Zákldí ojmy Autokou ásledujícího tetu je RND Vlst Kuková, CSc (UMAT FEKT VUT v Bě), kteé tří velký dík Úvy lgebických výzů Mociy odmociy Po kždé eálé, s kždé 0, b 0 (es o kždé celé, s kždé 0, b 0 ) ltí: 0 s s, b b s s b b s s b : b Dále ltí, ( ), ( ) Je-li, 0, eistuje ávě jedo číslo 0 tk, že zčí se Je-li číslo 0, 0 liché, má ovice íšeme Neí-li liché, symbol o 0 edeiujeme Toto číslo se zývá -tá odmoci z čísl ávě jedo eálé řešeí, totiž číslo 0 Místo POZOR: sudé odmociy jsou deiováy ouze o ezáoá čísl, liché odmociy jsou deiováy o všech eálá čísl (tedy i o záoá)! Pltí 0 0,,, b b,, b b m m m m,,, b b m m Po 0,, deiujeme Potom ltí: Po všech 0, b 0 o všech, s ltí: s s s s s, ( ), ( b) b,, s b b POZOR!, le!
Umocňováí ozkld dvojčleů b b b, 3 3 3 b 3 b 3 b b, 4 4 3 3 4 b 4 b 6 b 4 b b, obecě (Newtoov biomická vět): Čísl k k k k k b ( ) b ; k 0 jsou tzv biomické koeiciety (kombičí čísl),! k ( k )! k! Jejich hodoty lze sdo jít omocí Psclov tojúhelíku: mocitel dvojčleu biomické koeiciety 0 3 3 3 4 4 6 4 5 5 0 0 5 6 6 5 0 5 6 ( zčátku koci kždého řádku je jedičk, dlší čísl jsou vždy součtem ejbližších dvou čísel o řádek výš) Po ozkld dvojčleů ltí: b ( b)( b) 3 3 b ( b)( b b ) 4 4 b ( b)( b)( b ) b elze ozložit 3 k k k b ( b)( b b ( ) b b b ) b ( b)( b b ( ) b k k k Rozkld olyomu P ( ) 0 b b ) kořeové čiitele: Pltí-li P ( ) 0 0, zývá se číslo 0 koře olyomu P ( ), výz 0 kořeový čiitel ltí P ( ) ( ) Q ( ) 0 Polyom -tého stuě má (v obou komleích čísel) ávě kořeů Jsou-li,,, (e utě ůzé) kořey (eálé ebo komleí) olyomu P ( ), ltí P ( ) ( ) ( ) ( ) - ozkld kořeové čiitele dále 0 ( ) Po kořey olyomu duhého stuě ( ) ltí zámý vzoec b b 4c, ; P b c k k c je-li koeiciet b sudý, b k, můžeme oužít vzoec, Zřejmě ltí P ( ) b c ( )( ), tedy o je ( )( ) ( ) b ( ), c ; jik ltí ( )( ) ( ) b ( ), c obecě o olyom P ( ) 0 ltí 0 ( )
Fukce Fukce je ředis, kteý řiřzuje kždému vku ějké možiy (deiičího obou možiy (obou hodot H ) D ) vek jié Fukcí (jedé oměé) obvykle ozumíme tkové zobzeí, kdy deiičí obo i obo hodot jsou číselé možiy Budeme se věovt řevážě eálým ukcím jedé eálé oměé, tedy zobzeím : D H, D, H Je-li ukce zdá ějkým ředisem, řičemž eí elicitě zdá její deiičí obo, ozumíme jím možiu všech, o kteá má říslušý ředis smysl Tuto možiu zýváme řiozeým deiičím oboem ukce G ukce jedé oměé je moži bodů v oviě dá vzthem (, y) D y ( ) Rovost ukcí: Přímo z deiice ojmu ukce lye, že ltí g, jestliže D D g : ( ) g( ) Zúžeí ukce: Zúžeí ukce možiu M (ebo též ciálí ukce) je ukce dé ředisem : ( ) ( ) M M M D M s deiičím oboem D M Někteé tyy ukcí: Fukce je ostoucí es klesjící možiě M, ltí-li, M ( ) ( ) es ( ) ( ) eklesjící es eostoucí možiě M, ltí-li, M ( ) ( ) es ( ) ( ) Fukce je ostá, ltí-li, D : Fukce je sudá es lichá, ltí-li ( ) ( ) es ( ) ( ) D eiodická, jestliže 0 tk, že ltí ( ) ( ) D Fukce je ohičeá (sho es zdol), je-li její obo hodot ohičeý (sho es zdol), tedy ltí-li k y H : y k es k y
Vytvářeí ových ukcí z dých ukcí, g, (vzthy ltí o všech z deiičích oboů vziklých ukcí) složeá ukce ivezí ukce (čti o ) je dá vzthem ( ) ( ), má ivezí ukci je ukce s deiičím oboem ovým obou hodot ukce s vlstostí ( ) y ( y) - je ostá jsou vzájem souměé odle římky y Gy ukcí (osy 3 kvdtu) součet, ozdíl, souči odíl ukcí ukce g, g, g s vlstostmi g ( ) ( ) g( ), g ( ) ( ) g( ), ( ) ( ) g g( ) Elemetáí ukce Polyomy jsou ukce zdé omocí ředisu tvu P ( ) 0 řičemž je stueň olyomu, i 0 je koeiciet u i-té mociy i je bsolutí čle 0 Číslo 0, o kteé ltí P ( ) 0 0, je koře olyomu Je-li 0 koře olyomu P ( 0 ), zývá se výz 0 kořeový čiitel, řičemž ltí P ( ) ( 0 ) Q ( ) Vlstosti olyomů - olyom -tého stuě má v obou komleích čísel ávě kořeů - jsou-li,,, (e utě ůzé) kořey olyomu P ( ) 0 (eálé ebo komleí), ltí P ( ) ( )( ) ( ) - ozkld kořeové čiitele dále ( ) - 0 Fukčí hodoty olyomu učujeme omocí Hoeov schémtu Učeí P ( ) o b P ( ) : i i 0 i 0 b b b i b i i b0 b P( ) b0 0 i Přitom ltí i 0 P ( ) ( ) b b b b b P( ) Je-li koře olyomu P, tedy ltí P ( ) 0, dostáváme v dolím řádku tbulky koeiciety olyomu, kteý vzike o vytkutí kořeového čiitele
Seciálí řídy: Lieáí ukce je ukce tvu ( ) k q, D, H (o k 0 Gem je římk: (0) k 0 q q - úsek ose y k k tg - směice 0 k q q ůsečík k s osou Kvdtická ukce je ukce tvu ( ) b c, D, gem je bol: b b b b b y b c y c y c 4 4 - ovice tvu y b k ; V, b je vchol boly k, je bol otevřeá hou, v itevlu, ukce klesá, v itevlu, k, je bol otevřeá dolů, v itevlu, ukce oste, v itevlu, Je-li 0 je-li 0 oste; klesá y y k 0 otevřeá hou V, 0 ( 0) vchol [0,0] y 4 4 y 0 ( ), vchol V [,0], k 0, otevřeá hou y y ( ), vchol V [, ], k 0, otevřeá hou y y ( 0), vchol V [0, ], k 0, otevřeá dolů Rcioálí lomeé ukce P ( ) jsou ukce tvu R( ), Qm ( ) kde P ( ) es Qm ( ) jsou olyomy stuě es m Rcioálí ukce je yze lomeá o m eyze lomeá o m Seciálí říd:
b d Lieáí lomeá ukce je ukce tvu ( ),, b, c, d,, c 0 c d c b d b c b d řičemž y y d eboli d c d c c c c můžeme uvit tv c c gem je hyebol s vcholem V, b symtotmi, y b y b k ; Nříkld o 3 5 y 5 je gem hyebol y 5, V, symtoty, y, kteá má vchol, je ostoucí itevlech (,) (, ) ostá celém deiičím obou Mocié ukce jsou ukce tvu ( ), kde Přitom mohou stt tyto možosti: ) 0 - jedá se o kosttu b) je řiozeé číslo, Potom se jedá o seciálí říd olyomu c) je celé záoé číslo,, Potom ( ), D 0 d) je řeváceá hodot řiozeého čísl, Potom ( ), D 0, o sudé, D o liché e) je cioálí číslo, ) je icioálí číslo Potom 0, ) Gy mociých ukcí ( ) : q q q Potom je složeá ukce, ( ) q D o 0 D (0, ) o 0
Eoeciálí ukce jsou ukce tvu ( ), kde 0; D, H (0, ) Fukce je ostoucí o, klesjící o 0 ; o se jedá o kosttu ( ) Gy všech eoeciálích ukcí ocházejí bodem [0,] Logitmické ukce ři zákldu, kde 0 ebo k ukcím ( ), tedy ltí, jsou ukce tvu ( ) log ; D o, log H jik řečeo log je číslo, ěž je třeb zákld umocit, bychom dostli číslo Jsou ivezí Logitmická ukce ři zákldu e, 78888 se stučě zývá logitmická ukce (řiozeý logitmus) zčí se l : log e Logitmickou ukci ři zákldu 0 (dekdický logitmus) zčíme log : log0 logb l Je-li 0, b 0, řičemž, b, ltí log, seciálě log logb l Všechy logitmické ukce ocházejí bodem [,0] Gy eoeciálích ukcí Gy logitmických ukcí Goiometické ukce ebo tké tigoometické ukce eálého gumetu (úhlu v obloukové míře) jsou ukce ( ) si, ( ) cos, ( ) tg, ( ) cotg Lze je zvést omocí jedotkové kužice tkto: je-li délk oblouku jedotkové kužici mezi bodem [,0] ůsečíkem této kužice s olořímkou, kteá vychází z očátku souřdic, je si ove duhé souřdici tohoto ůsečíku, cos jeho ví souřdici Zřejmě ltí zákldí tigoometická idetit si cos (z Pythgoovy věty)
Dále deiujeme si cos tg, cotg cos tg si k k k k D D, D ( ),, D, si cos tg cotg Fukce si cos jsou eiodické s eiodou, si je lichá, cos sudá, ukce tg cotg jsou liché ukce eiodické s eiodou Gy ukcí ( ) = si ( ) = cos ( ) = tg ( ) = cotg Hodoty goiometických ukcí o ěkteé gumety: 0 / 3 / / 6 / 4 / 3 si 0 0 0 / / 3 / cos 0 0 3 / / / tg 0 eí de 0 eí de 0 3 /3 3 cotg eí de 0 eí de 0 eí de 3 3 /3 Užitečé vzthy: si si( ) si( ) si( ), 0, ltí : cos cos( ) cos( ) cos( ), tg tg( ), cotg cotg( )
Vyjádřeí goiometické ukce dého gumetu omocí jié goiometické ukce téhož gumetu: si cos si tg si cotg si cos tg cotg tg si cos tg cotg si cos tg si si cos cos cos cos tg tg cotg cotg cotg cotg Následující idetity o goiometické ukce ltí vždy o ty gumety, o kteé mjí obě sty smysl: Součtové vzoce: tg tg y si( y) si cos y cos si y tg( y) tg tg y cotg cotg y cos( y) cos cos y si si y cotg( y) cotg cotg y Po souči goiometických ukcí ltí: si si y cos( y) cos( y) si cos y si( y) si( y) cos cos y cos( y) cos( y) cos si y si( y) si( y) Goiometické ukce ásobků gumetů: tg tg si si cos cos cos si tg tg 3 si 3 3si 4 si cos 3 4 cos 3cos tg cotg tg cotg tg cotg tg cotg cotg tg Goiometické ukce olovičích gumetů: cos si cos cos si si si tg cos si cos cos si cos cos cos si si cotg cos si cos Mociy ukcí si cos : 3 si cos si 4 3si si 3 cos cos cos 3cos cos 3 3 4
Alytická geometie Vektoem v oviě (es v ostou) ozumíme možiu všech ovoběžých souhlsě oietových stejě dlouhých úseček Zvolíme-li jedu kokétí z těchto úseček, ř u AB, mluvíme o umístěí vektou do očátečího bodu A Jestliže vekto umístíme do očátku souřdé soustvy [0,0] (es [0,0,0] ), otom souřdice kocového bodu jsou souřdice vektou u Je-li vekto umístě v bodě A, u AB, A [, ], B [ b, b ] (es A [,, 3 ], B [ b, b, b3 ] ), B A b, b u b, b, b ) otom o souřdice vektou u ltí u (es Ze vzthu u B A lye B A u Oece s vektoy u u, u, v v, v (es u, u, u, v, v, v Velikost vektou u u u (es u v ): 3 3 u u u u ) 3 Očý vekto u u, u (es u u, u, u3 ) k-ásobek vektou ku ku, ku (es k ku, ku, ku u ), k 3 O vektoech u k u říkáme, že jsou kolieáí 3 3 Rovost vektoů u v u v u v (es u v u v u3 v3 Součet vektoů u v u v, u v (es u v u v, u v, u3 v3 ) Rozdíl vektoů u v u v, u v (es u v u v, u v, u3 v3 ) Lieáí kombice vektoů ku kv ku kv, ku kv (es ku k v ku kv, ku kv, ku3 kv3 ), k, k Skláí souči vektoů u v uv uv (es u v uv uv u3v3 ), u v u v cos, kde u, v, 0, ) Vektoový souči vektoů u u, u, u, v v, v, v 3 3 (ouze v ostou!) je vekto uv3 u3v, u3v uv3, uv uv u v i j k u u u 3 v v v 3, kteý je kolmý oviu, v íž leží vektoy u, v o jeho velikost ltí u v u v si (lošý obsh kosodélík tvořeého vektoy u, v ) řičemž tojice vektoů u, v, u v tvoří votočivý systém (viz obázek) Přímk v oviě Pochází-li římk body A, B, otom o bod X tedy o ěkteé t ltí X A t B A, eboli u v ) je vekto X A kolieáí s vektoem B A, X A t B A, t metická ovice římky zdé dvěm body A, B Po jedotlivé složky o A [, ], B [ b, b ]: t ( b ), t y t( b )
Pochází-li římk bodem A [, ] ovoběžě s vektoem s ( s, s ), kteý se zývá směový vekto římky, otom o bod X je vekto X A kolieáí s vektoem s, tedy o ěkteé t ltí X A t s, eboli X A t s, t metická ovice římky zdé bodem A směovým vektoem s Po jedotlivé složky je-li A [, ] s s s (, ) : t s y t s, t Obecá ovice římky : by c 0 se odvodí z metických ovic elimicí metu: dále t s s s t s s s s y 0 s y t ss y t s s s s y s s 0 s, b s s s y s s X A,, 0, 0, tedy o libovolý bod X římce by c 0 je olohový vekto X A Nomálový vekto římky o ovici by c 0 je vekto, b Po b 0 můžeme obecou ovici římky řevést směicový tv kolmý vekto, b b ( libovolý jeho ásobek) c y k q římk je gem lieáí ukce (viz kitol ukce) 0 by0 c Vzdáleost bodu A [ 0 y0 ] od římky : by c 0: d(, A) b Odchylk římek : b y c 0, q : b y c 0 je ov úhlu jejich omálových vektoů, ltí tedy Přímk ovi v ostou (, b ) (, b ) b b cos, 0, (, b ) (, b ) b b Alogickou úvhou, omocí kteé jsme odvodili metickou ovici římky v oviě, odvodíme Pmetické ovice římky zdé dvěm body A [,, 3 ], B [ b, b, b3 ] : t ( b ), y t( b ), z t b, t 3 3 3 zdé bodem A [,, 3 ] směovým vektoem s ( s, s, s3 ) : t s, y t s, z ts t 3 3 Přímku v ostou lze zdt jko ůsečici dvou ovi; obecá ovice římky v ostou eeistuje! Jestliže z metických ovic vyjádříme met t vziklé vzthy oováme, dosteme tk zvé y z 3 koické ovice římky s s s 3 Třemi body A, B, C, kteé eleží v římce, je zdá ovi, o jejíž libovolý bod X je vekto X A ěkteou lieáí kombicí vektoů B A C A, ltí tedy X A t ( B A) t ( C A), t, t X A t B A t C A metická ovice oviy zdé třemi body A, B, C eboli ve složkách o t ( b ) t ( c ) A [,, ], B [ b, b, b ], C c, c, c : y t ( b ) t ( c ) t, t 3 3 3 z t ( b ) t ( c ) 3 3 3 3 3
Pochází-li ovi bodem A [,, 3 ] ovoběžě se dvěm ekolieáími vektoy u ( u, u, u3), v v, v, v, otom o bod X je vekto X A ěkteou lieáí kombicí vektoů u, v, tedy o 3 ěkteá t, t ltí X A t u t v, eboli X A t u t v metická ovice oviy zdé bodem A ve složkách o A [,, 3 ], u, u, u v, v, v u, v : 3 3 dvěm ekolieáími vektoy u, v t u t v y t u t v t, t z t u t v 3 3 3 Obecá ovice oviy : by cz d 0 se odvodí z metických ovic elimicí metů: t u t v v v v y t uv uv uv3 u3v y t u t v v y t u t v v v y v z t u v u v u v u v z t u t v v 3 3 3 3 3 3 3 3 u v u v y u v u v z u v u v 3 3 3 3 3 0 Pltí tedy, b, c k u3v uv3, uv3 u3v, uv uv k teto vekto je kolmý směové vektoy oviy, tedy, b, c u v ; Vzdáleost bodu A [ 0 y0, z0] od oviy : by cz d 0 : omálový vekto oviy d(, A) by cz 0 0 0 b c Kuželosečky jsou ovié křivky, kteé dostly solečý ázev oto, že vzikou jko řez kužele oviou odle toho, jký má tto ovi sklo vzhledem k ose es ovchové římce kuželu, dosteme ) bolu ovi je ovoběžá s ovchovou římkou (kteá ochází vcholem kuželu), b) elisu ovi svíá s osou kuželu úhel 0, b) kužici ovi je kolmá osu kuželu,, d) hyebolu ovi je ovoběžá s osou kuželu 0 viz obázek (kteý ochází z Wikiedie) Elis je křivk, jejíž kždý bod má od dých dvou bodů v oviě stejý součet vzdáleostí Elis má dvě ohisk, ozčme je E F
Elis obshuje dv hlví vcholy A B dv vedlejší vcholy C D Střed elisy, obázku vchol S, leží ve středu úsečky EF, tedy mezi ohisky Přímk, kteá ochází hlvími vcholy ( tké ohisky), se zývá hlví os elisy, římk kteá ochází vedlejšími vcholy, se zývá vedlejší os elisy Úsečk, kteá sojuje libovolý hlví bod střed elisy, se zývá hlví oloos N obázku se jedá o úsečky AS BS Úsečk, kteá sojuje libovolý vedlejší bod střed elisy, se zývá vedlejší oloos N obázku se jedá o úsečky CS DS Rovice elisy se středem v očátku souřdic osmi v souřdých osách má tv y, b S m, osy jsou ovoběžé se souřdými osmi, má ovice tv je-li střed elisy v bodě m y b V řídě b dostáváme kužici s ovicí y es m y Hyebol je kuželosečk, o jejíž kždý bod ltí, že bsolutí hodot ozdílu vzdáleostí od dvou evě dých bodů je vždy stejá Bodům F F se říká ohisk Bod S se zývá střed hyeboly chází se ve středu úsečky FF Přímk FF se zývá hlví os hyeboly Kolmice k této ose v bodě S se zývá vedlejší os hyeboly Půsečíky hyeboly s hlví osou se zývjí vcholy hyeboly, obázku vvo to jsou body A B Úsečky AS BS se zývjí hlví oloosy hyeboly Jejich délku zčíme Délku vedlejší oloosy hyeboly zčíme b Vzdáleost ohisk od středu se zývá eceticit, zčíme ji e Pltí vzth e b Přímky,, ocházející středem hyeboly odloužeé úhloříčky obdélíku vytvořeého omocí oloos viz obázek jsou symtoty hyeboly Rovice hyeboly se středem v očátku souřdic hlví osou v ose o es v ose oy má tv y y es, b b S m, hlví os je ovoběžá s osou o es s osou oy má ovice tv je-li střed hyeboly v bodě m y y m es b b
Pbol je křivk, kteá má od dé římky od dého bodu, kteý té římce eleží, kosttí vzdáleost Bod F se zývá ohisko boly Přímk d se zývá řídící římk boly Přímk FD se zývá os boly, je kolmá k řídící římce ochází ohiskem Bod V se zývá vchol boly chází se ve středu úsečky FD Délku úsečky FD zýváme metem boly Jedá se o vzdáleost ohisk od řídící římky Rovice boly U boly ozlišujeme celkem čtyři ůzé řídy Jk je oietová os boly, tj jestli je os svislá (ovoběžá s osou y), jko obázku, ebo jestli je os vodoová (ovoběžá s osou o) Dále k ozlišujeme říd, kdy je bol otevřeá hou ebo dolů levo ebo vo Nechť má bol V m, vchol ) Pbol má osu ovoběžou s osou oy je otevřeá hou Potom má ovici: m y y ohisko má souřdice F m, ) Pbol má osu ovoběžou s osou oy je otevřeá dolů Potom má ovici: m y y ohisko má souřdice F m, 3) Pbol má osu ovoběžou s osou o je otevřeá dov Potom má ovici: y m ohisko má souřdice F m, 4) Pbol má osu ovoběžou s osou o je otevřeá dolev Potom má ovici: y m ohisko má souřdice F m, V řídech ) ) je bol gem kvdtické ukce, v řídech 3) 4) se ejedá o gy ukcí (viz mtemtikcz) Komleí čísl
Deiujeme imgiáí jedotku i jko číslo, jehož duhou mociou je, i Komleím číslem se zývá výz z y i kde, y Přitom se zývá eálá složk, y imgiáí složk čísl z; íšeme Re z, y Im z Komleí čísl, jejichž imgiáí složk je ulová, ztotožíme s eálými čísly Komleí čísl, jejichž eálá složk je ulová, se zývjí yze imgiáí Po očítáí s komleími čísly ltí ásledující vidl : Rovost komleích čísel : Sčítáí (odčítáí) Násobeí Děleí y i y i y y y i y i y y i y i y i y y y y i yi yi y y y y y y i Absolutí hodotu komleího čísl z deiujeme ředisem z y i y Komleě sdužeé číslo k číslu z je číslo z y i Pltí:, z z y i y i z z y i y i y z z z z z, z z z z z z z z z z z z,, z z Zázoěí komleích čísel Komleí čísl zázoňujeme jko body v oviě, kteé říkáme Gussov ovi ebo ovi komleích čísel Vodoová os souřdic se zývá eálá os, svislá imgiáí os Komleí číslo z yi zázoňujeme jko bod, y Přitom zřejmě (odle Pythgoovy věty) je z ov vzdáleosti bodu, y od očátku souřdic z z
Úhel (v oboukové míře), kteý svíá ůvodič obzu čísl z s kldým směem eálé osy, se zývá gumet komleího čísl z zčí se g z y ctg 0 y ctg 0, y 0 g z y ctg 0, y 0 y 0 0, y 0 Nechť z y i, g z Výz z z cos isi se zývá goiometický tv komleího čísl z Je vhodý o ásobeí umocňováí komleích čísel : cos si cos si z z cos( ) i si( ) z z z i z i z z cos isi z z z i z i cos si cos( ) si( ) z z cos i si z cos isi, kde Předchozí vzth se zývá Moiveov vět Řešeí ovice z, kde z je komleí číslo celé, je dáo ávě všemi čísly k k z cos isi, k 0,,, Souh těchto čísel zýváme -tou odmociou z čísl z Jestliže oložíme e i cos isi ( Euleův vzoec), dosteme eoeciálí tv komleího čísl z z e i Vzthy o ásobeí umocňováí komleích čísel v eoeciálím tvu vyývjí z vlstostí eoeciálí ukce ( ) 0 0