ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI Základí elemetárí fukce Nejprve uvedeme základí elemetárí fukce: KONSTANTNÍ FUNKCE Nechť a je reálé číslo Potom kostatí fukcí rozumíme fukce f defiovaou předpisem ( f ( ) Ka ( ) a) = = D(f)= R H(f)={a}, fukce je současě erostoucí i eklesající v itervalu (-, ), eí prostá ( tj eeistuje k í iverzí fukce), fukce je sudá a periodická v R, ale eí ai lichá (kromě případu a = 0), ai koveí, ai kokáví Kostatí fukce je omezeá, v každém reálém čísle abývá jak svého maima, tak i svého miima Pro a 0 fukce K a emá žádé ulové body, pro a = 0 má kostatí fukce ekoečě moho ulových bodů (každé reálé číslo je ulový bod této fukce) Kostatí fukci K a Graf kostatí fukce: budeme zpravidla začit a, tz ztotožíme fukci s fukčí hodotou IDENTICKÁ FUNKCE Idetickou fukcí rozumíme fukci f defiovaou předpisem f = I R Fukce f je rostoucí a lichá, ale eí ai klesající, ai sudá, ai periodická, ai koveí, ai kokáví (v možiě R ) Idetická fukce je prostá, proto k í eistuje fukce iverzí Idetická fukce eí ai shora, ai zdola omezeá, má jediý ulový bod, kterým je reálé číslo 0 V žádém bodě možiy R eabývá ai maima, ai miima Graf idetické fukce:
-TÁ MOCNINA Nechť je přirozeé číslo Potom -tou mociou rozumíme fukci defiovaou předpisem ( f ( ) ) = Je-li = 0, potom f je kostatí fukce Je-li = potom f je idetická fukce Omezíme se a přirozeá čísla taková, že (i) Nechť je liché přirozeé číslo takové, že (tj, protože je liché přirozeé číslo) Potom fukce f je rostoucí (v možiě R ) a zobrazuje možiu R a možiu R, tj D(f) = R a H(f) = R, je prostá Dále je fukce f lichá (v možiě R ), kokáví v itervalu (-,0> a koveí v itervalu <0, ) Fukce f eí ai shora, ai zdola omezeá, má jediý ulový bod, kterým je reálé číslo 0 V žádém bodě možiy R eabývá ai maima, ai miima Graf fukce f() = : (ii) Nechť je sudé přirozeé číslo takové, že Potom fukce f zobrazuje možiu R a iterval <0, ), tj D(f) = R a H(f) = <0, ), eí prostá Fukce f je klesající v itervalu (-,0> a je rostoucí v itervalu <0, ) Dále je fukce f sudá (v možiě R ), kokáví (v itervalu (-, )) Fukce f je zdola omezeá, ale eí shora omezeá,má jediý ulový bod, kterým je reálé číslo 0 V žádém bodě možiy R eabývá ai maima, ale v bodě = 0 abývá miima Graf fukce f() = : POLYNOMY A RACIONÁLNÍ FUNKCE Polyomem ejvýše -tého stupě ( kde N 0 rozumíme fukce f defiovaou předpisem f( ) = a + a + + a + a + a = a + a + + a + a + a = a a, a,, a, a, a jsou reálá čísla kde 0 0 k 0 0 k k = 0 a Řekeme, že fukce f defiovaá výše uvedeým předpisem je polyom stupě právě -tého, jestliže 0 0
Pozámka Kostatí fukce je polyom stupě právě ultého a opačě každý polyom stupě právě ultého je kostatí fukce Idetická fukce je polyom stupě právě prvího Fukce -tá mocia je polyom stupě právě -tého Polyom stupě právě prvího se zpravidla azývá lieárí fukce, polyom stupě právě druhého se azývá kvadratická fukce, polyom stupě právě třetího kubická fukce, Racioálí fukcí (či racioálí lomeou fukcí) rozumíme fukci, která je defiováa jako podíl dvou polyomů Pozámka Každý polyom je racioálí fukce (stačí jej apsat jako zlomek, kde ve jmeovateli je kostatí K fukce ) EXPONENCIÁLNÍ FUNKCE (i) Základí epoeciálí fukcí rozumíme fukci ep defiovaou předpisem (ep = e ), kde e je Eulerovo číslo, R což je iracioálí číslo, které je přibližě rovo,7888859055 ÚMLUVA Základí epoeciálí fukci budeme začit ep Epoeciálí fukce ep zobrazuje možiu R a iterval (0, ), tj D(f) = R a H(f) = (0, ) Fukce ep je rostoucí (v možiě R ), tudíž je i prostá (proto k í eistuje fukce iverzí) Fukce ep je koveí (v možiě R ), eí ai sudá, ai lichá a ai periodická Fukce f je zdola omezeá, ale eí shora omezeá, emá žádý ulový bod V žádém bodě možiy R eabývá ai maima, ai miima (ii) Nechť a je kladé reálé číslo Potom obecou epoeciálí fukcí o základu a rozumíme fukci ep a defiovaou předpisem ( epa a ) = ÚMLUVA Obecou epoeciálí fukci o základu a začíme ep a Pro charakterizaci obecé epoeciálí fukce rozlišíme tři základí případy: (a) Nechť a > Potom ep a je rostoucí (v možiě R ), tudíž je i prostá (proto k í eistuje fukce iverzí) Fukce ep a je koveí (v možiě R ), eí ai sudá, ai lichá a ai periodická Fukce f je zdola omezeá, ale eí shora omezeá, emá žádý ulový bod V žádém bodě možiy R eabývá ai maima, ai miima Graf obecé epoeciálí fukce pro a > : (b) Nechť 0 < a < Potom ep a je klesající (v možiě R ), tudíž je i prostá (proto k í eistuje fukce iverzí) Fukce ep a je koveí (v možiě R ), eí ai sudá, ai lichá a ai periodická Fukce f je zdola omezeá, ale eí shora omezeá, emá žádý ulový bod V žádém bodě možiy R eabývá ai maima, ai miima
Graf obecé epoeciálí fukce pro 0 < a < : Pozámka Pro libovolé reálé číslo a platí: a > 0< < a 0< a < > a a Tudíž platí: a> a = 0< a< a = a R a a R a Z toho vyplývá pro libovolé reálé číslo a takové, že a > jsou grafy fukcí ep a a ep rověž pro libovolé reálé číslo a takové, že 0 < a < jsou grafy fukcí ep a ep Dále pro libovolé kladé reálé číslo a platí = a Z těchto důvodů cokoliv odvodíme pro fukci pro 0 < a < (c) Nechť a = Potom fukce je kostatí fukce ep = ep e Pozámka Zřejmě platí a a ep epa = ep a a ep a ep a pro a >, sado převedeme pro fukci ep ep K Pozámka Při řešeí erovic i v moha dalších úlohách je třeba si uvědomit, že: a> 0 y R y y y y ( a a a ( a ) a a 0) + = = > ( e 0) >, speciálě a souměré podle osy y, souměré podle osy y Pozámka Epoeciálí fukce (jak základí, tak i obecá) je důležitá pro modelováí přírodích jevů, protože vyjadřuje záko přirozeého růstu (Jestliže ěco (v orgaické i eorgaické přírodě) se samo sebou rozmožuje, tj další rozmožeí vziká ze starého základu i ového přírůstku) a GONIOMETRICKÉ FUNKCE Jde o fukce jedé proměé, tudíž jsou defiováy pouze v obloukové míře ZNAČENÍ Fukci sius budeme začit si, fukci kosius cos, fukci tages tg a fukci kotages cotg (i) Fukce sius: D(si) = (-, ), H(si) = <-,> Fukce sius eí prostá, je lichá (ale eí sudá), je periodická, přičemž základí perioda je a perioda je každé reálé číslo tvaru k, kde k Z { 0} Fukce sius je rostoucí v každém itervalu + k, + k, kde k Z,
je klesající v každém itervalu + k, + k, kde k Z, tudíž abývá fukce sius maima v každém bodě + k, kde k Z a miima v každém bodě + k, kde k Z,, přičemž maimum fukce si je a miimum je -, tj fukce si je omezeá, Fukce si je kokáví v každém itervalu k, + k, kde k Z a koveí v každém itervalu + k, + k, kde k Z Nulovými body fukce si jsou všechy body tvaru k, kde k Z Graf fukce si : (ii) Fukce kosius: D(cos) = (-, ), H(cos) = <-,> Fukce kosius eí prostá, je sudá (ale eí lichá), je periodická, přičemž základí perioda je a perioda je každé reálé číslo tvaru k, kde k Z { 0} Fukce kosius je rostoucí v každém itervalu + k, + k, kde k Z je klesající v každém itervalu k, + k, kde k Z, tudíž fukce kosius abývá maima v každém bodě k, kde k a miima v každém bodě + k, kde k Z, Z, přičemž maimum fukce cos je a miimum je -, tj fukce cos je omezeá Fukce cos je kokáví v každém itervalu + k, + k, kde k Z a koveí v každém itervalu + k, + k, kde k Z + k, kde k Z Nulovými body fukce si jsou všechy body tvaru Graf fukce cos :,,
(iii) Fukce tages: Fukce tages je defiováa předpisem D(tg) =, tg R + k k Z, H(tg) =(-, ) si cos =, Fukce tages eí prostá, je lichá (ale eí sudá), je periodická, přičemž základí perioda je a perioda je každé reálé číslo tvaru k, kde k Z { 0} Fukce tages je rostoucí v každém itervalu k, + + k, kde k Z, eí klesající v žádém itervalu, eabývá v žádém bodě defiičího oboru ai maima, ai miima, fukce tg eí omezeá Fukce tg je kokáví v každém itervalu + k, k, kde k Z, a koveí v každém itervalu k, + k, kde k Z Nulovými body fukce tg jsou všechy body tvaru k, kde k Z Graf fukce tg : (iv) Fukce kotages: Fukce kotages je defiováa předpisem D(cotg) = R { k, k Z}, H(cotg) =(-, ) cotg cos si =, Fukce kotages eí prostá, je lichá (ale eí sudá), je periodická, přičemž základí perioda je a perioda je každé reálé číslo tvaru k, kde k Z { 0} Fukce kotages je klesající v každém itervalu ( k, k) +, kde k Z, eí rostoucí v žádém itervalu, eabývá v žádém bodě defiičího oboru ai maima, ai miima, fukce cotg eí omezeá Fukce cotg je kokáví v každém itervalu k, a koveí v každém itervalu k, + k + + k, kde k Z, kde k Z,
Nulovými body fukce cotg jsou všechy body tvaru + k, kde k Z Graf fukce cotg : Pozámka Předpokládáme zalost tzv součtových vzorců pro goiometrické fukce, tj (si( ± y) = si cos y± si ycos ) y R (cos( ± y) = cos cos y si si ), y R ze kterých jsou odvozey další vztahy, apř (si + cos = ) (si = si cos ) (cos = cos si = si = cos (si = ( cos )) (cos = ( + cos )) ± y y (si ± si y) = si cos ) y R + y y (cos + cos y) = cos cos ) y R + y y (cos cos y) =si si ) y R Pro fukce tg a cotg mj platí: ( tg = ) cot g (cot g = ) tg k ; k Z k ; k Z Pozámka Uveďme ještě tabulku vybraých hodot goiometrických fukcí: 0 5 7 5 5 7
si 0 cos tg 0 cot g * 0 * 0 0 0 * Symbol * ozačuje, že v příslušém reálém čísle eí daá goiometrická fukce defiováa 0 * 0 INVERZNÍ FUNKCE Kostrukce iverzích fukcí k fukcím elemetárím vychází z věty o vlastostech iverzího zobrazeí a věty o vlastostech iverzí fukce: (( 7 Věta (o vlastostech iverzího zobrazeí): Nechť f je prosté zobrazeí možiy A a možiu B Potom (i) f - je prosté zobrazeí možiy B a možiu A, přičemž platí (f - ) - = f, (ii) D(f - ) = H(f) H(f - ) = D(f), (iii) A y B (y = f() <=> = f - (y)), I A (iv) f - [ f ] =, tj (f - (f()) = ), (v) f [ f - ] = I B, tj A (f(f - ()) = ) B 5 7 Věta (o vlastostech iverzí fukce): Nechť fukce jedé proměé f je prostá v možiě M (kde M D(f)) (i) Je-li fukce f rostoucí (resp klesající) v možiě M, potom je fukce f - rostoucí (resp klesající) v možiě f(m) (ii) Je-li bod [,y] bodem grafu fukce f, potom je bod [y,] bodem grafu fukce f -, tj grafy fukcí f a f - jsou souměré podle osy prvího a třetího kvadratu a Pozámka Je-li fukce jedé proměé f prostá (v celé svém defiičím oboru) taková, že f : D(f) H(f), a potom eistuje iverzí zobrazeí f - takové, že f - : H(f) D(f), které je rověž fukce jedé proměé)) Tedy apř ke kostatí fukci eeistuje fukce iverzí, protože tato fukce eí prostá (i) Iverzí fukce k idetické fukci Fukce I : že I R : a R R Ra je rostoucí ( v možiě R ), proto je prostá, tedy eistuje iverzí fukce a R a je rostoucí ( v možiě R ), přičemž platí: R ( y = I R = IR ( y) ), y R ale ( R = ) a tudíž R R I y R I =, tz I V tomto případě tedy edostáváme žádou ovou fukci R = I R I R taková, (ii) -tá odmocia Fukce -tá odmocia je iverzí fukce k -té mociě Pro =0 iverzí fukce k -té mociě eeistuje, protože jde o kostatí fukci eeistuje K, ke které iverzí fukce
Pro = je -mocia totožá s idetickou fukcí I R, kterou jsme vyšetřovali v bodě(i) Omezíme se tedy a přirozeá čísle taková, že (a) Nechť je liché přirozeé číslo takové, že (tj, protože je liché přirozeé číslo) ( f ) Je-li f fukce defiovaá předpisem R ), proto je prostá, tudíž k í eistuje iverzí fukce a =, potom fukce f : R R a je rostoucí ( v možiě f taková, že a f : R R a je rostoucí ( v možiě R ), přičemž platí: y f ( ) f ( y) Fukci = = y R f azýváme -tá odmocia a začíme, ( y = f = f y) ) lze přepsat takto: tz vztah ( y R y = = y y R Fukce -tá odmocia ( pro liché přirozeé číslo takové, že ) je koveí v itervalu (-,0> a je kokáví v itervalu <0, ) Neí ai shora, ai zdola omezeá (tj v žádém bodě eabývá ai maima a ai miima), má jediý ulový bod 0 a je lichá fukce, která eí ai sudá, ai periodická (b) Nechť je sudé přirozeé číslo takové, že ( f ) Nechť f fukce defiovaá předpisem a = Potom fukce f : R 0 prostá, protože apř - f (-) = f () =, tudíž k í eeistuje iverzí fukce, ), ale jistě eí Defiujme tedy fukci f předpisem f = f <0, ) a f : 0, ) 0, ) a je rostoucí v itervalu <0, ), proto je prostá, tudíž eistuje iverzí fukce Fukce f taková, že 0, ) y 0, ) f a je rostoucí v itervalu <0, ), přičemž platí a : 0, ) 0, ) ( y f f ( y) ) = = Fukci f azýváme -tá odmocia a začíme, tz vztah ( y f f = = ( y) ) můžeme přepsat takto : ( y y) 0, ) y 0, ) ( f ( ) = ) 0, ) y 0, ) 0, ) = =, tj Fukce -tá odmocia (pro sudé přirozeé číslo takové, že ) je kokáví (v itervalu <0, ), eí shora, ale je zdola omezeá (tj v žádém bodě defiičího oboru eabývá maima) a v bodě 0 abývá miima, má jediý ulový bod 0, eí ai lichá, ai sudá a ai periodická fukce ( f ) Pro fukci f defiovaou předpisem =, kde je sudé přirozeé číslo takové, že, jsme se při hledáí iverzí fukce omezili a tuto fukci defiovaou v itervalu <0, ) Toto eí jediá možost Můžeme defiovat fukci f předpisem f = f (-,0> a Fukce f :(,0 0, )a je klesající v (-,0>, proto je prostá, tudíž k í eistuje iverzí fukce f a taková, že f : 0, ) (,0 a je klesající v itervalu <0, ), přičemž platí ( ) y = f = f y (,0 y 0, ) Fukci f lze užitím fukce -tá odmocia přepsat takto: ( y y) (,0 y 0, ) = =, tj Fukce 0, ) ( f ) = f je koveí (v itervalu (-,0>), eí zdola, ale je shora omezeá (tj v žádém bodě defiičího oboru eabývá miima) a v bodě 0 abývá maima, má jediý ulový bod 0, eí ai lichá, ai sudá a ai periodická fukce
Pozámka Rozšíříme platost vztahu pro = Vzhledem k části (i) víme, že ( = ) (iii) Logaritmické fukce Logaritmické fukce jsou iverzí k fukcím epoeciálím Obdobě jako u epoeciálích fukcí rozlišíme případy: (a) Základí epoeciálí fukce ep defiovaá předpisem ( ep e ) a iterval (0, ) a je rostoucí, tudíž je prostá K fukci ep l l : 0,,, je rostoucí ( v itervalu (0, )) logaritmus ebo logaritmus a začí se Pro fukci l platí: ( a ) Ze vztahu dvojice ( avzájem iverzích fukcí vyplývá : y = e = l y ), (, ) y ( 0, ) ( l ) ( e l e ) ( 0, ) (, ) = = = zobrazuje iterval (-, ) eistuje iverzí fukce, která se azývá přirozeý Fukce l eí ai shora ai zdola omezeá, má jediý ulový bod ( protože l = 0,eboť podle výše 0 e = uvedeého vztahu je ) Fukce l je kokáví ( v itervalu (0, )), eí ai sudá, ai lichá a ai periodická fukce (b) Obecá epoeciálí fukce ep a pro ( 0,) (, ) a defiovaá (epa = a ) zobrazuje iterval (-, ) a iterval (0, ) a je rostoucí pro a > (resp klesající a (0,) ), tudíž je prostá předpisem pro K fukci epa eistuje iverzí fukce, která se azývá logaritmus o základu a a začí se log a log se ozačuje logaritmus o základu 0, tj fukce log0 ) Pro fukci log a platí: log : ( 0, ) a (, ) a ( 0,) ) a Ze vztahu dvojice ( avzájem iverzích fukcí vyplývá y = a = log ) a y, (, ) y ( 0, ) ( log ) a a loga a ( 0, ) (, ) = = (symbolem, je rostoucí v itervalu (0, ) pro a > (resp klesající pro log a log 0 Fukce eí ai shora ai zdola omezeá, má jediý ulový bod ( protože,eboť podle výše 0 a = uvedeého vztahu je ) Fukce log a je kokáví v itervalu (0, ) pro a > (resp koveí pro a ( 0,) ), eí ai sudá, ai lichá a ai periodická fukce Graf logaritmické fukce pro a > : a =
a ( 0,) Graf logaritmické fukce pro : (c) Epoeciálí fukce eí prostá (jedá se o kostatí fukci ), tudíž k í eeistuje iverzí fukce Pozámka Platí l ep K log e = Pozámka Z vlastostí epoeciálích fukcí vyplývá: ( ) ( y a a a a ) ( 0, ) ( 0, ) 0, tedy pro základí a obecé epoeciálí fukce platí: ( a ) log y = log + log y log = ylog, y y R ( 0, ) a ( ep ( l a) ep a ) =, tj la ( e a ) ( 0, ) R = a (iv) Cyklometrické fukce Cyklometrické fukce jsou iverzí fukce k fukcím goiometrickým Ale žádá goiometrická fukce eí prostá! Tuto obtíž lze obejít tak, že uděláme restrikci a možiu, kde je tato fukce prostá Bude-li fukce ryze mootóí v této možiě, bude i prostá v této možiě (a) Fukce si eí prostá, vytvoříme fukci Pro fukci platí: g, kterou defiujeme předpisem g = si, a, přičemž fukce g je rostoucí (v itervalu, g g :,, tudíž je prostá a eistuje k í iverzí fukce, která se azývá arkussius a začí se arcsi ), a Pro fukci arcsi platí: arcsi :,,, přičemž fukce arcsi je rostoucí (v itervalu, ) Ze vztahu dvojice avzájem iverzích zobrazeí vyplývá:
, y, ( y si arcsi ) = = y,, ( arcsi ( si ) ) si ( arcsi ), = = Fukce arcsi je omezeá, v bodě - abývá miima (které je ) a v bodě maima ( které je ), má ulový bod 0 ( protože arcsi 0=0, eboť si 0=0) Fukce arcsi je kokáví v itervalu, 0 a koveí v itervalu 0, Fukce arcsi je lichá, ale eí ai sudá, ai periodická Graf fukce arcsi : (b) Fukce cos eí prostá, vytvoříme fukci Pro fukci g platí: g, kterou defiujeme předpisem cos g = 0, g, a g : 0,,, přičemž fukce je rostoucí (v itervalu prostá a eistuje k í iverzí fukce, která se azývá arkuscosius a začí se arccos ), tudíž je a Pro fukci arccos platí: arccos :, 0,, přičemž fukce arccos je klesající (v itervalu, Ze vztahu dvojice avzájem iverzích zobrazeí vyplývá: 0, y, ( y cos arccos ) = = y, ( ) 0,, arccos cos = cos arccos = arccos 0 Fukce arccos je omezeá, v bodě - abývá maima (které je ) a v bodě miima ( které je 0 ), má ulový bod Fukce arccos je koveí v itervalu, 0 a kokáví v itervalu 0, Fukce arccos eí ai lichá, ai sudá, ai periodická Graf fukce arccos : )
Pozámka Ze vztahů dvojic avzájem iverzích fukcí můžeme sestavit tabulku vybraých fukčích hodot fukcí arsi a arccos: 0 arcsi 0 5 arccos 0 Pozámka Pro fukce arcsi a arccos platí : arcsi + arccos = arccos( ) = arccos, (c) Fukce tg eí prostá, vytvoříme fukci Pro fukci a g platí: g :, (, ) g, kterou defiujeme předpisem g = tg, g, ),, přičemž fukce je rostoucí (v itervalu tudíž je prostá a eistuje k í iverzí fukce, která se azývá arkustages a začí se arctg Pro fukci arctg platí: (, )) a arctg :,, Ze vztahu dvojice avzájem iverzích zobrazeí vyplývá: ( y = tg = arctg y ), arctg ( tg ) y (, ),,, přičemž fukce arctg je rostoucí (v itervalu ( ) ( tg ( arctg ) ) (, ) = = Fukce arctg je omezeá, ale v žádém bodě defiičího oboru eabývá ai miima, ai maima, má ulový bod 0 Fukce arctg je koveí v itervalu (,0 a kokáví v itervalu 0, ) Fukce arctg je lichá, ale eí ai sudá, ai periodická Graf fukce arctg : (d) Fukce cotg eí prostá, vytvoříme fukci a g ( g, kterou defiujeme předpisem cot g = g 0, Pro fukci platí:, přičemž fukce je rostoucí (v itervalu : 0,, g ) g, tudíž je prostá a eistuje k í iverzí fukce, která se azývá arkuscotages a začí se arccotg Pro fukci arccotg platí: arccotg: (, ) a ( 0, ) (, )) ),, přičemž fukce arccotg je klesající (v itervalu
Ze vztahu dvojice avzájem iverzích zobrazeí vyplývá: ( y cotg arccotg ) ( 0, ) y (, ) = = y, ( ) ( arccotg cotg ) ( cotg ( arccotg ) arccotg 0) ( ) = = > 0,, Fukce arccotg je omezeá, v žádém bodě defiičího oboru eabývá ai miima, ai maima, emá žádé ulové body Fukce arccotg je kokáví v itervalu (,0 a koveí v itervalu 0, ) Fukce arccotg eí ai lichá, ai sudá, ai periodická Graf fukce arccotg : Pozámka Z výše uvedeých vztahů můžeme sestavit tabulku vybraých fukčích hodot fukcí arctg a arccotg: arctg arccotg 5 0 0 Pozámka Pro fukce arctg a arccotg platí : arctg + arccotg = arccotg ( ) = arccotg (, )
Elemetárí fukce Defiice: Elemetárí fukce (jedé proměé) jsou fukce, které vzikou z fukcí kostatích, idetické fukce, fukce -tá odmocia ( N ), základí epoeciálí fukce ep, fukce přirozeý logaritmus l, fukcí goiometrických a cyklometrických užitím operací sčítáí, odčítáí, děleí a skládáí fukcí Pozámka Každá elemetárí fukce jde vyjádřit předpisem, ve kterém se vyskytují kostatí fukce, idetická fukce, -tá odmocia ( N ), základí epoeciálí fukce, fukce přirozeý logaritmus, fukce sius, kosius, tages, kotages, arkussius, arkuskosius, arkustages, arkuskotages a fukčí operace součet, rozdíl podíl a skládáí fukcí Pozámka Ne všechy fukce jedé proměé jsou elemetárí, apř fukce sg (teto symbol čteme sigum ) defiovaá předpisem, jestliže 0,, sg = 0, jestliže = 0,, jestliže (, 0) ebo Dirichletova fukce D defiovaá předpisem D( ), jestliže Q, = 0, jestliže R Q Prostředky pro důkaz tohoto tvrzeí ajdeme v kapitole 9 (věta o spojitosti elemetárích fukcí) ejsou elemetárí ÚMLUVA Je-li f elemetárí fukce, potom zpravidla její defiičí obor ztotožňujeme s maimálí možiou jejího předpisu Pozámka Při vyšetřováí defiičích oborů bereme v úvahu zejméa: (i) fukce defiičí obory základích elemetárích fukcí, tj: defiičí obor kostatí (, ) idetická (, ) pro N liché (, ) pro ep (, ) ep a (, ) l ( 0, ) log a ( 0, ) si (, ) cos (, ) N sudé 0, )
tg, + k, k Z cotg (, ) { k, k Z} arcsi, arccos, arctg (, ) arccotg (, ) f (ii) defiovaost fukčí operace podíl ( podíl fukcí f a g je defiová pro g 0) g Kompleí fukce Defiice: Možia všech kompleích čísel je možia všech uspořádaých dvojic reálých čísel, a které jsou def iováy operace + (součet) a * (souči) takto: [, ] [, ] ab C cd C [ C ] [ cd] [ ] ( ab, +, = a+c, b+d ) ( ab, cd, = ac -b d,ad+bc ) a [ ] [ ] [ [, ] [, ] ab C cd C ZNAČENÍ Možiu všech kompleích čísel budeme začit C C azýváme kompleí čísla C, potom reálé číslo a azýváme reálou částí a reálé číslo b imagiárí částí kompleího ÚMLUVA Prvky možiy Je-li [ ab, ] čísla [ ab, ] Je-li [ ab, ] C, potom kompleí číslo [ ab, ] b a = 0 b 0 0 (resp ) ] azveme imagiárí číslo (resp ryze imagiárí číslo), jestliže ZNAČENÍ Kompleí číslo [ 0,] budeme začit symbolem i a azveme je imagiárí jedotka Ú MLUVA Pro každé reálé číslo a ztotožíme ( v možiě C ) uspořádaou dvojici [ a,0] s reálým číslem a, tj a =[ a,0] Pozámka Je-li i imagiárí jedotka, potom Pro úplost dodefiujme 0 i = 5 + i = i = = i = i + i = i = = i = 7 + i = i = = i =i 8 + i = i = = i =, kde je přirozeé číslo Pozámka Je-li [ ab, ] C, potom podle předchozí úmluvy [ ab, ] = [ a,0] + [ 0, b] = [ a,0 ] + [ b,0 ][ 0,] = a+ ib Vyjádřeí kompleího čísla [, ] ab ve tvaru a+ ib se azývá vyjádřeí kompleího čísla v algebraickém tvaru ebo algebraický tvar kompleího čísla
Pro součet (resp souči) kompleích čísel v al gebraickém tvaru platí obdobé zásady jako pro součet (resp souči) polyomů stupě prvího, přičemž avíc využíváme uvedeé vlastosti moci imagiárí jedotky i u u iu = + v= v+ iv Pozámka Jsou-li a dvě kompleí čísla v algebraickém tvaru, potom platí u = v u = v u = v Pozá mka Možia všech kom pleích čísel C je defiováa jako možia všech uspořádaých dvojic ab, odpovídá bod v roviě Přiřadíme-li každému kompleímu reálých čísel Každé dvojici reálých čísel [ ] číslu a+ ibbod v roviě [, ] ab, potom takto iterpretovaou roviu azveme Gaussova rovia Prví (resp druhá) souřadá osa se v takto iterpretovaé roviě azývá reálá (resp imagiárí) osa a ozačuje se apř R (resp I ) Pozámka (kompleě sdružeá čísla) Nechť z = a+ ib je kompleí číslo Řekeme, že z je kompleě sdružeé číslo ke kompleímu číslu z, jestliže z = a ib Je-li z kompleí číslo, potom číslo kompleě sdružeé k číslu z budeme vždy začit z Je-li z kompleí číslo, potom kompleě sdružeé číslo z souměrě ke zázorěí čísla z podle reálé osy k číslu z při zázorěí v Gaussově roviě leží Pozámka ( o vlastostech kompleě sdr užeých čísel) Nechť u a ib (i) uu = a + b, u = u u R, u = u, (ii) u± v= u± v, uv = uv, u u (iii) je-li v 0, je = v v = + a v jsou kompleí čísla Potom Pozámka Je-li u kompleí číslo, potom je kompleí číslo u kompleě sdružeé k číslu u, tedy čísla u a u jsou čísla avzájem kompleě sdružeá ÚMLUVA Pro kompleí čísla eí defiováa stadardí operace uspořádáí Uvedeme-li u < v či u v ebo u > v či u v pro kompleí čísla u a v, potom tímto zápis je mj vyjádřeo tvrzeí u a v jsou reálá čísla Pozámka (o řešeí kvadr atických rovic v možiě C ) Nechť a, b a c jsou kompleí čísla taková, že a 0 D = b - ac < 0 Potom kvadratická rovice a + b + c = 0 má v možiě všech kompleích čísel právě dva růzé kořey
b+ i D = a a bi D =, a tz (a + b + c = a ( - ) ( - )) Jsou-li a, b,c čísla reálá, potom jsou kořey kvadratické C rovice a čísla kompleě sdružeá Pozámka (absolutí hodota kompleího čísla) Nechť z je kompleí číslo Potom absolutí hodota kompleího čísla z je reálé číslo z = z z Absolutí hodotu kompleího čísla z začíme stejě jako absolutí hodotu reálého čísla, tedy z Je-li z = a+ ib kompleí číslo, kde a (resp b ) je reálá (resp imagiárí) část kompleího čísla z, potom z = a + b Absolutí hodota kompleího čísla má obdobé vlastosti jako absolutí hodota reálého čísla, mj z C ( z 0 ( z 0 z 0) ) = =, u uv = u v v 0 u C v C = v ( u v u v u v ) u C v C ± +, u v, J e-li z reálé číslo, potom podle vlastostí čísel kompleě sdružeých je z = z, tedy absolutí hodota kompleího čísla je rozšířeím absolutí hodoty reálého čísla Pozámka (goiometrický tvar kompleího čísla) Nechť takové, že Vyjádřeí kompleího čísla z v goiometrickém tva ru je zápis ( ϕ siϕ ) z = z cos + i, kde z je absolutí hodota kompleího čísla z a ϕ je reálé číslo, pro které platí a b cosϕ = siϕ z z z = a+ ib je eulové kompleí číslo Vyjádřeí kompleího čísla v goiometrickém tvaru charakterizují dva údaje absolutí hodota kompleího čísla a oblouk, který se azývá amplituda kompleího čísla Obdobě vyjádřeí kompleího čísla v algebraickém tvaru charakterizují dva údaje reálá a imagiárí část kompleího čísla
Pozámka Každé eulové kompleí číslo lze vyjádřit v kompleím tvaru Pozámka (o vlastostech kompleích čísel vyjádřeých v goiometrickém tvaru) Nec hť u = u cos ( α + isiα ) a v vcos ( β isiβ) tvaru Potom (i) ( ( α β ) ) u = v u = v = + k, k Z = + jsou eulová kompleí čísla v goiometrickém u = + + + u +, v v (ii) uv u v( cos( α β) isi( α β) ), = ( cos( α β) isi( α β)) (iii) N 0 ( u u cos ( ( α) isi( α) )) = + (tzvmoivreova věta) Defiice: Řekeme, že f je kompleí fukce reálé proměé, jestliže f je zobrazeí takové, že D(f) R a H(f) C Pozámka Je-li f kompleí fukce reálé proměé, potom pro každé D( f) je R a f ( ) C, tudíž eistuje reálá i imagiárí část kompleího čísla f ( ), tz jsou defiováy fukce jedé proměé f f takové, že f ( ) = f ( ) + i f ( ) a A opačě jsou-li D( f ) ( ) f a f fukce jedé proměé takové, že D( f) = D( f), potom eistuje kompleí D( f) = D( f ) ( f ( ) f ( ) i f ( ) ) = + fukce jedé reál é proměé f taková, že platí D( f ) Fukci f (resp f ) azýváme reálá (resp imagiárí) část fukce f ZNAČENÍ Nechť f kompleí fukce reálé proměé Potom symbolem R f (resp I f ) ozačíme reálou (resp imagiárí) část fukce f Pozameejme, že jak R f, tak I f jsou fukce jedé proměé Pozámka Jsou-li f a g kompleí fukce jedé reálé proměé a c kompleí číslo Potom defiujeme (aalogicky jako pro reálé fukce jedé reálé proměé) kompleí fukce jedé reálé proměé f + g, f - g, c f, f g, f g, f předpisy: D f D f ((f + g)() = f() + g()), D f ((f - g)() = f() - g()), D f ((c f)() = c f()), D f D ((f g)() = f() g()), (g() 0 f g (( f () = f() ) ( f ) = f ( ) g ), Pozameejme, že fukce f je reálá fukce jedé reálé proměé Pozámka Při řešeí difereciálích a diferečích rovic je potřebé určit pro kompleí fukce jedé promě é f reálou část Rf a imagiárí část I f Pro každé kompleí číslo z je defiováo e z Určeí této
hodoty je možé teprve užitím mociých řad, ale uvedeme ěkteré vztahy, které jsou potřebé pro výpočet R f a I f : Pozámka (Eulerovy vzorce) i i ( e = cos + isi e = cos isi ) Poslouposti Defiice: Nechť A je možia Řekeme, že a je posloupost obsažeá v možiě A, jestliže a je zobrazeí takové, že D(a) = N a H(a) A Pozámka Je-li A je možia, potom a je posloupost obsažeá v možiě A právě tehdy, jestliže a: N > A ÚMLUVA Je-li a posloupost obsažeá v možiě A, potom pro každé kladé přirozeé číslo zpravidla p íšeme a místo a() a posloupost a zapisujeme (a ) ebo a = a = a = a a a,,,, = ( a ) = ebo a, a,, a, Pozámka Je-li (a ) posloupost obsažeá v možiě A, potom pro každé kla dé přirozeé číslo azýváme a -tý čle poslouposti (a ) Pozámka Je-li (a ) posloupost obsažeá v možiě A, potom posl ouposti (a ), tj { a, N} = H( ( a) ) Např ( ) poslouposti { a N}, {, N} = {,}, tedy ozačuje možiu všech čleů je možia všech čleů ÚMLUVA Jako poslouposti obsažeé v možiě A budeme uvažovat také zobrazeí možiy A a také zobrazeí možiy N K do možiy A, kde K je koečá podmožia možiy N N 0 do možiy Defiice: Řekeme, že (a ) je reálá (resp kompleí) posloupost, jestliže (a ) je posloupost obsažeá v možiě všech reálých (resp kompleích) čísel R (respc ) Pozámka Je-li (a ) reálá posloupost, potom (a ) je také fukce jedé proměé, protože D a = N R H a R, tudíž pro reálé poslouposti platí vše, co jsme uvedli pro fukce jedé ( ) (( )) proměé (mj graf reálé poslouposti, rostoucí, klesající, ryze moo tóí, eklesající, erostoucí, mootóí, shora omezeá, zdola omezeá a omezeá posloupost, jakož i maimum, miimum, suprémum, ifimum poslouposti) Pozámka Nechť (a ) je reálá posloupost, potom posloupost (a ) je (i) rostoucí (resp klesající) právě tehdy, jestliže ( < ) (resp a a + N ( resp (ii) eklesající (resp erostoucí) právě tehdy, jestliže Pozámka Nechť (a ) je reálá posloupost a a + N (i) Je-li posloupost (a ) eklesající, potom if (( a) ) = mi (( a) ) = a (ii) Je-li posloupost (a ) erostoucí, potom sup( ( a) ) = ma (( a) ) = a >, a a + N Tz každá eklesající (erostoucí) reálá posloupost je vždy zdola (resp shora) omezeá a a + N
( a ) ( b ) ZNAČENÍ Nechť (a ) a (b ) jsou reálé poslouposti Potom symbolem ozačujeme tvrzeí N ( a b ) Pozámka Nechť (a ) a (b ) jsou reálé poslouposti takové, že ( a ) ( b ) (i) Je-li posloupost (b ) shora omezeá, potom je posloupost (a ) rověž shora omezeá (ii) Neí-li posloupost (a ) shora omezeá, potom posloupost (b ) rověž eí shora omezeá (iii) Je-li posloupost ( a ) zdola omezeá, potom je posloupost (b ) rověž zdola omezeá (iv) Neí-li posloupost (b ) zdola omezeá, potom posloupost (a ) rověž eí zdola omezeá Pozámka Grafem poslouposti jsou izolovaé body Defiice: Nechť (a ) a (b ) jsou poslouposti obsažeé v možiě A Řekeme, že posloupost (b ) je vybraá z poslouposti (a ), jestliže eistuje rostoucí posloupost kladých přirozeých čísel (k ) taková, že ( b a ) = N k Pozámka Je-li (a) posloupost obsažeá v možiě A, potom posloupost (a ) je vybraá z poslouposti ( a ), tedy každá posloupost je sama ze sebe vybráa, eboť stačí zvolit (k ) = (), tj v roli poslouposti (k ) volíme idetické zobrazeí I N Pozámka Nechť (a ) a (b ) jsou reálé poslouposti takové, že posloupost (b ) je vybráa z poslouposti ( a ) (i) Je-li posloupost (a ) shora omezeá, potom je posloupost (b ) rověž shora omezeá (ii) Neí-li posloupost (b) shora omezeá, potom posloupost (a ) rověž eí shora omezeá (iii) Je-li posloupost (a) zdola omezeá, potom je posloupost (b ) rověž zdola omezeá (iv) Neí-li posloupost (b) zdola omezeá, potom posloupost (a ) rověž eí zdola omezeá (v) Je-li posloupost (a ) omezeá, potom je posloupost (b ) rověž omezeá (vi) Neí-i posloupost (b ) omezeá, potom posloupost (a ) rověž eí omezeá (vii) Je-li posloupost (a ) rostoucí (resp klesající, resp erostoucí, resp eklesající), potom je posloupost (b ) rověž rostoucí (resp klesající, resp erostoucí, resp eklesající) (viii) Neí-li posloupost (b ) rostoucí (resp klesající, resp erostoucí, resp eklesající), potom posloupost (a ) rověž eí rostoucí (resp klesající, resp erostoucí, resp eklesající) (i) Je-li posloupost (a ) ryze mootóí (resp mootóí), potom je posloupost (b ) rověž ryze mootóí (resp mootóí) () Neí-li posloupost (b ) ryze mootóí (resp mootóí), potom posloupost (a ) rověž eí ryze mootóí (resp mootóí) (i) Obsahuje-li posloupost (a ) alespoň jedu rostoucí a alespoň jedu klesající vybraou posloupost, potom posloupost (a ) eí ryze mootóí, ai mootóí Pozámka Nechť (a ) a (b ) jsou reálé poslouposti Potom posloupost (b ) je vybraá posloupost z poslouposti (a ) právě tehdy, jestliže posloupost (b ) je složeé zobrazeí vější posloupost (a ) a vitří poslouposti (k ), kde (k ) je rostoucí posloupost kladých přirozeých čísel Pozámka Poslouposti lze také defiovat tzv rekuretě Např uvažujme reálou posloupost defiovaou takto: ( a ) a = a + a = a = (Fiboacciova posloupost) N + + Z této defiice umíme spočítat, že výpočet apříklad a 000 a =, a =, a = 5, 5 potřebujeme zát všech 999 předchozích čleů rekuretí defiice je evýhodá, protože pro V části věovaé diferečím rovicím uvedeme, jak určit předpis pro přímý výpočet -tého čleu, záme-li rekuretí defiici poslouposti