Konvenost, konkávnost, inflee 4.. Konvenost, konkávnost, inflee Definice 4... Nechť eistuje f ( ), D f. Řekneme, že funkce f ( ) je v bodě konkávní, jestliže eistuje { } O ( ) tak, že platí D : O( )\ f( ) > f( ) + f ( )( ), f resp. f ( ) < f ( ) + f ( )( ). konvení, resp. f() t f( ) f ()( ) O( ) Obr. 5 Poznámka Z obr. 5 je vidět, že pro konvení funkci f ( ) leží hodnota f ( ), O( ) nad tečnou k f ( ) v bodě pro vhodné O ( ). Podobně pro konkávní funkci leží tto hodnot pod tečnou. 7
Konvenost, konkávnost, inflee Definice 4... Říkáme, že funkce f ( ) je konvení, resp. konkávní v intervalu I D f, jestliže v každém bodě I je konvení, resp. konkávní. Věta 4... Nechť f ( ) >, resp. f ( ) <, pak je f ( ) v bodě konkávní. konvení, resp. Důkaz: Označme g( ) = f( ) f( ) f ( )( ) v O( ), kde je f ( ) konvení, resp. konkávní, viz obr. 5. Funkce g ( ), resp. g ( ) pro O ( )\, jestliže je > < { } f ( ) v O( ) konvení, resp. konkávní, viz definice 4... Dostaneme g ( ) = f ( ) f ( ) a g ( ) = f ( ). Dosadíme = a dostaneme g ( ) =. Pro funkci g ( ) je bod stacionární. Podle předpokladu vět je g ( ) = f ( ) >, resp. g ( ) = f ( ) < a ted funkce g ( ) má v bodě ostré lokální minimum, resp. maimum. =f() f() f( ) g() f ( )( ) O( ) Obr. 5 Poznámka Hledání intervalů konvenosti, resp. konkávnosti je podle vět 4.. vlastně hledáním intervalů, na kterých je funkce f ( ) rostoucí, resp. klesající. Podle vět 4.. mohou změn 8
Konvenost, konkávnost, inflee v monotónnosti funkce f ( ) ted nastat v bodech Df, v nichž f ( ) =, nebo v nichž f ( ) neeistuje. Definice 4... Nechť eistuje f ( ), Df a nechť funkce g ( ) = f( ) f( ) f ( )( ) mění v bodě znaménko, pak říkáme, že funkce f ( ) má v bodě inflei. Poznámka Funkce f má v bodě (, f( )) inflei, jestliže eistuje O( ) tak, že pro < leží její graf pod tečnou t a pro > leží nad tečnou t, nebo naopak, viz obr. 54. f() t t Obr. 54 V obr. 54 je f ( ) =, bod je pro funkci f ( ) stacionární a tečna t je rovnoběžná s osou. 9
Konvenost, konkávnost, inflee Věta 4... Nechť je f ( ) spojitá v a f ( ) mění v znaménko, pak má funkce f ( ) v inflei. Důkaz: Platnost vět vplývá přímo z vět 4.. a z definic 4.. a 4... Poznámka Bod, v nichž má funkce inflei, nazýváme inflení bod. Řešené úloh Příklad: Všetřete interval konvenosti a konkávnosti funkce a určete její inflení bod. 9 9 5 = 88 Řešení: Definiční obor D = R, eistuje v D. Pak platí 8 =, D = R, 8 5 = =, D = R \ {}. Položíme =, tj., =±, což jsou nulové bod funkce. Bod nespojitosti je bod =, viz obr. 55. - - + - + Obr. 55
Konvenost, konkávnost, inflee Dostaneme ( ) <, ( ) >, ( ) < a () >. Funkce je konvení pro (,)a(, ) a konkávní pro (, ) a (,), viz obr. 56. Bod =, = a = jsou inflení bod dané funkce. - = 9 88 9 5 Obr. 56 Věta 4... Nechť ( n) (n+ ) ( n) = = K = = ( ) ( ) ( ) f ( ) f ( ) f, f a f pak bod je inflením bodem funkce f ( ). eistuje v O( ), Bez důkazu. Řešené úloh Příklad Určete inflení bod funkce 5 =. 6 Řešení: Dostaneme, D = = R a položíme 4 4 = =, kde = = R. Vpočteme D D 4 4 =, ( ) =. Dostáváme nulové bod
Konvenost, konkávnost, inflee,,. Dále, tj. (), () = = = = a ( ). Bod,, jsou inflení. Graf funkce 5 = je na obr. 57. 6-5 = - 6 Obr. 57 Kontrolní otázk. Nechť f ( ) má v bodě pro všechna f ( ) v bodě derivaci f ( ). Kdž eistuje okolí bodu ( ) takové, že { } leží bod grafu funkce pod tečnou k f ( ) v bodě, ( ) \ a) konvení, b) konkávní, c) klesající.. Je-li f ( ) > v každém bodě intervalu I D f, je funkce f ( ) v tomto intervalu a) konvení, b) konkávní, c) rostoucí.. Nechť funkce f ( ) má v bodě [, ( )] derivaci f ( ). Přechází-li graf funkce v bodě f z poloh nad tečnou do poloh pod tečnou nebo naopak, nazýváme bod a) stacionárním bodem funkce f ( ), b) bodem lokálního maima funkce f ( ), c) inflením bodem funkce f ( ). 4. Pokud funkce f ( ) splňuje v bodě podmínk f ( ) = a f ( ) =, pak bod je
a) je inflením bodem, b) není inflením bodem, c) může, ale nemusí být inflením bodem. 5. Nechť bod je inflením bodem funkce f ( ). Pak a) f ( ), Konvenost, konkávnost, inflee b) f ( ) = nebo neeistuje, c) f ( ) =. Odpovědi na kontrolní otázk.b);. a);. c); 4. c); 5. b). Úloh k samostatnému řešení. Nalezněte inflení bod a interval konvenosti a konkávnosti dané funkce: a) = 5 + +7, b) 5 4 = 5 + 4, c) = ( ), 4 d) = + 5+, e) 7 = ( + ) 5, f) = +.. Nalezněte inflení bod a interval konvenosti a konkávnosti dané funkce: a) = ln, b) = ln( 9), c) = arctg, d) arctg = e, e) = cos, f) = ln( + ).. Nalezněte inflení bod a interval konvenosti a konkávnosti dané funkce: + a) = 6, b) = ln, c) = e, d) = e, e) = arctg arccotg, f) =. e 4. Ukažte, že všechn inflení bod funkce 5. Pro jaké hodnot a, b je bod [ ] + = leží na jedné přímce. +, inflením bodem křivk = a + b?
Konvenost, konkávnost, inflee Výsledk úloh k samostatnému řešení. a) inflení bod nemá, konvení: (, ); b) inflení bod: =, konvení: (, ), konkávní: (,); c) inflení bod: =, konvení: (, ), konkávní: (, ) ; d) inflení bod: =, =, konvení: (, )a(, ), konkávní: (,) ; e) inflení bod nemá, konvení: (, ), konkávní: (, ); f) inflení bod nemá, konvení: (,)a(, ).. a) inflení bod nemá, konvení: (, ) ; b) inflení bod nemá, konvení: =, konvení: (, )a(, ); c) inflení bod nemá, konvení: (, ); d) inflení bod: (, ), konkávní: π π ( + kπ, + k π ), konkávní: (, ); e) inflení bod: π = + kπ, konvení: π π ( + kπ, + kπ ); f) inflení bod: =, =, konvení: (,), konkávní: (, )a(, ).. a) inflení bod nemá, konvení: (, 4) a(4, ), konkávní: ( 4,4) ; b) inflení bod: =, konvení: (,), konkávní: (,) c) inflení bod: =, =, =, konvení:, a,, konkávní:, a, ; d) inflení bod: =, = +, konvení: (, )a (+, ), konkávní: (, + ) ; e) inflení bod: =, konvení: (,), konkávní: (, ) ; f) inflení bod: =, konvení: (, ), konkávní: (, ). 4. inflení bod,, 4 +, 4, [, ]. 5. 9 a=, b=. Kontrolní test. Nalezněte interval konvenosti a konkávnosti funkce a) konvení: (,), konkávní: (, ) a (, ), b) konvení: (,) a (, ), konkávní: (, ), c) konvení: (, ) a (, ), konkávní: (,). 4 = 6 + 5. 4
. Nalezněte interval konvenosti a konkávnosti funkce a) konvení: (, 6) a ( 6,), konkávní: (, ), b) konvení: ( 6,), a (, ), konkávní: (, 6), c) konvení: (, 6), konkávní: ( 6,) a (, ). = Konvenost, konkávnost, inflee +.. Nalezněte interval konvenosti a konkávnosti funkce = + arctg. a) konvení: (, ), konkávní: (, ), b) konvení: (,), konkávní: (, ), c) konvení: (, ), konkávní: (, ). 4. Nalezněte inflení bod funkce 4 = +. a) =, =, =, =, b) c) =, =. 5. Nalezněte inflení bod funkce = e. a) =, b) =, c) 6. Nalezněte inflení bod funkce =. 4 = ( ). a) =, b) =, c) neeistují. Výsledk testu. c);. b);. a); 4. b); 5. a); 6. c). Průvodce studiem Pokud jste správně odpověděli nejméně ve 4 případech, pokračujte další kapitolou. V opačném případě je třeba prostudovat kapitolu 4.. znovu. 5