kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 2. cvičení Teorie Věta (Aritmetika derivací). Necht a R a necht f a g jsou funkce definované na nějakém okolí bodu a. Necht existují f (a) R a g (a) R. (a) Platí (f ± g) (a) = f (a) ± g (a), (b) Je-li alespoň jedna z funkcí f, g spojitá v bodě a, pak (fg) (a) = f (a)g(a) + f(a)g (a), (c) Je-li funkce g spojitá v bodě a a navíc g(a) 0, pak ( ) f (a) = f (a)g(a) f(a)g (a) g g(a) 2, vždy je-li výraz na pravé straně definován. Věta 2 (O derivaci složené funkce). Necht f má derivaci v bodě y 0 R, g má derivaci v bodě x 0 R, y 0 = g(x 0 ) a g je v bodě x 0 spojitá. Potom je-li výraz na pravé straně definován. (f g) (x 0 ) = f (y 0 )g (x 0 ) = f (g(x 0 )) g (x 0 ), Věta 3 (l Hospitalovo pravidlo). Necht a R {± }, f, g jsou reálné funkce a existuje. Jestliže navíc platí lim x a f (x) g (x) (a) lim x a f(x) = lim x a+ g(x) = 0, nebo (b) lim x a g(x) =, potom f(x) lim x a g(x) = lim f (x) x a g (x). Pravidlo funguje i pro limity zleva a zprava. Hinty a b = e b ln a Matematika B2, LS 207/8
Příklady Spočtěte derivace následujících funkcí, určete definiční obory funkcí i jejich derivací. (a) 6x Řešení: (6x) = 6, x R (b) x 3 + 2x sin x + 2 Řešení: (x 3 + 2x sin x + 2) = 3x 2 + 2 cos x + 0, x R (c) 2 cos x + 4e x + 3 x7 (d) x Řešení: ( 2 cos x + 4e x + 3 x7 ) = 2 ( sin x) + 4e x + 3 7x6, x R Řešení: ( x) = (x /2 ) = 2 x /2 = 2 x, x 0 (e) ( xřešení: ) x = (x ) = x 2 =, x 0 x 2 (f) 4 x 7 Řešení: ( 4 x 7 ) = (x 7/4 ) = 7 4 x3/4 = 7 4 x > 0 4 x 3 (g) x + 2 x 2 + 3 x 3 Řešení: ( x + 2 x 2 + 3 ) x 3 = ( x + 2x 2 + 3x 3) = x 2 4x 3 9x 4 x 0 2. (a) xe x Řešení: x R (xe x ) = x e x + x(e x ) = e x + xe x (b) + x x2 x + x 2 Řešení: ( ) + x x 2 = ( + x x2 ) ( x + x 2 ) ( + x x 2 )( x + x 2 ) x R x + x 2 ( x + x 2 ) 2 = ( 2x)( x + x2 ) ( + x x 2 )( + 2x) ( x + x 2 ) 2 Matematika B2, LS 207/8 2
(c) x 2 e x sin x Řešení: (x 2 e x sin x) = (x 2 ) e x sin x+x 2 (e x sin x) = 2xe x sin x+x 2 ((e x ) sin x+e x (sin x) ) = 2xe x sin x+x 2 ( x R (d) 3x 2 x 2 + Řešení: ( ) 3x 2 x 2 = 3( + x2 ) (3x 2)2x + ( + x 2 ) 2 x R (e) e x (x 2 2x + 2) Řešení: Tady se seznámíme s e x a otestujeme aritmetiku derivací. Tedy: (e x (x 2 2x + 2)) AD = e x (x 2 2x + 2) + e x (x 2 2x + 2) = e x (x 2 2x + 2) + e x (2x 2) = e x x 2 Věta použita, neb e x je spojité všude. (f) ln x Řešení: ( ) = 0 x ln x (ln x) 2 = x ln 2 x x > 0, x (g) xp ( x) q, p, q > 0 + x Řešení: Dce podílu a zároveň součinu: ( x p ( x) q ) AD= [x p ( x) q + x p q( x) q ( x)]( + x) x p ( x) q + x ( + x) 2 Podmínky: x, pro případ, kdy p < 0 nebo q < 0 nutno ještě přidat podmínky: x 0, x, což nám zároveň zaručí spojitost pro podmínky věty. 3. (a) arcctg 2x Řešení: (arcctg 2x) = (b) (3x 2 2x + 0) 0 +(2x) 2 2 x R Řešení: (3x 2 2x + 0) 0 = 0(3x 2 2x + 0) 9 (6x 2), x R (c) x arctan x Řešení: ( x arctan x) = 2 x + ( x) 2 2 x x > 0 Matematika B2, LS 207/8 3
(d) ln 3 x 2 Řešení: x > 0 (e) 4 x 2 Řešení: x ( 2, 2) (f) ln(sin x) Řešení: (ln 3 x 2 ) = 3(ln 2 x 2 ) 4 x 2 = x 2 2x 2 4 x 2 ( 2x) (ln(sin x)) = sin x cos x sin x > 0, tedy x (0, π) + kπ, k Z (g) ln ln(x 3) + arcsin x 5 2 Řešení: ( ln ln(x 3) + arcsin x 5 ) = 2 (h) x x ln(x 3) x 3 + ( x 5 2 x > 3, x 3 >, tedy x > 4. Navíc 3 < x < 7. Celkem 4 < x < 7 Řešení: Tady nutno nejprve rozepsat a až poté derivovat: x x = e x ln x. ) 2 2 To je složená funkce, tedy: f(x) = e y, f (x) = e y a g(x) = x ln x a g (x) = ln x + x x (derivace součinu, x je spojité na celém R). Celkem máme: (e x ln x ) = e x ln x (ln x + ) = x x (ln x + ) Jelikož se x vyskytuje v logaritmu, tak x > 0. Jinak x i ln x jsou spojité a jejich součin je také spojitý, máme podmínky věty. (sin x) (i) x Řešení: x > 0 (x sin x ) = (e sin x ln x ) = e sin x ln x (cos x ln x + sin x x ) (j) sin(sin(sin x)) Řešení: Toto je složená funkce, ovšem o poznání hezčí, než ta minulá. Takže už bez detailů Matematika B2, LS 207/8 4
(sin(sin(sin x))) SD = cos(sin(sin x)) (sin(sin x)) SD = cos(sin(sin x)) cos(sin x) (sin x) SD = cos(sin(sin x)) cos(sin x) (cos x) Jelikož spojité je tady všechno, kam se kdo podívá (skládáme spojité funkce), tak podmínky věty splněny. (k) ln(ln 2 (ln 3 x)) Řešení: Úloha na víceré užití složené funkce, začneme od začátku: f(x) = ln y, f (x) = y, g(x) = ln2 (ln 3 x), s její derivací počkáme. Takže máme: (ln(ln 2 (ln 3 x))) SD = ln 2 (ln 3 x) (ln2 (ln 3 x)) věnujme se zbylé derivaci, vnější funkce f(x) = y 2, f (x) = 2y a vnitřní g(x) = ln(ln 3 x). Celkem: (ln 2 (ln 3 x)) SD = 2 ln(ln 3 x) (ln(ln 3 x)). Dále, vnější f(x) = ln y, f (x) = y a vnitřní g(x) = ln3 x, derivace se uvidí za chvíli. Získali jsme: (ln(ln 3 x)) SD = ln 3 x (ln3 x) Pokračujeme, vnější f(x) = y 3, f (x) = 3y 2 a vnitřní g(x) = ln x, g (x) = x, celkem (ln 3 x) = 3 ln 2 x x Takže celé dohromady to je: (ln(ln 2 (ln 3 x))) SD = ln 2 (ln 3 x) (ln2 (ln 3 x)) SD = ln 2 (ln 3 x) 2 ln(ln3 x) (ln(ln 3 x)) SD = ln 2 (ln 3 x) 2 ln(ln3 x) ln 3 x (ln3 x) SD = ln 2 (ln 3 x) 2 ln(ln3 x) ln 3 x 3 ln2 x (ln x) SD = ln 2 (ln 3 x) 2 ln(ln3 x) ln 3 x 3 ln2 x x = 6 x ln(ln 3 x) ln x Věty jsme používali bez předpokladů, je potřeba je doplnit. Polynomy i logaritmy jsou spojité na svém definičním oboru, takže ten musíme určit. Z logaritmů máme ln 2 (ln 3 x) > 0 ln 3 x > ln x > x > e. Matematika B2, LS 207/8 5
(l) sin2 x sin x 2 Řešení: derivujeme podíl a ještě dvě složené funkce. Nejprve podíl (vše je spojité): ( sin 2 ) x AD= (sin 2 x) sin x 2 sin 2 x(sin x 2 ) sin x 2 sin x 2 a nyní se podíváme na ty složené fce: první případ sin 2 x, vnější f(x) = y 2, f (x) = 2y a vnitřní g(x) = sin x, g (x) = cos x, sinus je spojitý, dohromady (sin 2 x) SD = 2 sin x cos x. druhý případ sin x 2, vnější f(x) = sin y, f (x) = cos y, vnitřní g(x) = x 2, g (x) = 2x. Polynomy jsou spojité, máme tedy dohromady (sin x 2 ) SD = cos x 2 2x Dosadíme zpět a máme: ( sin 2 ) x AD= (sin 2 x) sin x 2 sin 2 x(sin x 2 ) SD = sin x 2 sin x 2 2 sin x cos x sin x 2 sin 2 x cos x 2 2x sin x 2 Podmínky: ve jmenovateli nesmí být nula, tedy x 2 kπ. (m) 2 tan x Řešení: Nejprve přepíšeme 2 tan x = e tan x ln 2 a uvědomíme si, že ln 2 je úplně obyčejná konstanta ten zbytek je složená funkce. Máme vnější funkci f(x) = e y, f (x) = e y, vnitřní g(x) = ln 2tan x, spojitost vyřešíme za chvíli a máme: ( e tan x ln 2) ( = e tan x ln 2 ln 2tan ) x Násobením konstantou si neděláme hlavu. Opět složená funkce, vnější f(x) = tany, f (x) = cos 2 y vnitřní g(x) = x, g (x) =, x 2 x je spojitá mimo nulu, celkem ( tan x) = takže máme: cos 2 x 2 x ( e tan x ln 2) = e tan x ln 2 ( tan ) = 2 tan x ln 2 x cos 2 x x 2 Podmínky: x 0 a kvůli tangens x π 2 +kπ, k Z. Cestou jsme potřebovli spojitost tan x, což jsme právě pořešili, neb jsme vyhodili nepěkné a zlé body, které nám spojitost kazí. Jinde je tangens (po určitých intervalech!) spojitý, což stačí, protože nám stačí spojitost na okolí. Matematika B2, LS 207/8 6
2 (n) arccotg 2 x Řešení: Konstanta nas nezmate a dáme se do složené funkce: vnější f(x) = arcctg y, f (x) = a vnitřní g(x) = 2 +y 2 x, g (x) = 2, g je spojitá mimo x 2 0, takže: ( ) 2 SD arcctg = 2 2 2 x + 2 x x 2 = 2 + x 2 2 Podmínky: už jsme pořešili, takže jen rekapitulace: x 0. L Hospitalovo pravidlo: x 2 4 4. (a) lim x 2 x 2 x 2 cos x (b) lim x 0 x sin x (c) lim x xe x (d) lim x sin x x 2 (e) lim x ln x x 0+ x 0 e x 2 (f) lim x 0 x 00 (g) lim x cos(πx) + (x ) 2 (h) lim x 0 arcsin 2x 2arcsin x x 3 (i) lim cot x x 0 x ln(sin 2x) (j) lim x 0+ ln(sin x) Matematika B2, LS 207/8 7