8.6. Aplikace určitého integrálu ve fyzice Index

8 Určitý integrál 8.. Integrování - sčitání mnoh mlých příspěvků.......................... 3 8.. Výpočet určitého integrálu.............................................9 8.3. Zákldní vlstnosti určitého integrálu.................................. 8.4. Integrce per prtes metod substituční pro určité integrál.......... 5 8.5. Aplikce určitého integrálu v geometrii.................................7 8.5. Obsh rovinného obrzce......................................... 8 8.5. Délk rovinné křivk............................................. 6 8.5.3 Objem rotčního těles........................................... 9 8.5.4 Plášť rotčního těles............................................ 3 8.6. Aplikce určitého integrálu ve fzice................................... 33 Inde...................................................................... 38 OBSAH INDEX CVIČENÍ Jk už jsme si řekli v 7. kpitole, integrální počet vznikl v 7. století s rozvojem výrob společnosti. V té době se mimo jiné řešil důležité geometrické problém jko výpočet obshu ploch (tj. rovinného obrzce), délk křivk, objem těles, těžiště těles td. Mšlenk integrování vzešl právě z řešení těchto problémů. V součsné době eistují různé tp integrálů, nejznámější zároveň nejnázornější z nich je tzv. Riemnnův integrál, nímž se v této kpitole budeme zbývt. Nším úkolem ted bude vřešení Riemnnov integrálu z funkce f() n intervlu, b. M jsme se v minulé kpitole nučili počítt neurčitý integrál (jko opčný proces k derivování), le prvá podstt integrování je si někde jinde. V následujícím tetu vsvětlíme zákldní princip integrování později ukážeme, jk s tímto integrováním souvisí i pojem neurčitého integrálu. 8. Integrování - sčítání mnoh mlých příspěvků Studijní cíle. Pochopit proces integrování tzv. proužkovou metodu.. Umět vsvětlit odvození Riemnnov integrálu - pomocí metod horních dolních součtů pomocí metod integrálních součtů. Motivce Abchom pochopili podsttu integrování, vjděme z formulce následujícího geometrického problému: Nechť je dán spojitá nezáporná funkce f() 3

4 8. URČITÝ INTEGRÁL v intervlu, b. Grf této funkce spolu s přímkmi o rovnicích, b osou vmezí v krtézské soustvě souřdnic rovinný útvr. Nším úkolem je zjistit obsh tohoto rovinného obrzce. f() b Obr. 8.. f() b Z pohledu n Obr. 8.. jistě plne, že stnovit číslo vjdřující obsh rovinného obrzce je nprosto korektní úvh. Z minulých školních let určitě ještě znáte nějké vzorce pro výpočet obshů (kruh, obdélník, lichoběžník, trojúhelník), které bchom snd mohli nějkým způsobem vužít. Pokusme se nejdříve stnovit obsh obrzce lespoň přibližně. Kdbchom si nkreslili obrzec n milimetrový ppír spočítli všechn čtverečk o obshu mm, které se do nšeho obrzce vejdou, měli bchom zhrub obsh obrzce vpočítný. Uvědomíme-li si, že náš útvr není zcel obecný, le je omezen hned třemi přímkovými útvr teprve čtvrtý útvr je obecnou křivkou, vidíme, že tkové měření lze velice sndno zjednodušit. Nkreslíme útvr n milimetrovou síť tk, b os splývl se strnou některé řd čtverečků. Pk stčí jen sečíst obsh sloupečků, obdélníčků (proužků) s milimetrovou podstvou, které jsou v obrzci obsžen. Proto tuto metodu nzveme proužková metod. N Obr. 8.. je proužková metod nznčen. Z to- Obr. 8.. c J. Ostrvský, V. Polášek,

8.. INTEGROVÁNÍ - SČÍTÁNÍ MNOHA MALÝCH PŘÍSPĚVKŮ 5 hoto popisu je vidět, že tímto způsobem dostneme poměrně přesně obsh obrzce. A právě tto mšlenk je principem integrování. Než tuto mšlenku dovedeme ž k mtemtick přesnému vjádření obshu rovinného obrzce, upozorníme n dvě důležité věci. V nšich úvhách budeme používt pouze spojitou funkci f(), i kdž obecná definice prcuje s funkcemi, které nemusí být nutně spojité. A z druhé, délk podstv obdélníčků (proužků) nemusí být v obecném přípdě stejná. N Obr. 8..3 je tkové dělení intervlu, b vznčeno. f() b Obr. 8..3 Dělení intervlu, b je soubor vzestupně řzených hodnot D {,,..., n, n b}. Délk největšího dílku dělení, tj. hodnot ν(d) m{( i+ i ); i,,,..., n }, se nzývá norm dělení. Zkoumejme, co se děje n i-tém intervlu i, i+, i n, vzniklém z tohoto dělení. Jistě je vám jsné, že funkce f() je spojitá i n kždém tkovém intervlu podle Weierstrssov vět (vět 4.6.) nbývá n uzvřeném intervlu své největší nejmenší hodnot. Pro intervl i, i+ funkci f() oznčme tto hodnot jko m i, M i. Sestrojíme-li nd kždou zákldnou i i+ obdélník o výšce m i, dostneme sdu obdélníkových proužků, které jsou nšemu obrzci vepsán. Jejich celkový obsh ted předstvuje jistý dolní odhd obshu obrzce. Obdobně celkový obsh obdélníků o výškách M i sestrojených nd stejnými zákldnmi, ted zdnému obrzci opsných, je horním odhdem obshu obrzce. Oznčíme-li hledný obsh obrzce P, můžeme pk psát n i m i ( i+ i ) P n i M i ( i+ i ). dělení intervlu norm dělení c J. Ostrvský, V. Polášek,

6 8. URČITÝ INTEGRÁL dolní, horní součet zjemnění dělení Dolní, resp. horní odhd obshu obrzce nzýváme dolním, resp. horním součtem pro funkci f() dělení D, znčíme L(f, D) n i m i ( i+ i ), U(f, D) n i M i ( i+ i ). Odhd lze smozřejmě zpřesnit, budeme-li dělení intervlu, b zjemňovt, tzn., že mezi jeho stávjící dělící bod vložíme dlší. Dělení D, které tkto vznikne, se nzývá zjemněním dělení D. Je zřejmé, že norm ν(d) je menší nebo stejná jko norm ν(d) dělení hrubšího. Uvědomme si, že n kždém z těchto nových dílků nemůže funkce dosáhnout nižší nejmenší hodnot než n dílku původním. Nemůže dosáhnout tké všší největší hodnot než n dílku původním. Pro dolní horní součet zjemněného dělení pltí L(f, D) L(f, D) P U(f, D) U(f, D). Riemnnův integrál Jistě budete souhlsit s tím, že kdž budeme dělení dále zjemňovt, budou se podle předchozí nerovnosti dolní horní součt k sobě přibližovt (můžeme dokumentovt výpočtem v následujících příkldech). Pro spojitou funkci se dá ukázt, že při limitním přechodu ν(d) limitní hodnot dolních horních součtů splnou definují tk poždovný obsh obrzce P. Ted lze dokázt, že pro spojitou funkci definovnou n uzvřeném intervlu pltí lim L(f, D) lim ν(d) U(f, D) P. ν(d) Tto společná hodnot limit dolních horních součtů dné funkce při zjemňujícím se dělení se nzývá Riemnnovým integrálem z funkce f() n intervlu, b geometrick předstvuje plochu obrzce omezeného grfem funkce, osou přímkmi o rovnicích, b. Říkáme tké, že funkce f() je integrce schopná nebo integrbilní n intervlu, b. Tento integrál oznčujeme P f() d. Příkld 8... Pomocí horních dolních součtů spočítejte přibližně obsh ploch mezi grfem funkce f() osou n intervlu, 3. Zvolte nejprve n dělení postupně zjemňujte (n, 3, 4,, ). K výpočtu součtů lze vužít softwre Mthemtic. Řešení: Prezentce 8.. c J. Ostrvský, V. Polášek,

8.. INTEGROVÁNÍ - SČÍTÁNÍ MNOHA MALÝCH PŘÍSPĚVKŮ 7 Příkld 8... Pomocí horních dolních součtů spočítejte přibližně obsh ploch mezi grfem funkce f() 4 osou n intervlu, 4. Zvolte nejprve n dělení postupně zjemňujte (n, 3, 4,,, 4). K výpočtu součtů lze vužít softwre Mthemtic. Řešení: Prezentce 8.. Možná b vás mohlo npdnout, že bchom při zjišťování obshu obrzce mohli vtvořit jiný tp součtů, definovný pro spojitou funkci f() dělení D intervlu, b. V kždém intervlu i, i+ zvolme libovolně bod ξ i (viz Obr. 8..4), který bude tento intervl reprezentovt (ted zstupovt). Pro všechn i,,,..., n pltí m i f(ξ i ) M i. Oznčme S(f, D) n i f(ξ i ) ( i+ i ). Dostli jsme nový tp součtů, tzv. integrální součt, pro které pltí při libovolně zvoleném dělení D L(f, D) S(f, D) U(f, D). integrální součt f(ξ i ) f() ξ i b Obr. 8..4 Protože pro spojitou funkci splne pro ν(d) limit horních součtů s limitou dolních součtů (společná hodnot je rovn integrálu z funkce f() n intervlu, b ) můžeme vslovit následující tvrzení: Vět 8.. (Nezávislost integrálu n reprezentntech). Pro integrální součt S(f, D) pltí při libovolném výběru reprezentntů lim S(f, D) f() d. ν(d) c J. Ostrvský, V. Polášek,

8 8. URČITÝ INTEGRÁL Tento vzth se s výhodou vužije později při plikcích integrálu. Všimněme si ještě limit lim S(f, D). Mohli bchom ji chápt tk, ν(d) že obdélníčk z Obr. 8..4 se stále ztenčují zhušťují lépe zkrývjí křivočrý lichoběžník určený funkcí f v intervlu, b. Příkld 8..3. Pomocí integrálních součtů spočítejte přibližně obsh ploch mezi grfem funkce f() osou n intervlu, 3. Zvolte nejprve n dělení postupně zjemňujte (n, 3, 4,, ). K výpočtu součtů lze vužít softwre Mthemtic. Řešení: Prezentce 8..3 Příkld 8..4. Pomocí integrálních součtů spočítejte přibližně obsh ploch mezi grfem funkce f() 4 osou n intervlu, 4. Zvolte nejprve n dělení postupně zjemňujte (n, 3, 4,,, 4). K výpočtu součtů lze vužít softwre Mthemtic. Řešení: Prezentce 8..4 Příkld 8..5. Nechť f() c v, b. Pk pro libovolné dělení D {,,..., n, n b} libovolné ξ i i, i pltí f(ξ i ) c. Tkže S(f, D) n i c ( i+ i ) c (b ). A ted pro integrální součt S(f, D) pltí při libovolném výběru reprezentntů lim S(f, D) lim c (b ) c (b ). ν(d) ν(d) Funkce f() c je tk v intervlu, b integrce schopn pltí f() d c d c (b ). {, je-li, rcionální číslo, Příkld 8..6. Nechť f() Buď, je-li, ircionální číslo. D {,,..., n, n b} libovolné dělení, nechť ξ i i, i je rcionální číslo, η i i, i číslo ircionální. Pk S (f, D, {ξ i }), S (f, D, {η i }). c J. Ostrvský, V. Polášek,

8.. VÝPOČET URČITÉHO INTEGRÁLU 9 K libovolnému dělení D n lze nlézt množin {ξ n }, {η n } tk, že lim S (f, D n, {ξ n }), ν(d n) lim S (f, D n, {η n }). ν(d n) Tzn., že funkce f není v intervlu, b integrce schopná. Klíčová slov dělení intervlu, norm dělení, horní součet, dolní součet, zjemnění dělení, Riemnnův integrál, integrální součet 8. Výpočet určitého integrálu K výpočtu určitého integrálu lze použít níže uvedenou Leibniz - Newtonovu formuli. Vět 8.. (Leibniz-Newtonov formule). Nechť f() je integrce schopn n intervlu, b. Nechť F () je n, b spojitá n (, b) primitivní funkcí k funkci f(). Pk f() d F (b) F (). Poznámk 8... Předcházející vět ukzuje n možnost jiné definice určitého integrálu. Nzvěme funkci f integrbilní v Newtonově smslu n intervlu, b právě tehd, kdž eistuje funkce F, která je n, b spojitá n (, b) primitivní k funkci f. V tomto přípdě definujeme její (Newtonův) integrál rovnicí integrce v Newtonově smslu f() d [F ()] b F (b) F (). Použili jsme smbolu [F ()] b, jehož se při výpočtu vužívá jímž se rozumí číslo F (b) F (). Pokud se hlouběji zmslíte nd definicí určitého (Riemnnov) integrálu, zjistíte, že v jeho definici jsme vůbec nevužívli pojmu primitivní funkce, ted integrálu neurčitého. Jk jste si jistě všimli, z Leibniz-Newtonov formule plne souvislost mezi určitým neurčitým integrálem. Tkže c J. Ostrvský, V. Polášek,

8. URČITÝ INTEGRÁL výpočet určitého integrálu b neměl být žádným velkým problémem, kdž umíme vpočítt integrál neurčitý. To vám jistě spdl kámen ze srdce. Abchom lépe porozuměli pojmům horní dolní integrální součet souvislost určitého neurčitého integrálu, ukážeme v následujícím konkrétním příkldu pltnost Leibniz-Newtonov formule. Příkld 8... Vpočtěte d (Obr. 8..) pomocí metod horních dolních integrálních součtů pomocí Leibniz-Newtonov formule. Řešení: Podle Leibniz-Newtonov formule pltí: ñ ô d. Obr. 8.. Spočítejme stejný integrál pomocí metod horních dolních integrálních součtů. Zvolme dělení intervlu, tk, b všechn dílk bl stejně velké blo jich n. Pk pltí i + i n i n, m i i + i n i n, M i i+ + (i + ) n i + n, L(f, D) n i n i n m i ( i+ i ) i i n ( i+ i ) n i i n n i n n ( + + + n ) n(n ) n(n ) n n. c J. Ostrvský, V. Polášek,

8.. VÝPOČET URČITÉHO INTEGRÁLU Limitní přechod ν(d) odpovídá přechodu n. Dostáváme tk Obdobně spočítáme horní součet. U(f, D) n n i n i n(n ) lim L(f, D) lim n n n. M i ( i+ i ) n i n i + n ( i + i+ i ) n n i (i + ) n ( + + + n) n n ( + n) n + n n. Odtud pk n + n lim U(f, D) lim n n n. Limit horních součtů pro n je stejná jko limit dolních součtů. Ted Riemnnův integrál pro funkci v intervlu, je rovný je shodný s výpočtem určitého integrálu podle Leibniz-Newtonov formule (viz výše). Je tké shodný s obshem trojúhelník (Obr. 8..), ted P z v. Ověřili jsme tk pltnost Leibniz-Newtonov formule pro konkrétní přípd. Obr. 8.. Tento výsledek ukzuje n to, že určité integrál nebudeme muset počítt z jejich definice, le můžeme k jejich výpočtu vužít primitivní funkce (tzn. vpočítt neurčitý integrál dosdit do něj integrční meze - viz příkld). Poznámk 8... Abchom mohli používt Leibniz-Newtonov formule, je nutné vědět, kd je funkce integrce schopn. N to odpoví následující vět. c J. Ostrvský, V. Polášek,

8. URČITÝ INTEGRÁL Vět 8... Funkce spojitá n uzvřeném intervlu, b je tm integrce schopn. Poznámk 8..3. Z vět 8.. plne ekvivlence Riemnnov Newtonov definice určitého integrálu pro přípd, že f() je spojitá v, b. Poznámk 8..4. Vět 8.. jednk ukzuje n úzkou souvislost mezi určitým neurčitým integrálem jednk dává jednoduchou metodu pro výpočet určitého integrálu. Ukážeme si její použití n příkldech. Příkld 8... Vpočítejte Řešení: 4 3 d Integrte[^3, {,, 4}] 4 3 d. ñ ô 4 4 4 56 4 4 55 4. Příkld 8..3. Vpočítejte π cos d. Řešení: π cos d [sin ] π. Klíčová slov integrce v Newtonově smslu, Leibniz-Newtonov formule 8.3 Zákldní vlstnosti určitého integrálu Vět 8.3. (O ditivnosti určitého integrálu). Nechť f() je spojitá funkce v intervlu I dále, b, c I. Potom pltí c f() d f() d + c b f() d. c J. Ostrvský, V. Polášek,

8.3. ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI URČITÉHO INTEGRÁLU 3 Příkld 8.3.. Vpočítejte f() d, kde { + + pro (,, f() + pro (, ). Řešení: 3 f 3 Obr. 8.3. f() d + ( + ) d f() d + ñ 3 f() d 3 + + ô + ñ ( + + ) d+ + ô 4 3 + 4 6 3. Integrte[^++, {, -, -}]+Integrte[+, {, -, }] Poznámk 8.3.. Podle definice Riemnnov integrálu víme, že jsme vpočítli obsh obrzce, který je n Obr. 8.3. vznčen šrfováním. Vět 8.3.. Nechť funkce f() g() jsou spojité v intervlu I nechť jsou dán čtři čísl, b I, c, c R. Potom pltí Ä c f() + c g() ä d c f() d + c g() d. c J. Ostrvský, V. Polášek,

4 8. URČITÝ INTEGRÁL Důsledek 8.3.. Nechť funkce f (), f (),... f n () jsou spojité v intervlu I nechť jsou dán čísl, b I, c, c,..., c n R. Pk pltí Ä c f () + c f () + + c n f n () ä d c f () d + c f () d + + c n f n () d. Vět 8.3.3. Předpokládejme, že f() je funkce spojitá nezáporná v intervlu, b. Potom pltí f() d. Vět 8.3.4 (Vět o střední hodnotě integrálního počtu). Jestliže f() je funkce spojitá v intervlu, b, pk eistuje tkové číslo c (, b), že pltí f() d f(c) (b ). Poznámk 8.3.. Jestliže je funkce f() nezáporná v intervlu, b, má vět 8.3.4 zjímvou geometrickou interpretci. Integrál f() d, jk víme, je obshem obrzce určeného funkcí f() definovnou v, b. Číslo (b ) f(c) je obshem obdélník o zákldně b výšce f(c) (Obr. 8.3.). Z obrázku dále plne, že obsh všrfovné části nlevo od bodu c je roven f(b) f(c) f() f c b Obr. 8.3. obshu všrfovné části nprvo od bodu c. c J. Ostrvský, V. Polášek,

8.4. INTEGRACE PER PARTES A METODA SUBSTITUČNÍ 5 Poznámk 8.3.3. Rozšiřme definici integrálu b. Je-li f() definován v čísle, kldeme je-li f() integrce schopn n intervlu b,, kldeme b f() d i n přípd, kd f() d. Je-li > b f() d f() d. Je zřejmé, že i při této rozšířené definici integrálu pltí všechn vět uvedené v tomto odstvci. Domníváme se, že jste pochopili souvislost mezi určitým neurčitým integrálem. Při vpočtu neurčitých integrálů jsme používli dvě zákldní integrční metod: metodu per prtes metodu substituční. Určitě vás bude zjímt, jk tto metod použijeme u určitých integrálů. Jistě, mohli bchom postupovt podle Leibniz-Newtonov formule, tj. nejprve njít primitivní funkci F () k původní funkci (k integrndu) pk jen dosdit integrční meze. Někd je všk výhodné prcovt s mezemi tzv. z pochodu. Mslíme tím to, že v přípdě, že změníme při substituční metodě proměnnou, změníme odpovídjícím způsobem i meze integrálu. Podrobněji se těmito metodmi budeme zbývt v následující kpitolce. Klíčová slov ditivnost určitého integrálu, střední hodnot integrálního počtu 8.4 Integrce per prtes metod substituční pro určité integrál Vět 8.4. (Metod per prtes v určitém integrálu). Nechť mjí funkce u(), v() v intervlu, b spojité derivce u (), v (). Pk je u()v () d î u()v() ó b b u ()v() d. Poznámk 8.4.. Stručněji lze metodu per prtes zpst tkto uv d î uv ó b b u v d. c J. Ostrvský, V. Polášek,

6 8. URČITÝ INTEGRÁL Příkld 8.4.. Vpočtěte π sin d. Řešení: Položme u(), v () sin. π u sin d v sin u v cos î cos ó π + π u v + cos d cos u v sin π + î sin ó π π sin d π + î cos ó π π 4. Příkld 8.4.. Vpočtěte d. Řešení: Položme u, v. u v d ï u v ln ln ln ln ò ln d ln [ ] ln ln + ln ln ln. Vět 8.4. (Substituční metod v určitém integrálu). Nechť f(t) je spojitá funkce n intervlu α, β. Nechť funkce g() má spojitou derivci v intervlu, b zobrzuje tento intervl do intervlu α, β součsně g() α, g(b) β. Potom pltí f(g())g ()d β α f(t) F (β) F (α). Poznámk 8.4.. Schém použití vět je obdobné jko u neurčitého integrálu. V integrálu f(g())g ()d položíme g() t, g () d dt, musíme všk tké trnsformovt meze integrálu podle rovnic g() α, g(b) β. Postup je ukázán v následujících dvou příkldech. Příkld 8.4.3. Vpočtěte π π 6 cos 3 sin 6 d. c J. Ostrvský, V. Polášek,

8.5. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU V GEOMETRII 7 Řešení: Substituce sin t, cos d dt převádí meze integrálu tkto π 6 π t sin Pomocí rovnosti cos sin t uprvíme integrnd zvedeme substituci π cos 3 π π sin 6 d cos cos t Ä π sin 6 d t 6 dt t 6 t 4ä dt 6 6 ï 5t 5 + ò 3t 3 5 + 3 + 3 5 8 3 58 5. Příkld 8.4.4. Vpočtěte Řešení: ( + ) 3 + t d t dt d t dt d 5 ( + ) 3 d. t + 5 t t 3 dt 5 t dt ï ò 5. t 5 Poznámk 8.4.3. Jistě jste si všimli, že jsme zvedli substituci + t místo očekávné + t. Udělli jsme to proto, bchom se vhnuli integrálu s rcionálním mocnitelem. Vpočtěte zdný integrál pomocí substituce + t ob výpočt porovnejte. Klíčová slov metod per prtes, substituční metod 8.5 Aplikce určitého integrálu v geometrii Při výkldu Riemnnov určitého integrálu jste si jistě všimli, že se dá v geometrii plikovt především pro výpočet obshů rovinných obrzců. Dále se budeme zbývt i určením objemů některých těles, výpočtem délek rovinných křivek obshů rotčních ploch. c J. Ostrvský, V. Polášek,

8 8. URČITÝ INTEGRÁL 8.5. Obsh rovinného obrzce ) Přípd krtézských souřdnic podgrf funkce f, křivočrý lichoběžník Nechť funkce f() je nezáporná integrbilní n intervlu, b. Uvžujme rovinný obrzec omezený osou ( ), přímkmi, b křivkou f(). Pomocí dolních horních součtů nebo i integrálních součtů jsme zvedli pro obsh P uvedeného obrzce (v litertuře se setkáte tké s pojm jko podgrf funkce f, křivočrý lichoběžník) vzth P f() d. (8.5.) Příkld 8.5.. Vpočtěte obsh rovinného obrzce omezeného prbolmi,. Řešení: Rovinné obrzce n Obr. 8.5., 8.5. jsou nprosto stejné. V- P P Obr. 8.5. Obr. 8.5. užijeme Obr. 8.5., kde funkce předstvuje horní větev prbol vzhledem k doszení funkce f() do (8.5.) pro výpočet obshu P rovinného obrzce. ñ P d d 3 3 3 ô 3 3 3 3. Při výpočtu obshu rovinných obrzců si musíme uvědomit jednu skutečnost sice to, že vzorec (8.5.) pro výpočet obshu tohoto obrzce pltí pouze pro přípd nezáporné funkce. Jk budeme postupovt v přípdě, že k vmezení rovinného obrzce je použit i záporná funkce, uvidíte v následujícím příkldu. c J. Ostrvský, V. Polášek,

8.5. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU V GEOMETRII 9 Příkld 8.5.. Určete obsh rovinného obrzce omezeného osou, přímkmi, 5 grfem funkce 4 ( ). Zdný obrzec všrfujte. Řešení: 4 3 4 ( ) 3 4 5 3 4 5 Obr. 8.5.3 4 3 3 4 5 Obr. 8.5.4 Z Obr. 8.5.3 je vidět, že funkce 4 ( ) není n celém integrčním intervlu nezáporná. V intervlech, ) (4, 5 jsou funkční hodnot funkce 4 ( ) záporné, proto budou odpovídjící proužk v dolních horních součtech rovněž přispívt zápornými hodnotmi. Obsh obrzce je všk vžd kldný. Kdbchom v těchto intervlech provedli reflei kolem os (ze znlostí o trnsformcích grfů funkcí víme, že k tomu stčí použít v těchto intervlech funkci Ä 4 ( ) ä ( ) 4 - viz Obr. 8.5.4), měli bchom n všech podintervlech nezáporné funkce. S vužitím vět 8.3. nní zdný obsh obrzce lehce vpočítáme tkto: P ñ 3 Ä ( ) 4 ä 4 Ä d + 4 ( ) ä 5 Ä d + ( ) 4 ä d Ä 4 ä 4 Ä d + + 4 ä 5 Ä d + 4 ä d 3 3 + 64 3 ô + ñ 3 3 + + 3 + 5 3 ô 4 4 ñ 3 + 3 ô 5 4 4 5 64 3 + 3 6 3 46 3. V podintervlech, ve kterých je funkce záporná, se dá tké, místo reflee, c J. Ostrvský, V. Polášek,

8. URČITÝ INTEGRÁL použít bsolutní hodnot. V tom přípdě bchom postupovli tkto: Ä P 4 ( ) ä 4 d + Ä 4 ( ) ä 5 Ä d + 4 ( ) ä d 4 ñ ô 3 ñ ô 4 3 + + 3 ñ ô 5 3 + + 3 3 + 4 3 64 3 + 3 + 5 64 + 5 + 3 3 3 46 3. Kdbchom si neuvědomili, že funkce je n integrčním intervlu i záporná, počítli bchom nejspíše tkto: P 5 Ä 4 ( ) ä d ñ ô 5 3 3 + 5 3 + 5 + 3 3. Ověříme pomocí softwru Mthemtic, který výsledek je správný: Integrte[Abs[(-)^-4],{,-,5}]. Vidíme, jk důležité je v tomto přípdě znát průběh funkcí. Příkld 8.5.3. Vpočítejte obsh obrzce omezeného osou, funkcí sin přímkmi, π. Obrázek nčrtněte (oznčte P rovinný obrzec omezený osou, funkcí sin přímkmi, π P rovinný obrzec omezený osou, funkcí sin přímkmi π, π. Řešení: Z Obr. 8.5.5 je vidět, že funkce sin je v integrčním P π P π π π Obr. 8.5.5 intervlu i záporná. Jistě dovedete odhdnout výsledek v přípdě, že bchom chtěli počítt z neznlosti situce obsh obrzce tkto: P π sin d. c J. Ostrvský, V. Polášek,

8.5. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU V GEOMETRII Jistě je roven nule. V přípdě, že v obrzci jsou některé části stejné, není nutné počítt integrál přes všechn podintervl. V nšem přípdě npř. stčí vpočítt obsh obrzce P (viz. Obr. 8.5.5) ten vnásobit dvěm, protože obsh obrzce P je stejný. Ted P P π sin d î cos ó π ( ( ) + ) 4. Uměli bste vpočítt obsh rovinného obrzce omezeného osou, funkcí g() přímkmi c, d? Zřejmě bchom mohli postupovt nlogick k vzorci (8.5.) pro výpočet obshu rovinného obrzce omezeného funkcí f(), přímkmi, b osou. Vzorec ted vpdá tkto: P d c g() d. Příkld 8.5.4. Vpočtěte obsh rovinného obrzce omezeného prbolou osou. Řešení: Určíme průsečík prbol s osou ( ) vrchol prbol V [m, n]. Viz Obr. 8.5.6. 9 4 Obr. 8.5.6 průsečík s osou :, ± + 8 vrchol prbol: Å + ã + 9 4 9 Å 4 + ï 9 V ã 4 ò,. c J. Ostrvský, V. Polášek,

8. URČITÝ INTEGRÁL Vpočteme obsh ñ ô P ( ) d 3 3 3 + 4 + 8 3 9. V příkldu 8.5. jsme počítli obsh rovinného obrzce mezi dvěm křivkmi. V přípdě, že obě funkce jsou nezáporné, je výpočet zřejmý. Odvodíme si jej z obrázku 8.5.7. g() g() f() f() P P P P P b b Obr. 8.5.7 Zřejmě ted pltí P P P f() d g() d (f() g()) d, což je vzorec, který budeme v těchto přípdech používt. Dá se použít i n následující přípd? Příkld 8.5.5. Pokuste z obrázku 8.5.8 odvodit výpočet obshu rovinného Ä ä obrzce. Dá použít vzorec f() g() d? c J. Ostrvský, V. Polášek,

8.5. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU V GEOMETRII 3 f f P 3 P 4 P 6 g b 3 4 b 5 P 5 g P P Řešení: Z Obr. 8.5.8 plne P P + P + P 3 + P 4 + P 5 + P 6 3 Ä ä + g() d + + + 5 3 4 Ä f() g() ä d 4 3 Ä f() g() ä d + f() d + 5 Obr. 8.5.8 4 Ç g() Ä f() äå d + f() d + 3 å 4 3 Ä g() ä d + 3 Ä Ä ä f() g() d + f() g() d + Ä ä Ä ä f() g() d f() g() d. 4 Pokud pltí n celém intervlu, b pro funkce f(), g() vzth g() f(), přičemž funkce f(), g() nemusí být nutně nezáporné, lze obsh rovinného obrzce mezi těmito dvěm funkcemi vpočítt tkto: P Ä f() g() ä d. Příkld 8.5.6. Určete obsh obrzce omezeného křivkou f() 5 ( ) přímkou g() 3. Obrzec nčrtněte. Řešení: Nejprve zjistíme průsečík křivek. Zřejmě bude nutné vřešit rovnici 5 ( ) 3. Po úprvě získáme kvdrtickou rovnici ve tvru 3 4, tj. ( 4)( + ). Kořen ted jsou 4,. Zdný obrzec je n Obr. 8.5.9. c J. Ostrvský, V. Polášek,

4 8. URČITÝ INTEGRÁL Obsh obrzce vpočítáme podle výše uvedené teorie tkto: f() 4 Ä 5 ( ) ( 3) ä d P 4 g() 4 Ä + 3 + 4 ä d ñ 3 3 + 3 ô 4 + 4 Å 64 3 + 4 + 6 3 3 ã + 4 44 + 8 9 6 44 39 6 5 6. Obr. 8.5.9 Jistě je vám už zcel zřejmé, jk bchom vpočítli obsh obrzce omezeného několik grf. Pokusíme se o to v následujícím příkldu. Příkld 8.5.7. Vpočtěte obsh obrzce omezeného těmito grf:,, přímkmi 3. Nčrtněte obrázek. Řešení: Rovinný obrzec si rozdělíme n dv, P P. Jk je z Obr. 8.5. vidět, bude nutné určit průsečík křivek,. Získáme jej řešením rovnice. Ted 3 3 3 ( )( + + ). Odtud. Obr. 8.5. c J. Ostrvský, V. Polášek,

8.5. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU V GEOMETRII 5 Z nám již známé teorie plne, že Ä P P + P ( ) ä 3 Å d + )ã ( d ñ 3 3 + ln ô ò 3 + ïln + ln 3 + ln ln + ln 3 + + 8 ln ln ln 3 + ln 3 + 7 ln. b) Přípd prmetrických rovnic Uvžujme situci, kd je grf nezáporné funkce f(),, b, popsán prmetrickými rovnicemi ϕ(t), ψ(t), t α, β. Předpokládáme-li, že funkce ϕ(t), ψ(t) jsou spojité, ψ(t) v α, β funkce ϕ(t) má v α, β spojitou derivci, různou od nul, pk lze ve vzorci (8.5.) zvést substituci ϕ(t), d ϕ (t)dt ( ϕ(α), b ϕ(β)). Dostneme následující vzorec pro výpočet obshu podgrfu funkce f() P β α ψ(t)ϕ (t) dt. (8.5.) Stejnou substituci budeme zvádět i v dlších plikcích. Příkld 8.5.8. Určete obsh obrzce omezeného osou jedním obloukem ckloid r(t sin t), r( cos t), t, π. Řešení: N Obr. 8.5. vidíme zdný obrzec, plochu pod obloukem ckloid. Způsob, jkým ckloid vzniká, nleznete v grfu 8.5.. r r π r πr 3π r πr Obr. 8.5. Ze zdání ϕ(t) r(t sin t) plne, že ϕ (t) r( cos t). Doszením do vzorce (8.5.) vpočítáme obsh c J. Ostrvský, V. Polášek,

6 8. URČITÝ INTEGRÁL P π r r π r( cos t)r( cos t) dt r ( cos t) dt π Ä cos t + cos t ä dt r ït sin t + Å π + π ã 3πr. ò t + sin t cos t π 8.5. Délk rovinné křivk ) Přípd krtézských souřdnic Nechť f() je funkce definovná n intervlu, b mjící zde spojitou derivci. Buď D : < < < n b dělení intervlu, b. 3 b 4 Obr. 8.5. Dělící bod určují bod T i [ i, f( i )] grfu funkce f(). Spojme kždé dv sousední bod úsečkou (Obr. 8.5.). Délk i-té úsečk je» ( i i ) + (f( i ) f( i )). Podle vět o střední hodnotě (vět 8.3.4) eistuje ξ i ( i, i ) tk, že f( i ) f( i ) f (ξ i ) ( i i ). Pk i-tá úsečk má délku» ( i i ) + (f (ξ i ) ( i i ))» + f (ξ i ) ( i i ), délk celé vepsné lomené čár je n i» + f (ξ i ) ( i i ) (» ) D, + f, E, c J. Ostrvský, V. Polášek,

8.5. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU V GEOMETRII 7 kde E znčí množinu všech čísel ξ i. Tto sum vjdřuje délku uvžovné křivk tím přesněji, čím je jemnější dělení D. Délku L dné křivk v rovině pk definujeme délk křivk v rovině L (» ) lim D, + f, E ν(d)» + f () d. Příkld 8.5.9. V prezentci 8.5. nleznete ukázku, jk je křivk f() +4 n intervlu, 4 nhrzován lineární lomenou črou při zjemňujícím se dělení dného intervlu. Příkld 8.5.. Určete délku rovinné křivk ln mezi bod 3, 8. Řešení: ln 3 8 4 Obr. 8.5.3 L 8 3» + f () d 8 3 + d 8 3 + d 8 3 + d substituce: + t d t dt d t dt meze: 3 8 t 3 c J. Ostrvský, V. Polášek,

8 8. URČITÝ INTEGRÁL 3 3 t t dt 3 dt + 3 t + t (t + ) (t ) (t + )(t ) + îln(t ) ln(t + ) ó 3 + ln 3. 3 Å dt + ã t dt dt î t ó 3 + 3 Å t t + + ln ln 4 + ln 3 ã dt b) Přípd prmetrických rovnic Uvžujme prmetrické rovnice ϕ(t), ψ(t), t α, β, křivk určené grfem funkce f. Pk délk křivk je dán vzthem L β α» ϕ (t) + ψ (t)dt. Příkld 8.5.. Vpočtěte délku křivk (steroid) určené rovnicemi r cos 3 t, r sin 3 t, t, π. Řešení: N Obr. 8.5.4 vidíme zdnou křivku, kterou nzýváme steroid. Způsob, jkým steroid vzniká, nleznete v grfu 8.5.. r r r r Obr. 8.5.4 c J. Ostrvský, V. Polášek,

8.5. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU V GEOMETRII 9 Ze zdání plne, že ϕ (t) 3r cos t sin t, ψ (t) 3r sin t cos t. Délku zdné křivk pk vpočítáme tkto π L 4 r» π 9r cos 4 t sin t + 9r sin 4 t cos tdt r ñ u u du r ô 6r. sin t cos t dt 8.5.3 Objem rotčního těles ) Přípd krtézských souřdnic Nechť f() je nezáporná spojitá funkce definovná n intervlu, b. Uvžujme rotční těleso, jenž vznikne, otáčí-li se rovinný obrzec omezený osou, přímkmi, b křivkou f() kolem os : Prezentce 8.5. Zvolme dělení D : < < < n b intervlu, b, reprezentnt dělících intervlů ξ i, i,,..., n. Pro kždé i nhrdíme část rotčního těles příslušející souřdnicím ξ i i, i rotčním válcem o poloměru podstv f(ξ i ) výšce i i (Obr. 8.5.5). f i ξ i i n b z Obr. 8.5.5 Sečteme-li objem všech těchto rotčních válců, dostneme číslo n πf (ξ i )( i i ), i c J. Ostrvský, V. Polášek,

3 8. URČITÝ INTEGRÁL objem rotčního těles což je integrální součet odpovídjící funkci πf, dělení D nějkému výběru reprezentntů E. Provedeme-li nám již známý limitní přechod z definice Riemnnov integrálu, dostneme vzorec pro výpočet objemu rotčního těles V π f () d. Příkld 8.5.. Vpočtěte objem těles vzniklého rotcí obrzce omezeného grf funkcí,, přímkmi, 3 kolem os. Řešení: Není těžké si předstvit zdný obrzec i těleso vzniklé jeho rotcí kolem os. Zkuste si je nejprve smi nčrtnout pk se podívejte do grfu 8.5.3. Vpočítáme objem: 3 V π f () d π d π î ó 3 π. Příkld 8.5.3. Vpočtěte objem těles vzniklého rotcí obrzce omezeného grf funkcí, +, přímkmi, 3 kolem os. v Řešení: Dný obrzec i těleso vzniklé jeho rotcí kolem os nleznete grfu 8.5.4. Vpočítáme objem: V π 3 Å + ã d π ñ 3 π + 4 ô 3 3 Å 4 + 4ã Å 7 π 9 ã + 39 4 π. d Příkld 8.5.4. Vpočtěte objem těles vzniklého rotcí křivk sin pro, π kolem os (Obr. 8.5.6, Grf 8.5.5. ). Řešení: π π V π sin cos d π d π ï ò sin π π. c J. Ostrvský, V. Polášek,

8.5. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU V GEOMETRII 3 sin 3π Obr. 8.5.6 b) Přípd prmetrických rovnic Objem těles vzniklého rotcí křivk ϕ(t), ψ(t), t α, β kolem os se vpočítá podle vzorce β V π ψ (t) ϕ (t) dt. α Příkld 8.5.5. Vpočtěte objem těles vzniklého rotcí křivk ϕ(t) 3 cos t, ψ(t) 3 sin t, t, π kolem os (Obr. 8.5.7 horní půlelips). Řešení: 3 3 Obr. 8.5.7 Pltí ϕ (t) 3 sin t pro t (, π), dosdíme do vzorce π Ä V π 3 π ä sin t 3 sin t dt 7 4 π sin 3 t dt π 7 4 π Ä cos t ä sin t dt 7 4 π Ä u ä du 9π Zdné rotční těleso lze vkreslit pomocí softwru Mthemtic: RevolutionPlot3D[{.5Sin[t],3Cos[t]}, {t,, Pi}, c J. Ostrvský, V. Polášek,

3 8. URČITÝ INTEGRÁL AesLbel -> {, z, }]. Uvedený příkz vkreslí rotční těleso vzniklé rotcí křivk zdné prmetrick. Vzhledem k zákldní snti příkzu RevolutionPlot3D jsme vměnili rovnice pro, jink b výsledkem blo těleso rotující kolem os. Pro lepší orientci sledujte oznčení jednotlivých os. 8.5.4 Plášť rotčního těles ) Přípd krtézských souřdnic Nechť f() je spojitá nezáporná funkce se spojitou derivcí n, b. Otáčíli se rovinný obrzec omezený přímkmi, b, osou křivkou f() kolem os, vznikne rotční těleso. Obsh jeho pláště (bez obou podstv, eistují-li) vpočítáme pomocí následujícího vzorce obsh pláště rotčního těles» S π f() + f () d. Příkld 8.5.6. Vpočtěte obsh kulového pásu vzniklého rotcí grfu funkce f() R,, kolem os. Předpokládá se, že R < < < R. Řešení: Grf 8.5.6. S π R + R d π R R R d πr d πr( ) πrv, kde v je vzdálenost bodů, ( výšk kulového pásu). Poznámk 8.5.. Je-li R, R, pk v R z předcházejícího výsledku dostneme limitním přechodem (derivce f () není pro ±R definován) známý vzorec pro výpočet povrchu koule, S 4πR. c J. Ostrvský, V. Polášek,

8.6. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU VE FYZICE 33 b) Přípd prmetrických rovnic Je-li funkce f zdán prmetrickými rovnicemi ϕ(t), ψ(t), t α, β, lze plášť rotčního těles vpočítt tkto β» S π ψ(t) ϕ (t) + ψ (t) dt. α Příkld 8.5.7. Vpočtěte obsh ploch vzniklé rotcí křivk R cos t, R sin t (R > ), t, π kolem os. Řešení: Všimněte si, že prmetrickými rovnicemi je zdán horní půlkružnice o poloměru R rotcí vznikne opět kulová ploch, jko v předcházejím příkldě. π» π S π R sin t ( R sin t) + (R cos t) dt πr sin t dt πr î cos t ó π 4πR. Klíčová slov podgrf funkce, obsh obrzce, délk rovinné křivk, objem rotčního těles, obsh pláště rotčního těles 8.6 Aplikce určitého integrálu ve fzice V této části uvedeme některé jednoduché příkld plikcí určitého integrálu ve fzice. Jejich odvození nleznete npř. v knize [6]. ) Práce proměnné síl po dné dráze. Předpokládejme, že v bodech úsečk AB, která leží v ose, působí síl F, která má s osou souhlsnou orientci závisí n -ové souřdnici působiště síl, F F() (Obr. 8.6.). Mění-li se síl v závislosti n proměnné, mění se i její -ová souřdnice F, ted je funkcí proměnné, F f(). Definujeme práci W, kterou vkonává proměnná síl F n intervlu, b určitým integrálem z funkce f() W f() d. c J. Ostrvský, V. Polášek,

34 8. URČITÝ INTEGRÁL F F F F A B b Obr. 8.6. b) Určení sttických momentů těžiště rovinných útvrů. Připomeňme si, jk jsou ve fzice definován hmotný bod, sttický moment těžiště soustv hmotných bodů. Pro přesnější pochopení pojmů si vhledejte příslušnou literturu. Hmotným bodem rozumíme bod B, jemuž je přiřzeno určité kldné číslo m vjdřující velikost hmot v něm soustředěné. Je to objekt, jehož rozměr tvr jsou znedbtelné, le tento objekt má přiřzenu hmotnost o určité velikosti. Uvžujme nní prvoúhlý souřdnicový sstém v rovině. Nechť B je hmotný bod o hmotě m souřdnicích (, ). Sttický moment S tohoto hmotného bodu vzhledem k ose definujeme rovností S m sttický moment S vzhledem k ose definujeme rovností S m. Jestliže máme dánu soustvu konečně mnoh hmotných bodů B, B,..., B k o hmotách m, m,..., m k s dvojicemi souřdnic (, ), (, ),..., ( k, k ), sttický moment S vzhledem k ose sttický moment S vzhledem k ose této soustv je definovný rovností k S m i i, k S m i i. i i Těžištěm soustv hmotných bodů nzýváme tkový bod, že soustředíme-li v něm hmotu celé soustv, k M m i, i pk sttické moment tohoto hmotného bodu vzhledem k jednotlivým osám jsou stejné jko sttické moment celé soustv bodů. Těžištěm soustv tk rozumíme bod T [ t, t ], pro který pltí t S M, t S M. c J. Ostrvský, V. Polášek,

8.6. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU VE FYZICE 35 U geometrických objektů jko jsou křivk v rovině nebo rovinný obrzec, lze definovt sttický moment souřdnice těžiště obdobným způsobem, přičemž součt jsou nhrzen integrál. Budeme předpokládt, že tto objekt mjí určitou hmotu (hmotné křivce odpovídá fzikální předstv tenkého drátu pod.) jejich hustot (tj. hmot n jednotku délk, popř. ploch) obecně nemusí být konstntní (je funkcí proměnné, resp. prmetru t). α) Sttický moment těžiště oblouku křivk. Uvžujme v rovině křivku f() pro, b (předstvující hmotné těleso, npř. tenký drát), kde f() má spojitou derivci n intervlu, b. Předpokládejme, že hmotnost jednotk délk, tj. délková hustot, je spojitou funkcí proměnné, oznčme ji npř. s(). Tzn., že v bodě [, f()] je hustot mteriálu s(). Celková hmotnost těles (hmot křivk) se spočítá pomocí vzorce» M s() + f () d, sttické moment vzhledem k souřdným osám vzorci S»» s()f() + f () d, S s() + f () d. Souřdnice těžiště T [ t, t ] jsou dán již zmíněnými vzorci t S M, t S M. Je-li křivk dán prmetrick ϕ(t), ψ(t), t α, β, kde ϕ(t), ψ(t) mjí spojité derivce n α, β pro t t je [ϕ(t ), ψ(t )] [ϕ(t ), ψ(t )], je-li její hustot dán spojitou funkcí s(t) n α, β, pk β M S α β α» β s(t) ϕ (t) + ψ (t)dt, S» s(t)ϕ(t) ϕ (t) + ψ (t)dt. α» s(t)ψ(t) ϕ (t) + ψ (t)dt, Souřdnice těžiště se vpočítjí jko v předcházejím přípdě. Příkld 8.6.. Určete těžiště oblouku steroid v prvním kvdrntu: cos 3 t, sin 3 t, s(t), t, π (viz Obr. 8.5.4). c J. Ostrvský, V. Polášek,

36 8. URČITÝ INTEGRÁL Řešení: V příkldu 8.5. jsme počítli délku steroid L. Protože je s(), je délk L steroid rovn její hmotnosti, le v nšem přípdě uvžujeme pouze čtvrtinu steroid, ted M 4 L 3. S S π ñ u 3 5 5 π ñ u 3 5 5 π sin 3 t 3 sin t cos tdt 3 ô 3 5 cos 3 t 3 cos t sin tdt 3 ô 3 5 π sin 4 t cos tdt 3 u 4 du cos 4 t sin tdt 3 u 4 du Souřdnice těžiště T [ 3 5 3, ] 3 ï 5 3 5, ò. 5 β) Sttický moment těžiště rovinného obrzce. Nechť je dán rovinný obrzec omezený osou, přímkmi, b grfem spojité nezáporné funkce f(). Nechť je plošná hustot dán funkcí s(), spojitou n, b. Pk celková hmot sttické moment vzhledem k souřdným osám jsou dán vzorci M s()f() d, S s()f () d, S s()f() d. Všimněte si, že má-li plošná jednotk hmotu rovnu jedné (stručně říkáme, že uvžovný obrzec má jednotkovou plošnou hustotu), pk celková hmot M dného křivočrého lichoběžník se číselně rovná jeho obshu M P s()f() d. Příkld 8.6.. Vpočtěte polohu těžiště ploch omezené půlelipsou osou, Obr. 8.6.. Rovnice elips je f() b. Uvžujme s() pro všechn,. Řešení: c J. Ostrvský, V. Polášek,

8.6. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU VE FYZICE 37 b T Obr. 8.6. M + S b + S b f() d π b (subst. cos t. substituční metod) d t d tdt t dt ñ ô + Ä + ä d b 3 3 3 b. Souřdnice těžiště T [ t, t ]: t S M, t S M 3 b 4b b 3π. Poloh těžiště nezávisí n délce poloos. Ted půlkruh o poloměru b má těžiště ve stejné výšce jko půlelips. π c) Moment setrvčnosti rotčního těles vzhledem k ose rotce. Moment setrvčnosti je fzikální veličin, která vjdřuje míru setrvčnosti těles při otáčivém pohbu. Její velikost závisí n rozložení hmot v tělese vzhledem k ose otáčení. Moment setrvčnosti soustv hmotných bodů je dán součtem momentů setrvčnosti jednotlivých bodů. Uvžujme rotční těleso (jednotkové hustot) vzniklé rotcí kolem os křivočrého lichoběžník ohrničeného shor grfem spojité nezáporné funkce f() v mezích, b (Obr. 8.5.5 Prezentce 8.5.). Moment setrvčnosti I dného rotčního těles vzhledem k ose lze určit ze vzorce I π f 4 () d. c J. Ostrvský, V. Polášek,

38 8. URČITÝ INTEGRÁL Inde A ditivnost určitého integrálu, D dělení intervlu, 5 délk křivk v rovině, 7 F formule Leibniz-Newtonov, 9 H hodnot střední, integrálního počtu, 4 I integrce v Newtonově smslu, 9 integrál Riemnnův, 6 N norm dělení, 5 M metod, per prtes v určitém integrálu, 5 - substituční v určitém integrálu, 6 O objem rotčního těles, 3 obsh, obrzce, 8 - pláště rotčního těles, 3 P podgrf funkce, 8 S součet, dolní, 6 - horní, 6 - integrální, 7 Z zjemnění dělení, 6 c J. Ostrvský, V. Polášek,