův polynom součtu resp. rozdílu dvou funkcí roven součtu resp. rozdílu jejich n- tých Taylorových polynomů. Taylorovypolynomylzei zkráceně )násobit,atotakto:jsou-li 40) T f a,n) = a j a) j, T g a,n) = b k a) k n-tétaylorovypolynomyfunkcí f,g,je n-týtaylorůvpolynomsoučinu fgroven součtuvšechvýrazůtvaru a j b k a) j+k,kde j+k n,tj.roven 40 ) T fg a,n )= n m=0 j=0 m a j b m j a) m. Jinými slovy: Podobně jako při tzv. zkráceném násobení čísel násobíme jen ty dvojicesčítanců,unichžjevýslednýmocnitelvýrazu a)nejvýšeroven n. Všechnytakovésoučinysečtemeazpravidlaiuspořádámetakjakove40 ). Příklad6.9.AbychomzískalipátýTaylorůvpolynomfunkce e arcsinostředu 0, násobíme pátý Taylorův polynom prvního faktoru pátým Taylorovým polynomemdruhéhofaktoru,aleponechámesijenmocniny m s m 5: 4) e arcsin= + 4 +o 5 ) ) o 5 ) ) = + + 6) ) 5 +o 5 )= o 5 ). Všechnyostatnísoučiny přešly podle0)a))do o 5 ). Taylorovy polynomy lze též dělit: Příklad6.0.PátýTaylorůvpolynomfunkcetgvbodě0lzezískatopět zkráceným )dělenímpátéhotaylorovapolynomufunkcesinpátýmtaylorovýmpolynomem funkce cos. Běžným algoritmem dostaneme tento výsledek: 4) tg= o 5 ) ) : o 5 ) ) = o 5 ). 73

10 Poznámka 6.7. Dělení Taylorových polynomů vede občas k funkci, která sice není polynomem, ale kterou lze přesto užít k itní aproimaci podílu. Tak např. dělením pátých Taylorových polynomů funkcí cos a sin dostaneme tento výsledek: 43) znějnapř.plyne,že cotg= o 5 ) ) : o 5 ) ) = o 4 ); 43 ) cotg= o 4 ), cotg 3 pro 0. Uveďme několik příkladů situací, kdy je užití Taylorových polynomů rychlejší a pohodlnější než aplikace l Hospitalova pravidla. Příklad 6.. Při výpočtu ity 44) A:= sin arcsin tg arctg najdemenejdřívenejmenší n N,proněžje n-týtaylorůvpolynomjmenovatele nenulový. Protože 45) tg arctg= o 3 )) 3 3 +o 3 ))= 3 3 +o 3 ), je n = 3. Po tomto zjištění sestavíme třetí Taylorův polynom čitatele: 46) sin arcsin= 6 3 +o 3 )) o 3 ))= 3 3 +o 3 ). Nakonecvydělímerozdíl46)rozdílem45)azkrátímevýrazem 3 3 ;jetedy 3 A= 3 +o 3 ) 3 3 +o 3 ) +o) = = +o). Poznamenejme, že symbol o) znamená jakoukoli funkci konvergující k nule. Příklad 6.. Při výpočtu ity 47) B:= nelze Taylorovy polynomy užít přímo, protože výrazy pod odmocninami mají itu +.Poúpravě,ponížbudoumítodmocňovanévýrazytvar+o),budevšak možné užít vzorec37). 74

11 Jmenovatel napíšeme proto ve tvaru = ) = o 3 ) ) + 3 +o 3 ) )) = 3 3 +o 3 ) ), čitatel ve tvaru = ) Ztohoihnedplyne,že B= = o 3 ) ) + 3 +o 3 ) )) = 3 3 +o 3 ) ) o 3 ) ) )= 3 3 +o 3 ) +o) +o) =. 48) Příklad6.3.Vypočtěme pokudeistuje itupro 0funkce Zidentit π arccos ) cotg=epf), kde f):=cotg lg π arccos ). π ) π arccos= π arcsin = π ) ) π +o)) = π +o) podle36 )a))plyne,že ) lg π arccos = +o) pro 0. π Vzhledemk43)jeproto f)= ) +o) ) π +o) = π +o) π pro 0, takže ) cotg= π arccos epf)=e /π. Příklad6.4.Je-li ϕt) apro t αaϕt) avšudevjistém Pα),platí podle věty o itě superpozice implikace f)=g)+oh)) pro a fϕt))=gϕt))+ohϕt)))pro t α. 75

12 Například při výpočtu čtvrtého Taylorova polynomu funkce eparcsin ) o středu0bude a=α=0amísto oarcsin 4 )lzepodle))psát o 4 );jetedy eparcsin ) = =+arcsin+ arcsin + 6 arcsin3 + 4 arcsin4 +oarcsin 4 ) = o 4 ) ) o 4 ) ) o 4 ) ) o 4 ) ) 4 +o 4 ) = ) ) o 4 ) = o 4 ) pro 0; zcela analogicky odvodíme identitu epsin)= o 4 ) pro 0. Tytodvěidentitynámdovolírozhodnout,zdalieistuječíslo n Ntak,žeita 49) eparcsin) epsin) n je konečná a nenulová. Protože se čitatel rovná o 4 )) o 4 )) = 3 3 +o 3 ) pro 0, splňujeuvedenoupodmínkučíslo n=3apříslušnáita49)jepakrovna 3. Zdokázanéhovýsledkudáleplyne,žeita49)jerovna0prokaždéceléčíslo n <3.Prosudáčísla n >3ita49)neeistuje,protožepříslušnáitazprava je+ azleva ;prolichá n >3jeita49)rovna+. 6 ) Příklad 6.5. Při zjišťování, zdali eistuje ita 50) A:= cos sin ) cosh arctg ) lg+ + 4 ) lg+ 4 ) ačemuserovná,začnemeopětjmenovatelem:protožepro 0je lg+ + 4 )= + 4 ) + 4 ) +o + 4 ) )= + 4 +o 4 ), lg+ 4 )= 4 ) 4 ) +o 4 ) )= 3 4 +o 4 ), jejmenovatel j)zlomkuv50)roven 4 + o 4 );budemeprotohledatčtvrtý Taylorův polynom čitatele. 6 )Proneceléeponenty nsesituacedálekomplikuje,protožemocnina n nemusíbýtpro <0definována. 76

13 Pro y 0je cosy= y +oy ), takže cos y= y +oy ), coshy=+ y +oy ), takže cosh y=+y +oy ), aza ymámedosadit resp. sin = 6 3 +o 3 )) = +o ) arctg = 3 3 +o 3 )) = +o ); pro 0jetedyčitatel c)zlomkuv50)roven +o )) +o 4 ) ) + +o )) +o 4 ) ) = 4 +o 4 ). Vdůsledkutohoje c) j) = 4 +o 4 ) 4 +o 4 = +o) ) +o) pro 0,takže A=.Čtenářsemůžesámpřesvědčit,žehledánítétoity l Hospitalovým pravidlem by bylo velice komplikované. Příklad 6.6. Při výpočtu některých it je výhodné užít jak l Hospitalovo pravidlo, tak i Taylorovy polynomy. Například itu 5) cosh cos ) /lg můžeme počítat takto: Podle l Hospitalova pravidla je lgcosh cos ) sinh +sin ) 5) = lg cosh, cos přičemž cosh cos =+ 4 +o 4 )) 4 +o 4 )) = 4 +o 4 ), sinh sin )= +o ))+ +o )))=8 4 +o 4 ). Limitanapravéstraně5)jetedyrovna4atotéžplatíoitěvlevo.Ztoho plyne,žeseita5)rovná e 4. l Hospitalovo pravidlo nám v tomto příkladu pomohlo odstranit nepříjemný zlomekna levé straně5)), jehož čitatel i jmenovatel má itu, zatímco podíl derivací čitatele a jmenovatele je daleko jednodušší. Před dalším derivováním čitatele a jmenovatele jsme však dali přednost Taylorovým polynomům, protože tento postupjeoněcopřehlednějšíavedekcílirychleji. 77

14 Cvičení Zapředpokladu,že a, b, c, α, β, γ, δ, εjsoukonečná)reálnáčísla, A, B, C kladnákonečná reálná) čísla a n N, vypočítejte užitím l Hospitalova pravidla nebotaylorovýchpolynomůnebokombinacíobou tytoity: 7 ) e a e b 6.0., kde a b sina sinb lg +) 6.0. lg 0 + 5) cos ep ) 4 cosh cos , kde a = b cosa cosb )tg π +tg +sin tg sin lgπ arctg)) 6.0. e e sin n 6.. ep +) sin+3cos 4 arctg e sin 6.3. ep )sin ) cos ) sin 4 lgcosa) 6.4., kde b 0 lgcosb) 7 )Ukaždéhopříkladudoporučujemezvážit,kterámetodapovedesnadnějiarychlejikcíli; před každým krokem je vhodné zamyslit se, zdali nelze aktuální situaci nějak zjednodušit. 78

15 6.5. sin tg)+ 3 ep )ep ) ) cos cos ) 6.7. sin a tg π ), kde a 0 a a 6.8. π/ π)tg 6.9. cos lg 4 ) lg + 4 ) 6.0. arcsin tg sin arctg 6.. arctg + + arctg ) + arctg 6.. ± ep ) +)lg+) 6.3. ) e +) e ) cos cos 6.5. lg ) 6.6. cose ) cose ) ep +5 4 ) ep 3 4 ) cos )cosh ) 6.8. cos tg) epsin ) ) cosh )lgcos) sin 3 tg 3 cotgsin) sin 3 +sin3 lg+) lg )) 79

16 lg+e )sin 6.3. lgcosh ) lgsin+ 4tg ) lgtg+ ) arcsin tg cosh ep ) +e sin 3 +3e sin sinharcsin ) )e α+β 3 3 +γ +δ+ε ) arccosa cos, kde a > )arccos ) arccos cos )arctg ) arcsin )ep ) 5 3 +argsinh5 +sinh , kde a = b cosa cosb ) 6.4. n ) lg +sin) lg +arcsin) n ep epsin) eparcsin) n ) / sin ) / arccos ) / π ) tg tg π/4 80

17 arctg ) / π/ sin)tg 6.5. tg 4 π )) cotg 6.5. π/+ cos)tg 4arctg π ) /arccos sinh)arctg/) 6 sin) ) / sin ) /arctg lg lg lg+ arccos arctg/) e + e e π/4 tg)/4 π) 6.6. ) tgπ/) ) / 3 ) /sinπ ) /lg+) sin ) +cos sin ) +cos A +B +C ) / ep sin ) + +)/arcsin +tg ) /sin sin 8

18 sin ) / lg+ ) sinπ ) cotgπ ep ) /arccotg +4 ) +/ + 4 cos ) 6.7. sin arctg arctg ) /lg ) ) cotg cos cos arcsin sin arcsin ) lg cotg ) sin/ep ) ) cotg/arctg ) / arctg) ) /arcsin sin) arctg arcsin sin)a/lg cos) a/lg 6.8. arccotg)/lglg) ) /lg arcsin sin)/lgarctg) lglg) ) /lglglg)) lg ± arccotge arccotge + ) / 8

19 6.85. e / cotg ep lg )cotg α +) / / ) α lg +) lg ) α lg arctg+) arctg α lg lg+) lg Řešení Profunkcezávisléna n Nnebona α Rjakojsounapř.funkcezpříkladů 6.0 a ) podává následující seznam řešení numerické hodnoty it jen proněkterá nresp. α,proněžjeitakonečnácožjenapř.v6.0hodnota/6 pro n=3).řešeníproostatní nresp. αjsouztechnickýchdůvodůuvedenaažna konci seznamu /b a ) /π lg n=3) a /b a /π ± α 3 γ lga /a b ) n=3) n=4) n=5) e 83

20 6.46. e / e /π e e / e e /π e e 9/ e e /π e /π e e / 6.6. e /π 6.6. e ABC e e / e 5/ e e e e / 6.7. e / e / e / e 3/ e e a e a e e α=) α <) /π α=) α ) Doplňky řešení 6.0.Limitajerovna0pro n=an=;jerovna+ prolichá n >3 aneeistujeprosudá n >3,protožepakseitazpravazleva)rovná+ ). 6.4.Limitajerovna0pro n=an=;rovnáse+ provšechna n > Limitajejerovna0pron=,,3;rovnáse prosudá n >4,neeistuje prolichá n > Limitajerovna0,je-li n 4;rovnáse prosudá n >5,neeistuje prolichá n > Limitajerovna0pro α <a+ pro α > Limitajerovna+ pro α Limitajerovna0pro α <a+ pro α > Limitajerovna+ pro α >. 84