Příklady ke cvičením z matematické analýzy- ZS 008/009- Série I. Jako slunce zastiňuje hvězdy svým jasem, tak i vzdělaný člověk může zastínit slávu druhých lidí ze společnosti, bude-li předkládat matematické úlohy, a dosáhne ještě víc, bude-lijeřešit. Brahmagupta. Opakování: úpravy algebraických výrazů, rovnice a nerovnice.upravtedanývýrazaurčetepodmínky,zakterýchmádanývýrazsmysl: a) ( 3 + + y y +y) : ( ) y 0, y 0, ±y; ] y y b) ( + ( ) 4 5) 5 0 Ê; 5 5 4 ] c) 3 8 8 3 3. 6 ]. Řešte v Ê následující rovnice a nerovnice: a) + <0,0 (,0; 0,99)] b) < (0; 3 )] c) 3 =6 { ;7}] d) + =5 {±3}] e) +3+ =+4 { ;}] f) + = 0; ] g)sin = h)3+ <0 { π 6 +kπ,5 π+kπ, k }] 6 0] i) + 0 ( ; ) ;+ )] j) 5 ;5 ] k)+ ln =0 = e ] 3.ŘeštevÊ,resp. Ê 3 následujícísoustavyrovnic: a) 9 + y = 7 3 + 4y = c) 3 y + z = + y + z = 5 6y z = 9 4. Určete definiční obor funkce: a) f()= 3 4 b) + 3 y = 4 + y = 3 ( ;) (6;+ )]
b) f()= ( )(+) c) f()= +5+6 ( ;0 (;+ )] ( ; 3) ( ;+ )] d) f()=ln( 4 ) ( 6;)]. Komplení čísla. Určete reálnou a imaginární část kompleních čísel: a) z= +i i + i +i z= 3 0 + 0 i] b) z= +i 3 i +(i )(4 i) z= 3 +3i] c) z= i + +i + i z= i]. Vypočítejte: 3i a) i+5 0 9 b) ( 3 i) 5 3 3.Vypočítejte(+i) 6 pomocía)moivreovyvěty b)binomickévěty. 8 i] 4. Převed te komplení číslo na goniometrický tvar: a) z=+ 3i. (cos π 3 + isin π 3 )] b) z= cos 7π+ 4 isin7π] 4 c) z= i 3 +i. ( cos 3π+ 4 isin3 4 π) ] 5.Řeštev rovnici z 3 =+i. 6.Vypočítejtereálnýparametr ctak,abyrovnice 6+c=0mělakomplení kořen, jehož imaginární část je rovna. Určeteobakořenyrovnice. c=3; =3 i, =3+i] 7.Určetevšechnareálnáčísla btak,abyprokompleníčísla z=3 biplatilo z > 0. Tato čísla znázorněte v Gaussově rovině. 8. Která komplení čísla vyhovují rovnici a) z. z+ z=6+i {+i, +i}] b) z 4 = z {0, ±, ±i}] c) z 4z+6=0 { ± i}] d) z iz+6=0? {3i, i}]
3. Důkazy.Dokažte,žečíslo n jeiracionálníprokaždépřirozené n.. Dokažte, že prvočísel je nekonečně mnoho. 3. Dokažte, že součet třetích mocnin tří po sobě jdoucích přirozených čísel je dělitelný devíti. 4.Dokažte,žeprovšechnapřirozenáčísla nje n 3 ndělitelnéšesti. 5.Dokažte,žeprovšechnapřirozenáčísla nje n 7 ndělitelnésedmi. 6.Dokažte,žeprokaždépřirozené nječíslo n 4 +3n dělitelnéčtyřmi. 7.Dokažteprovšechnapřirozená n:jestližečíslo n +nenídělitelnétřemi,pakje třemi dělitelné číslo n. 8. Dokažte binomickou větu: (a+b) n = n k=0 ( ) n a k b n k. k 9.Dokažte,žečíslodělíprokaždépřirozené nčíslo4 n+ +5 n. 0.Matematickouindukcídokažte,žeprokaždé n Æplatí a)++ +n= n(n+) b) + + +n = 6 n(n+)(n+) c) 3 + 3 + +n 3 =(++ +n) d) n! < ( ) n+ n,pro n e)+3+5+ +(n+)=(n+) f) g) + 3 + 3 4 + + n(n+) = n n+ 3 + 3 5 + 5 7 + + (n )(n+) = n n+.dokažte,žepro ϕ Êan Æplatí: (cosϕ+isin ϕ) n =cosnϕ+isin nϕ.
. Matematickou indukcí dokažte vzorec pro součet prvních n členů geometrické posloupnostisprvnímčlenem a =akvocientem q.rozlištepřípad q=aq. 3.Uvažujtearitmetickouposloupnost a n+ = a n + d, d Ê.Matematickouindukcí dokažte vzorec pro n-tý člen této posloupnosti. 4. Dokažte, že libovolnou částku peněz větší než 4Kč vyjádřenou v celých korunách lze sestavit jen užitím dvoukorun a pětikorun. 5.Fibonaccihoposloupnost {F n }=,,,3,5,8,3,...jedefinovánarekurentnětakto: F =, F =, F n+ = F n+ + F n pro n Æ. Dokažte,žeplatíidentita n F i = F i+. i= 6. Je dáno n navzájem různoběžných přímek v rovině, z nichž žádné tři neprochází jedním bodem. Na kolik částí rozdělí všechny tyto přímky rovinu? Své tvrzení řádně dokažte! 4. Funkce a jejich vlastnosti. Načrtněte grafy následujících funkcí: a) f ():y= ( ) b) f ():y= ln c) f 3 ():y=( 3) + d) f 4 ():y= + + e) f 5 ():y=sin( π )+ f) f 6():y=cos g) f 7 ():y= + + h) f 8():y=tg(+π) i) f 9 ():y=(+) 3 4 j) f 0 ():y=log (+) 3 k) f ():y= cotg l) f ():y=tg m) f 3 ():y= o) f 5 ():y= sin sin cos cos cos n) f 4 ():y= cotg cotg p) f 6 ():y=sin +sin q) f 7 ():y=lnsin r) f 8 ():y=ln(lnsin )
. Rozhodněte, které vlastnosti funkce má a které nemá: je/ není periodická/ sudá/ lichá/ omezená. a) f():y= cos b) f():y=ln( +5) c) f():y=ln( +5) d) f():y= + 3. 3. Rozhodněte, které vlastnosti funkce má a které nemá: je/ není rostoucí/ klesající/ nerostoucí/ neklesající. a) y=e + b) y=ln( ) c) y= ( ) +3, (; ). 4. Rozhodněte, které funkce jsou na svém definičním oboru prosté: a) f()= e + ano, Ê] b) f()=+log ano, >0] c) f()=+. ne, Ê] 5. K následujícím funkcím(na příslušném definičním oboru) stanovte inverzní funkci: a) f()= e +, Ê; f ()= ln( ); (; )] b) f()=+log, >0; f ()=0 ; Ê] c) f()=+, 0; f ()= ; ] d) f()= +, 0; f ()= ; ] e) f()=ln( ), D(f); f ()=( e ) ; ( ;ln ] f) f()=ln( 5), D(f); f ()= 5 ( e ); Ê] 6. Rozhodněte, které funkce jsou na svém definičním oboru periodické: a) f()=e cos b) f()=3cos4 c) f()=5+5sin( ) d) f()=cose. a)b)c)periodické] 7. U periodických funkcí z předchozího příkladu tohoto odstavce určete jejich primitivní(nejmenšíkladnou)periodu. a) p=π b) p= π c) p=4π]
Příklady ke cvičením z matematické analýzy ZS 008/009 Série II. 5. yklometrické funkce. Určete následující hodnoty: a)arcsin60,arcsin0,arcsin b)arccos π,arccos,arccos c)arctg0,arctg,arctg 3 d)arccotg( ),arccotg0,arccotg( 3).. Nakreslete grafy funkcí: a) arcsin(sin ) b)cos(arccos). 3. Určete definiční obor a obor hodnot funkcí: Látce rozumíte bezpečně teprve tehdy, kdyžjsteschopnýjivysvětlitvlastníbabičce. A. Einstein a) f():y=arccos( ) D(f)= 0;4, H(f)= 0;π ] b) f():y=arccos +5 D(f)= ;, H(f)= 5;5+π ] c) f():y=arctg D(f)=R\{0}, H(f)=( π ; π )\{0}] d) f():y=ln(arctg( )) D(f)=( ; ), H(f)=( ;ln π )] e) f():y=arcsin(ln ) D(f)= e ; e, H(f)= π ; π ] f) f():y=arctg. D(f)= 0;), H(f)= π 4 ; π )] 4. K daným funkcím najděte funkci inverzní: a) f():y=arccos( ) f ()=cos +, D(f )= 0;π ] b) f():y=arccos +5 f ()neeistuje, f()neníprostá] c) f():y=arctg f ()=cotg, D(f )=( π ; π )\{0}] d) f():y=ln(arctg( )) f ()= ( tge ), D(f )=( ;ln π )] e) f():y=arcsin(ln ) f ()=e sin, D(f )= π ; π ] f) f():y=arctg. f ()=( cotg ), D(f )= π 4 ; π )]
5. Ověřte platnost následujících identit: a) 0; arcsin =arccos b) ; arcsin +arccos = π c) R arcsin + =arctg d) ( ;) arctg =arcsin. y Π y Π y arcsin 0 Π y arccos Π 0 y y Π Π Π 0 y arctg y arccotg Π 0
Příklady ke cvičením z matematické analýzy ZS 008/009 Série III.. Supremum a infimum Látce rozumíte bezpečně teprve tehdy, kdyžjsteschopnýjivysvětlitvlastníbabičce. A. Einstein.Zjistěte,zdamnožina Mjeomezená(resp.omezenáshoranebozdola)aurčetejejí infimum a supremum. Zjistěte, zda eistuje maimum a minimum dané množiny: a) M= {4} b) M= { 3,9, 3, π,,ln} 3 c) M= 5,5π d) M=( 5,5π) e) M= 5,5π) f) M= Æ g) M=( ; π) h) M= É i) M= Ê j) M= { n ; n Æ} k) M= { ; n Æ} n l) M= {, 3,4 n+,...,,...; n Æ} 3 n m) M= {n m ; n Æ, m Æ} n) M= {n m ; m Æ, n > m}. Vyšetřete eistenci suprema a infima množiny A: a) A={sin, Ê} b) A={, Ê} + c) A={arctg, Ê} d) A={arccos, ; } e) A={arccos, ( ;)} f) A={arccos, 0;)} 3. Vyšetřete eistenci suprema a infima množiny M a podle definice dokažte, že jde skutečně o infimum/ supremum: a) M= { n n+ sup M=, inf M=] 3 b) M= { n+3, n Æ} n+ sup M=, inf M=] c) M= { ( )n, n Æ}. sup n M=, inf M= ] 4. Uved te příklad množiny, která má supremum, ale nemá maimum. 5. Uved te příklad množiny, která má infimum, ale nemá minimum.. Limita posloupnosti n+. Dokažte podle definice, že lim =. n n. Dokažte, že 0 a < a= lim n an = a > neeistuje a ( ).
00n 3. Vypočtěte limitu lim n n 3 +. 4. Ověřte, že 5. Vypočtěte limity: 000 a) lim n n c) lim n 3 n n+ lim n nm =0 Limitaposl.vevlastnímboděnemásmysl!] pro m É lim n nm =+ pro m É +. b) lim n d) lim n 000n 000 n + 3 n sin(n!) n+ ( ) n +3 n e) lim a)0 b)0 c)0 d)0 e) n ( ) n+ +3 ] n+ 3 6. Vypočtěte limity: a) lim n (n 3 n +n ) n 3 n c) lim n n 3 + e) lim n ( n 5 +3n n 5 3n + b) lim n (n 4 n 3 n 5 +4) d) lim n n + n 3 n 3 ) f) lim n 3n n+ 5n a)+ b) c) d)0 e)4 f)+ ] 7. Vypočtěte limity: ( a) lim ) n n n + n+ + n c) lim n + + +n n e) lim n (n 3) 0 (3n+) 30 (n+) 50 ( ++ +n b) lim n ) n n+ d) lim n 3 + 3 + +n 3 n 4 f) lim n n 3 +6n n 7n+7 8. Vypočtěte limity: a) lim n ( ) n! n c) lim n n a) b) c)+ d) e) ( ) 30 3 f)+ ] 4 n b) lim n n n 3 4 n d) lim n 5 n 9. Dokažte pomocí věty o limitě vybrané posloupnosti, že lim n sin nneeistuje.
0. Vypočtěte limity: n+ n+ n a) n lim n+ n + n c) lim n n e) lim n ( n+ n) b) lim n n+ 3 n+ 4 n n+ d) lim( n(n+a) n), a Ê n f) lim n ( ) n n( n+ n). Důležité příklady limit: a) b) c)0 d) a e)0 f)neeistuje] lim n lim n lim n lim n lim n n k an=0 a >, k Æ; a n n! =0 log a n =0 a >0, k Æ; n n k a= a >0; n n!=+.. Dokažte, že lim n n n=. 3. Vypočtěte limity: a) lim n k= n k(k+) 4. Vypočtěte limity: návod:aplikacevěty odvoupolicajtech ] n b) lim n k= n + k. a) lim n n A n + B n + n, A, B, >0 b) lim n sgn(n 3 000n +) n c) lim n ln n+n 3 + n +en +5 n log n+n 4 +5 n + n 3 4 n d) lim n (n+)!+(n+)! (n+)! (n+)! 5. Vypočtěte limity: (n+)(n +) (n m +) a) lim n (mn) m +] m+ b) lim n ln(n+) ln n
c) lim n (sin(ln(n+)) sin(ln n)) d) lim n ln(+e 3n ) ln(3+e 3n ) 6. Vypočtěte limity: a) m m (m+) b)0 c)0 d)] a) lim n ln(+ n+ 3 n) ln(+ 3 n+ 4 n) c) lim n 3n 3 cos(n) n 3 + b) lim n n4 +3n n 3 n3 + n d) lim n (n +)sinn 3n 3 7. Vypočtěte limity: ( a) lim + ) 8n+7 n n b) lim( n 5 3 sin n cosn) n n ( 3 c) lim n 3 + n 3 ) n 3 3n3 + n n k d) lim n n, Ê k= 8. Najděte limitu posloupnosti zadané rekurentně: a) a =, a = +,...,a n+ = +a n b) a >0, a n+ = (a n + ) an c) a =, a n+ = +a n. 9. Vypočtěte limity: ( p a) lim a 0 +0,85 ) kn, k Æ, a 0 >0 n 00 n { n n b) lim 365+ n cosnr 4 cosnr + 00 cosnr n}, R=90, N 58. 400
Příklady ke cvičením z matematické analýzy ZS 008/009 Série IV. Bez příkladů, pouček a cvičení seničemuneučí,ledanesprávně. Jan Ámos Komenský. Limita funkce V následujících úlohách vypočtěte limity:. a) lim 9+ 5 c) lim 8 3. a) lim 00 + 50 + b) lim + + 3 + + n n 3. a) lim 0 (+)(+)(+3) c) lim 0 (+m) n (+n) m e) lim m n ( m g) lim n ) m n b) lim ( d) lim ( 3 + ) ). 4 a) 3 b)0 c) 5 d) 3 8 ] a) 49 4 b) n (n+)] b) lim 0 (+)(+)...(+n) d) lim ( ) 0 ( 3 +6) 0 n+ (n+)+n f) lim ( ) h) lim ( 3 ) + a)6 b),f) n mn (n+) c) (n m) d) ( ) 0 3 e) m g) (m n) h) ] n 4 4. a) lim + 34 6 +5 b) lim ( + ) ( c) lim 4 3 3 + 3 ) d) lim 6 4 4 ( ) ( e) lim 3 ++ f) lim + + + + ) g) lim 0 + h) lim 0 n +
a+ a i) lim a + a j) lim 0 ( ) a) 3 3 b), c) 3 d) 4 e) 4 f) g) h) n i) a j)0] 5. lim 0 m + n + α α= m n α < 0 α > m > n..., m < n...+ 6. a) lim 0 m +a n +b b) lim 0 + 3 + 3 cos 7. a) lim 0 tg c) lim 0 cos b) lim π tg tga d) lim a a a) a m b n b) 3 ] a)neeistuje b) π c) d)+tg a] 8. a) lim + sin c) lim π sin n sin m a)neeistuje b)0 c) ± n m b) lim (sin + sin ) + d) lim a sin sina a (vzávislostinaparitě n, m) d) cos a sin a ] 9. a) lim 0 cos 3 cos sin c) lim 0 coscoscos3 cos a) b) c)4 d)0] ln(+3 ) 0. a) lim ln(+ ) c) lim a log a log a a b) lim 0 cos cos d) lim 0 + cos cos b) lim 0 + ln(cosa) ln(cos b) d) lim ( )log a)0 b) a b c) alog a. a) lim + c) lim 0 sgn d) log] b) lim arctg(ln ) + d) lim arccotg
( e) lim ) + f) lim e arctg + g) limln h) lim ( ) 0 tg a)+ b) π c) d) π e) f)0 g)+ h) ]. a) lim arccotg(e ) c) lim 0 + arctg(sin ) b) lim + arccotg(e ) d) lim + arcsin a) π b)0 c)+ d) π ] ( 3. a) lim b) lim(sin ) ) tg π ( ) ( ) +tg sin +a c) lim d) lim 0 +sin a a)e b) c) d)e a ] ( ) π 4. a) lim arcsin + + arcsin c) lim 0 ln(+) arctg b) lim π + 4 0 ( d) lim arctg π ) a) b) c) d) ] log α 5. a) lim, α, β >0 b) lim + β + c) lim 0+ α log β, α, β >0 d) lim + e +ln e) lim ln(e 3 +e 3 ) a)0 b)0 c)0 d) e) e 3 ] α eβ, α, β >0 ln(+e ) 6. a) lim 4 +7 44 6+8 c) lim + e) lim 0 arccotg(e sin ) + b) lim 0 ln( ) ( ) sin d) lim 0 cos +tg + f) limsin ln 0 ++ a) 5 b)neeistuje c)4 d) e) π f)0]
sin 7. a) lim 0 sin ( c) lim 5 a)0 b)e c)e d)e] ln(a+) ln a 8. a) lim 0 c) lim 0 log log0 log 0 ( ) 3 b) lim 3+ ) d) lim 0 + (+), a >0 b) lim + a) a b)+ c) d)neeistuje] 9. a) lim sin c) lim π π e) lim g) lim ln +4 +3 ( ) + + ( 9 +( ) e + arctg d) lim 0 cos b) lim + ln ( arctge ) d) lim 0 + 9 ( ) ( + f) lim + ) a)0 b) c) d) e) f) 3 g) 3 ] ( ) + + ) 0. a) lim 9+ ( ) arcsin c) lim π+arccotg a) 9 b) 5 c) d)3]. a) lim 0 esin cos c) lim π 6 sin +sin sin 3sin + b) lim log( +) log( 0 + +) 3 + d) lim sin(+) b) lim 0 cos cos3 a) b)4 c) 3]
Příklady ke cvičením z matematické analýzy pro učitele ZS008/009 SérieV.. Derivace funkce jedné reálné proměnné. Vypočtěte následující derivace: a) f (π), f()= +cos b) f (0), f()=tg(sin ) c) f (), f()=ln(+ + ) d) f (), f()=0 e) f ( 3), f()= +3 f) f ln (), f()=e g) f (), f()=(arctg) h) f (), f()=.. Ve kterých bodech mají křivky o rovnicích Matematika nám neslúži len na poznávanie prírody, alejetiežmohutnýmnástrojomnajejovládnutie. Štefan Schwarz y= 3 ay=3 4+ rovnoběžnétečny? (, ),(,0)] 3. Dokažte, že funkce f()=arctg +arcsin + jepro (0; )konstantníaurčetehodnotutétokonstanty. 4. Dokažte, že funkce f()=arcsin 4+ arcsin(8 ) je konstantní. Určete hodnotu této konstanty a definiční obor funkce f. 5. Vypočtěte derivace následujících funkcí ve všech bodech definičního oboru: a) f()=arcsin arcsin( ) b) f()=3 3 3 ( ) c) f()=+ arccos d) f()= +.
. L Hospitalovo pravidlo Vypočtěte limity:. a) lim 0 8 5 3 b) lim π arctg ln(+ ) lnsin a c) lim, a, b >0 0 + lnsin b a) ln4 ln5 b) c) d)0] d) lim ln 0 +. a) lim( e )cotg 0 ( c) lim π cotg π ) cos ( b) lim 0 ) e d) lim +sin sin a) b) c) d),alel Hnelzepoužít] 3. a) lim (sin π) ln c) lim e a) b)e c)0 d) ] ( 4. a) lim cotg ) 0 c) lim 0 + b) lim (sin ) ln 0 + d) lim 0 cos sin ( ) b) lim 0 π arctg d) lim 0 cosh cos a)0 b) c) d)] 5. a) lim 0 e e sin c) lim { α ln + } a) b) c)e α d)] ( b) lim 0 + ) d) lim 0 tg sin 6. lim 0 ln(+) 4 4+ 4 3 3 + 4 6sin 6+ 3 6]
Příklady ke cvičením z matematické analýzy pro informatiky ZS 009/00- Série VIII. To,costojízasdělení,sevejdedodvoutřířádků. Zbytekjsouvysvětlivkyknejasnýmformulacím.. Průběh funkce Při vyšetřování průběhu funkce postupujte podle těchto kroků:. definiční obor;. průsečíky grafu s osami souřadnými; 3. spojitost v bodech definičního oboru; sudost, lichost; 4. limity v krajních bodech definičního oboru a v bodech nespojitosti, pokud eistují; 5.asymptotyv av,vertikálníasymptoty; 6. eistence a hodnota oboustranné derivace, resp. jednostranných derivací; 7. maimální intervaly, na nichž je funkce monotónní; 8. etrémy a lokální etrémy; 9. maimální intervaly, na nichž je funkce konkávní, resp. konvení, inflení body; 0. nakreslete graf funkce a určete obor hodnot. Vyšetřete průběhy následujících funkcí: a) f()= +4 b) f()= c) f()=e d) f()= ln e) f()= ln f) f()= ln g) f()=e h) f()= e i) f()=arctg(ln ) j) f()= arctg k) f()= + + m) f()= + l) f()= + n) f()= e
Příklady ke cvičením z matematické analýzy ZS 008/009- Série VII.. Taylorova věta. Taylorův polynom.najdětetaylorůvpolynomstupně nfunkce f()vokolíbodu 0 : a) f()= e +e, 0=0, n= T ()= +] 4 b) f()=e, 0 =0, n=3 T 3 ()=++ 3 3 ] c) f()= +sin, 0 =0, n=3 T 3 ()=+ 7 4 3 ] d) f()= ln + +, 0=0, n= T ()=+ 3 ]. Najděte Taylorův polynom. stupně pro funkci f()= vbodě 0 =3.Vyjádřetezbytekazjehotvaruzjistěte,zdaje f(3,)většínež T (3,). T ()=+ ( 3) ( 8 3), T (3,) < f(3,)] 3. Pro která platí cos schyboumenšínež0,5 0 4? <0,86] 4.Jestliženahradímehodnotue 5 hodnotoutaylorovapolynomupátéhostupně,dopustímesechybymenšínež0 6? ano] 5. Pomocí Taylorova polynomu vypočtěte limity: ( a) lim 0 ) sin b) lim 0 sin 3 c) lim 0 e sin (+) 3 d) lim 0 cos arctg (e e ) 0] ] 6 ] 3 5] 6 6. Najděte Taylorův polynom. stupně pro funkci f()= vokolíbodu 0 =.Vyjádřetezbytekazjehotvarudokažte,zdaplatí f(0,9) > T (0,9). T ()=+ ( )+3( 8 ),neplatí]
7. Energie volné částice je v teorii relativity dána vztahem E= mc = m 0c. v c Ukažte,žepro v cpředstavujeveličina T= E m 0 c kinetickouenergiinewtonovské mechaniky.. Etrémy funkce na dané množině. Mezi všemi obdélníky se zadaným obvodem L najděte ten s největším obsahem. čtverecostraně L 4 ]. Do kruhu o poloměru R vepište obdélník s největším obsahem. čtverecostraně R ] 3. Z koule o poloměru r vyřízněte kužel maimálního objemu. poloměrpodstavy 3 r,výška 4 3 r] 4.Naválcovoukonzervusesmíspotřebovat Sdm plechu.jakémámítrozměry,aby měla co největší objem? poloměr podstavy r = S,výškar] 6π 5.Doelipsy4 +9y =36vepišteobdélníkmaimálníhoobsahu.Určetejehorozměry. a=3, b= ] 6.Určeterozměryválcovénádobys(resp.bez)víkatak,abypřiobjemulitryměla nádoba minimální povrch. r= 3 π, v= 3 8 π ;resp. r=v= 3 π ] 7. Určete stranu čtverce, který musíme vystřihnout ve všech rozích obdélníkového papíruorozměrech8cm 5cmtak,abyposloženívzniklakrabičkamaimálního objemu. cm]
PříkladykecvičenímzMAproinformatiky LS009/00 SérieI. Vyhýbám se s hrůzou nejjednoduššímu sčítání; ale podnes lituji, že jsem nebyl ani trochu zasvěcen do tajemství integrálů a diferenciálů. Nebot není, myslím, účelem střední školy, aby absolvent podržel slovíčka a vzorce, jimž se učil, nýbrž myšlenkové metody, na kterýchtovševisí.umět,tojedočasné,aleporozumět,tojetrvaléobohaceníducha. K. Čapek. Primitivní funkce.dokažte,žedanédvěfunkce F ()af ()jsouprimitivníktéžefunkciaurčete konstantu, o kterou se liší: a) F ()=ln +3, F ()=ln 4 b) F ()=cos, F ()=6cos +4sin.Dokažte,žefunkce F()jeprimitivnífunkcekf(): a) F()=(arctg+arctg )+π, f()= π, >0 b) F()=ln(+ +3), f()= +3. 3. Najděte příslušné primitivní funkce(a proved te zkoušku): a) ( 3 + )d b) (3 7)d c) d) g) j) (+) 3 d e) ( )( +)df) d 4 3 d + 3 d h) + + d i) 3 + d (sin cos)d k) (cos3+3+)d l) sind 4. Najděte primitivní funkce: a) b) c) d) e) d sin cosd e 5 d d, <0 +] ] 8 5 5 8 + 4 cos+ ] ] 5ln5e (5e) + 5 dy. 5 y+ ] 5. Najděte primitivní funkce(metodou substituce):
a) 5 3 d b) c) +3d ] 5 3 3ln5 + ] 3 (+3)3 + ] d 4 arcsin+ d) e) f) +4 d arctg ] + ] 4 + d arctg+ 4 +3 d. ] 3 6 arctg + 3 6. Najděte primitivní funkce(metodou substituce): a) b) c) d) e) +3d 3 ( +3) 3 + ] e +e d ln(+e )+] +e d ln(+e )+] 3 +9 d ln3 arctg3 + +4+5 d. 7. Najděte primitivní funkce(metodou per-partes): a) e d b) c) d) e) lnd ln(+)d cosd arctgd. ] arctg(+)+] e (+)+] ] 3 (3ln )+ 9 (+)ln(+) +] sin+ 4 cos+] arctg ln(+ )+] 8. Zvolte vhodnou metodu a najděte příslušnou primitivní funkci: a) tg d tg +]
sin b) 5cos d 5 cos+] c) sin d sin +] d) e) f) g) cos sin cos d ln d cotg d sin 3 d cotg tg+] ln +] ln sin +] cos + 3 cos3 +] h) i) d ( +arcsin ) + ] ( ) + d 3 3 + +] j) k) l) 3 +5d 3 sin d cos 3 sin d ( 3 +5) 3 + ] cos+sin +cos+] 4 cos4 +] m) n) o) p) q) r) s) ln d ln +] arcsin d arcsin + + ] sin lntgd cos lntg+ln tg( ) +] ln(+ + )d ln(+ + ) + + ] lnsin sin d cotg (+lnsin ) +] sin sin sin3d cos6 cos4 4 6 cos+] 8 sinln d. (sinln cosln )+]
Příklady ke cvičením z matematické analýzy LS 008/009 - Série II. Matematikovy výtvory, stejně jako malířovy či básníkovy, musí zaujmout svojí krásou... Krása je základním měřítkem a nepěkná matematika nikde ve světě dlouho neobstojí. G. H. Hardy. Najděte příslušné primitivní funkce. Správnost výpočtu si ověřte derivováním výsledku. a) b) c) d) e) f) d cotg (/) + ] cos sin d sin 5 cos d cos 3 d cos 4 d tg + tg 3 + ] 3 (tg tg ) d t g) ( + t ) dt návod: volte ϕ(t) = + t ] h) t + t dt návod: volte ϕ(t) = + t ] arctg i) + d návod: volte ϕ() = arctg ] j) a + b d + ] k) d návod: volte t = + + + l) m) a + a d d 4 návod: volte 4 = + t ] n) o) + sin d návod: volte t = tg ] d návod: volte t = tg (/)] 3 sin + cos + 5
p) q) r) sin d + 3 sin cos cos návod: volte t = tg ] d + + návod: volte + + = + t ] cos + sin d návod: volte z = sin, + z = z + t ] s) t) u) v) w) ) e e d ln e e + sin + cos d sin 3 cos sin + 5 cos d + ] ] návod: volte t = tg 4 ln tg + (tg + 5) ] + ( ) ] d 9 4 arcsin 3 + 9 d návod: volte t = 3 ] 4 + 5 d 6 ( 6 6 arctg 3 ) ] 6 + 3
Příklady ke cvičením z matematické analýzy- LS 008/009 Série III. Věděníjepoklad,alepraejekněmuklíč. Thomas Fuller Teoretický základ: určitý integrál Newtonův a Riemannův, nevlastní integrál, aplikace určitého integrálu. Určitý integrál. Vypočtěte: a) π 0 3 sin d π 3 6π] b) c) d) e) 3 0 0 4 6 0 4 9 +4 d π 4] ( + )d ] {, 0; f()d, f()= 8 8 +8ln3] 3 { 3, ;3 f()d, f()= +0, 3;4 3]. Vypočtěte nevlastní integrály: a) e d ] b) c) d) 0 0 3 0 + d ( d,integráldiverguje] ) d 3+ π ] + 9 4ln9 8]
e) f) 0 0 3. Vypočtěte: a) ln d ( 3)( 4) ln d b) integráldiverguje] d. integráldiverguje] 0 ln d. a) ;b) 4] 4. Rozmyslete si, zda lze u následujících příkladů použít nabízenou substituci: a) 4 d, =sin z nelze] b) π 0 +tg +k tg d, k >0, k, y=tg. přímonelze,problémv π ]. Střední hodnota. Vypočtěte střední a efektivní hodnotu střídavého proudu. Vypočtěte střední hodnotu funkce 3. Odhadněte hodnotu integrálu i(t)=i m sin ωt. I=0, I ef = I m] f(t)= +t naintervalu ;. π 4 ] I= 3 3 + d. 0.37 I.6] 3. Geometrický význam určitého integrálu. Určete obsah rovinného obrazce omezeného grafem funkce f: y= aosou. 9 j ]. Určete obsah obrazce omezeného křivkami o rovnicích y= a y=. 8 3 j ] 3. Určete obsah obrazce omezeného křivkami o rovnicích y= 3 a y=4. 8j ]
4. Určete obsah obrazce omezeného křivkami o rovnicích y=, y=a =0. (ln) j ] 5.Určeteobsahobrazceohraničenéhoparabolou P: y= +4 3ajejímitečnami vbodech T =0, y ]at =3, y ]. 9 4 j ] 6. Určete obsah rovinného obrazce ohraničeného grafy funkcí f()= cos3, g()=cos, π ; π. 4 3 j ] 7. Určete obsah rovinného obrazce ohraničeného grafy funkcí f()=, g()= 4,ah()=. 3 8 j ] 8. Určete obsah obrazce omezeného křivkami o rovnicích =, y= a y=, ( ;. 0 3 j ] 4. Aplikace určitého integrálu. Vypočtěte plošný obsah obrazce ohraničeného grafy funkcí a) f()=tg, g()=tg, 0, π 4 π 4 +ln ] b) f()=( )ln( ), g()=0, 0, 8 (ln +)] c) f()=cos, g()=0, π 4,0). π 8 4 ]. Vypočtěte délku křivky zadané parametricky a) (t)= (+t) 3, y(t)= ( t) 3, t, 7 ( 0 3,5 3 )] b) (t)= t, y(t)= +t, t, π] c) (t)= 4 t, y(t)=t+, t, π] d) (t)= t, y(t)= 9 t, t 3,3. 3π] 3. Vypočtěte objem sudu s parabolickou oblinou, je-li poloměr dna r, poloměr středníhořezu > ravýškasudu v? 4. Vypočtěte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného grafem funkce cos ) π sin,, ) π,, a)f()= b) f()= aosou kolemosy.načrtnětegraffunkce f(). a) π;b)π] 5.Křivka r=sinϕmátvar dvojlístku. VypočtěteplošnýobsahPjednoholístku. π 8 ]
6. Vypočtěte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného grafem funkce f()= (+ ), 0 3 aosou kolemosy.načrtnětegraffunkce f(). 3 6 π ] 7. Vypočtěte obsah čtvrtiny kruhu o poloměru R ležící v I. kvadrantu pomocí aplikace určitého integrálu. Souřadnice uvažujte a) kartézské b) polární. 8. Vypočtěte délku kružnice dané a) kartézsky b) polárně. 9.Vypočtěteobjemparaboloiduvýšky v. πv ] 0. Vypočtěte povrch pláště kužele o poloměru podstavy R a výšce v.. Vypočtěte délku křivky zadané v polárních souřadnicích r(ϕ)=4ϕ, ϕ 0,π. 4π +4π +ln(π+ +4π )]
Příklady ke cvičením z matematické analýzy LS 008/009- Série IV..MnožinybodůvE n ajejichvlastnosti Určete a nakreslete definiční obor funkce dvou proměnných f(, y) a rozhodněte, které z následujících vlastností množina D(f) má/ nemá: otevřená, uzavřená, souvislá, konvení, omezená, kompaktní? f(, y)=ln 5 y 3 f(, y)= + y f(, y)= 4 y f(, y)=arctg(y ) f(, y)= +y+ y jeotevřená] jeot.,uz.,souv.,konv.] jeuz.,souv.,konv.,omez.,komp.] jeot.,uz.,souv.,konv.] jeuz.,souv.,konv.] f(, y)= 4 + y jeuzavřená] f(, y)= ( + y) jeuz.,souv.] f(, y)=ln(ln(y )) f(, y)= + y jeotevřená] jeot.,souv.] f(, y)=cotg y f(, y)=arcsin y+ln(4 y ) jeotevřená] jekonv.,souv.,omez.] f(, y)= 4 y + y jesouv.,omez.] f(, y)= y + y. nemážádnouzuvedenýchvlastností]. Funkce více proměnných.načrtnětegraffunkce f(, y): a) f(, y)= + y Pozn.rotačníparaboloid] b) f(, y)= + y Pozn.rotačníkuželováplocha] c) f(, y)= y Pozn. sedlo ] d) f(, y)= +3y Pozn.rotační elipsoid ] e) f(, y)=8 y Pozn.rotačníparaboloid] f) f(, y)= 4. Pozn. tunel -polovinaválcovéplochy]
. Vypočtěte limity: y y 3 + a) lim,y],] ( y) 4 ] 3 y b) lim,y] 0,0] +y limita neeistuje] 5( + y ) c) lim,y] 0,0] + y +4 0] 4 y 4 d) lim,y] 0,0] y y e) lim,y] 0,0] + y y f) lim,y] 0,0] 4 + y. 3. Rozhodněte o spojitosti funkce 0] limitaneeistuje] limitaneeistuje] a) f(, y)=8 y funkcejespojitánasvémdef.oboru] b) f(, y)= y +y funkcejespojitánasvémdef.oboru] c) f(, y)= 4 y 4 y d) f(, y)= y + y e) f(, y)=sgn(sin( + y )). funkcejespojitánasvémdef.oboru] funkcejespojitánasvémdef.oboru] funkceneníspoj.vbodech {, y] Ê : + y = kπ, k }] 4.Vypočtěteparciálníderivace f(,y), f(,y) : y a) f(, y)= 3 y+ y +3 f =3 y+ y +3, f y = 3 y ] b) f(, y)=e +y f(, y)= f = f y ] c) f(, y)=arctg(+y) f = f y = +(+y) ] d) f(, y)=sin(+y) f =cos(+y), f y =cos(+y)] e) f(, y)= y f = y, f y = y ] f) f(, y)= y. f = y y, f y = y y ] 5. Napište rovnice tečných rovin k ploše +y +3z = rovnoběžnýchsrovinou α:+4y+6z=0. τ : +4y+6z =0, τ : +4y+6z+=0]
6. Dokažte, že plochy +y lnz+4=0 a y 8+z+5=0 sedotýkajívbodě T=, 3,]. vdanémboděmajítotožnétečnéroviny] 7.Vypočtětegradientfunkce fvbodě A: a) f(, y, z)= ; A=,3, ] (,, )] y+ z b) f(, y)=arcsin y ; A=,] ( 3 3, 3 3 )] c) f(, y)=y+3 y ; A=, 4] (8,0)] d) f(, y)= y ; A=,]. (, )] 8.Najdětebody, y],vekterýchmáfunkce f(, y)=ln +y gradientgradf(, y)=( 6 9,). A = 3 4, 3 ], A 3 4,7 3 ]] 9.Napišterovnicitečnérovinykploše z= ( + y )vbodě a) A=, ] +y =0] b) B=, ]. y z+ =0] 0.Určetebody,vnichžmáfunkce f(, y)= 3 + y 3 3y derivaci ve směru libovolného vektoru rovnou nule. A =0, 0], B =, ]]. Dokažte, že funkce u(, y)= +y y +y vyhovuje uvedené parciální diferenciální rovnici: u u y + u y =0..NapišteTaylorůvpolynomstupně n=3profunkci f(, y)naokolíbodu0;0]: f(, y)=cos cosy. T 3 (, y)=+ ( y )] 3. Vypočtěte totální diferenciál funkce f(, y)=arctg +y y. +y + ] ( y) +(+y) d+ ( y) +(+y) dy
4. Pomocí totálního diferenciálu vhodně zvolené funkce ve vhodném bodě vypočtěte přibližnou hodnotu arcsin 0,98,06 f(, y)=arcsin y vbodě,],. =0,49473] 5. Pomocí diference i diferenciálu určete změnu obsahu obdélníku, jehož strana a=65cmsezvětšíocmastrana b=,0msezmenšíocm. 6. Dokažte, že funkce vyhovuje parciální diferenciální rovnici 7. Vypočtěte totální diferenciál funkce u(, y)=ln( + y+ y ) u + y u y =. f(, y)= + y vbodě A=,]. 8. Napište rovnici tečné roviny k ploše určené grafem funkce f(, y)= 3 + y df(,)= 6 5 5 d+ 5 5 dy] vbodě A=,, z A ]. τ: z=0+3( )+4(y )]
Příklady ke cvičením z matematické analýzy LS 008/009 Série VI.. Etrémy funkcí více proměnných. Najděte lokální etrémy funkce více proměnných: a) f(, y)= 3 +3y 5 y lok.ma.vb., ],lok.min.vb.,]] b) f(, y, z)=+ y 4 + z y + z lok.min.,,],lok.ma.,, ]] c) f(, y, z)= + y + z ++4y 6z lok.min.vbodě,,3]] d) f(, y, z)= + y + z y +3y 4z+6 lok.min.vbodě 3, 4 3,]] e) f(, y)=6y 3 y 3 lok.ma.vbodě,]] f) f(, y)= (y ) funkcenemážádnýlokálníetrém] g) f(, y)=( +y +6y+34) lok.ma.vbodě, 4]] h) f(, y)= 9 + 4 y lok.ma.vbodě0,0]] i) f(, y)=e y ( +y )lok.ma.vbodech0, ±],lok.min.vbodě0,0]] j) f(, y)=e (+y +y) lok.min.vbodě, ]]. Určete absolutní maimum a minimum funkce f(, y)= + y 4y+ nauzavřenémtrojúhelníkusvrcholy A=0,0], B=3,0], =0,5]. 3. Najděte absolutní etrémy funkce f(, y)=y (4 y) vuzavřenéoblasti M= {(, y) Ê : 0, y 0, +y 6}. ma. f(0,5])=6,min. f(,])= 4] ma. f(,)=4,min. f(,4)= 64] 4. Najděte lokální etrémy funkce uvnitřobdélníku(0, ) (0, y). f(, y)=y+ 50 +0 y lok.min.vbodě5,]] 5.Najdětelokálníetrémyfunkce f(, y)= + y zapodmínky +y=. lok.min.vbodě,]] 6. Najděte absolutní etrémy funkce f(, y)= +y 4+8y vuzavřenéoblasti M= {(, y) Ê :0,0 y }. ma. f(,)=7,min. f(,0)= 3]
7.Určeterozměrypravoúhlévodnínádržeoobjemu3m 3 tak,abydnoastěnyměly dohromady co nejmenší povrch. 4m, 4m, m] 8. Určete rozměry kvádru s daným objemem V tak, aby kvádr měl minimální povrch. a=b=c= 3 V] 9. Číslo 4 rozložte na součet tří kladných čísel tak, aby jejich součin byl minimální. 0. Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(, y)= y vbodě;; f()].zjistěte,zdamáfunkcevbodě;]lokálníetrém.. Najděte lokální etrémy funkce f(, y)= + yln. 8+8+8] z=0,nemáetrém,jdeosedlovýbod] Vtěchtobodechnapišteobecnourovnicitečnérovinykegrafufunkce f.. Najděte lokální etrémy a sedlové body funkce f(, y)=lny y funkce nemá žádný lokální etrém] a napište obecnou rovnici tečné roviny ke grafu funkce f v některém z nalezených etrémů. lok.ma.,], z=ln 3] 3. Najděte lokální etrémy funkce f(, y)= (+y ). Vtěchtobodechnapišteobecnourovnicitečnérovinykegrafufunkce f. 4. Najděte lokální etrémy a sedlové body funkce f(, y)=y+ y ln lok.min.,0], f(,0)=, z= ] a napište obecnou rovnici tečné roviny ke grafu funkce f v některém z nalezených etrémů. lok.ma.vbodě, ], z=,sedlovýbod,]]
Příklady ke cvičením z matematické analýzy LS 008/009 Série VI.. Funkce více proměnných- derivace složené funkce. Jsou dány funkce f(u, v)=ue v, g(, y, z)=yz, +y+3z] afunkcesložená F= f g.vypočtěte F (, y, z). y. Jsou dány funkce F(a, b), a(, y)=y, b(y, z)=yz afunkcesložená f(, y, z)=f(a(, y), b(y, z)).vypočtěte f (, y, z). y z 3. Jsou dány funkce f (, y, z)= F F (y+yz)+ ] y z a b b F(a, b), a(, y, z)= + y, b(, y, z)= + z afunkcesložená f(, y, z)=f(a(, y, z), b(, y, z)).vypočtěte f (, y, z). y 4. Jsou dány funkce F(a, b), a(, y, z)=yz, b(, y, z)= + z f y (, y, z)=4y ( F a + F a b afunkcesložená f(, y, z)=f(a(, y, z), b(, y, z)).vypočtěte f (, y, z). y z 5.Necht z (Ê ).Transformujtediferenciálnívýraz f y z (, y, z)= F a yz+ F a b z + F a ] z y y z ) ] dopolárníchsouřadnic r, ϕ(=rcosϕ, y= rsin ϕ). Uvažujte(r, ϕ) (0, ) (0,π). ẑ ; ẑ(r, ϕ)=z(, y)] ϕ 6.Necht z (Ê ).Transformujtediferenciálnívýraz z + y z y dopolárníchsouřadnic r, ϕ(=rcosϕ, y= rsin ϕ). Uvažujte(r, ϕ) (0, ) (0,π). 7. Transformujte Laplaceův operátor r ẑ ; ẑ(r, ϕ)=z(, y)] r do polárních souřadnic. z= z + z y ẑ r + r ẑ ϕ + r ] ẑ r
. Funkce zadaná implicitně. Najděte pro funkci y = f() definovanou implicitně rovnicí y+sin y =0 Taylorůvpolynom3.stupněvbodě0,0]. T 3 ()= + 96 3 ]. Zjistěte, zda spojitá funkce y = f() definovaná implicitně rovnicí e +y y+y=0 je v bodě, ] rostoucí/ klesající/ konvení/ konkávní. klesající, konkávní] 3.Ověřte,ževokolíbodu A=0,0]jerovnicí F(, y)= 3 y sin y sin =0 implicitně definována funkce y = f(). Napište Taylorův polynom. stupně funkce f() vbodě 0 = 0apomocí tohotopolynomu vypočtěte přibližnou hodnotu f( 0,). T ()=, f( 0,). =0,] 4.Ověřte,ževokolíbodu A=,]jerovnicí F(, y)=ln y yln =0 implicitnědefinovánafunkce y= f().zjistěte,zdavokolíbodu 0 =jefunkce f()rostoucí,klesající,konvení,konkávní.máfunkce f()pro 0 = lokální etrém? Načrtněte graf funkce f() v okolí bodu A. rostoucí, konvení] 5.Ověřte,ževokolíbodu A=,0]jerovnicí F(, y)=y+cosy 3 =0 implicitně definována funkce y = f(). Napište Taylorův polynom. stupně funkce f()vbodě 0 =apomocítohotopolynomuvypočtětepřibližnouhodnotu f(,). 6.Ověřte,ževokolíbodu A=,]jerovnicí T ()=3( )+ 5 ( ), f(,). =0,375] F(, y)=+y ln y =0 implicitnědefinovánafunkce y= f().zjistěte,zdavokolíbodu 0 = jefunkce f()rostoucí,klesající,konvení,konkávní.máfunkce f()pro 0 = lokální etrém? Načrtněte graf funkce f() v okolí bodu A. rostoucí, konvení]
. VARIAE KONSTANTY
Příklady ke cvičením z matematické analýzy LS 008/009 Série VI. Rozcvička a) Najděte všechna řešení diferenciální rovnice Moudrý je ten, kdo zná spíše užitečné věci než mnoho věcí. Aischylos y ( ) = y ln y. Rozhodněte, zda je možné v bodě, ] použít slepení řešení. y = e ( ), slepená funkce by v daném bodě neměla derivaci ] b) Najděte řešení úlohy s podmínkou y(0) = y (0) = 0, y (0) =. y y + y = e y = e ] Snížení řádu a) Metodou snížení řádu řešte diferenciální rovnici y + y = + e. y = + e + ln (e + ) e ln (e + )] b) Metodou snížení řádu najděte všechna řešení diferenciální rovnice y + y y = 0. c) Metodou snížení řádu řešte diferenciální rovnici y = + e + 3 e, R] y = (y ) s počáteční podmínkou y() =, y () =. y = ( + ), (0, ) ] Homogenní a homogenizovatelné rovnice a) y = y + y =, R, > 0, resp. < 0] b) y = y + 9 3y + 3(y + ) ( + 5)(y + ) + ( + 5) = ] Bernoulliho rovnice a) y + y = y ln y( + + ln ) = 0] b) y = + y y, > 0 y + = 0]
Příklady ke cvičením z matematické analýzy LS 009/00 Série I. Vyhýbám se s hrůzou nejjednoduššímu sčítání; ale podnes lituji, že jsem nebyl ani trochu zasvěcen do tajemství integrálů a diferenciálů. Nebot není, myslím, účelem střední školy, aby absolvent podržel slovíčka a vzorce, jimž se učil, nýbrž myšlenkové metody, na kterýchtovševisí.umět,tojedočasné,aleporozumět,tojetrvaléobohaceníducha. K. Čapek Aplikace určitého integrálu- opakování Objem rotačního tělesa V = π b a y ()d. Vypočtěte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného grafem funkce a) f()= cos,, ) π b) f()= sin,, ) π aosou kolemosy.načrtnětegraffunkce f(). a) π;b)π]. Vypočtěte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného grafem funkce f()= (+ ), 0 3 aosou kolemosy.načrtnětegraffunkce f(). 3 6 π ] 3. Vypočtěte objem rotačního válce o poloměru podstavy R a výšce v. 4. Vypočtěte objem koule o poloměru R. 5.Vypočtěteobjemparaboloiduvýšky v. πv ] 6. Vypočtěte objem rotačního kužele o poloměru podstavy R a výšce v. 7. Vypočtěte objem elipsoidu určeného rovnicí a y z + + b c =. 8. Vypočtěte objem sudu s parabolickou oblinou, je-li poloměr dna r, poloměr středníhořezu > ravýškasudu v.
9. Objem tělesa, které vznikne rotací rovinného obrazce omezeného podmínkami 0 a b,0 y y()(kde y()představujespojitoufunkci),kolemosy y,je roven Dokažte! V y =π b a y() d. 0. Vypočtěte objem tělesa omezeného plochou, která vznikne rotací křivky y = sin, 0 π a)kolemosy, V = π] b)kolemosy y. V y =π ] Délka křivky dané parametricky L= t t (ϕ (t)) +(ψ (t)) dt. Vypočtěte délku křivky zadané parametricky a) (t)= (+t) 3, y(t)= ( t) 3, t, 7 ( 0 3,5 3 )] b) (t)= t, y(t)= +t, t, π] c) (t)= 4 t, y(t)=t+, t, π] d) (t)= t, y(t)= 9 t, t 3,3. 3π]. Vypočtěte délku jednoho oblouku cykloidy o parametrizaci (t)=a(t sin t), y(t)=a( cost), a >0,0 t π.
Příklady ke cvičením z matematické analýzy LS 009/00 Série II. Aplikace určitého integrálu pokračování. Určete plošný obsah obrazce ohraničeného grafy funkcí Obrazec načtrtněte! Moudrost není produktem vzdělání, aleceloživotnímúsilím. A. Einstein y=sin a y= ( π)(+π), π;π. 0 6 5 π3]. Určete plošný obsah obrazce ohraničeného polární osou a jedním závitem Archimédovy spirály dané v polárních souřadnicích rovnicí r = ϕ. 4 π3] 3 3. Určete obsah rovinného obrazce omezeného grafem funkce f: y= aosou. 9 ] 4. Určete obsah obrazce omezeného křivkami o rovnicích y= a y=. 8 3 ] 5. Určete obsah obrazce omezeného křivkami o rovnicích y= 3 a y=4. 8] 6. Určete obsah obrazce omezeného křivkami o rovnicích y=, y=a =0. (ln) ] 7.Určeteobsahobrazceohraničenéhoparabolou P: y= +4 3ajejímitečnami vbodech T =0, y ]at =3, y ]. 9 4 ] 8. Určete obsah rovinného obrazce ohraničeného grafy funkcí f()= cos3, g()=cos, π ; π. 4 3 ] 9. Určete obsah rovinného obrazce ohraničeného grafy funkcí f()=, g()= 4,ah()=. 3 8 ] 0. Určete obsah obrazce omezeného křivkami o rovnicích =, y= a y=, ( ;. 0 3 ]. Vypočtěte plošný obsah obrazce ohraničeného grafy funkcí a) f()=tg, g()=tg, 0, π 4 π 4 +ln ] b) f()=( )ln( ), g()=0, 0, c) f()=cos, g()=0, π 4,0). π 8 4 ]
.Vypočtětedélkuastroidyoparametrizaci (t)=acos 3 t, y(t)=asin 3 t, a >0, t 0; π. Jak velký plošný obrazec tato křivka ohraničuje? 6a; 3 πa] 8 3.Vypočtětedélkuobloukugrafufunkce y=lnsin, π 3 ; 3 π. ln3] 4.Křivka r=sinϕmátvar dvojlístku. VypočtěteplošnýobsahPjednoholístku. π 8 ] 5. Vypočtěte délku křivky zadané v polárních souřadnicích r(ϕ)=4ϕ, ϕ 0,π. 4π +4π +ln(π+ +4π )] 6. Vypočtěte moment setrvačnosti rotačního válce o hmotnosti m a poloměru R vzhledemkoserotace. J= mr] 7. Vypočtěte moment setrvačnosti plné homogenní koule o hmotnosti m a poloměru R vzhledem k ose jdoucí jejím středem. J= mr] 5 8. Vypočtěte moment setrvačnosti rotačního kužele o hmotnosti m a poloměru R vzhledemkoserotace. J= 3 mr] 0
Příklady ke cvičením z matematické analýzy LS 009/00 Série III. Dvojný integrál Zvědavost je nezřízená touha poznat věci neužitečné a zakázané. Jan Ámos Komenský Teoretický základ: dvojný integrál, Fubiniho věta. Proved te záměnu pořadí integrace: ( ) f(, y) dy d.. Vypočtěte: 0 0 y y f(, y) d dy a) e +y d dy, D = 0, 0, (e ) ] D b) sin y d dy, D =, 0, π 3 ] D c) D ( + y) d dy, D = {(, y); + y, 0, y 0} d) y d dy, D = 0,, D 4 3 ] ] ln 3 e) y e y d dy, D = 0, 0, ] D 3. Vypočtěte dvojný integrál e y d dy, jestliže množina M je trojúhelník s vrcholy 0, 0], 0, ],, ]. M ] e 4. Vypočtěte dvojný integrál e +y d dy, jestliže množina M je trojúhelník s vrcholy, 0],, 0], 0, ]. M ] e 3 e 5. Vypočtěte dvojný integrál e d dy, M jestliže množina M je lichoběžník s vrcholy A =, 0], B =, 0], = 0, ], D = 0, ]. e + e ]
6. Vypočtěte dvojný integrál cos ( + y) d dy, M jestliže množina M je trojúhelník ohraničený přímkami y =, = 0, y = π. ] 7. Vypočtěte dvojný integrál M ln( y) y d dy, jestliže množina M je rovnoběžník s vrcholy A = 0, ], B =, 0], = 0, 3], D =, ]. ln ln 3 ] 8. Proved te záměnu pořadí integrace: a integrál vypočtěte. 0 4 y 9. Vypočtěte dvojný integrál cos πy 4 d dy, y d dy, 0 ( 0 cos πy ) ] 4 dy d = 8 π jestliže množina M = {(, y) R + y, + y 0}. M ] 0 0. Vypočtěte dvojný integrál M d dy, y jestliže množina M je ohraničená křivkami y =, =, y =. 9 4. Vypočtěte pomocí dvojného integrálu obsah trojúhelníku AB, kde A = 0, 0], B = 3, 3], =, ]. Správnost výsledku si poté ověřte pomocí analytické geometrie. ]. Vypočtěte integrál d dy, M jestliže množina M je ohraničená křivkami y = 4, + y =, y =. 96 ] 3
Příklady ke cvičením z matematické analýzy LS 009/00 Série IV. Dvojný integrál substituce Představivostjejedinázbraňveválceprotirealitě. Teoretický základ: dvojný integrál, Fubiniho věta, polární souřadnice, Jacobiho matice. Vypočtěte sin + y ddy, M jestliže M= {(, y) R π + y 4π }. 6π ]. Vypočtěte (+y)ddy, jestliže M= {(, y) R + y, 0, y 0}. M 4 3 ] 3. Vypočtěte f(, y)ddy, f(, y)= 4 + y, D jestliže D značí přirozený definiční obor funkce f(, y). 56 5 π] 4. Vypočtěte +ysin( y)ddy, M jestliže Mječtyřúhelníksvrcholy0,0],,], π, π ],+ π, π ]. 6 3 ] 5. Vypočtěte jestliže M= {(, y) R a M + y 6. Vypočtěte a y b ddy,, a, b >0}. b + y ddy, 3 πab] jestliže M= {(, y) R + y R, R >0}. M 3 πr3] 7. Vypočtěte f(, y)ddy, f(, y)=e y, D jestliže D značí přirozený definiční obor funkce f(, y). π]
8. Vypočtěte M (+y) ddy, jestliže M= {(, y) R + y 36, y }. 35 4 π] 9. Vypočtěte (+y)ddy, jestližeuzavřenáoblast Mjeohraničenakřivkou + y = +y. M π ] 0. Vypočtěte e y +y ddy, M jestliže uzavřená oblast M je ohraničena trojúhelníkem s vrcholy0, 0],, 0],0, ]. 4 (e e )].Vypočtětemírumnožiny M E,ohraničenékřivkami y=0, + y =, y=, =.. Uvažujte množinu M z předchozí úlohy a vypočtěte ddy + y. ] π 8 3.Vypočtětemírumnožiny M E,ohraničenésrdcovkou(kardoidou) M ] ln(+ ) π 4 r(ϕ)=+cosϕ, ϕ (0,π). 3 π] 4.Vypočtětemírumnožiny M E,ohraničenélemniskatou ( + y ) =a ( y ). a ] 5. Dvojným nebo trojným integrálem vypočtěte objem tělesa, které je ohraničeno plochami z=6( + y ) 64, z=0. 8π]
Příklady ke cvičením z matematické analýzy LS 009/00 Série V. Trojný integrál Z toho, co člověk zná, nelze usuzovat, kolik nezná. Teoretický základ: trojný integrál, Fubiniho věta, sférické, eliptické a válcové souřadnice. Vypočtěte ( y z ) d dy dz, y M jestliže M = 0,, 0,. ln ]. Vypočtěte objem elementárního čtyřstěnu (tj. čtyřstěnu o vrcholech 0, 0, 0],, 0, 0], 0,, 0], 0, 0, ]). 6] 3. Vypočtěte míru množiny M ohraničené rovinami = 0, y = 0, z = 0, + y =, z = + y, ležící v prvním oktantu. 3] 4. Vypočtěte objem tělesa ohraničeného plochou z = 4 y a rovinou z = 0. 8π] 5. Vypočtěte + y + d dy dz, M jestliže M = {(, y, z) R 3 + y, z, 0, y 0, z 0}. π 6 ( ) ] 6. Vypočtěte y d dy dz, jestliže M = {(, y, z) R 3 0, y 0, + y z }. M 4 3] 7. Vypočtěte z d dy dz, jestliže M = {(, y, z) R 3 + y z 6}. M 34π] 8. Vypočtěte míru množiny M ležící v prvním oktantu, ohraničené podmínkami y + z = 6, 3y = 0, = 0, z = 0. 3] 9. Vypočtěte střední hodnotu funkce f(, y, z) = na elementárním čtyřstěnu o vrcholech 0, 0, 0],, 0, 0], 0,, 0], 0, 0, ]. 4]
0. Vypočtěte ( + y )z d dy dz, D kde D R 3 je válec o poloměru podstavy r = a výšce v = 5, osa válce je totožná s osou z, podstava válce leží v rovině z = 0, z 0. 00π]. Vypočtěte ( + y ) d dy dz, D kde množina D R 3 je omezená plochami + y = z, z =. 6 3 π]. Vypočtěte míru množiny M R 3, kde M = {(, y, z) R 3 + y r, 0, 0 z v } r, r, v > 0. vr] 3 3. Vypočtěte míru množiny M R 3, kde M = {(, y, z) R 3 + y + z az, z } + y, a > 0. πa 3 ] 4. Vypočtěte objem tělesa ohraničeného plochou ( ( y ) ( z ) ] + + = a, a, b, c > 0. a) b c 3 πa3 bc ] 5. Vypočtěte d dy dz, D kde množina D = {(, y, z) R 3 + y + z 5, + y 6}. Výsledek ověřte pomocí vztahů pro výpočet objemu koule, válce a kulového vrchlíku (rozmyslete si, jak množina D vypadá). 36π] 6. Vypočtěte d dy dz, D kde množina D = {(, y, z) R 3 + y + z 5, + y 9}. Výsledek ověřte pomocí vztahů pro výpočet objemu koule, válce a kulového vrchlíku (rozmyslete si, jak množina D vypadá). 44 3 π ]
Příklady ke cvičením z matematické analýzy LS 009/00 Série VI. Aplikace dvojného a trojného integrálu Hmotnost mtělesaoobjemu V ahustotě (, y, z): m= (, y, z)ddydz V Povězmiazapomenu;ukažmiajásivzpomenu; alenechmnesezúčastnitajápochopím. Konfucius Souřadnice těžiště dim desky D: (, y)ddy D T = (, y)ddy, y T= D y (, y)ddy D (, y)ddy D Moment setrvačnosti dim desky D vzhledem k souřadnicovým osám, y: I = y (, y)ddy, I y = (, y)ddy D D Moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose z: I z = ( + y ) (, y, z)ddydz V. Najděte souřadnice těžiště homogenní desky omezené křivkami ay=, +y=a, (a >0). T = a; y T= 85 a ]. Najděte souřadnice těžiště homogenní desky omezené osou a polovinou kardoidy 3. Vypočtěte objem koule o poloměru R r= a(+cosϕ), a >0, ϕ 0, π. T = 5 6 a; y T= 6 ] 9π a a) pomocí vztahu pro objem rotačního tělesa vzniklého rotací grafu funkce jedné proměnné kolem osy,
b) pomocí dvojného integrálu, c) pomocí trojného integrálu. 4. Vypočtěte souřadnice hmotného středu homogenní polokruhové desky o poloměru R a středu v počátku soustavy souřadné. T =0; y T = 4R ] 3π 5. Vypočtěte hmotnost polokoule o poloměru R se středem v počátku, ležící v polorovině z 0,je-lijejíhustota (, y, z)= + y. ] 4 5 πr5 6. Určete souřadnice těžiště homogenního tělesa ve tvaru poloviny rotačního elipsoidu ( a ) + ( y b ) + ( z c ), z 0. T =0; y T =0; z T = 38 c ] 7. Najděte souřadnice těžiště homogenní desky omezené osou a částí cykloidy (t)=a(t sin t), y(t)=a( cost), a >0, t 0,π. T = πa; y T = 5 6 a] 8. Rozložení tlaku p na ploše ( a ) + ( y b ) je dáno vztahem ( ) ( ) y p=p 0 (. a b) Vypočtěte střední hodnotu tlaku působícího na tuto plochu. p 0] 9.Vypočtětemomentysetrvačnosti I, I y vzhledemksouřadnicovýmosám, yhomogenní oblasti ohraničené kardoidou r=a(+cosϕ), a >0, ϕ 0,π. I = 3 πa4 ; I y = 49 ] 3 πa4 0. Určete moment setrvačnosti homogenní koule hmotnosti m o poloměru R a středu 0,0,0]vzhledemkose z. mr] 5
Příklady ke cvičením z matematické analýzy LS 009/00 Série VII. Křivkový integrál ze skalárního pole Neučímeseproškolu,aleproživot. Seneca. Odvod te vzorec pro výpočet délky křivky zadané v polárních souřadnicích rovnicí r=r(ϕ), ϕ α, β. L= β ] (r(ϕ)) +(r α (ϕ)) dϕ. Najděte parametrické vyjádření křivky zadané rovnicí 3 + y 3 =. Vypočtěte délku této křivky. astroida, 6] 3. Vypočtěte délku srdcovky popsané rovnicí 4. Vypočtěte délku cykloidy : r= r(ϕ)=+cosϕ, ϕ 0,π. (t)=a(t sin t), y(t)=a( cost), a >0, t 0,π. 5. Vypočtěte délku křivky dané parametricky: 8] 8a] (t)= t t, y(t)= +t +t, t,. π] 6. Vypočtěte hmotnost drátu ohnutého do tvaru čtvrtiny astroidy (t)=cos 3 t, y(t)=sin 3 t, t 0, π ohustotě (, y)= 3 y. 3 6 π] 7. Vypočtěte délku jednoho závitu Archimédovy spirály r=r(ϕ)=aϕ, a >0, ϕ 0,π. a ( π +4π +ln(π+ +4π ) )] 8. Vypočtěte ( + y) ds, kde jeúsečka AB,kde A=0,]aB=,4]. ] 3 3
9. Vypočtěte y ds, kde jeúsekcykloidy (t)=a(t sin t), y(t)=a( cost), a >0, t 0,π. 4πa a] 0. Vypočtěte ( + y + z ) ds, kde jeúsekšroubovice (t)=acost, y(t)=asin t, z(t)=bt, a, b R, t 0,π. a + b (πa + 8 3 π3 b ) ]. Vypočtěte (+y) ds, kde jeobvodtrojúhelníku AB, A=0,0], B=,0], =0,]. + ]. Vypočtěte (+y) ds, kde jeobvodpolovinykruhu,kterýmástředvbodě S=0,0],poloměr r=4a ] ležívpolorovině +y 0. 3 3. Vypočtěte z ds, kde jekřivka =tcost, y= tsin t, z= t, t 0,π. 3 ( )] (+π ) 3 4. Vypočtěte z ds, kde ječástkřivky =t 4, y=+t, z=t, t R,mezijejímiprůsečíky srovinami y=0, z=0. 4 ( 3 3) ] 3 5. Vypočtěte (3+z) ds, kde jeúsečka AB, A=4,,3], B=,3,3]. 4 ]
Příklady ke cvičením z matematické analýzy LS 009/00- Série VIII. Křivkový integrál ze skalárního a vektorového pole Nestačívědět,věděnísemusípoužít. Goethe. Vypočtěte (+y+ z) ds, kde křivka je dána parametrickými rovnicemi: (t)=4sint, y(t)=sin t 3cost, z(t)=sin t+3cost, t 0, π. 8 ].Vypočtětehmotnostobloukuvetvarukřivky y=ln,,,0 < <, je-li lineární hustota v libovolném bodě křivky číselně rovna čtverci vzdálenosti ( ) ] tohotoboduodosy y. (+ 3 ) 3 (+ ) 3 3. Vypočtěte (y+ z) ds, kdekřivka jetvořenaobloukemkřivky =t, y=cos t, z=sin t, t π, π a úsečkou, která spojuje koncové body tohoto oblouku. π] 4. Vypočtěte y ds, kde jeobvodparabolickéúseče y. 0] 5. Vypočtěte sinds, kde jeobloukemgrafufunkce f()=cosnaintervalu 0, π. 3 ( ) ] 6. Vypočtěte + y ds, kdekřivka jekružniceorovnici( ) + y =. 8] 7. Vypočtěte z ds, kdekřivka = {(, y, z) R 3 + y + z =, 0, z 0, y=0}. ]
8. Vypočtěte y ds, kdekřivka = {(, y) R 9 + y =, 0, y 0}. 3 4 ] 9. Vypočtěte ( ) e +y d+e +y dy, kdekřivka ječtvrtkružnice +y =8zbodu A=, ]dobodu B=, ]. Křivku načrtněte. 0] 0.Vypočtětedélkukřivky : (t)=sin4t, y(t)=cos4t, z(t)= 3t, t π, π.5π]. Vypočtěte (y+) d+( +4y) dy, kdekřivka ječástelipsy9 +4y =36mezibody A=0,3]aB=,0].Křivku načrtněte. 4]. Vypočtěte y ds, kdekřivka jeobvodemkruhovéúseče + y, y +. + ] 3. Vypočtěte y ds, kde jeobvodpůlkruhusestředemvpočátku,poloměrem r=,kterýležívpolorovině 0. Pozn. Obvod půlkruhu je půlkružnice a úsečka. 4π+ ] 6 3 4. Vypočtěte d dy +y, kdekřivka jeobvodemčtverceabd,kde A=,0], B=0,], =,0]. Uvažujte křivku orientovanou v kladném smyslu. 4]
Příklady ke cvičením z matematické analýzy LS 009/00 Série IX. Potenciál vektorového pole Vzdělání má hořké kořeny, alesladkéovoce. Démokritos.Najdětepotenciálvektorovéhopole F: a) F(, ( y)= e +y,e +y ) U(, y)=e +y + ] b) F(, y)= ( ) ] ( e y ) (+ ), e y U(, y)= ey + + + c) F(, y)=(e sin y, e cosy) U(, y)= e sin y+ ] d) F(, y, z)=(, (y+ z), y) polenemápoteciál] e) F(, y)=(y, + y ) U(, y)= y+ ] 3 y3 + ( ) f) F(, y++ 3 y y)=, + y + y ( ( )) g) F(, y)= cosy,siny cos 3 y ( ) h) F(, y y)= (y ) +, y (y ) y. Ověřte, že diferenciální forma (arccos y+ ) d+ U(, y)=arctg(y)+ + ] U(, y)= cosy+tg y+ ] U(, y)=ln y + y3 3 ] y + y+ dy y jetotálnímdiferenciálemnějakéfunkce f(, y)naoblasti G.Určetetutooblasta funkci f(, y)tak,abyplatilo f(, )=0. G={(, y) R >0 < y <}; f(, y)=arccosy y+ + π 3
3. Ověřte, že dané vektorové pole je potenciální a vypočtěte křivkový integrál (3y ) d+(6y y ) dy, kde ječástparaboly ] y = probíhanáodbodu A=4, ]dobodu B=0,0]. 8 3 4.Ověřte,žefunkce U(, y)=e +y,(, y) R R,jepotenciálemvektorovéhopole a vypočtěte křivkový integrál (e +y (+), e +y ) (+)e +y d+e +y dy, kde ječástparaboly y=( ) mezibody A=,0]aB=0,],probíhanáod bodu A do bodu B. Křivku nakreslete. e] 5.Ověřte,ževektorovépole(y, )jepotenciálníavypočtětekřivkovýintegrál y d+ dy, kde ječástelipsy9 +4y =36mezibody A=0,3]aB=,0],probíhanáod bodu A do bodu B. 0] 6. Ověřte, že diferenciální forma y d y y dy jetotálnímdiferenciálemfunkce f(, y)=arcsin, y >0, y < < y y a vypočtěte y d y y dy, kde ječástparaboly y=3 probíhanáodbodu A=, y A ]dobodu B= ], y B ].Křivku nakreslete. π 3
Příklady ke cvičením z matematické analýzy LS 009/00 Série X. Potenciál, rovnice ve tvaru totálního diferenciálu.určetereálnáčísla a, b tak,abyvektorovépole ( ay F(, y)= ) y +,ln b + y y 3 Tak, jak je snadné derivování, taknesnadnéjeintegrování. J. Bernoulli bylo potenciální. Vypočtěte pro tento případ potenciál daného pole. a=, b= ; U(, y)=yln y + + ] y +. Řešte následující diferenciální rovnice. Je-li to nutné, použijte metodu integračního faktoru: a)( y)d+(y )dy=0 3 3 y+ ] 3 y3 =, R b)e dy+( ye )d=0 +ye =, R] c) y d+(y3 +ln )dy=0 d)(+ y)d ydy=0 e)( + y+ )d+(y )dy=0 f)(y + y)d dy=0 yln + ] 4 y4 =, R ] + 3 ( y) 3 =, R y ] +ln +y =, R + ] y =, R g)( y )d+ydy=0 y =, R] h)(+y )d dy=0 e arctg y ] =, R i)(sin +e y )d+cos dy=0 e y cos=, R]
j)(sin y+ y)d+( cosy+ ln )dy=0 sin y+ yln =, R] k)yd+( y )dy=0 y ] 3 y3 =, R l)( 9y )d+(4y 6 3 )ydy=0 3 3 y + y 4 =, R] m)(y+ )d dy=0 n)(y+e )y + y +ye =0 y =, R ] ] y e + ye =, R 3. Při rovinném proudění je tvar proudnic určen diferenciální rovnicí d v (, y) dy v y (, y) =0. Určetetvarproudnic,jestližeprosložkyrychlostíplatí v =a, v y = ay,kde a jekonstanta. y= K, K R] 4. Řešte danou diferenciální rovnici s počáteční podmínkou y() =. 3y+ y +( + y)y =0 3 y+ ] y =0 5. Řešte danou diferenciální rovnici ) ) ( 4 + e4 + (4ysin y e4 y =0 y 4 s počáteční podmínkou y(0) =. y 5 5 5 + e 4 4 y 4 cosy = ] 4 cos
Příklady ke cvičením z matematické analýzy LS 009/00 Série XI. Potenciál vektorového pole tří proměnných Inteligenceneníchorobanakažlivá. O. Wilde. Ověřte, že diferenciální forma ( y ) d+ (arccotg y ) dy+dz + jetotálnímdiferenciálemnějakéfunkce f(, y, z)naoblasti G.Určetetutooblasta funkci f(, y, z)tak,abyplatilo f(,,0)= π 4. G={(, y, z) R 3 >0, y <0, z R} f(, y, z)=yarccotg+ + y + z+ π. Určete definiční obor vektorového pole F(, y, z)= (ln z y, y + 3 ) y ln z, + y 3 z a zjistěte, zda je potenciální. V kladném případě najděte příslušný potenciál. R, y >0, z >0 U(, y, z)= ln z y+ y3 ln z+, R 3. Určete definiční obor vektorového pole ( ln z F(, y, z)= y, y +y z, ) + y z z ] a zjistěte, zda je potenciální. V kladném případě najděte příslušný potenciál. >0, y 0, z >0 ] 4. Určete definiční obor vektorového pole ( F(, y, z)= + y + z, U(, y, z)= lnz y + y z+, R y + y + z, ) z + y + z a zjistěte, zda je potenciální. V kladném případě najděte příslušný potenciál. + y + z 0 U(, y, z)=ln + y + z +, R ]
5. Zjistěte, zda diferenciální forma ( y +z ) d+ydy+ ( z+ z 3) dz je totálním diferenciálem. Pokud ano, vypočtěte potenciál U(, y, z). U(, y, z)=y + z + ] 4 z4 +, R 6. Ověřte, že vektorového pole F(, y, z)= je potenciální v oblasti ( z y z + z, z y, + z ) y G={(, y, z) R 3 >0, y >0, z >0}. Najděte jeho potenciál U. 7. Určete rotaci vektorového pole kde r=(, y, z), r o. U(, y, z)= z y arctg ] z +, R F= k r 3 r, rot F= ] o 8.Ověřte,žeprosilovépole F(, y, z)=(y +z,y, z+ z 3 ) platí identita rot(rot F)=grad(div F) F. Nápověda: div F= F + F y y + F z ( z F gradf=, F y, F ) ( z rotf= Fz y F y z, F z F z, F y F ) ( y ) F F = + F y + F z
Příklady ke cvičením z matematické analýzy LS 009/00 Série XII. Opakování křivkový integrál Pokud neděláš chyby, nepracuješ na dostatečně těžkýchproblémech.atojevelkáchyba. F. Wikzek. Vypočtěte ds, kdekřivka jegrafemfunkce y= f()=arcsin +,. 4]. Vypočtěte (+y)d+(y )dy, kdekřivka = {(, y) R +y =4}(orientacikřivkyvoltevkladnémsmyslu otáčení). 8π] 3. Vypočtěte yd dy+ zdz, kde křivka je kladně orientovanou hranicí oblasti O={(, y, z) R 3 3+y+6z=6, >0, y >0, z >0}. 4. Vypočtěte ds +y, kdekřivka jeúsečka AB,kde A=,], B=3,4]. 6] ln3 ] 5. Vypočtěte d+y dy+ z dz, kde = {(, y, z) R 3 + y + z =4, =y, z 0}. ] ± 8 (dle orientace) 3 6. Vypočtěte F d r, kde F =( z, y, y)akřivka jedanáparametrickýmirovnicemi =t, ] y= t, z= t 3, t 0,,orientovanásouhlasněsrostoucímparametrem. 9 0