Určete rovnici tečny ke grafu funkce f x x x v bodě dotyku [,?] Řešení: Protože máme zadánu složenou funkci, může být docela obtížné popsat její vlastnosti či nakreslit si její graf Nicméně vlastnosti základní funkce f x lze určit bez většíc problémů Především její definiční obor je D f x R Dále pak protože obor odnot funkce x je 1, 1, bude i H f x 1, 1 aké graf funkce x je dobře známou vlnovkou, proto můžeme předpokládat, že obdobně se bude vlnit také graf zadané funkce f x akto si můžeme představit, že bod dotyku tečny a vyšetřovanéo grafu leží někde na ovém kopci a tuto představu přetavit do náčrtku celé situace, viz obr1 Aby však tento náčrt nebyl zcela vágní, zpřesníme o výpočtem funkční odnoty f, tj doplněním souřadnic bodu [,?] [, f ] [, ] [, 0] 1 f x Obrázek 1: První náčrt Pokračujme v našic úvaác V bodě cceme ke grafu přiložit tečnu, tedy přímku K narýsování přímky, aale je třeba znát dva její body Známe jeden Zvolit si druý zcela libovolně by k nalezení tečny s největší pravděpodobností nevedlo Přesto však druý bod potřebujeme a proto si jej opravdu zvolíme, ovšem tak, že i on bude na ležet na grafu f x akto máme dva body, můžeme proložit přímku a máme otovo edy skoro otovo, nebot jak je patrné z obr nemáme tečnu ale sečnu 1 f x Obrázek : Sečna Doplňme náčrtek dále, a to o souřadnice nově zvolenéo bodu a barevný trojúelník, jak je vidět na obr 3 S jeo pomocí můžeme spočíst rovnici námi nalezené sečny Známe totiž modrou a červenou odvěsnu v pravoúlém trojúelníku, jejic podílem tangens oranžovéo úlu a tangens tooto úlu je směrnicí tangentou naší sečny Přesněji tg α f x f x
1 P [ x, f x ] [, 0] x f x Obrázek 3: roúelníček Zbývá poslední, do jisté míry nejtěžší, krok - udělat ze sečny tečnu Vrat me se tedy o pár kroků zpět, potřebovali jsme dva body a proto jsme si jeden nový zvolili, to nás však od tečny dovedlo k sečně Cceme-li zpět od sečny k tečně, bylo by vodné se tooto novéo bodu zbavit a dále operovat pouze s bodem dotyku Musíme ovšem postupovat obezřetně, tak abycom neztratili informace, které nám druý poskytl a nepřišli jsme o jeo pomocnu ruku Postupujeme tedy pomalu a poleoučkou blížíme se s bodem P k bodu dotyku, až oba splynou v jeden a sečna se stane tečnou Směrnice sečny k se stane měrnicí tečny k t ento leoučký, pomalý postup je srnut v této rovnici f x f x x 0 tg α t lim lim x + 1 x x x x x + 1 lim x x x + 1 x x x x x x lim x x lim x + 1 x t x x x t 0 t lim lim x + 1 1 3 3 k t t 0 t x ed již tedy známe směrnici tečny, známe také bod dotyku, který samozřejmě tečně/přímce patří a známe také směrnicovou rovnici přímky/tečny - y k t x + q Všecny tyto znalosti spojíme v jedno a dostaneme t : y k t x + q 3x + q, t 0 3 + q q 6 Zbývá uzavřít a konstatovat, že rovnice tečny ke grafu funkce fx x x v bodě dotyku je t : y 3x 6 Nakonec uved me ještě přesný obrázek, vytvořený Geogebrou, který ilustrují vše, co jsme si o funkci fx odvodili vlnění, obor odnot a spočetli tečna Na obr 4 je jasně vidět, že čím dále od bodu dotyku jsme, tím méně mají tečna a graf společnéo Naopak v okolí bodu dotyku, graf a tečna splývají oo lze využít při odadec funkční odnoty Pokud bycom ctěli spočíst např f museli bycom nejprve spočíst a poté us této odnoty Využijeme-li tečny pak stačí násobit a odčítat 3 6 06 ento odad se od skutečné odnoty liší o tři tisíciny Na úplný závěr si povšimněme, že je opravdu o grafu na obr 4 mluvit jako o přesném Jak jsme na úvod odvodili, odnoty funkce fx mají kmitat mezi 1 a 1 Ovšem na našem přesném grafu tomu tak není a některé z maxim a minim odnot 1 a 1 na něm nedosaují
t 1 fx 1 1 4 6 8 Obrázek 4: ečna a graf fx Určete rovnici tečny ke grafu funkce f x x x v bodě dotyku [x t,?] Řešení: Oproti předcozímu příkladu se zadání liší v tom, že není určeno, kde přesně má k dotyku dojít Za bod dotyku lze tedy zvolit libovolné x t z definičnío oboru D f x a jeo souřadnice jsou [ x t, f x t ] Opět bycom si moli odvodit některé z vlastností funkce fx, zde ovšem využijeme too, že je to naše stará známá Stejně tak použijeme všec úva, kterými jsme prošli, a obrázků, které jsme si načrtnuli Zvláště si pro potřeby tooto příkladu překreslíme a přeznačíme obr 3 a to tak, jak je naznačeno na obr 5 Dále postupujeme stejně, necáme x se blížit k bodu dotyku a sečnu splynout s tečnou Matematicky zapsáno tedy jde o následující f x f x t x x x t x t tg α t lim lim x x t x x t x x t x x t fx P [ x, f x ] fx t [ x t, f x t ] f x x t x Obrázek 5: rojúelníček jinak Zbývá tuto limitu spočíst a získat tak směrnici tečny, ovšem jak je patrno, nebude to nic jednoducéo Čeká nás spousta práce s goniometrickými vzorci a algebraickými úpravami, nebo si zase namalujeme obrázek 5, ate tentokrát to zkusíme trocu jinak V obr 6 je tedy provedena drobná úprava Místo na x, které je blízko x t, se zaměřujeme přímo na jejic blízkost, kterou jsme označili Samozřejmě se budeme snažit, aby tato blízkost byla
fx t + P [ x t +, f x t + ] fx t [ x t, f x t ] f x x t xt + Obrázek 6: rojúelníček opět jinak co největší, resp aby vzdálenost x a x t byla co nejmenší Budeme tedy zmenšovat, až zmizí rozdíl mezi x t a x a sečna splyne s tečnou Limita, s jejíž pomocí spočteme směrnici, má nyní tvar f x t + f x t x t + x t + x t x t tg α t lim lim Je patrné, že náš trik celou situaci značně zjednodušil, nyní totiž stačí využít goniometrickýc vzorců a algebraickýc úprav a je otovo ak tedy s cutí do too f x t + f x t x t + x t + x t x t tg α t lim lim xt+ cos x t+ +x xt t xt+ x t+ x xt t lim x t cos +xt+ x t 4 x t+ lim lim cos x t + x t + x t 4 cos x t x t lim cos x t x t lim cos x t x t x t 1 xt 1+ xt 1+ xt 1+ lim } {{ } 1 x t 1+ x t 1+ xt 1+ x t 1 + lim ímto výpočtem jsme získali směrnici tečny, dosazením směrnice a souřadnic bodu do směrnicové rovnice přímky můžeme získat také rovnici tečny Avšak my budeme postupovat jinak Nejprve si připomeneme, že výsledek limity, který jsme spočetli nazýváme derivace funkce v bodě x t, značíme f x t a platí
f x t lim x x t f x f x t x x t resp f f x t + f x t x t lim V dalším postupu použijeme první vzta a několik triků k určení rovnice tečny f f x f x t x t lim x x t x x t f x t f x f x t x x t f x t x x t f x f x t f x t x x t y f x t zapomeňme na limitu y f x t x x t + f x t směrnicová rovnice tečny v bodě [ x t, f x t ] Na závěr ještě použijme tento vzta pro výpočet tečny v bodě [, 0], který jsme vyšetřovali v minulém příkladě y f x t x x t + f x t směrnicová rovnice tečny v bodě [ x t, f x t ] y cos 1 x + y cos 0 3 x + 0 y 3 x 3x 6 akto se nám podařilo zobecnit závěry předcozío příkladu, zopakovat si definici derivace a jedno z jejíc využití