4. Funkce 4. 4. Funkce Verze. prosince 06 S pojmem funkce jsme se setkali již v Kapitole F Zobrazení. Připomeňme základní pojm. Zobrazení z množin X do množin Y je formálně podmnožina F kartézského součinu X Y (množina uspořádaných dvojic [, ], kde X a Y ) splňující vlastnost: [, ], [, ] F =, tj. pro každé eistuje nejvýše jedno, že [, ] F. Množina F tak jednoznačně určuje předpis f : = f(). Místo [, ] F tak píšeme = f(). Prvku říkáme vzor a prvek = f() je obraz prvku v zobrazení f. Pokud X a Y jsou množin číselné, zobrazení obvkle nazýváme funkce. Proměnné říkáme nezávislá proměnná a je závislá proměnná. Definiční obor D(f) funkce f je množina všech, která mají svůj obraz (funkční hodnotu), a obor hodnot H(f) je množina všech hodnot = f(). Pokud dvě funkce nemají stejný definiční obor, považujeme je za různé, i kdž je určuje stejný předpis. Například funkce, R je jiná funkce než, (0, ). Dále řekneme, že funkce F je rozšíření (etenze) funkce f (a současně f je zúžením (restrikce funkce F )), pokud D(f) D(F ) a F () = f() D(f). Funkce f : X Y a g : Y Z lze složit, pokud H(f) D(g). Složená funkce g f (čti g po f) je daná vztahem (g f)() = g(f()). Připomeňme dále, že funkce f : X Y s D(f) = X je (a) prostá (injektivní), pokud různé dávají různé = f(), tj. f( ) f( ), na Y (surjektivní), pokud obor hodnot je celé Y, tj. H(f) = Y, (c) vzájemně jednoznačná (bijektivní), pokud f je prostá i na Y. f f f f 4 f 5 X Y X Y X Y Obr. 4.: Šipkové diagram funkce (zobrazení). f je funkce X Y, f je funkce prostá, f je funkce na Y, f 4 je funkce vzájemně jednoznačná, f 5 je funkce inverzní k f 4. Jestliže funkce f : X Y je bijektivní, potom eistuje funkce g : Y X inverzní k funkci f, taková, že g() = právě kdž f() =. Funkci inverzní funkci f označujeme obvkle f. Platí také D(g) = H(f) a H(g) = D(f). Inverzní funkci f lze určit také jako funkci splňující f f = I X a f f = I Y, kde I X je identická funkce na X, tj. I X () = pro všechna X a I Y () = je identická funkce na množině Y. Poznamenejme, že pokud prostá funkce f : X Y není na, tj. H(f) není celé Y, potom funkci inverzní lze definovat jen na H(f). Pokud funkce f není prostá na celém D(f), potom pro inverzní funkce je nutno ji omezit na podmnožinu X množin X, na které už je prostá. Funkci lze znázornit, tak jako zobrazení, šipkovým diagramem, viz Obr. 4.. Pro funkce se častěji užívá znázornění pomocí grafu v rovině, viz Obr. 4.. X Y Y X Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně
4. Funkce 4A. Základní pojm Y f Y f Y f f 4 Y X f 5 X X X X Y Obr. 4.: Graf funkcí: f není funkce X Y, f je prostá funkce z X do Y, f je funkce z X na Y, f 4 je funkce vzájemně jednoznačná z X na Y, f 5 je graf funkce inverzní k funkci f 4. 4A. Základní pojm V dalším tetu pod funkcí budeme rozumět funkci f : R R s definičním oborem D(f) R. Takovým funkcím říkáme reálné funkce jedné reálné proměnné. Jsou ústředním pojmem matematické analýz, takzvaného kalkulu. Poznamenejme, že i kdž f() znamená hodnotu funkce v bodě, tj. jedno číslo, budeme místo f psát f(), ab se zdůraznilo, že jde o funkci s proměnnou. Poznámk 4.. (a) Funkci zadáváme tak, že stanovíme definiční obor a určíme funkční předpis. Funkční předpis má obvkle tvar jednoho nebo více eplicitních vzorců nebo výčet, případně kombinace obojího. Není-li stanoven definiční obor, rozumí se jím všechn prvk z R, pro něž mají vzorce smsl. (c) Ve výuce matematik se obvkle zabýváme funkcemi zadanými nějakým (relativně) jednoduchým předpisem. Nutno si ale uvědomit, že funkcí, které nelze žádným jednoduchým předpisem určit, je mnohem, mnohem víc. (d) Funkce se znázorňuje grafem. Je to množina bodů {[, ] R : = f(), D(f)}. (e) Pozor, ne každá množina nebo křivka v rovině je grafem nějaké funkce. Například parabola = není grafem funkce f(), protože každému > 0 patří dvě hodnot = a =. Podobně přímka = 0 a křivka = sin nejsou grafem žádné funkce f(). (f) Jsou funkce, jejichž graf nelze načrtnout. Příkladem může být graf Dirichletov funkce, která nabývá hodnot pro racionální a 0 pro iracionální, viz Příklad 4. (d). (g) Máme-li funkci f s definičním oborem D(f), potom novou funkci f U dostaneme restrikcí funkce na nějakou podmnožinu U D(f). Novou funkci dostaneme také rozšířením funkce na větší definiční obor. Novou funkci dostaneme také změnou hodnot v jednom nebo více bodech. sgn() χ A () Obr. 4.: Funkce znaménka sgn() a charakteristická funkce χ A () množin A Příklad 4.. Vedle tzv. elementárních funkcí, např. mocnin f() = n, eponenciální funkce e, logaritmické funkce log z, goniometrických funkcí sin, cos, tg, cotg uved me několik nestandardních funkcí: Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 0 A
4. Funkce 4A. Základní pojm (a) Funkce signum (znaménko) (Obr. 4.) je určena předpisem pro < 0 sgn() = 0 pro = 0 pro > 0. [] Charakteristická funkce χ A množin A R (Obr. 4.) je { pro A χ A () = 0 pro / A. (c) (d) Předpis n N splňující n < n + určuje funkci celá část čísla, píšeme [] = n. Funkce necelá část (také zlomková část) je určena vztahem {} = []. Definičním oborem obou funkcí je R, obor hodnot první jsou celá čísla Z, druhé 0, ), viz (Obr. 4.4). Platí [] + {} =. Dirichletova funkce (Obr. 4.5) je určena předpisem { pro racionální D() = 0 pro iracionální. {} Obr. 4.4: Funkce celá a necelá část. Obr. 4.5: Dirichletova funkce D() Funkce sudá, lichá a periodická Definice 4.. (Sudá a lichá funkce) Řekneme, že množina M R je smetrická, pokud: M právě kdž M. Funkci f : R R nazveme sudou, pokud definiční obor D(f) je smetrická množina a platí f( ) = f() pro každé D(f) a funkci f : R R nazveme lichou, pokud definiční obor D(f) je smetrická množina a platí f( ) = f() pro každé D(f). p Obr. 4.6: Funkce sudá, lichá a periodická s periodou p. Poznámk 4.4. (a) Funkce,, /, sin, tg, cotg jsou funkce liché, funkce,, 4,, cos jsou funkce sudé. Naproti tomu funkce e, ln nejsou ani sudé ani liché. Součet sudých funkcí je funkce sudá a součet lichých funkcí je funkce lichá. Dále součin dvou sudých i dvou lichých funkcí je funkce sudá a součin sudé a liché funkce je funkce lichá. Každou funkci f() definovanou na smetrické množině lze rozložit na součet f() = f s ()+f l () funkce sudé f s () = [f()+f( )] a liché f l() = [f() f( )]. Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně
4. Funkce 4A. Základní pojm Definice 4.5. (Periodická funkce) Necht eistuje kladné číslo p takové, že (a) definiční obor funkce f je množina periodická, tj. D(f) + p D(f). platí f( + p) = f() pro všechna D(f). Potom řekneme, že funkce f je periodická s periodou p, zkráceně funkce f je p-periodická. Poznámk 4.6. (a) Goniometrické funkce sin, cos, tg, cotg jsou funkce periodické. Nejmenší periodou prvních dvou funkcí je p =, periodou jsou však i násobk. Nejmenší periodou funkcí tg a cotg je p =. Také funkce necelá část {} je periodická s (nejmenší) periodou p =. Funkce celá část [] periodická není. Má-li funkce periodu p, periodou jsou i násobk kp, k N. Obvkle za periodu bereme nejmenší kladné p splňující f( + p) = f(). Tuto podmínku však splňuje i konstantní funkce pro libovolné p > 0, a nejmenší periodu tudíž nemá. Někteří autoři proto funkce, které nemají nejmenší periodu, za periodické nepovažují. (c) Zajímavá je i Dirichletova funkce. Pro ni je podmínka f( + p) = f() splněna pro každé kladné racionální p. Tato funkce tudíž také nemá nejmenší periodu a někteří autoři ji proto za periodickou nepovažují. Funkce omezená, rostoucí a klesající Definice 4.7. (Omezené funkce) Bud f funkce a M D(f). Řekneme, že funkce f je (a) zdola omezená na M, jestliže eistuje K R takové, že pro všechna M je f() K. shora omezená na M, jestliže eistuje L R takové, že pro všechna M je f() L. (c) omezená na M, je-li na M současně zdola omezená i shora omezená. (d) neomezená na M, není-li na M omezená zdola nebo shora. Poznámk 4.8. (a) Místo slova omezené a neomezené se také často říká ohraničené a neohraničené. Funkce e je omezená zdola na celém R. Funkce / je omezená shora na (, 0) a omezená zdola na (0, ). Funkce sin, cos jsou omezené, tg i cotg jsou neomezené na celém svém definičním oboru. Definice 4.9. (Funkce rostoucí a klesající) Bud f funkce a I D(f) interval. Řekneme, že funkce f je (a) rostoucí na I, jestliže pro každé, I platí < f( ) < f( ), neklesající na I, jestliže pro každé, I platí < f( ) f( ), (c) klesající na I, jestliže pro každé, I platí < f( ) > f( ), (d) nerostoucí na I, jestliže pro každé, I platí < f( ) f( ), (e) konstantní na I, jestliže pro každé, I platí f( ) = f( ), (f) monotónní na I, jestliže je neklesající na I nebo nerostoucí na I. (g) rze monotónní na I, jestliže je rostoucí na I nebo klesající na I. Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 4
4. Funkce 4A. Základní pojm Poznámk 4.0. (a) Na intervalu I je každá rostoucí funkce také neklesající a každá klesající funkce je i nerostoucí. Je-li funkce nerostoucí a současně neklesající, je konstantní. Je-li funkce rostoucí (neklesající, klesající, nerostoucí, konstantní) na překrývajících se intervalech I a I (I I ), potom je taková i na sjednocení intervalů I I. f() f( f( ) ) < f( ) f( ) < a b Obr. 4.7: K definici funkce rostoucí. f() I I I I 4 I 5 Obr. 4.8: Funkce f() je rostoucí na intervalu I, neklesající na I, klesající na I, konstantní na I 4 a nerostoucí na I 5. Funkce konvení a konkávní Dále zkoumáme, zda je funkce konvení nebo konkávní. Rozhodující přitom je, zda spojnice dvou bodů grafu leží nad nebo pod grafem funkce. K tomu potřebujeme popsat souřadnice bodu na úsečce s krajními bod P 0 = [ 0, 0 ] a P = [, ]. Pro t 0, položme (t) = ( t) 0 + t, (t) = ( t) 0 + t a označme P t = [(t), (t)]. Zřejmě pro t = 0 dostáváme bod P 0, pro t = bod P, bod P / je střed úsečk P 0 P. Bod P t pro t (0, ) tvoří celou otevřenou úsečku. Vjádření vužijeme při definici konvení funkce. Bod úsečk s koncovými bod [ 0, f( 0 )] a [, f( )] se souřadnicí = (t) má příslušnou -novou souřadnici danou (t) = ( t)f( 0 ) + t f( ). Tuto hodnotu budeme v definici porovnávat s hodnotou f((t)): P 0 P P 0 4 Obr. 4.9: Popis bodů úsečk. 0 P 4 P f((t)) < (t) f() (t) f((t)) a 0 t b Obr. 4.0: K definici funkce konvení. Definice 4.. (Funkce konvení a konkávní) Bud f funkce a I D(f) interval. Řekneme, že funkce f je (a) konvení na I, jestliže pro všechna 0, I a všechna t (0, ) platí f(( t) 0 + t ) ( t)f( 0 ) + tf( ), rze konvení na I, jestliže pro všechna 0, I, 0 a všechna t (0, ) platí f(( t) 0 + t ) < ( t)f( 0 ) + tf( ), Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 5
4. Funkce 4A. Základní pojm (c) konkávní na I, jestliže pro všechna 0, I a všechna t (0, ) platí f(( t) 0 + t ) ( t)f( 0 ) + tf( ), (d) rze konkávní na I, jestliže pro všechna 0, I, 0 a všechna t (0, ) platí f(( t) 0 + t ) > ( t)f( 0 ) + tf( ). (e) Bod = a nazveme inflením bodem funkce f(), jestliže v levém okolí bodu a je funkce f() konvení a v pravém okolí konkávní, nebo naopak. f f f Obr. 4.: Funkce f je konvení, f je konkávní a bod je inflením bodem funkce f. Příklad 4.. (a) (c) (d) Funkce e a sudé mocnin, 4,... jsou rze konvení na celém R, logaritmická funkce ln je rze konkávní na (0, ). Odmocnin,, 4,... jsou rze konkávní na 0, ). Liché mocnin, 5,... jsou rze konvení na 0, ) a rze konkávní na (, 0, v nule mají inflení bod. Funkce sin je rze konkávní na intervalech k, (k + ) a konvení na intervalech (k ), k (k Z). V = k jsou inflení bod. Funkce arctg je konvení na (, 0, konkávní na 0, ) a = 0 je inflení bod. Poznámk 4.. (a) (c) Je-li funkce rze konvení, je také konvení a podobně rze konkávní je konkávní. Funkce, která je současně konvení i konkávní na intervalu I, je na tomto intervalu lineární, tj. tvaru f() = a + b, a jejím grafem je úsečka. Necht v bodě grafu funkce eistuje tečna ke grafu funkce. Potom: je-li funkce rze konvení, tato tečna je pod grafem funkce, je-li funkce rze konkávní, tato tečna je nad grafem funkce, je-li bod inflení, tato tečna je na jedné straně bodu pod grafem, na druhé nad grafem. Předchozí vlastnosti nejsou vhodné pro definici konvení a konkávní funkce. Museli bchom nejprve definovat, co je to tečna ke grafu funkce. Také b definice nezahrnovala případ, kd graf funkce v uvažovaném bodě tečnu nemá. Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 6
4. Funkce 4A. Základní pojm Funkce algebraické a transcendentní I kdž názvosloví není zcela jednotné, tzv. analtické funkce dělíme následovně: Definice 4.4. (Funkce algebraické a transcendentní) Funkci = f() nazveme algebraickou, jestliže je určena rovnicí P (, ) = 0, kde P (, ) je polnom v proměnných,. Algebraické funkce dělíme na podskupin: (a) (c) racionální funkce celistvé zvané polnom, česk mnohočlen. Jsou to funkce = Q(), kde Q() je polnom proměnné. racionální funkce lomené, zkráceně racionální funkce nebo lomené funkce. Jsou to funkce, které vzniknou podílem dvou polnomů Q() a R(), přičemž R() 0. iracionální funkce ostatní algebraické funkce, které nelze vjádřit jako podíl dvou polnomů. Analtické funkce, které nejsou algebraické, nazýváme transcendentní. Mezi tzv. nižší transcendentní funkce řadíme elementární funkce: mocnin s iracionálním eponentem, eponenciální a logaritmické funkce, funkce goniometrické, cklometrické, hperbolické atd. Mezi tzv. všší transcendentní funkce řadíme například funkce definované pomocí integrálů, například = 0 e t dt a další. Poznámk 4.5. (a) Polnom v proměnných, je lineární kombinace mocnin i j, tj. součet konečně mnoha násobků členů i j, kde i, j N 0 {0,,,,... }, například funkce P (, ) = + 7 + 4 7. Polnom k-tého stupně v proměnné lze zapsat Q() = a k k +a k k + +a +a 0, kde a i R, například + 5. Polnom Q() patří mezi algebraické funkce, v tomto případě v rovnici P (, ) = 0 je polnom P (, ) = Q(). (c) Příkladem racionální lomené funkce je funkce f() = Q() R() = + + 4 +. V tomto případě je polnom P (, ) = Q() R(). (d) (e) Iracionální funkce jsou určen polnomem P (, ), který obsahuje alespoň druhou mocninu proměnné, například P (, ) = + 4 = 0. Pokud eistuje eplicitní vjádření funkce ve tvaru = f(), potom obsahuje odmocnin, například = 4. Předchozí definice se týká jenom tzv. analtických funkcí, s jejich přesnou definicí se setkáme v kurzu Matematika : jsou to spojité funkce, které mají derivace všech řádů a v okolí každého bodu příslušná Talorova řada konverguje k dané funkci. Mezi analtické funkce nepatří například funkce znaménka sgn(), absolutní hodnot v okolí nul, funkce celá [] i necelá část {}. Ani Dirichletova funkce D() není analtická, i kdž splňuje rovnici ( ) = 0. Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 7
4. Funkce 4A. Základní pojm Posloupnosti Zobrazení (funkce) definované na množině přirozených čísel N se nazývají posloupnosti. Místo a(n) píšeme {a n } a mslíme tím uspořádanou nekonečnou množinu {a, a, a,... }, kterou zapisujeme zkráceně {a n } n= nebo jenom {a n }. Někd je vhodné začínat posloupnost nultým členem, tj. {a 0, a, a, a,... }, potom je definičním oborem množina N 0 N {0}. Jaký je rozdíl mezi posloupností a množinou? V množině nezáleží na pořadí uvedených prvků, každý prvek je v množině jen jednou (pokud je náhodou zapsán vícekrát, je považován za jeden). Naproti tomu v posloupnosti záleží na pořadí prvků, prvk se mohou opakovat: například v konstantní posloupnosti se jeden prvek stále opakuje. Řada pojmů definovaných pro funkce lze přirozeně převést také posloupnosti. Například posloupnost {a n } n= je neklesající, jestliže a n+ a n pro všechna n N. Podobně se zavádí pojem rostoucí, klesající, nerostoucí, omezené (ohraničené) posloupnosti. U posloupností je důležitým pojmem její limita, budeme jí věnovat v části 5. Příklad 4.6. Několik konkrétních posloupností (a) Posloupnost konstantní je posloupnost {a, a, a, a, a,..., a,... }, kde a R. Posloupnost aritmetická s diferencí d a počátečním členem a 0 = a je posloupnost definovaná rekurentně a n+ = a n + d, neboli a n = a 0 + n d. Pro a 0 = a d = je {a, a + d, a + d, a + d, a + 4d, a + 5d,... } = {, 5, 7, 9,,,... }. Pro d > 0 je posloupnost rostoucí a neomezená (roste do nekonečna), pro d < 0 je klesající do a pro d = 0 je konstantní. (c) Posloupnost geometrická s počátečním členem a 0 = a a kvocientem q je definovaná rekurentně a n+ = a n q, neboli a n = a 0 q n = a q n. Například pro a 0 = a q = je {a, aq, aq, aq, aq 4, aq 5,... } = {, 6,, 4, 48, 96,... }. Necht například a > 0. Potom podle hodnot q rozlišujeme pět případů: q > posloupnost roste do nekonečna, q = posloupnost je konstantní, 0 < q < posloupnost klesá k nule, < q < 0 člen a n skáčou kolem nul a blíží se k ní, q = posloupnost osciluje : {a, a, a, a, a,... } a q < posloupnost diverguje, rozbíhá se do ±. Pro a < 0 je situace analogická. Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 8
4. Funkce 4B. Elementární funkce 4B. Elementární funkce V dalším se budeme věnovat funkcím, které nazýváme elementární. Jsou to zejména funkce: (a) (c) (d) eponenciální a logaritmické; obecné mocninné; goniometrické a cklometrické; hperbolické a hperbolometrické. Eponenciální funkce Funkce tpu a, kde základ a je pevné kladné číslo různé od jedničk, tj. a (0, ) (, ), a eponent je proměnná, nazýváme eponenciální funkce. Tto funkce jsou přirozeně definované pro přirozená čísla N: a je součin čísel a. Její základní vlastností je rovnost a + = a a. Z rovnosti a = a +0 = a a 0 plne a 0 = a ze vztahu a a = a = a 0 = plne a = /a. Dále z rovnosti (a q ) q = a q q = a = a pro q N plne a q = q a. Dík tomu můžeme rozšířit funkci a na všechna racionální čísla = p vztahem q a p q = q a p. Pro iracionální je funkce definována jako limita (pojem definujeme později) a r i hodnot funkce v racionálních čísel r i blížících se k iracionálnímu. Případ základu a = se nepovažuje za eponenciální funkci, protože = je konstantní funkce. Definice 4.7. (Eponenciální funkce) Bud a kladné reálné číslo různé od. Potom funkci f() = a s definičním oborem R, a oborem hodnot (0, ), která vznikne rozšířením funkce (*) z racionálních na reálná čísla, nazveme eponenciální funkcí se základem a. V matematice se užívá zejména tzv. přirozená eponenciální funkce e se základem a = e, kde e je Eulerova konstanta, e. =.78 88. Místo e se píše také ep(). Poznámka: Eulerovu konstantu lze definovat jako limitu ( e = lim + n. n n) S funkcí e se ještě mnohokrát setkáme. V aplikacích se užívají také eponenciální funkce se základem a =, a =, a = 0. Věta 4.8. Funkce a je pro každé kladné a omezená zdola a neomezená shora. Pro a > je rostoucí a pro 0 < a < klesající na celém R. V obou případech je funkce na celém R rze konvení. Významné hodnot funkce jsou a 0 =, a = a a a = /a. Z pravidel pro počítání s eponenciální funkcí uved me a + = a a, a = a a, (a ) = a, a = a ( 0). ( ) Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 9
4. Funkce 4B. Elementární funkce ( ) ( e ) ( ) e 0 Obr. 4.: Eponenciální funkce a pro a =, a =, a =, a = a a = e. Všimněte si zrcadlové smetrie grafů funkcí a ( ) =, ( ) a ( ) = ( ), obecně a a ( a ) = a. Logaritmické funkce Eponenciální funkce a jsou pro základ a (0, ) klesající a pro a (, ) rostoucí, ted v obou případech funkce prosté. Eistují proto funkce inverzní, které se nazývají logaritmické. Graf logaritmické funkce = log a je zrcadlově smetrický podle os = ke grafu funkce = a, speciálně přirozený logaritmus = ln je zrcadlově smetrický ke grafu funkce = e. Definice 4.9. (Logaritmické funkce) Necht a R, a > 0, a. Inverzní funkce k funkci f() = a se nazývá logaritmická funkce o základu a. Značí se f() = log a () nebo bez závorek jen log a. Jsou definován na (0, ) s oborem hodnot (, ) a platí log a = = a. Přirozený logaritmus je logaritmus se základem a = e. Značíme ho ln log e. Užívá se také dekadický logaritmus se základem a = 0, který se často píše bez základu: log log 0. Je to funkce inverzní k funkci 0. Vlastnosti logaritmické funkce shrneme v tvrzení: Věta 4.0. Necht a (0, ) (, ). Logaritmické funkce f() = log a jsou definován jen pro kladná čísla. Pro a > jsou to funkce rostoucí a rze konkávní jdoucí od do. Pro 0 < a < jsou to funkce klesající a rze konvení jdoucí od do. Významné hodnot jsou log a = 0, log a a = a log a ( a ) =. Z pravidel pro počítání s logaritmickými funkcemi uved me: log a () = log a + log a, log a ( ) = log a log a, log a ( p ) = p log a, log a ( p ) = p log a. Pravidla dostaneme z definice logaritmu a vlastností eponenciální funkce. První tvrzení plne z rovnosti e ln() = = e ln e ln = e ln +ln. Rovnost e ln(/) = / = e ln /e ln ln ln = e dává druhé tvrzení. Třetí plne z rovnosti e ln(p) = p = (e ln ) p = e p ln. Poslední tvrzení je důsledkem rovnosti e ln( p ) = p = /p = (e ln ) /p = e /p ln. Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 0
4. Funkce 4B. Elementární funkce Eponenciální a logaritmické funkce s různými základ lze navzájem převádět. Věta 4.. Bud a, b (0, ) (, ). Potom platí a = e ln a, b = (a ) ln b ln a, R a log b = log a ln a ln b, speciálně log log 0 = ln ln 0, log a = ln ln a, > 0. Naznačme odvození uvedených vzorců. Z rovnosti a = e ln a plne a = (e ln a ) = e ln a. Důkaz druhého vzorce: b = e ln b = e ln a ln b/ ln a = (e ln a ) ln b/ ln a = (a ) ln b/ ln a. Číslo > 0 lze napsat jako = a log a = (e ln a ) log a = e ln a log a a také jako = b log b = e ln b log b. Porovnání eponentů dává ln a log a = ln b log b, odkud plne třetí vzorec, další jsou jeho důsledk. e = log log ln 0 e 0 log log Obr. 4.: Logaritmické funkce log a pro a =, a =, a =, a =. Funkce ln je inverzní k e. Funkce ln a e jsou navzájem zrcadlově smetrické podle os =, stejně navzájem smetrické jsou i funkce log a a a. Všimněte si také zrcadlové smetrie podle os funkcí log a a log /a. Obecné mocninné funkce V eponenciálních funkcích bl základ pevný a eponent proměnná, u mocninných funkcí je to naopak: eponent p je pevný, proměnnou je základ. Mocninné funkce jsou přirozeně definován pro eponent p = 0,,,, 4,... na celém R, pro záporné celé eponent na celém R kromě = 0. Obecně jsou hodnot p definován pro R + = (0, ) vztahem p = e p ln. Definice 4.. (Obecná mocninná funkce) Necht p R. Funkce f() = p je definovaná vztahem p = e p ln pro všechna kladná čísla R + = (0, ). Pro p > 0 lze položit 0 p = 0. V případě celých eponentů p Z lze funkci rozšířit pro R \ {0}, pokud navíc p N, funkce p je definovaná na celém R. Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně
4. Funkce 4B. Elementární funkce Uved me graf několika mocninných funkcí na intervalu (0, ). Funkce 0 =,,,,... jsou definované na celém R, funkce,,,... jsou definované na R kromě nul. 0 0 Obr. 4.4: Mocninné funkce p pro p =, p = 0, p =, p = a p = na intervalu (0, ). Věta 4.. (Vlastnosti obecných mocninných funkcí) Necht p R. Obecná mocninná funkce f() = p má pro (0, ) vlastnosti: (a) je rostoucí v případě eponentů p > 0 a klesající v případě p < 0, funkce je rze konvení pro p > a pro p < 0, pro 0 < p < je rze konkávní. (c) Platí ( ) p () p = p p, = p, p (d) V obecném případě p R a p 0 funkce p zobrazí interval (0, ) na celé (0, ). Goniometrické funkce Na základní a střední škole bl goniometrické funkce definován pro úhel α pravoúhlého trojúhelníka ABC s úhlem α při vrcholu A, pravým úhlem při vrcholu C, odvěsnami BC délk a, AC délk b a přeponou AB délk c, (viz obr. 4.5) jako: (a) sin α = a c tj. poměr (délk) protilehlé odvěsn ku přeponě, cos α = b c tj. poměr přilehlé odvěsn ku přeponě, (c) tg α = a b tj. poměr protilehlé odvěsn ku přilehlé odvěsně a (d) cotg α = b a tj. poměr přilehlé odvěsn ku protilehlé odvěsně. c α A b C Obr. 4.5: Označení trojúhelníka ABC. B a Pro úplnost uved me, že zbývající poměr stran c : b definuje funkci sekans: sec α = / cos α a poměr c : a funkci kosekans: cosec α = / sin α. Tto funkce se však používají jen velmi zřídka. Nejsou omezené a nejsou definován pro hodnot α, kd sin α = 0 nebo cos α = 0. Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně
4. Funkce 4B. Elementární funkce Goniometrické funkce rozšíříme z ostrého úhlu na libovolný úhel. Budeme uvažovat orientovaný úhel s vrcholem v počátku, jehož první (počáteční) rameno směřuje od počátku vpravo. Velikost úhlu budeme měřit v radiánech, tj. pomocí délk orientovaného oblouku na jednotkové kružnici, který začíná na počátečním rameni a končí na koncovém rameni. Pokud je tento oblouk orientován v kladném směru, tj. proti směru pohbu hodinových ručiček, bereme úhel kladný, v opačném případě záporný. Význam orientovaného úhlu už není plocha mezi ramen úhlu, ale otáčivý pohb, kterým se počáteční rameno přemístí na koncové rameno. Protože délka jednotkové kružnice je, orientované úhl, +,, +4, 4,... mají stejná ramena. Protože 80 je radiánů, přepočet velikosti úhlu v radiánech na stupně a obráceně je: [radiánů] = 80 [stupňů] a obráceně [stupňů] = 80 [radiánů]. Pamatujte si převod ostrých úhlů v prvním kvadrantu a násobků pravého úhlu: Stupně 0 0 45 60 90 80 70 60 540 70. Radián 0 4 6 4 Definice 4.4. (Goniometrické funkce). Bud k jednotková kružnice se středem v počátku O = [0, 0] a orientovaný úhel s počátečním ramenem OA směřujícím vpravo a koncovým ramenem OB, přičemž bod A = [, 0] a B jsou průsečík ramen s kružnicí k. Potom délka orientovaného oblouku AB určuje velikost úhlu, svislá souřadnice bodu B je hodnota sin funkce sinus, vodorovná souřadnice B je hodnota cos funkce kosinus, tj. B = [cos, sin ]. Funkce tangens a kotangens jsou definován jako podíl tg = sin cos, cos cotg = sin. k tg sin z B C p D O A cos cotg p Obr. 4.6: K definici goniometrických funkcí sin, cos, tg, cotg. Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně
4. Funkce 4B. Elementární funkce Poznámk 4.5. (a) (c) (d) (e) Při psaní argumentu goniometrických funkcí se často závork vnechávají, např. místo sin() se píše jenom sin, také místo sin() se píše sin a místo sin ( ) se píše jenom sin. Mocnin se píší před argument sin nebo sin () místo těžkopádného (sin()), bez závorek sin totiž znamená sin( ). Na obrázku jsou vidět také hodnot funkcí tangens a kotangens. Protože označuje velikost úhlu (měřeného délkou orientovaného oblouku na kružnici k), označme vodorovnou souřadnicovou osu a svislou souřadnicovou osu z. Koncové rameno úhlu prodloužíme na přímku p a obrázek doplníme svislou přímkou = a vodorovnou přímkou z =. Potom funkce tg je svislá souřadnice průsečíku C přímk p a přímk =, a cotg je vodorovná souřadnice průsečíku D přímk p a vodorovné přímk z =. Z definice a obrázku je také vidět, že funkce sin a cos jsou definován pro všechn hodnot úhlu R. Z definice tg = sin / cos plne, že funkce tg není definována pro = + k, kd cos = 0. Pro tto hodnot na obrázku přímka p neprotíná přímku =. Také z definice cotg = cos / sin plne, že funkce cotg není definována pro = k, kd sin = 0. Pro tto hodnot přímka p neprotíná přímku z =. Z obrázku lze dále usoudit, že zatímco funkce sin a cos mají (nejmenší) periodu, funkce tg a cotg mají (nejmenší) periodu poloviční, tj.. (f) Protože délka OB je rovna jedné, z Pthagorov vět plne rovnost sin + cos =. cos 0 6 4 4 5 6 sin Obr. 4.7: Graf funkcí sin a cos na základní periodě (0, ). Zapamatujte si vbrané hodnot funkcí v prvním kvadrantu a znaménka v dalších kvadrantech. Jako mnemotechnická pomůcka pro hodnot funkce sinus pro = 0, /6, /4, /, / slouží řada: 0,,, 0 6 (0 ) 4 (45 ) (60 ) sin 0 cos tg 0 cotg, 4 a v opačném pořadí pro kosinus. (90 ) (0, ) (, ) (, ) (, ) + + 0 + + + + 0 + + Základní vlastnosti goniometrických funkcí shrneme ve větě: Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 4
4. Funkce 4B. Elementární funkce Věta 4.6. (Vlastnosti goniometrických funkcí) (a) Definiční obor: D(sin ) = (, ), D(cos ) = (, ), D(tg ) = k Z ( + k, + k), D(cotg ) = k Z (k, k + ). Obor hodnot: H(sin ) = H(cos ) =,, H(tg ) = H(cotg ) = (, ). (c) (d) (e) (f) Funkce sin, tg a cotg jsou liché, funkce cos je sudá. Funkce sin a cos mají periodu : sin( + ) = sin, cos( + ) = cos a funkce tg a cotg mají periodu : tg ( + ) = tg, cotg ( + ) = cotg. Funkce sin je rostoucí na intervalech + k, + k a klesající na intervalech + k, + k. Funkce cos je rostoucí na intervalech + k, k a klesající na intervalech k, + k. Funkce tg je rostoucí na intervalech ( + k, + k) a funkce cotg je klesající na intervalech (k, + k). Funkce sin je konvení na intervalech + k, k a konkávní na k, + k, inflení bod jsou k. Funkce cos je konvení na intervalech + k, + k a konkávní na + k, + k, inflení bod jsou + k. Funkce tg je konvení na intervalech k, +k) a konkávní na ( +k, k, inflení bod jsou k. Funkce cotg je konvení na (k, + k a konkávní na + k, k), inflení bod jsou + k. tg cotg 6 0 6 4 0 6 4 4 5 6 Obr. 4.8: Definiční obor a graf funkcí na základních periodách: tg na (, ) a cotg na (0, ). Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 5
4. Funkce 4B. Elementární funkce Věta 4.7. (Užitečné vzorce pro goniometrické funkce) (a) Vztah mezi funkcemi: cos = sin( + ), cos = sin( ), sin = cos( ), cotg = tg ( ), tg = cotg ( ). Základní rovnosti: sin + cos =, tg cotg =. (c) Vzorce pro součet argumentů pro sin a cos : (d) (e) (f) sin( ± ) = sin cos ± cos sin, cos( ± ) = cos cos sin sin. Důsledkem jsou vzorce pro dvojnásobný argument: sin() = sin cos, cos() = cos sin = cos = sin. Pro integrování mocnin funkcí sinus a kosinus budou později užitečné vztah, které snadno plnou z předchozích vzorců: sin () = ( cos()), cos () = ( + cos()). Při odvozování derivace vužijeme vzorec pro součet a rozdíl hodnot sinus a kosinus, které lze odvodit z předchozích vzorců pro součet argumentů sin u + sin v = sin u + v cos u v, sin u sin v = cos u + v sin u v, cos u + cos v = cos u + v cos u v, cos u cos v = sin u + v sin u v Pro srovnání uvedeme ještě graf všech goniometrických funkcí na větším intervalu: cotg tg 9. 5 0 0 5 7 cos 4 sin Obr. 4.9: Graf funkcí sin, cos, tg a cotg na intervalu (, 4). Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 6
4. Funkce 4B. Elementární funkce Cklometrické funkce Cklometrické funkce jsou funkce inverzní k funkcím goniometrickým. Protože goniometrické funkce jsou periodické, nejsou prosté. Proto ve všech případech musíme zúžit definiční obor původní goniometrické funkce na interval, ve kterém je prostá. Z možných intervalů vbíráme ten interval, který je nejblíže k nule a obsahuje kladná čísla: (a) sin je prostá z, na,, inverzní funkci značíme arcsin, cos je prostá z 0, na,, inverzní funkci značíme arccos, (c) tg je prostá z (, ) na (, ), inverzní funkci značíme arctg, (d) cotg je prostá z (0, ) na (, ), inverzní funkci značíme arccotg. Definice 4.8. (Cklometrické funkce) Inverzní funkce ke goniometrickým funkcím jsou definován následovně: (a) Funkce arkussinus je inverzní k funkci sinus na,, tj. pro, platí arcsin =, pokud sin = a,. Funkce arkuskosinus je inverzní k funkci kosinus na 0,, tj. pro, platí arccos =, pokud cos = a 0,. (c) Funkce arkustangens je inverzní k funkci tangens na (, ), tj. pro R platí arctg =, pokud tg = a (, ). (d) Funkce arkuskotangens je inverzní k funkci kotangens na (0, ), tj. pro R platí arccotg =, pokud cotg = a (0, ). arcsin arccos sin = 0 0 = cos Obr. 4.0: Graf funkce arcsin inverzní k sin a funkce arccos inverzní k cos. Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 7
4. Funkce 4B. Elementární funkce Vbrané hodnot cklometrických funkcí, lze snadno včíst z hodnot goniometrických funkcí: 0 arcsin 4 6 0 6 arccos 5 6 4 4 4 (, ) 0 6 arccotg 0 arctg 4 6 0 6 arccotg 5 6 4 4 4 tg (, ) 0 6 = 4 arctg 4 0 4 cotg Obr. 4.: Graf funkce arctg inverzní k tg a graf funkce arccotg inverzní k cotg. Všimněte si zrcadlové smetrie funkce a inverzní funkce podle os =. Věta 4.9. (Vlastnosti cklometrických funkcí) (a) Definičním oborem funkcí arcsin a arccos je uzavřený interval, a definičním oborem funkcí arctg a arccotg jsou všechna reálná čísla (, ). (c) Oborem hodnot cklometrických funkcí jsou interval: H(arcsin) =,, H(arccos) = 0,, H(arctg ) = (, ), H(arccotg ) = (0, ). Funkce arcsin a arctg jsou rostoucí, funkce arccos a arccotg klesající. (d) Funkce arcsin a arccotg jsou konkávní pro 0 a konvení pro 0, funkce arccos a arctg jsou konvení pro 0 a konkávní pro 0 a všechn mají inflení bod = 0. (e) Pro, platí arcsin + arccos =, (f) pro R platí arctg + arccotg =. Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 8
4. Funkce 4B. Elementární funkce Hperbolické funkce Pro úplnost uvedeme ještě hperbolické funkce, které mají podobné vlastnosti jako goniometrické funkce a nacházejí vužití v některých aplikacích. Definice 4.0. (Hperbolické funkce) Funkce hperbolický sinus označovaný sinh a hperbolický kosinus označovaný cosh jsou definován pomocí eponenciální funkce: sinh = [ e e ], cosh = [ e + e ]. Definičním oborem funkcí sinh, cosh je celé R, obor hodnot funkce sinh je celé R a funkce cosh je, ). Funkce sinh je lichá, cosh je sudá. Podobně hperbolický tangens označený tgh a hperbolický kotangens cotgh jsou definován jako podíl hperbolického sinu a kosinu: tgh = sinh cosh e e e + e, cosh cotgh = sinh e + e e e. Funkce tanh je definovaná a rostoucí na celém R s oborem hodnot (, ). Funkce cotgh je klesající na obou částech : levé záporné definované na (, 0) s hodnotami (, ) a pravé kladné zobrazující (0, ) na (, ). Obě funkce jsou liché. 4 cosh sinh 4 cotgh tgh 0 4 0 4 cotgh Obr. 4.: Graf hperbolických funkcí sinh, cosh a funkcí tgh, cotgh. V kurzu Matematika uvidíme, že funkce sin a cos souvisejí s eponenciální funkcí rozšířenou na komplení čísla. Platí totiž podobné vzorce sin = i [ e i e i] a cos = [ e i + e i], kde i je imaginární jednotka i =. V literatuře lze také najít zkrácený smbol sh pro hperbolický sinus, ch pro hperbolický kosinus, th pro hperbolický tangens a coth pro hperbolický kotangens. Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 9
4. Funkce 4B. Elementární funkce Náčrt grafů transformovaných funkcí Dosud jsme se zabývali elementárními funkcemi v základním tvaru. Studenti mají znát, jak se změní graf funkce při jednoduchých transformacích. Budeme se zabývat lineárními transformacemi jednak hodnot, tj. závislé proměnné, a také nezávislé proměnné. f() + f() f() 0 0 f() Obr. 4.: Posunutí hodnot funkce a násobek hodnot funkce. f() f() f() f() Věta 4.. (Změna hodnot funkce, tj. závisle proměnné ) Mějme funkci f() s definičním oborem D(f) = a, b a oborem hodnot H(f) = A, B. Potom při následujících změnách funkce se definiční obor nemění, mění se však obor hodnot a graf funkce: (a) přičtení konstant f()+d: obor hodnot se posune o D na A + D, B + D. Graf se přitom posune o D nahoru při D > 0 a o D dolů v případě D < 0. násobek hodnot C f(): obor hodnot se zvětší C-krát na CA, CB (případně CB, CA pokud C < 0) a graf se C-krát ve svislém směru roztáhne pokud C > nebo stáhne pokud 0 < C <. V případě záporného C < 0 se graf natáhne nebo stáhne C -krát a navíc překlopí okolo os. (c) absolutní hodnota f() : záporné hodnot grafu funkce (pokud eistují) se překlopí na kladné hodnot grafu, kladné hodnot se nemění. Pokud A > 0 obor hodnot H(f) (ani graf funkce) se nemění. Pokud A < 0 < B, potom obor hodnot bude H(f) = 0, ma( A, B). Pokud A < B < 0, potom H(f) = B, A. (d) (e) maimum ma(f(), g()) dvou funkcí f() a g() se stejným definičním oborem. Bereme vžd graf horní funkce, tj. té funkce, která má na intervalu větší hodnot. Tam, kde je f() g(), vezmeme f(), tam kde f() < g(), vezmeme g(). minimum min(f(), g()) dvou funkcí f() a g() se stejným definičním oborem. Bereme vžd graf dolní funkce, tj. té funkce, která má na intervalu menší hodnot. f() f() g() 0 min(f(), g()) ma(f(), g()) f() Obr. 4.4: Graf absolutní hodnot funkce a graf maima a minima dvou funkcí. Při transformaci argumentu funkce je situace je jiná. Obor hodnot se nemění (kromě případu absolutní hodnot), mění se definiční obor a to obráceně než hodnot v předchozím případě: Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 0
4. Funkce 4B. Elementární funkce f( + ) f() f( ) f( ) f() f() f ( ) 0 Obr. 4.5: Graf funkce a definiční obor posunutého argumentu f( + d) a násobku argumentu f(c). Věta 4.. (Změna argumentu funkce, tj. nezávisle proměnné ) Mějme funkci f() s definičním oborem D(f) = a, b a oborem hodnot H(f) = A, B. Potom při lineární změně argumentu se obor hodnot nemění, mění se však definiční obor a graf funkce: (a) (c) přičtení konstant f( + d): definiční obor se posune o d na a d, b d. Graf funkce se přitom posune o d doleva při d > 0 a o d doprava při d < 0. násobek argumentu f(c): definiční obor se zúží c-krát na ( a c, b c ) (případně ( b c, a c ) pro c < 0). Graf se c-krát ve vodorovném směru zúží pokud c > nebo roztáhne při 0 < c <. V případě záporného c < 0 se graf natáhne nebo stáhne c -krát na šířku a navíc překlopí okolo os. absolutní hodnota f( ): pro kladné se graf funkce nemění. Graf f() pro záporná zmizí, místo něho zde bude graf funkce pro kladné překlopený kolem os. Pokud a > 0 definiční obor D(f) ani obor hodnot H(f) se nemění. Pokud a 0 b, potom definiční obor bude b, b a obor hodnot bude oborem hodnot funkce f() na intervalu 0, b. Pokud a < b < 0, potom f( ) nebude definována pro žádné. f( ) f( ) f() f( ) f( ) f() f() 0 Obr. 4.6: Graf a definiční obor absolutní hodnot argumentu f( ), případ a < 0 < b a 0 < a < b. Poznámk 4.. (a) Necht konstant d, D jsou kladné. Pamatujte si, že při f()+d se graf posouvá nahoru, zatímco f(+d) obráceně, tj. doleva. Pro c, C > se graf funkce C f() roztahuje na výšku, zatímco při f(c ) se graf neroztahuje, ale zužuje na šířku. Jestliže funkce f() je definována pro a, b, potom definiční obor funkce f(c + d) zjistíme nejsnáze řešením nerovnice a c + d b. Například při hledání definičního oboru funkce arcsin( ) postupujeme takto: funkce arcsin je definována pro splňující 5. V této nerovnici nahradíme výrazem a řešíme nerovnici. 5 5 Úpravou dostáváme 5 5 odkud plne 8, tj., 8. Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně
4. Funkce 4C. Polnom a racionální lomené funkce 4C. Polnom a racionální lomené funkce Polnom a racionální funkce mají zvláštní význam zejména v numerické a aplikované matematice. Patří mezi tzv. algebraické funkce, ke kterým patří také funkce s odmocninami. Polnom a racionální funkce jsou totiž jediné funkce, které dovedeme včíslit pomocí operací sčítání, násobení a dělení. Pokud potřebujeme včíslit tzv. transcendentní funkci (eponenciální, logaritmická, sinus, kosinus, atd.) v konkrétním bodě, použijeme vhodný polnom, který nám dá s požadovanou přesností hodnotu funkce. Polnom Polnom (mnohočlen) jsou nejjednodušší funkce, vzniknou lineární kombinací mocnin proměnné. Stupeň polnomu je nejvšší mocnina proměnné. Podle koeficientů rozlišujeme polnom reálné a komplení a podle proměnné na polnom v reálném oboru, kd definičním oborem je množina reálných čísel R a polnom v komplením oboru, kd definičním oborem je množina kompleních čísel C. Definice 4.4. (Polnom) Polnom (česk mnohočlen) stupně n je funkce tvaru P () = n a n n = a n n + a n n + + a 0, i=0 kde čísla a n,..., a, a 0 nazýváme koeficient, koeficient při nejvšší mocnině však musí být nenulový: a n 0. Koeficient a 0 se nazývá absolutní člen polnomu a n je stupeň polnomu, píšeme St(P ()) = n. Kdž chceme zdůraznit, že polnom je stupně n, píšeme P n (). Polnom, který má za koeficient a 0,..., a n reálná čísla, nazýváme reálným polnomem, pokud koeficient mohou být i komplení čísla, mluvíme o komplením polnomu. Pokud za bereme jenom reálná čísla, tj. R, mluvíme o polnomu v reálném oboru, připouštíme-li z kompleního oboru, tj. C, mluvíme polnomu v komplením oboru. Poznámk 4.5. (a) Každý reálný polnom je také komplení, nebot každé reálné číslo je i komplení. (c) (d) (e) Budeme se zabývat hlavně reálnými polnom v reálném oboru, které každému reálnému číslu přiřazují reálné číslo P (). Důležité budou i reálné polnom v komplením oboru a také obecné komplení polnom v komplením oboru. Polnom druhého stupně nazýváme kvadratickým polnomem, třetího stupně kubickým polnomem. Polnom P () = a 0 0 je polnomem nultého stupně, polnom P () = 0 nazýváme nulový polnom; jeho stupeň není definován. Obvkle předpokládáme, že stupeň polnomu je alespoň jedna. Příkladem polnomu prvního stupně je P () =, druhého stupně P () = 5+6, třetího stupně P () =, atd. Polnom n-tého stupně je tak jednoznačně určen n + koeficient a n, a n,..., a, a 0. Polnom s prvním koeficientem a n =, tj. P n () = n + a n n + + a + a + a 0, nazýváme normovaný polnom nebo polnom v normovaném tvaru. Každý polnom stupně n vdělením prvním koeficientem a n lze převést na normovaný, protože a n 0. Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně
4. Funkce 4C. Polnom a racionální lomené funkce Operace s polnom Připomeňme vlastnosti operací s polnom, které platí pro reálné i pro komplení polnom, v reálném i komplením oboru. Polnom lze násobit číslem, sčítat (a odčítat) a násobit: Věta 4.6. (Operace s polnom) Bud P () = a n n + + a + a 0 polnom stupně n a Q() = b m m + + b + b 0 polnom stupně m. Potom platí: (a) Polnom P () a Q() jsou si rovn, pokud jsou stejného stupně a mají stejné koeficient, tj. jejich rozdíl P () Q() je nulový polnom. Pro číslo c 0 je násobek cp () polnomem stejného stupně s koeficient ca i. (c) Součet P () + Q() je polnomem stupně ma(n, m) s koeficient a i + b i, pokud n > m, potom pro i > m je bereme b i = 0. (d) Součin P () Q() je polnom stupně n + m s koeficient c k rovnými součtu a i b j přes i {0,,..., n}, j {0,,..., m} splňujícím i + j = k, tj. c 0 = a 0 b 0, c = a 0 b + a b 0, c = a 0 b + a b + a b 0,..., c n+m = a n b m + a n b m, a c n+m = a n b m. Sčítání i násobení polnomů má stejné vlastnosti jako sčítání a násobení čísel: Věta 4.7. Sčítání a násobení polnomů je komutativní a asociativní Q() + P () = P () + Q(), Q() P () = P () Q(), (P ()+Q())+R() = P ()+(Q()+R()), (P () Q()) R() = P () (Q() R()) a obě operace jsou spojen distributivním zákonem: (P () + Q()) R() = P () R() + Q() R(). Tak jako celá nesoudělná čísla, také polnom nelze vžd dělit. Pokud je dělitel nenulový, lze je však dělit se zbtkem: Věta 4.8. (Dělení polnomů se zbtkem) Bud P () polnom stupně m a Q() nenulový polnom stupně n, n m. Potom eistuje právě jeden polnom P p () stupně m n zvaný podíl a polnom P r () stupně r, r < n zvaný zbtek takový, že platí P () Q() = P p() + P r() Q(), neboli P () = P p() Q() + P r (). Kořen polnomu Definice 4.9. (Kořen) Každé číslo α takové, že platí P (α) = 0 se nazývá kořen polnomu P (). Číslo α může být reálné nebo komplení podle oboru, ve kterém pracujeme. Poznámka: Každý kořen polnomu P () je ted řešením rovnice P () = 0, tj. a n n + a n n + + a + a + a 0 = 0, Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně
4. Funkce 4C. Polnom a racionální lomené funkce zvané algebraická rovnice n-tého stupně. Graf funkce P () protíná osu v bodech, které jsou reálnými kořen polnomu P (). Toho lze vužít při řešení nerovnic grafickou cestou. Příklad 4.40. (a) Funkce P () = + 4 5 je reálný polnom druhého stupně a + 4 5 = 0 příslušná algebraická rovnice druhého stupně, tzv. kvadratická rovnice. Známým vzorcem pro řešení kvadratické rovnice nebo rozkladem + 4 5 = ( )( + 5) lze zjistit, že jak polnom tak rovnice mají stejné kořen α = a α = 5. Grafem polnomu je parabola, která protíná osu v bodech 5 a. Z grafu je vidět, že řešením nerovnice + 4 5 < 0 je interval ( 5, ). Polnom v reálném i komplením oboru má dva reálné kořen α = a α = 5, které jsou i komplení. Funkce P () = 4 je reálný polnom 4. stupně. Úpravou na tvar P () = 4 = = ( )( + )( + ) je vidět, že polnom v reálném oboru má dva kořen α = a α =. Rozkladem + = ( i)( + i) zjistíme, že polnom má v komplením oboru další dva rze imaginární kořen α = i a α 4 = i, tj. celkem čtři komplení kořen. Lze jej ted zapsat ve tvaru P () = 4 = ( )( + )( i)( + i). (c) Funkce P () = + je reálný polnom třetího stupně. Rozklad pomocí vzorce A +B = = (A + B)(A AB + B ) dává P () = ( + )( + ). Vidíme, že polnom má jeden reálný kořen α =. Řešením kvadratické rovnice + = 0 dostáváme další dva komplení kořen α = ( + i) a α = ( i), celkem tři komplení kořen. Polnom tak lze zapsat ve tvaru ( P () = + = ( + ) ( + ) ( i) ( ) i). Kořen polnomu v komplením oboru Základním problémem teorie polnomů je, zda daný polnom má kořen a kolik jich je. Víme, že polnom prvního stupně P () = a + b, a 0 má jeden kořen α = b/a, reálný polnom druhého stupně P () = a +b+c, a 0 podle teorie kvadratických rovnic má bud dva reálné kořen pokud diskriminant D = b 4ac je kladný, jeden reálný dvojnásobný pokud D = 0 a dvojici kompleně sdružených kořenů, pokud je diskriminant záporný, tj. v každém případě dva kořen v komplením oboru. Jak to vpadá u polnomů vššího stupně? V předchozích příkladech měl polnom čtvrtého stupně 4 kořen a polnom třetího stupně kořen. Z grafu reálného polnomu P () = n + a n n + + a + a 0 lichého stupně v reálném oboru je vidět, že má alespoň jeden reálný kořen, protože nejvšší mocnina n (která přemůže pro velká nižší mocnin) je lichá a jde od minus nekonečna do plus nekonečna. Musí proto protnout osu v nějakém bodě, který je kořenem polnomu. Reálný polnom sudého stupně však osu protnout nemusí, protože jeho graf jde od plus nekonečna do plus nekonečna. Na otázku, zda každý polnom má kořen, odpovídá důležitá tzv. základní věta algebr: Věta 4.4. (Základní věta algebr) Každý polnom stupně n má v komplením oboru alespoň jeden komplení kořen. Polnom může být reálný i komplení. Poznámk 4.4. (a) Eistuje několik důkazů této slavné vět. Důkaz však vnecháme, protože k jeho provedení nám zatím chbí prostředk. Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 4
4. Funkce 4C. Polnom a racionální lomené funkce (c) Víme už, že každý polnom alespoň prvního stupně má kořen. Druhou otázkou je: Kolik těch kořenů je? Nejdřív si musíme ujasnit, jakým způsobem budeme počet kořenů počítat. Uvažujme reálný kvadratický polnom P () = a + b + c. Pokud diskriminant D = b 4ac je kladný, polnom má dva reálné kořen α, = ( b ± D)/(a) a lze ho zapsat ve tvaru tzv. kořenového součinu P () = a( α )( α ). Pokud diskriminant je záporný, máme dva kořen kompleně sdružené α, = ( b ± i D)/(a) a polnom lze zapsat ve stejném tvaru. V případě nulového diskriminantu však eistuje jenom jeden kořen α = b/(a). Také v tomto případě lze polnom zapsat ve tvaru tzv. kořenového součinu P () = a( α), říkáme proto, že tento kořen je dvojnásobný. Kořen budeme počítat s jejich násobností, tj. podle rozkladu polnomu do kořenového součinu P () = a n ( α )( α ) ( α n ). Eistuje takový rozklad? Pomocí následujícího tvrzení eistenci snadno dokážeme. Věta 4.4. Bud P n () polnom stupně n > a α jeho kořen. Potom eistuje polnom P n () stupně n takový, že P n () = ( α) P n (). Důkaz tvrzení je jednoduchý, proto ho uvedeme. Bud P n () = n +a n n + +a +a 0 a α jeho kořen, tj. P n (α) = 0. Potom P n () = P n () P n (α) = ( n α n )+a n ( n α n )+ +a ( α )+a ( α)+a 0 ( ). Pomocí vzorce a k b k = (a b)(a k + a k b + a k b + + ab k + b k ) lze každý výraz k α k rozložit do tvaru ( α)( k + k α + + α k + α k ) a ze všech členů vtknout výraz ( α). Tím je tvrzení dokázáno. Necht P n () je polnom stupně n. Ze Základní vět algebr plne, že P n () má alespoň jeden kořen α. Podle předchozího tvrzení eistuje polnom P n () takový, že platí P n () = ( α )P n (). Polnom P n () stupně n má podle Základní vět algebr opět kořen α a podle předchozího tvrzení eistuje polnom P n () stupně n, že P n () = ( α )P n (). Takto postupujeme, dokud stupeň polnomu P k () je větší než. Následující věta měla pro celou algebru opravdu základní význam v dobách, kd se algebra zabývala studiem číselných struktur. Platnost vět tušili již italští matematikové v 6. století, ale první její správný a úplný důkaz nalezl teprve C. F. Gauss v roce 799. Věta 4.44. Každý polnom P () = n + a n n + + a + a 0 stupně n má právě n kořenů v komplením oboru v následujícím smslu: Eistují (ne nutně různá) komplení čísla α,..., α n taková, že P () = ( α )( α ) ( α n ). Pokud se v n-tici kořenů α,..., α n vsktují dvě stejná čísla α, číslo α nazveme dvojnásobným kořenem, pokud se v součinu vsktují tři stejná čísla α, je to trojnásobný kořen. Polnom tak s násobnostmi m i lze zapsat ve tvaru P () = ( α ) m ( α ) m ( α k ) m k, přičemž pro násobnosti kořenů platí m + m + + m k = n. Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 5
4. Funkce 4C. Polnom a racionální lomené funkce Kořen reálného polnomu v komplením oboru Uvažujme polnom P () stupně n s reálnými koeficient a i. Pokud komplení číslo β = β + iβ (β, β R) je kořenem polnomu P (), potom kompleně sdružené číslo β = β iβ je také kořenem polnomu P (). Skutečně, ze vztahu α β = α β plne (β) k = (β k ), a ted pro jejich lineární kombinaci s reálnými a i platí P (β) = P (β) = 0. Proto je-li číslo β kořenem P (), je kořenem i číslo β a oba kořen mají stejnou násobnost. Důsledkem je následující věta: Věta 4.45. Každý reálný polnom stupně n v komplením oboru má bud reálné kořen α nebo dvojice kompleně sdružených kořenů β, β. Polnom P () = n + a n n + + a + a 0 s reálnými koeficient a i má kořenový součin ve tvaru součinu mocnin dvojčlenů ( α) a nerozložitelných trojčlenů ( + q + r), ted P () = ( α ) m ( α ) m ( α k ) m k ( + q + r ) n ( + q l + r l ) n l, přičemž m + m + + m k + (n + n + + n l ) = n a q j 4r j < 0. Trojčlen ( + q + r) nelze v reálném oboru rozložit, protože jejich diskriminant q 4r je záporný. V komplením oboru však mají rozklad ( + q + r) = ( β)( β). Příklad 4.46. (a) (c) (d) Polnom P () = + má jeden dvojnásobný kořen (v reálném i komplením oboru), protože P () = + = ( ). Polnom P 4 () = 4 + trojnásobný kořen 0 a jednoduchý kořen, protože ho lze zapsat ve tvaru P 4 () = 4 + = ( ). Reálný polnom P () = + nemá kořen v reálném oboru, v komplením má dva jednoduché kořen i a i, protože P () = + = ( + i)( i). Polnom P 4 () = 4 6 je reálný polnom. Má dva reálné kořen, a jednu dvojici kompleně sdružených kořenů ± i; v komplením oboru má ted 4 kořen,, i, i: P 4 () = 4 6 = ( )( + )( + 4) = ( )( + )( i)( + i). (e) Polnom P () = + + 6 + 8 má trojnásobný reálný kořen. Lze jej rozložit: P () = + 6 + + 8 = ( + ). (f) Polnom P 4 () = 4 + 4 má čtři komplení kořen, které tvoří dvě dvojice kompleně sdružených kořenů ± i a ± i, protože P 4 () = 4 +4 = ( ++)( +) = ( i)( + i)(+ i)(++ i). (g) Polnom P 4 () = 4 + + má jednu dvojici dvojnásobných kompleně sdružených kořenů ± i, protože P 4 () = 4 + + = ( + ) = ( i) ( + i). Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 6
4. Funkce 4C. Polnom a racionální lomené funkce Problém určování kořenů Máme-li polnom stupně n, víme, že má v komplením oboru s násobnostmi n kořenů. Otázkou je, zda eistuje nějaký univerzální algoritmus na hledání kořenů polnomu. Pro polnom prvního a druhého stupně jsou to kořen lineární a kvadratické rovnice, jejichž řešení blo známo již ve starověku. Poznámka 4.47. Již v 6. století bl znám vzorce také pro řešení rovnice třetího stupně (kubické) a čtvrtého stupně. Tto tzv. Cardanov vzorce (viz např. Rektors: Přehled užité matematik,.0), pro praktický výpočet však vhodné nejsou, protože obsahují třetí odmocnin z kompleních čísel, které je možno včíslit jen pomocí hodnot funkcí sin a cos. Dlouhou dobu se matematikové snažili nalézt podobné vzorce pro kořen polnomů stupně 5 a 6. Za vzorec se přitom považuje postup obsahující konečně mnoho aritmetických operací (sčítání, násobení a dělení) a odmocnin. Teprve v polovině 9. století dokázal francouzský matematik Évariste Galois (8-8), že takové obecné vzorce pro polnom stupně pátého a vššího neeistují. Poznámk 4.48. V řadě případů lze zjistit i kořen polnomu vššího stupně. Je to v případě, kd reálný polnom s celočíselnými koeficient má celočíselné nebo racionální kořen, což ve školních příkladech lze očekávat v prai je to však spíše výjimečné. (a) Pokud absolutní člen chbí, tj. a 0 = 0, kořenem je nula. Pokud navíc a i = 0 pro i < k a a k 0), lze z polnomu vtknout mocninu k. V tomto případě je 0 k-násobným kořenem. V dalším budeme proto předpokládat, že a 0 0. Roznásobme rozklad polnomu P () = n + a n n + + a + a + a 0 P () = ( α )( α ) ( α n ) = n (α +α + +α n ) n + +( ) n α α... α n. Porovnáním absolutních členů zjistíme a 0 = ( ) n α α... α n. Pokud polnom má jenom celočíselné kořen, potom tto kořen dělí beze zbtku absolutní člen a 0. Dělitelů a 0 je konečně mnoho. Rozkladem na prvočísla zjistíme všechn dělitele a 0. Pozor, s každým přirozeným číslem α je dělitelem také číslo α a vžd čísla a. Dosazením dělitelů do polnomu zjistíme, které z nich jsou kořen. (c) Porovnáním koeficientů u n dostáváme součet všech kořenů α + α + + α n = a n, což může pomoci při kontrole, nebo při dopočítávání posledních kořenů. (d) (e) Kdž zjistíme, že polnom P () stupně n má kořen α, potom polnom P () vdělíme dvojčlenem ( α), čímž získáme polnom stupně o jedničku nižší, tj. stupně n. Polnom P n () = a n n + + a + a 0 s celočíselnými koeficient začínající a n různým od ±, 0, nesoudělními koeficient a i a a 0 0 může mít za kořen racionální čísla. Jestliže takovýto polnom má jenom racionální kořen α i = p i /q i s nesoudělnými p i Z, q i N, potom jeho kořenový součin se skládá ze součinu celočíselných dvojčlenů (q i p i ). Jeho Studijní tet ÚM FSI VUT v Brně 7