v 8--7 Reálná čísl N přirozená čísl: {,, 3, } Z celá čísl: {, ±, ±, ±3, } Q rcionální čísl: { b : Z, b N} R reálná č: délky, doplnění it, suprem/infim, řezy R \ Q ircionální čísl, π, e, ) C komplení čísl: { + jy :, y R}, j Tvrzení Číslo je ircionální Důkz: Sporem, předpokládejme b,, b N nesoudělná Pk b ; je dělitelné ; eistuje c N tk, že c; b c ; b je dělitelné ;, b soudělná spor Tvrzení Rcionální čísl jsou právě t, která mjí konečný nebo periodický dekdický rozvoj Důkz: : Při použití lgoritmu dělení celých čísel /b jsou možné zbytky jen,,, b, po přechodu přes desetinnou čárku se připisují jen, tkže se po nejvýše b ) krocích vše opkuje : Přenásobením číslem délk periody odečtením dostneme, že celočíselný násobek má konečný dekdický rozvoj Tvrzení Nenulová čísl s konečným dekdickým rozvojem mjí dv dekdické rozvoje Příkldy /7,4857, /3,3, /6,6;,7 7 74 ;,73 99 ;,3,9 lineární) uspořádání R, reálná os Definice Reálné číslo se nzývá: kldné, pokud > ; záporné, pokud < ; nezáporné, pokud ; nekldné, pokud Definice Pro kždé, b R, < b, rozeznáváme tyto typy intervlů s krjními body, b:, b) { R : < < b} otevřený);, b { R : b} pro, b R uzvřený);, b { R : < b} pro b R zlev otevřený, zprv uzvřený);, b) { R : < b} pro R zlev uzvřený, zprv otevřený) Body intervlu, které nejsou krjní, nzýváme vnitřní Tvrzení V kždém intervlu eistuje nekonečně mnoho rcionálních i ircionálních čísel hustot Q i R \ Q v R) Definice Rozšířená množin reálných čísel je R R {, + }, kde + se nzývjí nevlstní čísl Pro kždé R pokládáme: ) < < + ) + + 3) +, +,,, { +, >,,, <, Nedefinujeme:,, Poznámk Využití: věty o itách, popisy intervlů:, ) { R : < < } { R : < },, + ) R otevřené i s ± ) Definice Nechť M R Číslo z R se nzývá: horní závor M, pokud M z z pro kždé M); dolní závor M, pokud z M z pro kždé M) Množin M se nzývá: shor omezená, pokud má reálnou horní závoru; zdol omezená, pokud má reálnou dolní závoru; omezená, pokud je shor i zdol omezená Příkldy ) N je zdol omezená, není shor omezená ) Z není omezená ni zdol, ni shor 3), je omezená Definice Nechť M R Mimum M m M) je největší prvek M Minimum M min M) je nejmenší prvek M Supremum M sup M) je nejmenší horní závor M Infimum M inf M) je největší dolní závor M Příkldy m N neeistuje, sup N +, m,, sup, min, + ), m, ) neeistuje, sup, ) min, + ) sup, inf + Poznámky ) Jestliže eistuje mimum minimum) množiny, pk je zároveň supremem infimem) této množiny ) m M min M) eistuje právě tehdy, když sup M M inf M M) Vět Kždá množin reálných čísel má supremum i infimum jediné) Řez A B): A, B Q neprázdné, A B Q, A < B Řezy s m A nebo min B odpovídjí rcionálním číslům uvžujeme npř druhý typ), osttní ircionálním Rozšiřujeme relce operce z Q: A B ) A B ) pro A A ; A B ) + A B ) B + B ); A B ) A B ) B B ) pro A A Pltí sup M A B ) M A ), pokud přidáme Q, ) + Korespondence řezů dekdických rozvojů Vět princip vnořených intervlů) Jsou-li I n n N) uzvřené intervly I I, pk n N I n Jestliže nvíc délky intervlů I n klesjí k nule, pk je tento průnik jednobodový Důkz: Oznčme I n n, b n pro kždé n N Z předpokldů vyplývá, že 3 b 3 b b Množin { n : n N} je neprázdná, shor omezená kždým číslem b n, má tedy v R supremum, oznčme ho Protože b n pro kždé n N, má množin {b n : n N} v R infimum, oznčme ho b Protože b, je n N I n { R : b} Jestliže délky intervlů I n klesjí k nule, pk b Poznámk Podmínk uzvřenosti intervlů ve výše uvedené větě je podsttná: je-li I n, n pro kždé n N, pk I I I 3 n N I n
Funkce Definice Reálná) funkce reálné proměnné) f je zobrzení A R, kde A R je neprázdná Množin A je definiční obor funkce f Df)), množin fa) {f) : A} je obor hodnot funkce f Rf)) Grf funkce f je množin {[, f)] : Df)} Poznámk Pokud není zdán definiční obor, bereme mimální možný Definice Funkce f : A B je: prostá, pokud různým vzorům odpovídjí různé obrzy; n B, pokud její obor hodnot je B f : A n B); vzájemně jednoznčná bijekce), pokud je prostá n B Příkldy ) není prostá f) f )), je n, + ) ) 3 je prostá n R Poznámk Neostré uspořádání f g operce sčítání, odčítání, násobení dělení funkcí definujeme bodově Definice Složení funkcí f : A B g : B C je funkce g f : A C definovná předpisem g f)) g f) ) Příkld f), g) : g f)) g f) ) f) ) ) 4, f g)) f g) ) g) Definice Funkce g : Rf) A je inverzní k funkci f : A B, pokud g f)) pro kždé A Znčíme g f Vět Funkce f má inverzní funkci právě tehdy, když je prostá Pk Df ) Rf), Rf ) Df), f je inverzní funkce k f grf f je symetrický s grfem f podle osy prvního třetího kvdrntu přímky o rovnici y ) Příkld f) e : R n, + ) je prostá, má inverzní f ) ln :, + ) n R; f f f f Definice Funkce f je zdol, shor) omezená n A Df), pokud je zdol, shor) omezená množin fa) Poznámk Pokud neurčujeme A, myslíme Df) Příkldy ) je zdol omezená ), není shor omezená ) rctg je omezená 3) 3 není omezená zdol ni shor Definice Funkce f je rostoucí klesjící, neklesjící, nerostoucí ) n množině A Df), pokud f) < fy) f) > fy), f) fy), f) fy)) pro všechn, y A tková, že < y Tkové funkce se nzývjí monotonní, rostoucí klesjící funkce se nzývjí ryze monotonní Příkldy ) je klesjící n,, rostoucí n, + ) ) sign je neklesjící 3) je klesjící n, ) n, + ), není monotonní Vět Rostoucí klesjící ) funkce je prostá má inverzní funkci, která je rovněž rostoucí klesjící ) Definice Funkce f je: sudá, pokud f ) f) pro kždé Df); lichá, pokud f ) f) pro kždé Df) Příkldy ) je sudá ) 3 je lichá Poznámk Grf sudé funkce je symetrický podle osy y, grf liché funkce je symetrický podle počátku Definice Funkce f je periodická s periodou p >, pokud f + p) f p) f) pro kždé Df) Poznámk Pro periodu p, jsou i np n N) periody Nejmenší period pokud eistuje) se nzývá zákldní Příkld Funkce sin má zákldní periodu π Lineární trnsformce grf funkce: ) Grf f) + c je posunutý o c ve směru osy y ) Grf f + c) je posunutý o c ve směru osy 3) Grf c f) je c-krát roztžený od osy 4) Grf fc) c ) je c-krát stžený k ose y Pro c < opčná orientce nebo překlopení) Definice Množiny A, B mjí stejnou mohutnost krdinlitu), pokud eistuje bijekce A n B Množiny které mjí mohutnost N, se nzývjí spočetné Tvrzení Q je spočetná, R je nespočetná Důkz: ) b Q v zákldním tvru přiřdíme přirozeným číslům primárně vzestupně podle + b, pk libovolně ) Pro f : N R njdeme dekdický rozvoj čísl, které není v fn): jko n-tou cifru dekdického rozvoje vybereme cifru různou od n-té cifry dekdického rozvoje fn) od 9 Elementární funkce Mocniny N: ); inverzní ); i pro ; / ; p/q q p, p Z, q N, p, q nesoudělná: D p/q ) q liché q sudé ) p R, + ) p < ) R \ {}, + ) pro / Q pokládáme e ln, tedy Df), + ) Eponenciální o zákldu, + ) \ {}: impl e ); inverzní: logritmus o zákldu : log ; log log dekdický, ln log e přirozený) Pro Q je definováno viz mocniny), pro / Q dodefinujeme monotónně, tj npř pro > : sup{ q : q Q, q < } inf{ q : q Q, q > } Pro kždé, y R kždé > pltí +y y, ) y y Pro kždé, ), + ) pltí log y) log + log y,, y >, log y y log, > Eponenciální funkce i logritmy lze převést n zákld e: e ln, log ln ln
goniometrické: sin, cos, tg sin cos cos, cotg sin ; inverzní: rcsin, rccos, rctg, rccotg sin + cos sin + y) sin cos y + cos sin y cos + y) cos cos y sin sin y sin cos ) cos + cos ) π/6 π/4 π/3 π/ sin / / 3/ hyperbolické: sinh e e ), cosh e + e ), tgh sinh cosh, cotgh cosh sinh ; inverzní: rgsinh, rgcosh, rgtgh, rgcotgh cosh sinh Poznámk V C: cos e j + e j ), sin j e j e j ) Limity spojitost funkcí Definice Okolí bodu R o poloměru r > je U, r) { R : < r} r, + r) Prstencové okolí bodu R o poloměru r > je P, r) U, r) \ {} r, ), + r) Okolí bodů ± jsou r je reálné číslo): U, r) P, r) { R : < r}, r), U+, r) P +, r) { R : > r} r, + ) Definice Funkce f definovná v prstencovém okolí bodu R má v bodě itu b R f) b, f) b), jestliže pltí: Ke kždému okolí U bodu b eistuje prstencové okolí P bodu tk, že fp ) U Poznámk Obecněji it v hromdném bodě definičního oboru v kždém prstencovém okolí leží bod Df)) je dán podmínkou fp Df)) U Tvrzení Pro kždé R pltí: ) c c pro kždé c R ) Důkz: ) f U) R pro kždé U, npř P P, ) ) f U) U pro kždé U, npř P U \ {} Příkld + sin neeistuje: pro b R eistuje U b,, f U b ) neobshuje prstencové okolí + Jednostrnné ity zlev/zprv pro levá/prvá prstencová okolí body prstencového okolí nlevo/nprvo od ) Příkld sign, + sign + Vět Pro funkci f definovnou v prstencovém okolí bodu R je f) b právě tehdy, když f) + f) b Důkz: : pro P, δ) bereme jednostrnná prstencová okolí δ, ),, + δ) : pro δ, ),, + δ + ), δ min{δ, δ + } bereme P, δ) Poznámk Věty lze formulovt i pro jednostrnné ity Vět o jednoznčnosti) Kždá funkce má v kždém bodě nejvýše jednu itu Důkz: Pokud má v itu b, tk jiné číslo c R není itou: eistují disjunktní okolí U b, U c bodů b, c, f U c ) je disjunktní s f U b ) neobshuje tedy prstencové okolí Vět o monotonii) Je-li f g n prstencovém okolí R, f) b, g) c, pk b c Důkz sporem): Pro b > c eistují disjunktní okolí U b, U c bodů b, c prstencová okolí P f f U b ), P g g U c ) bodu, pro P f P g je f) > g) spor Příkld Ne pro <: < n, + ), v + stejná it Vět Funkce s vlstní itou v R je omezená n prstencovém okolí Důkz: Eistuje omezené okolí U ity, k němu P Vět Funkce s kldnou zápornou) itou v R je n prstencovém okolí kldná záporná) Důkz: Eistuje okolí U ity neobshující, k němu P Vět f) právě tehdy, když f) Důkz: f) U, ε) právě tehdy, když f) U, ε) Vět Monotonní funkce n otevřeném intervlu má v jeho krjních bodech příslušné jednostrnné ity supremum infimum funkčních hodnot) Důkz pro f nekles n I, b), b ): c sup fi), pro Uc, ε) eistuje d I s fd) > c ε, d, b) je levé prstencové okolí b s f d, b) ) Uc, ε) Příkld e : R n, + ) je rostoucí, tedy e inf, + ), + e sup, + ) + Příkld + +, >,,,, <, +, >,,, +, < Vět it součtu, rozdílu, součinu podílu funkcí) Limit součtu rozdílu, součinu, podílu) funkcí je součet rozdíl, součin, podíl) it, pokud je definován včetně opercí s nevlstními čísly) Důkz pro součet vlstních it): Pro Ub+c, ε) uvžujme fp f ) Ub, ε ) fp g) Uc, ε ), pk f + g)p f P g ) Ub + c, ε)
Příkldy ) + 3 + ) + nedefinováno + 3 + ) + ) +, + ) + nedefinováno 3) + +, nedefinováno ) + ) + Vět Je-li f) >, g) g) > n prstencovém okolí R, pk f)/g) + Poznámk ± Příkldy ) ) 3) ± ± ) ln ) 4 ± ± + + Vět o sevření) Je-li f h g n prst okolí R, f) g) b R, pk h) b Příkld sin stčí + sudá), π ), vět o sevření: sin < < sin cos < sin < cos > sin > cos Vět Je-li f), g je omezená n prstencovém okolí R, pk f) g) Důkz: g M, f) g) M f), vět o sevření Poznámk om om ± Příkld sin om Vět Je-li f g n prst okolí R, f) +, g) ), pk g) + f) ) Vět Je-li f) b {± } g je omezená n prstencovém okolí R, pk f) + g) ) b Důkz: Pro + : g M, f)+g) f)+m + Poznámk ± + om ± Příkld + cos ) + + om + Tvrzení Jestliže f) neeistuje, pk pltí: ) Je-li g) vlstní, pk f) ± g) ) neeistuje ) Je-li g) vlstní nenulová, pk neeistují f) g) ) f)/g) ) Důkz: Sporem, eistovl by f) podle věty o itě součtu, součinu, podílu Příkld + sin nee neeistuje Vět it složené funkce) Nechť pro, b, c R pltí: ) f) b, ) y b gy) c, 3) gb) c nebo f) b n prstencovém okolí Pk g f)) c Důkz: U c ): eistuje P b : P b g Uc ): eistuje P : P f Pb {b} 3): pro gb) c je P b {b} g g f U c, P U c, jink eistuje P : P f P b, P g f U c Příkld + e / y e y ) Příkld f) sin : f) ; gy) pro y, g) : y gy) ; g f)) pro { kπ : k Z \ {}}, jink ; g f)) neeistuje Definice Funkce f je spojitá v bodě Df), pokud ke kždému okolí U bodu f) eistuje okolí V bodu tk, že f V Df) ) U Funkce je spojitá, pokud je spojitá v kždém bodě svého definičního oboru Vět Funkce f definovná v okolí bodu je v bodě spojitá právě tehdy, když f) f) Poznámk Funkce f je spojitá v izolovných bodech Df) pro které je Df) disjunktní s některým prst okolím) Poznámk Podobně spojitosti zlev/zprv Příkldy ) je spojitá ) sign je spojitá v bodech R \ {}, není spojitá v bodě 3) Chrkteristická funkce, + ) je spojitá v bodech R \ {}, zprv spojitá v 4) Dirichletov funkce není spojitá v žádném bodě v žádném nemá itu): {, Q, d), / Q Poznámk Po částech spojitá funkce: v kždém omezeném intervlu jen konečně mnoho bodů nespojitosti, v nich konečné jednostrnné ity Vět ) Jsou-li f, g spojité v, pk f ±g, f g, f/g pokud je definován), f jsou spojité v ) Je-li f spojitá v, pk je omezená n okolí 3) Je-li f spojitá v, f) >, pk f) > n okolí 4) Je-li f spojitá v, g v f), pk g f je spojitá v
Vět Rcionální funkce jsou spojité Důkz: Spojitost konstnt,, součtu, součinu podílu Vět Mocniny, eponenciální, goniometrické hyperbolické funkce funkce k nim inverzní jsou spojité Posloupnosti Definice Nekonečná) posloupnost reálných čísel) je zobrzení N R Znčíme n ) n, n je n-tý člen nekonečněrozměrný ritmetický vektor obecněji n ) nn, n Z Příkldy ) n ) n, 4, 8, ) n q n geometrická s kvocientem q ), 3, 5, 7, ) n + n )d ritmetická s diferencí d 3) rekurentně, n+ n + n+ pro n N:,,, 3, 5, 8,, ) Fiboncciho) Pojmy věty jko pro funkce: omezená, monotonní stčí vzthy mezi n, n+ ), it Posloupnost s vlstní itou je omezená nejen lokálně) Vět Posloupnost n ) n má itu R n n n, n ), pokud pro kždé okolí U bodu eistuje n N tk, že pro všechn n > n je n U Definice Posloupnost s vlstní itou je konvergentní Vět Nechť f je definován n prstencovém okolí Pk f) b právě tehdy, když n f n ) b pro kždou posloupnost n ) n čísel z Df) \ {} s n n Příkld + sin neeistuje: n πn +, n sin πn, n π + πn) +, n sin π + πn) Definice Vybrná posloupnost podposloupnost) z posloupnosti n ) n je posloupnost kn ) n, kde k n ) n je rostoucí posloupnost přirozených čísel Poznámk n fn), k n gn): kn f g)n) Definice Číslo R je hromdná hodnot posloupnosti, pokud v kždém okolí leží nekonečně mnoho jejích členů Vět Limit posloupnosti je její hromdnou hodnotou Hromdná hodnot posloupnosti je itou některé její vybrné posloupnosti Důkz: Zřejmé Okolí U n hromdné hodnoty smršťující se k ní, kn U n tk, by k n ) n byl rostoucí Příkld Posl ) n) má hromdné hodnoty ± n Vět Kždá posloupnost má lespoň jednu hromdnou hodnotu omezená posloupnost vlstní ) Důkz: nebo +, pokud není omezená Pro omezenou sestrojíme posloupnost vnořených poloviční délky) uzvřených intervlů obshujících nekonečně mnoho členů posloupnosti, jejich průnik obshuje hromdnou hodnotu Vět Supremum infimum množiny hromdných hodnot posloupnosti jsou hromdné hodnoty této posloupnosti Důkz: Okolí U obshuje hrom hodnotu její okolí U U es superior sup n n ) es inferior inf n n ) Vět Pro posloupnost je ekvivlentní: ) Má itu ) Má jedinou hromdnou hodnotu 3) Limes inferior es superior posloupnosti jsou stejné 4) Kždá vybrná posloupnost má stejnou itu Vlstnosti spojitých funkcí Vět Weierstrss) Spojitá funkce n uzvřeném intervlu nbývá největší nejmenší hodnoty Důkz: Pro m sup fi) eistuje posloupnost n ) n tková, že f n ) n m, t má v I hromdnou hodnotu, k ní konverguje vybrná posloupnost kn ) n, ze spojitosti f vyplývá f kn ) n f), tedy m f) Příkldy ) f) n, ) ryze monotonní funkce n otevřeném intervlu) nenbývá mim ni minim ) f) n, ), f), f) n, nenbývá etrémů Vět o mezihodnotě) Je-li funkce f spojitá n intervlu I nbývá-li v něm hodnot m M, m < M, pk v tomto intervlu nbývá všech hodnot z intervlu m, M Důkz: c m, M), m, M se nbývjí v krjních bodech intervlu I, sestrojíme posloupnost vnořených poloviční délky) intervlů s hodnotmi v krjních bodech kolem c, jejich průnik obshuje, pro které f) c Důsledky ) Pro spojitou nekonstntní funkci je obrzem intervlu intervl uzvřeného uzvřený) ) Spojitá funkce n intervlu je prostá má inverzní funkci) právě tehdy, když je ryze monotonní Důkz: ) Npř pro < < 3, f ) < f ) > f 3 ), f ), f 3 ) < c < f ) e vzory c v, ) i v, 3 ) Poznámk Metod bisekce pro hledání nulového bodu spojité funkce n intervlu, b, f) fb) <, používá metodu důkzu věty o mezihodnotě Vět Inverzní funkce k ryze monotonní funkci n intervlu je spojitá Důkz: f n I, Df ), fb), npř b vnitřní bod I, U c, d) I okolí b, eistuje okolí V bodu neobshující fc), fd), f V Df ) ) U
Příkld f) n,, f) n, 3 je rostoucí i spojitá), inverzní není spojitá v Derivce funkce Okmžitá změn funkce jko it průměrných změn Definice Derivce funkce f v bodě je df d ) f f + h) f) ) h h Poznámky ) f f) f) ) ) Podobně jednostrnné derivce 3) Derivce funkce v bodě: f ) číslo, i nevlstní) Derivce funkce: f : f ) funkce, jen vlstní hod) Derivce: : f f operátor) 4) Funkce f má derivci n intervlu I, pokud f eistuje n I v přípdných krjních bodech I příslušná jednostrnná) Příkld Pro funkci f) 3 je 3 h 3 f ) h h h 3 h + + Vět ) ) ) 3) c) R c R je konstnt) ) D ) pro /, ), e ) e R sin ) cos R cos ) sin R D ) \ {} pro, ) Důkz: ) c) c c h h h ) pro N: n ) h h [ + h)n n ] h h n + n n h + + h n n ) h n n + + h n ) n n ) e ) h e +h e h e h e h h e e 3) pro sin : sin ) h sin+h) sin h h cos+h/) sin h/ h h cos + h/) h/ sin h/ h/ cos cos Příkldy ) 3 ) 3 3 3, R ) 3 ) /3 ) 3 /3 / 3 3 ), Vět Funkce je spojitá v kždém bodě, ve kterém má vlstní derivci Důkz: f) f) + f) f) f) + f ) f) Příkldy ) sign je nespojitá v, ) sign sign h sign ) h h h h + ) f) 3 je spojitá v, f ) + 3) f) je spojitá v, f ) neeistuje: f ±) h h ± h h ± ± ± + Poznámk Eistuje funkce spojitá n R, která nemá v žádném bodě derivci Vět o derivci součtu, rozdílu, součinu podílu) Mjí-li funkce f, g vlstní derivce v bodě, pk: ) f ± g) ) f ) ± g ); ) f g) ) f ) g) + f) g ); 3) je-li g), pk f g ) ) f ) g) f) g ) g) Důkz: f ± g)) f ± g)) f ) ± g ) ; f g f) f) f g)) f g)) f) f) g) + f) f ) g) + f) g ) ; ± g) g) ) ) f ) g ) [ f) f) g) f) g) g) [ f g) ) g) f) g ) ] g) g) ] g) g) Poznámky ) Podobně pro derivce funkcí nejen v bodě) ) Pro c R je cf) c) f +cf cf derivce násobku je násobek derivce ) 3) Zobrzení : f f je lineární 4) f + f + + f n ) f + f + + f n, f f f n ) f f f n + f f f n + + f f f n Příkldy ) 3 + + 7) 6 + ) e sin ) e sin + e sin + e cos 3) tg ) sin cos cos +sin cos cos ) sin ) cos sin cos ) cos Vět o derivci složené funkce) Má-li f vlstní derivci v, g vlstní derivci v f) b, pk g f má v derivci g f) ) g b) f ) Důkz: Oznčme f) y Funkce { gy) gb) y b, y b, ty) g b), y b, je spojitá v b, v okolí b je gy) gb) ty) y b), pltí g f)) g f)) g f) ) g f) ) gy) gb) ty) y b) f) f) y b) ty) g b) f ) Poznámky ) Schemticky pro f) y, gy) z: dz d dz dy dy d ) f n f f ) f n f f
Příkldy ) sin ) cos ) e cos 3 ) e cos 3 sin 3 ) 3 3) f) ) f ) Poznámk Obecnější vzorce pro R n R): e ) e, sin ) cos, cos ) sin Derivcí f f)) dostneme f f) ) f ) Vět o derivci inverzní funkce) Je-li funkce f spojitá ryze monotonní n intervlu I eistuje-li nenulová derivce funkce f v I, pk f ) f) f ) Důkz: Oznčme y f), b f) fi) je otevřený intervl, eistuje spojitá f n fi) f y) f b) y b f) f) y b ) f ) Poznámk Obvykle vycházíme z funkce, jejíž derivci chceme spočítt, tkže podmínky monotonie nenulovosti derivce ověřujeme pro inverzní funkci Příkld ln je inverzní k e y, která je spojitá, rostoucí má nenulovou derivci Pro Dln), + ) je ln ) e y ) e y e ln Vět rctg ) +, rccotg ) +, R rcsin ), rccos ),, ) Příkld Důkz vzorce o derivci pro R, > : ) e ln ) e ln Definice Derivci řádu n n-tou derivci) funkce f znčíme f n) nebo dn f d definujeme rekurentně f ) f, f n) f n )) pro n N Příkld Pro f) / dostáváme f ) ) f ) ) ) ) ) 3 f ) ) ) 3) ) ) 3) 4 f n) ) ) n n! n+ Poznámky ) Derivce řádu n je lineární zobrzení, tkže c f + c f + + c k f k ) n) c f n) + c f n) + + c k f n) k ) Derivce součinu dvou funkcí se počítjí následovně: fg) f g + fg, fg) f g + fg ) f g + f g + fg, fg) f g + 3f g + 3f g + fg, fg) n) n k ) n f n k) g k) k f) f) Aplikce derivcí Geometrické plikce směrnice sečny body [, f)], [, f)] f ) směrnice tečny v [, f)] tečn: y f) f ) ) y f) + f ) ) směrový vektor tečny kolmý k normále):, f ) ) normál: + f ) y + f ) f), pro f ), y f) f ) ) pro f ) Příkld Určete tečnu normálu grfu funkce f) e v bodě [,?] f) e, f ) e, f ) e tečn: y f) + f ) ) e + e ) e normál: y e e ) e + e + e ) Věty o střední hodnotě Vět Rolleov) Nechť pro funkci f pltí ) je spojitá n intervlu, b ; ) má derivci v kždém bodě intervlu, b); 3) f) fb) Pk f c) pro některý bod c, b) Důkz: pro konstntní je f n, b); nekonstntní nbývá minim nebo mim uvnitř, b ; npříkld pro mimum v bodě c, b): f c) f c) c f) fc) c, f c) f +c) c+ f) fc) c Příkldy Žádný předpokld nelze vypustit ) Funkce f) n, ), f) nesplňuje ) ) Funkce f) n, nesplňuje ) 3) Funkce f) n, nesplňuje 3) Vět Lgrngeov, o přírůstku funkce) Nechť funkce f je spojitá n, b má derivci v kždém bodě, b) Pk eistuje c, b) tk, že fb) f) f c) b ) Důkz: funkce g) f) f) fb) f) b podmínky Rolleovy věty, eistuje c, b): g c) f c) fb) f) b ) splňuje Tvrzení Je-li funkce f spojitá v bodě zprv eistuje-li f +), pk f +) f +) Důkz: z eistence f +) plyne eistence vlstní derivce tedy i spojitost f n prvém okolí ; pro z tohoto okolí podle Lgrngeovy věty eistuje c, ); pro + je c +; f +) f) f) + + f c ) c + f c ) f +) Poznámk Podobně pro derivci zlev, oboustrnnou
Příkld f) rcsin : f + ) + + + Příkld f) sin pro, f) : f ), f ) sin cos ) nee Tvrzení Cuchy) Nechť funkce f, g jsou spojité n intervlu, b, mjí vlstní derivci n, b) g ) n, b) Pk eistuje c, b) tk, že fb) f) gb) g) f c) g c) Důkz: funkce h) fb) f) ) g) gb) g) ) f) splňuje podmínky Rolleovy věty, eistuje c, b): h c) fb) f) ) g c) gb) g) ) f c), protože g ) n, b), je g c) tké gb) g) l Hospitlovo prvidlo Vět l Hospitlovo prvidlo) Nechť pro funkce f, g pltí: ) + f) + g) nebo + g) +, f ) eistuje ) + g ) R Pk f) + g) f ) + g ) Důkz: pro + f) + g) : f, g eistují g ) n některém, b, položme f) g) pk f, g jsou spojité n, b ); podle Cuchyovy věty pro,, b)) eistuje c, ): f) g) f) f) g) g) f c ) + g c ) + f ) c g + ) Poznámky ) Podobně pro itu zlev či oboustrnnou v R ) L Hospitlovo prvidlo lze použít opkovně Příkldy ln+) ) l H + ln ) + + l H / + + /) / + e 3) + + + l H e + + + l H e + + ln 4) + ln ) + / + l H / + / + ) 5) + + /) ep[ + ln + /)] ep [ ln+/) ] + / l H ep [ + /+/) )/ / ] ep[ + +/ ] ep e 6) + ln ) + ln e Poznámk Pokud it podílu derivcí neeistuje, nelze l Hospitlovo prvidlo použít To neznmená, že it podílu funkcí neeistuje: + omez, sin le + it podílu derivcí + cos neeistuje Poznámk L Hospitlovo prvidlo lze použít i pro výpočet it posloupností, pokud njdeme vhodnou funkci Npříkld n e n /n + e / + Tylorův polynom Vět Tylor) Nechť funkce f má spojité derivce do řádu n n,, f n+) eistuje v kždém bodě, ) Pk eistuje c, ) tk, že f) f) + f ) ) + + f n) ) ) n + }! {{ n! } T n) + f n+) c) n + )! )n+ T n ): Tylorův polynom funkce f v bodě řádu n, zbytek v Lgrngeově tvru Poznámky ) Podobně pro, ) n : f) f) + f c) ) Lgrnge) 3) f n+) spojitá, blízko c blízko f n+) c) blízko f n+) ) T n+ přesnější Důkz: T n ) f) T n) f ) n ) f n) ) T n) f) T n ) + M ) n+ gt) ft) T n t) Mt ) n+, t, Rolle n + )-krát: g) g) c, ): g c ) g ) Příkldy c n, c n ): g n) c n ) g n) ) c, c n ): g n+) c) f n+) c) M n + )! M f n+) c) n+)! e +! +! + + n! n cos! + 4! 4 6! 6 + sin 3! 3 + 5! 5 7! 7 + Poznámky ) Tylorův p sudé liché) funkce v je funkce sudá lichá) ) Tylorův p řádu n pro polynom P stupně n je P 3) Tylorov řd: nekonečný součet Pro výpočet sinu nebo kosinu stčí intervl, π 4 Npříkld cos 45 8 π cos 3 8 π cos 5 8 π cos 3 8 π sin π 8 Příkld Odhdněte sin π 6 Tylorovým p řádu 3 v T 3 ) 6 3, T 3 π 6 ),499 674 Protože T 3 T 4, je chyb sin π 6 ) T 4) sin5) c) 5! π 6 )5 π 6 )5, 37 Skutečná chyb je dost přesně rovn tomuto odhdu, T 5 dá výrzně přesnější hodnotu,5
Příkld Spočtěte číslo e s přesností 3, víte-li, že e < 3 f) e,, e f) T n ) e chyb c n+)! n+ 3 n+)! < 3 pro n 6 T 6 ),78 5, chyb, 6, odhd, 595 Průběh funkce Monotonie etrémy Vět o monotonii) Je-li funkce f spojitá n intervlu I má-li v kždém vnitřním bodě I derivci, pk: ) Je-li f ) > uvnitř I, pk f je rostoucí v I ) Je-li f ) < uvnitř I, pk f je klesjící v I 3) Je-li f ) uvnitř I, pk f je neklesjící v I 4) Je-li f ) uvnitř I, pk f je nerostoucí v I Důkz:, y I, < y Lgrnge: f) fy) f c) y), c, y) ) f) fy) < f) < fy) rostoucí ) 4) podobně Poznámky ) Je-li f n intervlu, pk f je konstntní ) Je-li f g n intervlu, pk f, g se liší o konstntu Příkld f) 3 3 + f ) 3 3 3 ) + ) f > n, ), + ) f rostoucí n,,, + ) f < n, ) f klesjící n, Příkld f) 3 f ) 3 f > n, ),, + ) f rostoucí n,,, + ) rostoucí n R Vět Je-li f ) >, pk eistuje okolí U bodu tk, že pro, y U, < < y, je f) < f) < fy) f je rostoucí v bodě ) Důkz: < f ) { f) f), f) < f) vlevo y + fy) f) y, fy) > f) vprvo Poznámky ) f ) < f je klesjící v bodě ) Pro f ) se nic netvrdí Definice Funkce f má v bodě lokální minimum lokální mimum), jestliže f) f) f) f)) n některém prstencovém okolí bodu Poznámky ) Lokální etrém: lok minimum nebo lok mimum ) Ostrý lokální etrém: ostrá nerovnost Vět Má-li funkce f v bodě lokální etrém, pk buď f ) neeistuje nebo f ) je stcionární bod f) Důkz: f ) > f rostoucí v není lokální etrém f ) < f klesjící v není lokální etrém Příkld f) 3 3 + viz dříve) f ) 3 3, eistuje všude, nulová v ± f ) 3 ostré lokální mimum f) ostré lokální minimum Příkld f) f ) sign pro, f ) neeistuje f) ostré lokální minimum Příkld f) 3 f ) 3 eistuje všude, nulová v f) není lokální etrém Vět Nechť f ) ) Je-li f ) >, pk f má v ostré lokální minimum ) Je-li f ) <, pk f má v ostré lokální mimum Důkz: ) f ) > f rostoucí v f ) < f ) < f y) pro < < y v některém okolí f klesjící vlevo, rostoucí vprvo v ostré lok minimum ) podobně nebo přechodem k f Příkld f) 3 3 + viz dříve) f ) 3 3,, ±, f ) 6 f ) 6 < ostré lokální mimum f ) 6 > ostré lokální minimum Příkld f) 3 f ) 3,,, f ) 6 f ) kritérium nerozhodne, není l e Příkld f) 4 f ) 4 3,,,3, f) ostré lok minimum f ), f ) kritérium nerozhodne, je l e f 3) ) 4, f 3) ) f 4) ) 4, f 4) ) 4 > Poznámk Pro f ) f n ) ) : ) f n) ) > ostré lokální minimum, ) f n) ) < ostré lokální mimum Vět Spojitá funkce n uzvřeném intervlu nbývá mim minim) buď v bodě, ve kterém má lokální mimum minimum), nebo v některém krjním bodě intervlu Důkz: Etrém ve vnitřním bodě je lokální Poznámk Porovnáváme hodnoty v bodech, kde derivce není nebo je nulová, v krjních bodech intervlu, které do něj ptří Ověříme ity v neptřících krjních bodech Příkld f) + n, + ) f ) +, nemá derivci:, stcionární body:, f ), ptřící krjní body:, f ), neptřící krjní body: +, + f) +, min f f ), m f neeistuje Konveit, konkvit, inflení body Konveit: ) spojnice grfu nd grfem, ) tečn pod grfem, 3) směrnice sečen rostou
Definice Funkce f je konvení n intervlu I, jestliže pro kždé, y, z I, < y < z, pltí fy) f) fz) fy) y z y konkávní pro, ryze konv pro <, ryze konk pro >) Vět Je-li f spojitá n intervlu I má-li v kždém vnitřním bodě I druhou derivci, pk: ) Je-li f ) uvnitř I, pk f je konvení ) Je-li f ) uvnitř I, pk f je konkávní Důkz: ) < y < z: f je neklesjící, Lgrnge eistují c, y), d y, z): fy) f) y f c) f d) fz) fy) z y Poznámk Podobně pro ostré nerovnosti s ryze Definice Bod [, f)] je inflením bodem grfu funkce f funkce f má v bodě inflei), pokud je funkce f spojitá v bodě, eistuje f ) funkce f je n některém jednostrnném okolí ryze konvení n některém jednostrnném okolí ryze konkávní Vět ) Má-li f v inflei, pk f ) neeistuje nebo f ) ) Je-li f ), f ), pk f má v inflei Poznámk f ) f n) ), f n+) ) inflee v Příkld f) 3 3 + f ) 3 3, f ) 6, f ) 6, f ) je inflení bod nebo: f < pro <, f > pro > f) p + q Asymptoty Definice Má-li funkce f v bodě R lespoň jednu jednostrnnou itu nevlstní, nzýváme přímku o rovnici symptotou grfu funkce f v bodě Asymptot grfu funkce f v bodě {± } je přímk o rovnici y p + q tková, že: ) f) p q Příkld f) +, Df) R \ {} ± f) ± je symptot v ± f) ) y je symptot v ± Vět Grf funkce f má v {± } symptotu o rovnici y p + q právě tehdy, když f) p, ) f) p q Příkld f) sin f)/ sin nee s v + nee Příkld f) f)/ + s v + nee Příkld f) ln ln )/ l H) ln ) + s v + nee Příkld f) + + +, Df) R \ {} ± ± symptot f) ) +, + f) symptot y + v + f), f) symptot y v Poznámky ) Je-li f) b R pro {± }, pk symptot v má rovnici y b ) Eistují-li symptot v {± } o rovnici y p + q f ), pk p f ) Příkld f) sin ± f) symptot y v ± ± f ) ± sin + cos ) nee Shrnutí vyšetřování průběhu funkce f: definiční obor, sudost, lichost, period, spojitost, ity v hrničních bodech Df), v bodech nespojitosti, symptoty f : monotonie, lokální) etrémy, obor hodnot, tečny grfu v hrničních bodech Df), Df ) f : konveit/konkvit, inflení body včetně tečen) Grf Příkld f) 3 3 + 3 Příkld f) +) Asymptotické chování funkcí Definice Nechť funkce g je definován n prstencovém okolí R ) Funkce f je třídy Og) f Og), f Og)) pro, pokud eistuje číslo M prstencové okolí P bodu tk, že f) M g) pro kždé P ) Funkce f je třídy Θg) f Θg), f Θg)) pro, pokud eistují kldná čísl m, M prstencové okolí P bodu tk, že m g) f) M g) pro kždé P Podobně pro jednostrnné ity, posloup- Poznámk nosti Poznámk f Θg) právě tehdy, když pltí f Og) g Of), tj právě tehdy, když g Θf) Vět Nechť R f) ) Je-li g) R, pk f Og) pro f) ) Je-li g) R \ {}, pk f Θg) pro Důkz: ) Vlstní it omezenost M n prstencovém okolí P bodu, tj f) M n P g) ) Limit bs hodnoty b eistuje m, b), M b, + ) prstencové okolí P bodu tk, že m f) g) M n P
Příkld f) 3 3 + 5 + f) 3 R \ {}, f Θ 3 ) pro + f) 5 R \ {}, f Θ) pro Poznámky ) Stčí příslušná omezenost f/g n prstencovém okolí sup f) <, pro Θ nvíc inf f) > ) g) g) ) Eistují různé definice Θ jen pro kldné/nezáporné funkce, bez bsolutních hodnot), shodují se pro kldné f) 3) g) : f g symptoticky ekvivlentní, speciální přípd f Θg)) f) 4) g) : f og) og) Og)) 5) Pokud oznčíme f og) pro n jko f g: ln n n > ) n > ) n! ) n n e πn n n 6) Obvykle +) npř chyb proimce Tylorovým polynomem), + npř konvergence integrálu), n npř konvergence řd, složitost lgoritmů) Vět Uvžujme pro R, g, g, g funkce n prstencovém okolí ) Tříd Og) je uzvřen n součet násobek ) Je-li f Og ) f Og ), pk f f Og g ) Důkz: ) f, f Og), c, c R; pro i {, } eistuje číslo M i prstencové okolí P i bodu tk, že f i ) M i g) n P i ; c f ) + c f ) c f ) + c f ) c M + c M ) g) n P P ) Pro i {, } eistuje číslo M i prstencové okolí P i bodu tk, že f i ) M i g i ) n P i ; f ) f ) M M g ) g ) n P P Poznámk Speciálně pro f Og), h, pltí fh Ogh) Příkld cos ) +O 3 )) ) + O 3 ) ) + O)) Neurčitý integrál Definice Funkce F se nzývá primitivní funkce k funkci f n intervlu I, jestliže F f n I Poznámky ) V krjních bodech jednostrnné derivce ) Lze zobecnit: n sjednocení intervlů; F f ž n konečnou či jinou) množinu 3) Ne všechny funkce mjí primitivní Tvrzení vlstnost mezihodnoty pro derivci) Nechť f je derivcí F n intervlu I,, b I, f) < d < fb) Pk eistuje c mezi, b tkové, že fc) d Důkz: G) F ) d má vlstní derivci je spojitá nbývá minim v c G ±) ) < < G ±)b), tj c mezi, b G c) fc) d Příkld sign není derivcí žádné funkce Poznámk Primitivní funkce k e eistuje, le nelze ji vyjádřit pomocí elementárních funkcí Vět ) Je-li F primitivní funkce k f n I, c R, pk F + c je primitivní funkce k f n I ) Jsou-li F, F primitivní funkce k f n I, pk F F je konstntní n I Důkz: ) F + c) F + F f ) F F ) F F f f F F konst n I Příkld N disjunktních intervlech mohou být konstnty různé, npř pro f) sign, : { + c, <, F ) + c, > Definice Množinu všech primitivních funkcí k funkci f n intervlu I nzýváme neurčitým integrálem f n I pokud je neprázdná) f f) d {F + c : c R} F + c Tbulkové integrály: d + + + c, intervly D ) ) d ln + c,, ),, + ) e d e + c, R ) sin d cos + c, R ) cos d sin + c, R ) d + rctg + c, R Příkldy ) 6 d 7 7 + c, R ) d 3 + c,, ),, + ) 3) 4 d 4 5 4 + c,, + ) 4) 5 d 5 6 5 + c, R Vět linerit) Jsou-li F,, F n primitivní funkce k f,, f n n I, c,, c n R, pk c F + + c n F n je primitivní funkce k c f + + c n f n n I Důkz: c F + + c n F n ) c F + + c n F n c f + + c n f n Příkld +3) +6+9 ln +c,, ),, + ) Vět integrce per prtes) Nechť n intervlu I eistují u, v, u v Pk uv uv u v n I Důkz: uv u v) u v + uv u v uv Vět Spojitá funkce n intervlu má primitivní funkci
Příkld + ) sin d u + v sin u v cos + ) cos cos d + ) cos + sin + c, R Příkld e d + 4) e + c, R Poznámk Podobně P ) e, P ) sin, P ) cos P polynom, ) Příkld I e sin d u e u e e cos + e cos d u e u e e cos + e sin I I e sin cos ) + c, R v sin v cos v cos v sin Poznámk Podobně e sin b, e cos b, b ) Příkld ln d ln + c,, + ) Příkld ln d ln d u ln v u v ln d ln ) + c,, ) Poznámk Podobně ln ) Vět substituce) Nechť α, β) ϕ, b) f R, ϕ eistuje n α, β), F ) je primitivní funkce k f) n, b) ) f ϕt) ) ϕ t) dt F ϕt) ) + c n α, β) ) Je-li ϕ : α, β) n, b) prostá G je primitivní funkce k f ϕt) ) ϕ t) n α, β), pk f) d G ϕ ) ) + c n, b) Důkz: ) d dt F ϕt) ) F ϕt) ) ϕ t) f ϕt) ) ϕ t) ) Gt) i F ϕt) ) jsou primitivní k f ϕt) ) ϕ t) Gt) F ϕt) ) +c ; eistuje ϕ ) G ϕ ) ) F )+c je primitivní k f Používáme v obou směrech) zápis: f) d ϕt) d ϕ t) dt f ϕt) ) ϕ t) dt Příkldy ) e d t d dt et + c, R ) ln d ln t d dt ln + c,, + ) 3) ln d e t d e t dt ln + c,, + ) 4) d sin t d cos t dt dt t + c rcsin + c,, ), t π, π ) Poznámky ) f+b) d + b t d dt F +b)+c ) ) f ) f) d f) t f ) d dt ln f) + c Příkldy ) + ) 4 d 5 + )5 + c, R ) 3 ) d 33 ),, 3 ), 3, + ) 3) tg d ln cos + c, π, π ) + kπ, k Z 4) 4+5 d ln 4 + 5) + c, R 5) rctg d rctg ln + ) + c, R Integrce rcionálních funkcí Rozkld rcionální funkce Definice Rcionální lomená) funkce je podíl dvou polynomů P Q, kde Q je nenulový Ryze lomená funkce je podíl dvou polynomů P Q, kde st P < st Q st ) Prciální zlomky jsou funkce ve tvru A ) n, A + B, A, B,, p, q R, n N, + p + q) n kde + p + q) nemá reálný kořen, tj p 4q < Poznámk V C jen první typ prciálních zlomků Vět Nenulový polynom lze jednoznčně) npst ve tvru ) k r ) kr +p +q ) l +p s +q s ) ls, kde r, s N {}, k,, k r, l,, l s N,,,, r, p,, p s, q,, q s R,,, r jsou různé reálné kořeny, +p i +q i i,, s) jsou různé nemjí reálné kořeny Vět Rcionální funkce se dá jednoznčně) rozložit n součet polynomu prciálních zlomků Jmenovtelé těchto zlomků dělí jmenovtel dné rcionální funkce Důkz: částečný) Dělením polynomů dostneme součet polynomu ryze lomené funkce P +L Pro jiný zápis P +L je P P L L polynom i ryze lomená funkce, tj nulová funkce tedy P P, L L Pro nenulovou ryze lomenou funkci P/Q k-násobný kořen polynomu Q k > ) je Q) ) k Q ) pro některý polynom Q s Q ) P ) Q) P ) Q ) ) k P ) P ) Q Q ) ) ) k Q ) Čittel má z kořen, je tedy roven )P ) P nulový pro nulový čittel), P ) Q ) P ) Q) ) k P ) ) k Q ) Snížili jsme stupeň jmenovtele, pokrčujeme dokud je kořen jmenovtele pk pro dlší kořeny V C nebo v R bez imginárních kořenů Q tk dostneme rozkld Postup: ) Dělení polynom + ryze lomená funkce) ) Rozkld jmenovtele n součin kořenových činitelů ireducibilních kvdrtických polynomů 3) Rozpis n prciální zlomky s neurčitými koeficienty 4) Určení koeficientů
Příkld + 4 5 8 8 + 4)+) + A 4 + B + Určení koeficientů: porovnání po přenásobení jmenovtelem: 5 8 A + ) + B 4) A) Stejné koeficienty, řešení regulární) soustvy lin rovnic: : 5 A + B A : 8 A B B 3 B) Doszení kořenů lineární rovnice s proměnnou): 4 : 6A A : 8 6B B 3 B ) Zkrývcí prvidlo: A 5 8 + ), B 5 8 4 4) 3 Příkld +5 ) +) A ) + B + C + Zkrývcím prvidlem A, C Porovnáme + 5 A + ) + B ) + ) + C ) A) Jen potřebné rovnice, dosdíme už určené koef, npř : B + C B + B B) Dosdíme do derivce A + B + ) + B ) + C ) vícenásobné kořeny : A + 3B + 3B B C) Odečteme prciální zlomek pro vícenásobný kořen, zkrývcí prvidlo pro zjištění koeficientu u nižší mocniny +5 ) +) ) 3+3 ) +) Integrce prciálních zlomků 3 )+) ) Mocnin lineárního polynomu ve jmenovteli: d ) n t dt d dt t n ) Mocnin kvdrtického polynomu ve jmenovteli: A + B A + p + q) n d + p) + B Ap ) + p + q) n d ) V čitteli derivce kvdrtického polynomu: + p + p + q) n d + p + q t dt + p) d dt t n b) V čitteli konstnt: převedeme n dt t +) I n n Pro n > uprvíme t + t I n dt t + ) n u t v t t +) n t + ) n dt I n + u v n )t +) n I n + t n )t + ) n n ) I n, t dt t + ) n dostneme rekurentní vzorec: t n 3 I n n )t + + ) n n I n, n N \ {}, I rctg t + c Příkld t 5 5 +5 d 5 dt t + d ) +4 5 4 d 4 ) + Příkld 6+) d 3) + t ) d 3 t I t t + + I t + + rctg t + c + rctg 3) + c, R 3 6+ ) Integrce dlších typů funkcí e t Re ) d ln t d t dt Rt) t dt R t, + ) ) Příkld e 4 + e +3 e 4 d e t t +t+3 tt ) dt, e 4 + e +3 e 4 d e t t 4 +t +3 tt 4 ) dt ) Rln ) d ln t d dt Rt) dt > ) Příkld ln +4) d ln t t +4 dt 3) tg Rsin, cos ) d t rctg t d t + dt sin sin cos sin + cos cos cos sin sin + cos π, π) t R tg tg + t t + tg tg + t t + Někdy nutno spojovt přes sousední intervly Příkld 5 3 cos d dt 4t + rctg tg ) + c + kπ pro π, π) + kπ k Z), ity v π + kπ 3) sudé mocniny R sin, cos ) Rsin, cos )): tg y Rsin, cos, sin cos ) d rctg t d sin cos sin sin + cos t + dt π, π ) t R tg tg + t t + cos sin + cos tg + t + sin cos sin cos sin + cos Příkld tg tg + d cos 4 sin t t + ) dt t t + 3b) lichá v sin nebo v cos: cos t Rsin, cos ) sin d sin d dt sin t sin t Rsin, cos ) cos d cos d dt cos t
Příkld d cos 5 sin t dt t ) 3 3c) sin n cos m d: pro liché m či n viz 3b); pro sudá m, n přechod k dvojnásobnému rgumentu sin cos ), cos + cos ) Příkld sin 3 cos 4 d cos t t 6 t 4 ) dt Příkld sin 4 d 4 cos + 4 cos ) d 3 8 cos + 8 cos 4) d 4) n >, d bc : ) n +b R, n + b c+d t d c + d R s t) d R st) dt 5) Odmocnin z kvdrtická funkce: vytknutím koef u, doplněním n čtverec lineární substitucí uprvíme n integrál ve tvru R, ± ± ), > Lze použít různé substituce: goniometrické, hyperbolické, Eulerovy 5) R, ) d,, ), npříkld sin t, t π, π ), cos t; uprvíme + ) )/ + ) použijeme substituci pro typ 4 Eulerov) Příkld 4 d sin t 4 cos t dt rcsin + 4 + c,, 5b) R, + ) d, R, npříkld sinh t, + cosh t; + + t Eulerov) Příkld d ++5 d + sinh t dt +) +4 5c) R, ) d,, ),, + ), npříkld cosh t, + sinh t ; + t Eulerov) Určitý integrál Definice Dělení intervlu, b je konečná množin D, b obshující, b Znčíme D {,, n }, < < < n b Definice Pro omezenou funkci f n, b dělení D intervlu, b zvádíme dolní horní integrální součet: n Sf, D) inf f i, i ) i i ) Sf, D) i n sup f i, i ) i i ) i Přidáme-li k dělení dlší bod, dolní součet se nezmenší horní se nezvětší Pro libovolná dělení D, D dostneme: Sf, D ) Sf, D D ) Sf, D D ) Sf, D ) Kždý dolní součet je menší nebo roven kždému hornímu součtu, supremum dolních integrálních součtů je menší nebo rovno infimu horních integrálních součtů Definice Je-li pro omezenou funkci f n, b supremum dolních integrálních součtů rovno infimu horních integrálních součtů, nzýváme tuto hodnotu určitý Riemnnův) integrál funkce f n, b Čísl, b se nzývjí dolní horní mez integrálu Znčení: b f, b f) d, R) b f, R) b f) d Poznámk Obecnější it pro c i i, i : fc i ) i i ) m i i i ) i Vět Pro omezenou funkci f n, b eistuje b f právě tehdy, když eistuje posloupnost D n ) n dělení, b tková, že Sf, D n) Sf, D n) n n V tkovém přípdě je integrál roven těmto itám Důkz: : eistují D n) n, D n) n: n) n Sf, D n) n b f, Sf, D b f, Sf, D n) Sf, D n D n) Sf, D n D n) Sf, D n), D n D n) n je hledná posloupnost dělení : sup D Sf, D) n Sf, D n ) n Sf, D n ) inf D Sf, D) sup D Sf, D), všude rovnosti Poznámk Pro eistenci integrálu ve výše uvedené větě stčí n Sf, Dn ) Sf, D n ) ) : inf D Sf, D) sup D Sf, D) Sf, D n ) Sf, D n ) Příkld b c d cb ) Sc, D n ) Sc, D n ) n i c i i ) cb ) Příkld sign d : D n {, n, }, Sf, D n) n n, Sf, D n ) Poznámk Hodnot integrálu nezávisí n hodnotách funkce v konečně mnoh bodech Poznámk Lebesgueův integrál dělení v oboru hodnot: d I λ f I) ), d I I I Nezávisí n hodnotách funkce ve spočetně mnoh bodech Příkld d) pro Q, jink R) d) d nee: Sf, D), Sf, D) L) d) d L) d, nebo λ, \ Q) + λ, Q) Lebesgueov mír spočetných mn je nulová, tj λq) ) Vět Monotonní funkce n uzvřeném intervlu má určitý integrál
Důkz: D n {, + b n,, b} ekvidistntní n n částí), Sf, D n ) Sf, D n ) b n fb) f) n Tvrzení Z kždého pokrytí uzvřeného intervlu otevřenými lze vybrt konečné pokrytí Důkz: Sporem Střed intervlu je pokryt některým otevřeným intervlem, zůstnou nejvýše nepokryté uzvřené intervly, lespoň jeden se nedá pokrýt konečně mnoh dnými intervly, ten vezmeme postup opkujeme Dostneme posloupnost I n ) n vnořených uzvřených intervlů, jejichž délky klesjí k nule n I n {c}, c je pokryto některým otevřeným intervlem, který le pokrývá všechny dosttečně krátké I n spor Tvrzení Je-li funkce f spojitá n uzvřeném intervlu I, pk pro kždé ε > eistuje δ > tk, že fy) fz) < ε pro y, z I tková, že y z < δ stejnoměrná spojitost) Důkz: ε > ; pro I e δ > : fu) f) < ε pro u U, δ ) I; u {y, z} fy) fz) < ε pro y, z U, δ ) I; {U, δ ) : I} je pokrytí I, vezmeme konečné; oznčme δ nejmenší vzdálenost různých) krjních bodů; pro y, z I, < z y < δ je v y, z nejvýše krjní bod; pokud, pk y je pokryto U, δ ) z; pokud, pk je pokryt U, δ ) y, z Příkld Funkce není stejnoměrně spojitá n, + ) Vět Spojitá funkce n uzvřeném intervlu má určitý integrál Důkz: f n, b ; pro n e δ n: fy) fz) < n pro y z < δ n, y, z, b ; e D n s intervly krtšími než δ n ; Sf, D n ) Sf, D n ) < n n b ) Vět Nechť funkce f, g jsou omezené n, b, b f, b eistují, c R Pk: ) b cf c b f ) b f + g) b f + b g 3) Je-li f g n, b, pk b f b g 4) b f b f Důkz: ) c : sup Scf, D) sup csf, D) c sup Sf, D) c b f, inf Scf, D) inf csf, D) c inf Sf, d) c b f; c < : sup Scf, D) sup csf, D) c inf Sf, D) c b f, inf Scf, D) inf csf, D) c sup Sf, d) c b f ) sup/inf int součtů f, g jsou ity pro společ D n ) n; inf fi) + inf gi) f + g)), pro I, inf fi) + inf gi) inff + g)i), Sf, D n ) + Sg, D n ) Sf + g, D n ) Sf + g, D n ) Sf, D n ) + Sg, D n ) podobně), it pro n 3) Sf, D) Sg, D), sup Sf, D) sup Sg, D) 4) f + ) m{f), }, f ) m{ f), }, e D n ) n: Sf, D n ), Sf, D n ) b f, Sf +, D n ) Sf +, D n ) Sf, D n ) Sf, D n ) n, b f + e, b f b f + f) e, b f b f + +f ) e, f f f b f b f b f g Příkld d) ) d neeistuje, d) d Poznámk Omezené integrovtelné funkce n, b tvoří lineární prostor, zobrzení b : f b f je lineární Vět Nechť < b < c funkce f je omezená n, c Pk c f eistuje právě tehdy, když eistují b f c b f V tkovém přípdě c f b f + c b f Důkz: D dělení, b, D dělení b, c, D D D je dělení, c obshující b, Sf, D ) + Sf, D ) Sf, D), Sf, D ) + Sf, D ) Sf, D), přechodem k supremu infimu: sup Sf, D ) + sup Sf, D ) sup Sf, D), D D D inf Sf, D D ) + inf Sf, D D ) inf Sf, D), D stejné sčítnce pod sebou právě tehdy, když stejné součty Definice Definujeme f, b f b f pro < b Poznámk Rovnost v předešlé větě pro libovolná, b, c Poznámk Po částech spojité funkce konečně mnoho bodů nespojitosti s konečnými jednostrnnými itmi) i po částech monotonní funkce jsou integrovtelné Vět Nechť funkce f je omezená n, b, b f eistuje, F ) ft) dt pro, b Pk ) F je spojitá ) F ) f) v bodech spojitosti funkce f Důkz: F je definován ditivit n definičním oboru) F +h) F ) +h ft) dt ft) dt +h ft) dt, ) f M n, b, F +h) F ) +h sign h +h M dt M h h ±) ) ) h F + h) F ) f) h +h +h +h ft) dt h ) ft) f) dt h ft) dt sign h +h ft) dt f) dt +h h ft) f) dt f spoj v : pro ε > je ft) f) < ε n okolí ) h +h ε dt h hε ε Důsledek Funkce spojitá n intervlu má n tomto intervlu primitivní funkci Důkz: I, F ) ft) dt přípdně +F )) Poznámk Derivce integrálu podle horní meze pro f d spojitou): d ft) dt f) Poznámk Po částech spojitá f: jednostrnné derivce F jsou rovny příslušným jednostrnným itám f Příkld f) sign : { F ) ft) dt dt, } dt,, F ) f ), F +) f+)
Vět Newtonov Leibnizov formule) Nechť funkce f je omezená n, b, b f eistuje F je primitivní funkce k f n, b) Pk b f) d [ F ) ] b F b ) F +) Důkz: f M n, b, n + n, b pro n n, pro, n ) Lgrnge): F ) F n ) fc,n ) n ) M n, F, n ) ) F n ) M n, F n) + M n I n, I n ) nn uzvřené vnořené intervly délek M n n, nn I n {F +)}, F +) eistuje podobně F b )); D {,,, n }, F b ) F +) n i F i ) F i ) ) Lgrnge) n i F c i ) i i ) n i fc i) i i ) Sf, D) F b ) F +) Sf, D) sup D Sf, D) F b ) F +) inf D Sf, D) Příkldy ) d [ ] ) π sin d u v sin u v cos [ cos ] π + π cos d π +[ sin ] π π+ ) π 3) + d + t d dt t dt 8 3 4) π sin cos d sin t cos d dt t dt Poznámk Newtonův int: N) b f) F b ) F +) Eistuje-li Riemnnův i Newtonův integrál, jsou stejné Příkldy ) r) b pro b, Z, b N nesoudělná, jink, N) r) d nee, R) r) d ) N) e d e, R) e d e, F nelze dobře vyjádřit 3) N) / d, R) / d nee 4) N) d, R) d nee Nevlstní integrál I neomezené funkce či intervly, nevlstní hodnoty Definice Nechť f :, b) R, b R) není omezená nebo, b) není omezený, d f eistuje pro kždý c, d c, b) Definujeme nevlstní integrál: b f) d c + e c f) d + d b d e f) d, pokud je výrz vprvo definován pro některé e, b) Je-li konečný, řekneme, že integrál konverguje Poznámk Výběr e není podsttný, pro e je: e c + c f e c + c f + e e f, d d d b f e d b e f e e f Příkldy ) + ) + 3) + d + [rctg ] π π ) π, konverguje d [ln ], eistuje, nekonverguje + d [ ln + ) ], neeistuje 4) + sin d [ cos ] + nee ) nee Příkldy ) + e d u v e u v e [ e ) ] + + e ) + ) + e / d t d dt et dt [ e t] e 3) + nelze + d + + d + + ) [ ] d ln + + d + ln, Poznámk Linerit, monotonie, odhd bsolutní hodnoty integrálu integrálem z bsolutní hodnoty pltí i pokud připustíme nevlstní integrály pokud eistují příslušné násobky či součty pro přípdné nevlstní hodnoty) Poznámk Definice integrálu by šl vylepšit v přípdě potřeby jko součet integrálů přes vhodné podintervly Npříkld /3 d /3 d + /3 d 6 Poznámk Alterntivní rozšíření o nevlstní integrály: Pro, b) n n, b n skoro disjunktní tkové, že b n f bn eistují, eistují b n n f ± I ± n n f ± Pokládáme b f I + I, pokud je rozdíl definován Pokud tento integrál konverguje, pk i b f I + + I konverguje bsolutní konverence integrálu) Newtonův integrál ni zvedený nevlstní integrál nejsou bsolutně konvergentní Příkld + d konverguje, + sin sin n d + Vět ) Jestliže f g n, b), b g konverguje f je po částech spojitá, pk b f konverguje ) Jestliže f g n, b), b f + g je po částech spojitá, pk b g + [ln ] { ), d [ ] + + + +, < + +, > [ln ] {, d [ ] + + +, > + +, < Tvrzení Nechť P, Q jsou nenulové polynomy, Q nemá v, + ) kořeny Pk + P Q konverguje právě tehdy, když st Q st P + Důkz: n st P st Q Z P ) Q) A R \ {}, npř A > n P ) eistuje b >, tk, že Q) n A, 3 A) pro > b An < P ) Q) < 3 An P Q Θn ) pro + ) 3 b An konv pro n <, b An pro n P b Q P Q konv právě pro n <, tj n
Příkldy +4+5 4 + d konv, +4+5 3 + d + Tvrzení Nechť P, Q jsou nenulové polynomy, c, b je jediný kořen polynomu Q v, b násobnosti n, není kořen polynomu P Pk b P Q {± } pro n sudé nebo c {, b}, jink neeistuje Důkz: P Q Θ c) n ) pro c Příkldy +4+5 3 + d nee, +4+5 +) 3 d + Příkld Lplceov trnsformce) Nechť funkce f :, + ) R je po částech spojitá má omezený eponenciální růst, tj eistují konstnty M, R tk, že ft) M e t f Oe t )) Lplceovým obrzem funkce f je funkce F dná předpisem F p) + ft) e pt dt Je definován pro p > Re p > v C): ft) e pt M e p)t, M e p)t dt [ M p e p)t] M p konverguje Příkld Γ) + t e t dt Konverguje pro > : t e t t, t dt konverguje pro > ; pro n je t e t t n e t, t n e t dt per prtes) [P n t) e t ] P n ) e konverguje Γ) e t dt [ e t ] ) Γ + ) t e t dt u t v e t u t v e t [ t e t] + t e t dt Γ) Γn) n )Γn ) n )! Γ) n )! Aplikce určitého integrálu Definice Střední hodnot funkce f n intervlu, b je b pokud integrál konverguje b f) d, Příkld Střídvé npětí ut) U sin πt T okmžitý výkon pt) R u t) U R sin πt T má n odporu R Jeho střední hodnot npříkld n intervlu, T ) je U R což pro stejnosměrný proud odpovídá npětí U e U efektivní npětí střídvého proudu) Vět o střední hodnotě) Spojitá spojitá funkce n uzvřeném intervlu nbývá své střední hodnoty Důkz: f n, b má primitivní F, podle Lgrngeovy věty je F b) F ) b F c) fc) pro některé c, b) Poznámk Aritmetický průměr fi) ) n je střední hodnot f, pokud použijeme Lebesgueův integrál vzhledem k i součtu Dircových měr µ n i δ i δ i M) pro i M, jink ): n f dµ) / n dµ) n n i fi) Vět Nechť funkce f g jsou po částech spojité n, b),, b R Obsh {[, y] : < < b, f) y g)} je b g) f) ) d Důkz: c, d, b): e D f,n ) n: Sf, D f,n ), Sf, D f,n ) n d c f, e D g,n ) n: Sg, D g,n ), Sg, D g,n ) n d c g, pro D n D f,n D g,n : Sg, D n ) Sf, D n ) P Sg, D n ) Sf, D n ), d c g f) P d g f) ; c ity c +, d b Příkld Obsh plochy uvnitř elipsy /) + y/b) je 4 b /) d πb Příkld Obsh plochy mezi grfy + ln n, ) je Vět Nechť funkce f má po částech spojitou derivci n, b) Délk grfu funkce f je b + [f )] d Důkz: Pro uzvřený intervl pk přípdně ity): délk supremum délek po částech lineárních interpolcí, ld) n i i i ) + [f i ) f i )] n i i i ) + [f c i ) i i )] n i + [f c i )] i i ), c i i, i ), S + f ), D) ld) S + f ), D), integrál i supremum délek interpolcí jko ity Příkld Délk stroidy /r) /3 + y/r) /3 je 4 r + [r /3 /3 ) 3/ ) ] d 6r Vět Nechť funkce f je po částech spojitá n, b),, b R Objem {[, y, z] : < b <, y + z f )} je π b f ) d Důkz: Pro uzvřený intervl pk přípdně ity): pro dělení D uvžujeme vepsné/opsné válce: Sπf, D) V Sπf, D) π b f V π b f Příkld Objem kužele f) r v n, v ) je π v r /v d 3 πr v Vět Nechť funkce f má po částech spojitou derivci n, b) Obsh plochy vzniklé rotcí grfu f kolem osy je π b f) + [f )] d Důkz náznk pro uzvřený intervl): supremum pro po částech lineární interpolce f, obsh pláště komolého kužele: π r+r s, n i π fc i) i i ) + [f i ) f i )] n i π fc i) + [f c i )] i i ) Sπf + f ), D) π b f + f )
Příkld Obsh sféry f) r n r, r ) je π r r + [ r r ) / ) ] d 4πr Souřdnice těžiště v rovině: T M y m, y T M m Momenty lineárních útvrů λ je lineární hustot): M y λ M λ b b + [f )] d, f) + [f )] d Příkld Těžiště čtvrtkružnice f) r n, r ) má souřdnice T y T π r Momenty plošných útvrů f, σ je plošná hustot): M y σ b f) d, M σ b f ) d Příkld Těžiště plochy pod obloukem kosinusoidy f) cos n π, π ) má souřdnice T, y T π 8 Číselné řdy Definice Nekonečná číselná) řd je výrz k k + +, kde k ) k je posloupnost čísel Číslo k je k-tý člen, n k k + + n je n-tý částečný součet, it posloupnosti částečných součtů je součet Řekneme, že řd konverguje, má-li konečný součet; diverguje, má-li nekonečný součet; osciluje, nemá-li součet Poznámky ) Obecněji kn pro n Z lze přeindeovt N) ) k k n k k) n Příkldy ) k diverguje: s n n, n s n + ) k )k + + osciluje: s n pro n liché, s n pro n sudé 3) k k + 4 + 8 + n n ) konverguje n Poznámk Cesrův součet n n k s k pro ) Poznámk V komplením oboru konvergence odpovídá konvergenci reálné imginární části Komplení čísl se doplňují o jediné, tkže eistují reálné) řdy, které v C divergují v R oscilují posloupnosti částečných součtů mjí z hromdné hodnoty ± ) Příkld Aritmetická řd s diferencí d je řd ve tvru ) k + k )d + + d) + + d) + + 3d) + Částečné součty s n n + n ), speciálně n k k + + + n nn + ) Definice Geometrická řd s kvocientem q je řd k q k + q + q + Vět k q k q pro q <, pro q řd nekonverguje Důkz: s n + q + + q n ) qs n q + + q n + q n ) q)s n q n ) s n q n ) q, q ) Příkld k 4 3 n 4/3 /3 4 3, q 3 ) Vět Jestliže k k, ) k k + b k ) k k + ) k c k c k b k konvergují, c R, pk k b k k k Důkz: Použití vět o itách součtu součinu pro posloupnosti částečných součtů Poznámk Ve výše uvedené větě postupujeme zprv dolev, obráceně to obecně nejde Část ) je speciální přípd nekonečné komuttivity socitivity, část ) je nekonečná distributivit Vět nutná podmínk konvergence) konverguje, pk k k Důkz: k k k s k s k ) k s k k s k s s Vět Řd s nezápornými členy má součet Jestliže k k Důkz: Posloupnost částečných součtů je neklesjící, má tedy itu Příkld k k + pro : nekonverguje členy nejdou k nule), má součet členy jsou nezáporné) Vět srovnávcí kr) Nechť k b k pro kždé k N ) Jestliže k b k konverguje, pk i k k konverguje ) Jestliže k k diverguje, pk i k b k diverguje Důkz: n k k n k b k, ity pro n eistují předcházející vět), vět o monotonii pro ity Příkldy ) Hrmonická řd: k + + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + k + + 4 + 4) + 8 + 8 + 8 + 8) + + + + + + ) : k /k k /k, diverguje Definice Řd k k konverguje bsolutně, pokud konverguje k k Vět Absolutně konvergentní řd konverguje Důkz: k R: + m{, }, m{, } +, + +, +, k k konverguje k + k, k k konvergují srovnávcí kritérium) k k k + k k ) k + k k k konv