Kapitola 4 Plošné integrály 4. ist v prostoru R 3 a jeho parametrizace Klíčová slova: přípustná oblast, zanedbatelná množina, list v R 3, parametrizace listu, obor parametrů, kraj listu, tečné vektorové pole listu, normálové vektorové pole listu, orientace listu indukovaná parametrizací, souhlasné a nesouhlasné orientace, parametrizace grafu funkce Tečné a normálové pole listu v prostoru R 3 Jedním ze základních pojmů v kapitole o křivkových integrálech byl pojem oblouku a jeho parametrizace. Víme, že oblouk je obrazem jednorozměrného intervalu, a tedy definičním oborem parametrizace oblouku je interval v R. V této kapitole budeme pracovat s plochami, které chápeme jako obrazy nějakých dvourozměrných útvarů v rovině. Je samozřejmé, že úvahy o plošných integrálech budou do značné míry analogické úvahám o křivkových integrálech. Kdybychom však chtěli postupovat zcela důsledně v této analogii, vnucovala by se nám myšlenka, zvolit za definiční obor parametrizace plochy dvourozměrný interval v rovině R, a tedy obdélník a, b c, d. Brzo bychom však zjistili, že taková volba nás zbytečně silně omezuje. Je totiž velice přirozené považovat za plochy i grafy různých funkcí dvou proměnných a takový graf můžeme chápat jako obraz příslušného definičního oboru funkce. Přitom tyto definiční obory představují nesrovnatelně širší paletu geometrických útvarů než jsou obdélníky. Je proto daleko přirozenější chápat plochu jako obraz jakéhokoli rozumného rovinného geometrického obrazce, jako je např. kruh, trojúhelník, čtverec, lichoběžník apod. Tuto skutečnost jsme respektovali při definici listu, jak byla uvedena a podrobněji rozebrána v kap.. Nyní se budeme zabývat tečným a normálovým vektorovým polem listu v R 3. Nechť R 3 je list v R 3, nechť g(u) (g (u, u ), g (u, u ), g 3 (u, u )), u (u, u ), je jeho parametrizace. Pak pro libovolný bod u vnitřku množiny jsou vektory t (g(u)) ( (u) (u), (u), ) 3 (u), u u u u t (g(u)) ( (u) (u), (u), ) 3 (u) u u u u (4.) 3
4 KAPTOA 4. POŠNÉ NTEGRÁY dva lineárně nezávislé tečné vektory listu v bodě a g(u), jak je načrtnuto na obr. 4.. Každý z těchto dvou předpisů pro tečné vektory můžeme použít jako předpisy pro tečná vektorová pole t, t na listu, tj. jako zobrazení, které každému bodu a přiřazuje uspořádanou dvojici tečných vektorů (t (a), t (a)) listu v bodě a. V dalších úvahách později budeme potřebovat vektorový součin těchto polí. Vektorový součin tečných vektorů t (g(u)), t (g(u)) je normálový vektor n(g(u)) t (g(u)) t (g(u)) ( (u), (u), ) ( 3 (u) (u), (u), ) (4.) 3 (u) u u u u u u listu v bodě g(u). Tento předpis pro normálový vektor listu v bodě g(u) můžeme použít jako předpis pro normálové vektorové pole n na listu. n(g(u)) t (g(u)) g(u) t (g(u)) æ Obrázek 4.: K ilustraci tečných vektorů listu Je-li část grafu funkce x 3 f(x, x ), pak jej můžeme parametrizovat jako graf funkce s použitím parametrizace tj. g(u, u ) (u, u, f(u, u )), (u, u ) D f, (4.3) x u, x u, x 3 f(u, u ), (u, u ). Pro tečné vektorové pole listu parametrizovaného jako graf funkce potom platí t (g(u)) (u) (,, f(u) ) ), u u t (g(u)) (u) (,, f(u) ) ). u u (4.4) (4.5) Odtud pro normálové vektorové pole listu parametrizovaného jako graf funkce dostáváme ( n(g(u)) t (g(u)) t (g(u)) f(u), f(u) ),. (4.6) u u
4.. ST V PROSTORU R 3 A JEHO PARAMETRZACE 5 Orientace listu Nechť je list v R 3. Spojité normálové vektorové pole ν takové, že pro každý bod a je ν(a), nazýváme orientací listu a list s orientací ν nazýváme orientovaným listem. Každý list R 3 má dvě navzájem opačné orientace. Je-li list s orientací ν, pak symbolem označíme tentýž list s orientací ν. Orientaci listu pomocí normálového vektorového pole ν odpovídá i orientace τ jeho kraje. Budeme říkat, že orientace τ kraje listu je koherentní s orientací ν listu právě tehdy, když při pohledu na list ve směru normálového pole je směr tečného pole kraje směrem pohybu hodinových ručiček. Nechť g() je list, g: R 3 jeho parametrizace a nechť a g(u) pro nějaké u (u, u ). Podívejme se poněkud podrobněji na to, jak parametrizace g listu určuje jeho orientaci. Vektory u (u), u (u) (4.7) jsou lineárně nezávislé tečné vektory listu. Zvolíme-li jejich pořadí, pak jejich vektorový součin v tomto pořadí udává jednu z obou možných orientací listu. V bodě a g(u) g(u, u ), (u, u ), je předpisem definován vektor normály v bodě a a předpisem n(a) u (u) u (u) (4.8) n (x) n(x) n(x), x, (4.9) je definováno jednotkové vektorové pole n normál, které dává orientaci listu. O této orientaci říkáme, že je na listě indukovaná parametrizací. Tato orientace může být souhlasná nebo nesouhlasná se zadanou orientací. Orientace listu parametrizovaného jako graf funkce Předpokládejme, že je dána funkce h: R R 3 mající spojité parciální derivace na nějaké otevřené množině A D h a nechť A je přípustná množina. Pak část {(x, y, z) z h(x, y), (x, y) }, (4.) grafu funkce h je listem. Takový list můžeme vždy parametrizovat jako graf funkce pomocí parametrizace x g (u, u ) u, y g (u, u ) u, z g 3 (u, u ) h(u, u ), (u, u ). (4.) Pak pro tečná vektorová pole na listě platí (,, h ), u u (,, h ) u u a jeho orientace indukovaná parametrizací je určena normálovým polem (4.) n(g(u)) (u) ( (u) h (u), h ) (u),. (4.3) u u u u
6 KAPTOA 4. POŠNÉ NTEGRÁY Vidíme, že projekce vektoru n(g(u)) do osy z má velikost jedna a směr kladné poloosy z. To znamená, že normálový vektor svírá s osou z ostrý úhel. Orientace plochy Nechť P je plocha a nechť,,..., m je její rozklad na listy. Říkáme, že plocha P je orientovaná právě tehdy, když každý z listů i, i,,..., m, je orientován normálovým polem n i, a to tak, že pro každé dva listy i, j mající společný kraj mají vektorová tečná pole τ i, τ j, odpovídající koherentní orientaci krajů, opačné směry. Ne každou plochu lze orientovat. ze-li plochu orientovat, pak ji lze orientovat pomocí právě dvou navzájem opačných orientací daných navzájem opačnými normálovými vektory. Normálové pole n nemusí být definováno na celé ploše P. Někdy jej nelze dodefinovat v bodech krajů listů. To však při výpočtech nevadí, protože jsou to zanedbatelné množiny. Příklady. Budeme se zabývat listem, který je částí rotačního paraboloidu z x y, z. Budeme jej parametrizovat jako graf funkce g(u) (u, u, u u ), u (u, u ) {u R u + u )}. Pro tečná vektorová pole t (g(u)), t (g(u)) dostáváme (viz obr. 4. a) ) t (g(u)) u (u) (,, u ), t (g(u)) u (u) (,, u ). Zvolíme-li např. ũ (, ), pak v bodě a g(ũ) (,, 7 ) dostaneme dva tečné 4 4 4 4 8 vektory ( t (a) t (g(ũ)) t 4, 4, 7 ) (,, ), 8 ( t (a) t (g(ũ)) t 4, 4, 7 ) 8 (,, ). x t z t a) n y æ x z t t n b) y æ Obrázek 4.: lustrace k. a. příkladu
4.. ST V PROSTORU R 3 A JEHO PARAMETRZACE 7 Pro normálové vektorové pole dostáváme n(g(u)) t (g(u)) t (g(u)) (u, u, ). Normálový vektor v bodě a g(ũ) ( 4, 4, 7 8 ) je ( n(a) n(g(ũ)) n 4, 4, 7 ( 8), ),.. Budeme se opět zabývat listem, který je částí rotačního paraboloidu z x y, z, ale nyní použijeme polární souřadnice x ϱ sin ϕ, y ϱ cos ϕ, ϕ (, π), ρ (, ). (4.4) Připomeňme, že touto parametrizací která vlastně parametrizací ve smyslu naší definice není jsme se podrobněji zabývali v diferenciálním počtu funkcí více proměnných při studiu regulárních zobrazení. K téže problematice jsme se vrátili ve druhé kapitole tohoto textu v souvislosti s používáním polárních souřadnic u substituční metody pro dvojný integrál. Tam jsme se zmínili o jistých problémech s prostotou zobrazení definovaného pomocí polárních souřadnic a domluvili jsme se na jistých terminologických konvencích. Pokud si čtenář na tento rozbor již nevzpomíná, doporučujeme, aby si text o polárních souřadnicích ve druhé kapitole znovu prohlédl. Pokračujme nyní v našem příkladě. Dosadíme do rovnic popisujících list v kartézských souřadnicích a dostaneme parametrizaci g danou vztahy x ϱ sin ϕ, y ϱ cos ϕ, z ϱ, ϕ (, π), ρ (, ). (4.5) Pro tečné vektory v bodě a g(ũ) (,, 7 ) nyní platí (viz také obr. 4. b)) 4 4 8 t (a) ( ρ (ũ) sin π 4, cos π ) 4, (,, ), t (a) ϕ (ũ) ( 4 cos π 4, 4 sin π ) 4, (,, ). 4 Podobně pro vektor normály v bodě a dostáváme n(a) t (a) t (a) (,, ) (,, ) 8 (,, ). (4.6) 8 3. Budeme se ještě jednou zabývat týmž listem, avšak nyní použijeme polární souřadnice x ϱ cos ϕ, y ϱ sin ϕ, ϕ (, π), ρ (, ). (4.7) Na obr. 4. b) můžeme sledovat, jak se nyní změní příslušné vektory. Dosadíme opět do rovnic popisujících list v kartézských souřadnicích a dostaneme parametrizaci g : x ϱ cos ϕ, y ϱ sin ϕ, z ϱ, ϕ (, π), ρ (, ). (4.8)
8 KAPTOA 4. POŠNÉ NTEGRÁY Zvolme opět bod ũ (, ). Pak je ϱ cos ϕ, ρ sin ϕ. Z těchto rovností 4 4 4 4 snadno spočteme, že je ϱ, ϕ π. Pro tečné vektory v bodě a g(ũ) ( 4 4,, ) 7 4 4 8 nyní dostáváme t (a) ρ (ũ) ( cos π 4, sin π 4, ) (,, ), t (a) ϕ (ũ) ( 4 sin π 4, 4 cos π ) 4, (,, ). 4 Vektor normály v bodě a g(ũ) ( 4, 4, 7 8 ) je n(a) t (a) t (a) (,, ) (,, ) (,, ). (4.9) 8 8 Porovnáme-li vztahy (4.9) a (4.6) zjistíme, že polární souřadnice (4.7) a (4.4) indikují na vyšetřovaném listu navzájem opačné orientace. To se však dalo očekávat, protože polární souřadnice (4.7) jsme dostali z polárních souřadnic (4.4) výměnou souřadnicových os. 4. Plošný integrál. druhu Klíčová slova: plošný obsah listu, plošný integrál. druhu funkce f po listu, neorientovaný plošný integrál, element plošného obsahu listu, element hmotnosti listu 4.. Plošný integrál. druhu po listu Plošný obsah listu Nechť je list a g: R 3 jeho parametrizace. Pomocí věty o substituci ve dvojném integrálu se dá ukázat, že pro plošný obsah listu platí ω() (u) (u) u u du du, (4.) kde vpravo je dvojný Riemannův integrál. Hodnota veličiny ω() závisí pouze na listu a nezávisí na jeho parametrizaci. Vztah (4.) nás vede k následující definici. Definice plošného integrálu. druhu pro list Nechť je list v R 3, nechť g : R 3 je jeho parametrizace a nechť f: R je daná funkce. Existuje-li Riemannův integrál f(g(u)) (u) (u) u u du du, pak číslo f ds f(g(u)) (u) (u) u u du du (4.)
4.. POŠNÝ NTEGRÁ. DRUHU 9 nazýváme plošným integrálem. druhu funkce f po listu (také neorientovaným plošným integrálem). Poznámka k výpočtu integrálu Často se setkáváme se situací, že list je část grafu nějaké funkce h(u, u ), tj. pro nějakou přípustnou oblast D h je {(x, x, x 3 ) R 3 x 3 h(x, x ), (x, x ) }. (4.) Je-li g (g, g, g 3 ) parametrizace listu jako grafu funkce, tj. g (u, u ) u, g (u, u ) u, g 3 (u, u ) h(u, u ), (u, u ), (4.3) pak takže (u) ( ) (u) u u h + (g(u)) + x ( ) h f ds f(g(u)) + (g(u)) + x ( ) h (g(u)), (4.4) x ( ) h (g(u)) du du. (4.5) x Nechť g() je list, kde g (g, g, g 3 ) je jeho parametrizace. Potom platí u u det u, u, 3 u 3 u, det 3 u, 3 u, u u, det u, u, u u. Odtud a ze známé identity vektorové algebry a b a b a b plyne kde E u nebo po rozepsání do složek u n u u EG F, (4.6), G u, F u u, (4.7) ( ) ( ) ( ) 3 + +, u u u u ( ) ( ) ( ) 3 + +, u u u (4.8) + + 3 3. u u u u u u u u
3 KAPTOA 4. POŠNÉ NTEGRÁY Veličiny E, G a F se nazývají Gaussovy koeficienty plochy a jsou pro plochu charakteristické. Element plošného obsahu Srovnání vztahu (4.) s definičním vztahem (4.) ukazuje, že vzorec pro výpočet plošného obsahu listu můžeme psát ve tvaru ω() (u) (u) u u du du ds. (4.9) Je tedy přirozené mluvit o ds (u) (u) u u du du (4.3) jako o elementu plošného obsahu listu. Udává-li skalární funkce f(x) hustotu v bodě x a je-li x g(u, u ) pro (u, u ), pak je přirozené mluvit o jako o elementu hmotnosti listu. Příklady f(x) ds f(g(u)) (u) (u) u u du du (4.3). Budeme počítat hodnotu plošného integrálu po listu (x + y ) ds {(x, y, z) R 3 (z x y ) (z )}. a) Nejdříve budeme úlohu řešit tak, že budeme list parametrizovat jako graf funkce g(u, v) (u, v, u v ), {(u, v) R u + v }. Pak je n(g(u, v)) + 4u + 4v, a tedy (x + y ) ds u (u + v ) + 4u + 4v dv du u 4 u ϱ cos ϕ, < ϱ <, v ϱ sin ϕ, < ϕ < π u (u + v ) + 4u + 4v dv du 4 π ϱ 3 + 4ρ dϱ dϕ π ϱ 3 + 4ϱ dϱ
4.. POŠNÝ NTEGRÁ. DRUHU 3 + 4ϱ t, 8ϱdϱ dt ϱ t ϱ t 5 π 5 4 t 4 t/ dt π 6 (5 5 + ). b) Nyní budeme tutéž úlohu řešit tak, že zvolíme parametrizaci pomocí polárních souřadnic x ϱ cos ϕ, y ϱ sin ϕ. Dosazením do kartézských rovnic listu dostaneme parametrizaci g(ϱ, ϕ) (ϱ cos ϕ, ϱ sin ϕ, ϱ ), {(ϱ, ϕ) R ( < ϱ < ) ( < ϕ < π)}. Pro normálové vektorové pole pak platí n(g(ϱ, ϕ)) (cos ϕ, sin ϕ, ρ) ( ϱ sin ϕ, ϱ cos ϕ, ) (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ, ϱ) n(g(ϱ, ϕ)) 4ρ 4 cos ϕ + 4ρ 4 sin ϕ + ϱ ϱ + 4ρ. Po dosazení dostáváme π (x + y ) ds ϱ 3 + 4ρ dϱ dϕ π což je týž integrál, jaký jsme počítali v předchozím případě a).. Budeme počítat hodnotu plošného integrálu ( + x + y) ds po listu ρ 3 + 4ρ dϱ, {(x, y, z) R 3 (x + y + z ) (x ) (y ) (z )}. ist je zobrazen na obr. 4.3 a). K výpočtu integrálu potřebujeme zvolit vhodnou parametrizaci listu. Budeme jej parametrizovat jako graf funkce g(u, v) (u, v, u v), {(u, v) R (u + v ) (u ) (v )}. Pak je takže a tedy 3 n(g(u, v)) (,, ) (,, ) (,, ), n(g(u, v)) + + 3, ( + x + y) ds u 3 dv du ( + u + v) ( + ) du [ 3 ln( + u) ] + u u 3(ln ).
3 KAPTOA 4. POŠNÉ NTEGRÁY z x a) y æ z x b) y æ z x c) y æ Obrázek 4.3: isty z. až 4. příkladu 3. Budeme počítat hodnotu plošného integrálu po listu ( + x + y) ds {(x, y, z) R 3 (x + y ) (x ) (y ) (z )}. ist je zobrazen na obr. 4.3 b). K výpočtu integrálu volíme opět parametrizaci listu jako grafu funkce g(u, v) (u, v, ), {(u, v) R (u + v ) (u ) (v )}. Pak je n(g(u, v)) (,, ) (,, ) (,, ), takže n(g(u, v)), a tedy ( + x + y) ds u ( + u + v) dv du ln, kde poslední integrál byl spočítán v předchozím příkladě. 4. Budeme počítat hodnotu plošného integrálu po listu ( + x + y) ds {(x, y, z) R 3 (x + z ) (x ) (y ) (z )}. ist je zobrazen na obr. 4.3 c). K výpočtu integrálu volíme opět parametrizaci listu jako grafu funkce g(u, v) (u,, v), {(u, v) R (u + v ) (u ) (v )}.
4.. POŠNÝ NTEGRÁ. DRUHU 33 Pak je n(g(u, v)) (,, ) (,, ) (,, ), takže n(g(u, v)), a tedy ( + x + y) ds u dv du ( + u) u ( + u) du ( + u) du du ln. + u 5. Budeme počítat hodnotu plošného integrálu (x + y ) ds po listu {(x, y, z) R 3 (x + y ) (z )}. ist je průnikem válce s osou v ose z a roviny z, takže je to jednotkový kruh. K výpočtu daného integrálu volíme opět parametrizaci listu jako grafu funkce g(u, v) (u, v, ), {(u, v) R u + v }. Pak je n(g(u, v)) (,, ) (,, ) (,, ), takže n(g(u, v)), a tedy (x + y ) ds u (u + v ) dv du u u ϱ cos ϕ v ϱ sin ϕ π ϱ 3 dϱdϕ π. 6. Budeme počítat hodnotu plošného integrálu (x + y ) ds po listu {(x, y, z) R 3 (x + y z ) (z ) (x + y )}. ist je částí kuželové plochy, která leží ve válci s osou v ose z a v horním poloprostoru ( kornout ) (viz obr. 4.4 a) ). K výpočtu integrálu volíme opět parametrizaci listu jako grafu funkce Pak je g(u, v) (u, v, u + v ), {(u, v) R u + v }. n(g(u, v)) (,, u v ) (,, u + v u + v ) ( u u + v, v u + v, ),
34 KAPTOA 4. POŠNÉ NTEGRÁY z z r x a) y æ r x b) r y æ Obrázek 4.4: lustrace k 6. a 7. příkladu takže Můžeme tedy počítat n(g(u, v)) + u u + v + v u + v. (x + y ) ds u u (u + v ) dv du π, kde poslední integrál byl počítán v předchozím příkladě. 7. Budeme počítat hodnotu plošného integrálu (r x z ) ds, r >, po listu {(x, y, z) R 3 (x + y + z r ) (x ) (y ) (z )}. ist je osmina sféry o poloměru r (viz obr. 4.4 b) ), kterou můžeme chápat jako graf funkce y r x z. K výpočtu integrálu volíme opět parametrizaci listu jako grafu funkce g(u) (u, r u v, v), {(u, v) R ( v r) ( u v )}. Pak ( ) u (u, v), u r u v,, ( ) v (u, v), v r u v,. Pro normálové vektorové pole pak platí ( n(g(u, v)) u r u v,, v r u v ),
4.. POŠNÝ NTEGRÁ. DRUHU 35 takže n(g(u, v)) r r u v. Nyní můžeme počítat (r x z ) ds r r v (r u v r ) du dv r u v r r r v r u v du dv u rϱ cos ϕ, < ϱ < v rϱ sin ϕ, < ϕ < π r 3 π ϱ ϱ dϕ dϱ πr3 6. Úlohy Máme najít hodnotu plošného integrálu. z x + y ds po listu {(x, y, z) R 3 (x + y + z r ) ( z )}. [πr 4 /3.]. xyz ds po listu {(x, y, z) R 3 (z x +y ) (z )}. [(5 5 )/4.] 3. (x + y + z) ds po listu {(x, y, z) R 3 (x + y + z r ) (z )}. [πr 3.] 4. z ds po listu {(x, y, z) R 3 (z x + y ) (z )}. [π(5 5 + )/6.] 5. (y z + z x + x y ) ds po listu tvořeném průnikem kuželové plochy o rovnici 6. z k (x + y ) s válcem x + y ax. [πa 6 + k (7 + 8k )/4.] ds r z po listu {(x, y, z) R3 (x + y r ) ( z h r)}. [πr arcsin(h/r).] 7. x y ds po části sféry x + y + z r, r >, ležící v poloprostoru z >. [πr 6 /5.] 8. z ds po listu {(x, y, z) R 3 (z x + y ) ( < z < )}. [4π /3.] 9. ds x + y po listu {(x, y, z) R3 (z xy) (x + y r )}, r >. [π(r r + + ln(r + r + )).]
36 KAPTOA 4. POŠNÉ NTEGRÁY 4.. Plošný integrál. druhu po ploše Definice plošného integrálu. druhu po ploše Je dána plocha P R 3 a její rozklad na listy,,..., m. Nechť g j : j R 3 je parametrizace listu j, j,,..., m. Nechť f: P R je daná funkce. Existují-li plošné integrály po listech f ds, j,,... m, pak číslo j P f ds m j j f ds (4.3) nazýváme plošným integrálem. druhu funkce f po ploše P (také neorientovaným plošným integrálem). Plošný integrál má analogické vlastnosti jako dvojný integrál (aditivita vzhledem k integrandu a integračnímu oboru apod.). Jeho hodnota nezávisí na orientaci plochy ani na zvolené parametrizaci. Příklady. Máme najít hodnotu plošného integrálu (x + y ) ds po ploše P, kde (viz obr. 4.4 a) ) P {(x, y, z) R 3 x + y z ) (z > ) (x + y < )}, {(x, y, z) R 3 (x + y < ) (z )}. Plošné integrály po listech, jsme počítali v příkladech 4...6 a 4...5. Tam jsme dostali (x + y ) ds π, (x + y ) ds π. Nyní stačí sečíst tato dvě čísla (x + y ) ds (x + y ) ds + (x + y ) ds π + π π ( + ). P. Máme najít hodnotu plošného integrálu ( + x + y) ds P přes povrch čtyřstěnu s vrcholy v bodech (,, ), (,, ), (,, ), (,, ) Plochu P můžeme rozložit na čtyři listy P 3 4, kde {(x, y, z) R 3 (x + y + z ) (x ) (y ) (z )}, {(x, y, z) R 3 (x + y ) (x ) (y ) (z )}, 3 {(x, y, z) R 3 (x + y ) (x ) (y ) (z )}, 4 {(x, y, z) R 3 (x + y ) (x ) (y ) (z )}.
4.. POŠNÝ NTEGRÁ. DRUHU 37 Plošné integrály po listech,, 3 jsme počítali v příkladech 4... až 4...4. Tam jsme dostali ( + x + y) ds 3(ln ), ds ln. ( + x + y) 3 ( + x + y) ds ln, Vzhledem k tomu, že listy 3 a 4 mají symetrické podmínky vzhledem k souřadnicím x a y a integrand je rovněž symetrický v těchto proměnných, platí ( + x + y) ds 4 ds ( ln ). ( + x + y) 3 Máme tedy k disposici hodnoty všech čtyř integrálů po listech tvořících zadanou plochu. Hledaný integrál nyní dostaneme jako součet hodnot jednotlivých integrálů přes listy P ( + x + y) ds 3(ln )+(ln )+( ln ) ( 3 ) ln + (3 3). 3. Máme najít hodnotu plošného integrálu r x z ds po kulové ploše x + y + z r r >. P Kulová plocha (sféra) je uzavřená plocha P, kterou můžeme rozložit například na dva listy, a to na polosféry P, kde {(x, y, z) R 3 (y r x z ) (x + z r )}, {(x, y, z) R 3 (y r x z ) (x + z r )}. Budeme nejdříve počítat hodnotu plošného integrálu r x z ds. Pro jeho výpočet zvolíme parametrizaci pomocí sférických souřadnic g(ϑ, ϕ) (r cos ϑ cos ϕ, r cos ϑ sin ϕ, r sin ϑ), < ϑ < π, π < ϕ < π. Odtud pro tečná vektorová pole dostáváme (ϑ, ϕ) ( r sin ϑ cos ϕ, r sin ϑ sin ϕ, r cos ϑ), ϑ
38 KAPTOA 4. POŠNÉ NTEGRÁY (ϑ, ϕ) ( r cos ϑ sin ϕ, r cos ϑ cos ϕ, ). ϕ Jejich vektorový součin dává vektorové pole normál n(g(ϑ, ϕ)) r cos ϑ(cos ϑ cos ϕ, cos ϑ sin ϕ, sin ϑ). Zřejmě je n(g(ϑ, ϕ)) r cos ϑ. Po dosazení parametrizace do integrandu dostaneme r r cos ϑ cos ϕ r sin ϑ r (cos ϑ + sin ϑ) r cos ϑ cos ϕ r sin ϑ r cos ϑ r cos ϑ cos ϕ r cos ϑ sin ϕ r cos ϑ sin ϕ. Vzhledem k symetrii integrandu i integračního oboru stačí spočítat hodnotu integrálu přes osminu sféry ležící v prvním oktantu, tj. pro ϑ π/, ϕ π/ a výsledek vynásobit čtyřmi. Je tedy r x z ds 4 π/ π/ r 3 cos ϑ sin ϕ dϑ dϕ πr 3. Z uvedené symetrie plyne rovněž, že i pro hodnotu druhého plošného integrálu platí r x z ds πr 3. Odtud vzhledem k definici plošného integrálu platí r x z ds r x z ds + r x z ds πr 3. P Úlohy Vypočtěte hodnotu plošného integrálu. P (x + y + z) ds po hranici jednotkové krychle P (, ) (, ) (, ). [9.]. z ds po plášti čtyřbokého jehlanu P {(x, y, z) R 3 ( x + y +z ) (z )}. P [ 3/3.] 3. x + y ds po sféře P {(x, y, z) R 3 x + y + z r }. P [π r 3.]
4.. POŠNÝ NTEGRÁ. DRUHU 39 4..3 Některé aplikace plošného integrálu Uvedeme některé geometrické a fyzikální aplikace plošného integrálu. Příslušné vzorce uvedeme pro tři různé způsoby zadání listu a pro tři různá zadání rotačních ploch. Funkce σ příslušných proměnných značí ve vzorcích vždy rozložení hmotnosti. a) ist je zadán jako graf funkce z f(x, y), (x, y), kde je nějaká přípustná oblast v R ; b) ist je zadán parametricky x g (u, v), y g (u, v), z g 3 (u, v), (u, v), kde je nějaká přípustná oblast v R. Konstanty E, F a G v těchto vzorcích jsou příslušné Gaussovy koeficienty listu a jsou dány vztahy (4.7); c) ist je zadán pomocí polárních souřadnic jako graf funkce z z(ϱ, ϕ), (ϱ, ϕ), kde {(ϱ, ϕ) (ϕ ϕ ϕ ) (ϱ (ϕ) ϱ ϱ (ϕ)). d) Rotační plocha P vznikla rotací grafu funkce y f(x), x x, x kolem osy x. e) Rotační plocha P vznikla rotací oblouku O zadaného parametricky x g (t), y g (t), t t, t, g (t) ġ (t) > kolem osy x. f) Rotační plocha P vznikla rotací oblouku O zadaného pomocí polárních souřadnic ϱ ϱ(ϕ), ϕ ϕ ϕ π, < ϱ, kolem polární osy x.. Plošný obsah s(), (s(p)). a) s() b) s() ( ) ( ) f(x, y) f(x, y) + + dx dy. x y EG F du dv. c) s() ϕ d) s() π ϱ (ϕ) ϕ ϱ (ϕ) x ϱ + ϱ ( z(ϱ, ϕ) ϱ f(x) + (f (x)) dx π ) ( ) z(ϱ, ϕ) + dϱ dϕ. ϕ x y + y dx. x x t e) s() π t g (t) (ġ (t)) + (ġ (t)) dt π y ẋ + ẏ dt. t t f) s() π ϕ ϕ ϱ(ϕ) sin ϕ (ϱ(ϕ)) + ( ϱ(ϕ)) dϕ.
4 KAPTOA 4. POŠNÉ NTEGRÁY. Hmotnost m(), (m(p)). ( ) ( ) f(x, y) f(x, y) a) s() σ(x, y) + + dx dy. x y b) s() σ(u, v) EG F du dv. c) s() ϕ ϱ (ϕ) ϕ ϱ (ϕ) d) m() π x ( ) ( ) z(ϱ, ϕ) z(ϱ, ϕ) σ(ϱ, ϕ) ϱ + ϱ + dϱ dϕ. ϱ ϕ f(x)σ(x) + (f (x)) dx π x yσ + y dx. x x t e) m() π t g (t)σ(t) (ġ (t)) + (ġ (t)) dt π yσ ẋ + ẏ dt. t t f) m() π ϕ ϕ σ(ϕ)ϱ(ϕ) sin ϕ (ϱ(ϕ)) + ( ϱ(ϕ)) dϕ. Analogicky se počítá celkový náboj. V tomto případě může hustota σ náboje nabývat i záporných hodnot. 3. Statický moment S xy (), (S xy (P)) vzhledem k rovině xy, S yz (), (S yz (P)) vzhledem k rovině yz, S xz (), (S xz (P)) vzhledem k rovině xz. ( ) ( ) f(x, y) f(x, y) a) S xy () f(x, y)σ(x, y) + + dx dy. x y S yz () ( ) ( ) f(x, y) f(x, y) xσ(x, y) + + dx dy. x y ( ) ( ) f(x, y) f(x, y) S xz () yσ(x, y) + + dx dy. x y b) S xy () S yz () z(u, v)σ(u, v) EG F du dv. x(u, v)σ(u, v) EG F du dv.
4.. POŠNÝ NTEGRÁ. DRUHU 4 S xz () y(u, v)σ(u, v) EG F du dv. c) S xy () S yz () S xz () ϕ ϱ (ϕ) ϕ ϱ (ϕ) ϕ ϱ (ϕ) ϕ ϱ (ϕ) ϕ ϱ (ϕ) ϕ ϱ (ϕ) d) S xy (P) S xz (P) ; S yz (P) π x ( ) ( ) z(ϱ, ϕ) z(ϱ, ϕ) z(ϱ, ϕ)σ(ϱ, ϕ) ϱ + ϱ + dϱ dϕ. ϱ ϕ ( ) ( ) z(ϱ, ϕ) z(ϱ, ϕ) ϱ cos ϕσ(ϱ, ϕ) ϱ + ϱ + dϱ dϕ. ϱ ϕ ( ) ( ) z(ϱ, ϕ) z(ϱ, ϕ) ϱ sin ϕσ(ϱ, ϕ) ϱ + ϱ + dϱ dϕ. ϱ ϕ xf(x)σ(x) + (f (x)) dx π x xyσ + y dx. x x e) S xy (P) S xz (P) ; t S yz (P) π t g (t)g (t)σ(t) (ġ (t)) + (ġ (t)) dt π xyσ ẋ + ẏ dt. t t f) S xy (P) S xz (P) ; S yz (P) π ϕ ϕ ϱ (ϕ)σ(ϕ) sin ϕ cos ϕ (ϱ(ϕ)) + ( ϱ(ϕ)) dϕ. 4. Souřadnice x t (), y t (), z t () (x t (P), y t (P), z t (P)) těžiště x t () S yz() m(), y t() S xz() m(), z t() S xy() m(). 5. Momenty setrvačnosti x (), ( x (P)) vzhledem k ose x, y () vzhledem k ose y, z () vzhledem k ose z. ( ) ( ) a) x () [y + f f(x, y) f(x, y) (x, y)]σ(x, y) + + dx dy. x y y () ( ) ( ) [x + f f(x, y) f(x, y) (x, y)]σ(x, y) + + dx dy. x y
4 KAPTOA 4. POŠNÉ NTEGRÁY z () ( ) ( ) (x + y f(x, y) f(x, y) )σ(x, y) + + dx dy. x y b) x () [y (u, v) + z (u, v)]σ(u, v) EG F du dv. y () [x (u, v) + z (u, v)]σ(u, v) EG F du dv. z () [x (u, v) + y (u, v)]σ(u, v) EG F du dv. c) x () ϕ ϱ (ϕ) ϕ ϱ (ϕ) ( ) ( ) [ϱ sin ϕ + z z(ϱ, ϕ) z(ϱ, ϕ) (ϱ, ϕ)]σ(ϱ, ϕ) ϱ + ϱ + dϱ dϕ. ϱ ϕ y () ϕ ϱ (ϕ) ϕ ϱ (ϕ) ( ) ( ) [ϱ cos ϕ + z z(ϱ, ϕ) z(ϱ, ϕ) (ϱ, ϕ)]σ(ϱ, ϕ) ϱ + ϱ + dϱ dϕ. ϱ ϕ z () ϕ ϱ (ϕ) ϕ ϱ (ϕ) ( ) ( ) ϱ z(ϱ, ϕ) z(ϱ, ϕ) σ(ϱ, ϕ) ϱ + ϱ + dϱ dϕ. ϱ ϕ x d) x (P) π (f(x)) 3 σ(x) + (f (x)) dx π x x x y 3 σ + y dx. t t e) x (P) π (g (t)) 3 σ(t) (ġ (t)) + (ġ (t)) dt π y 3 σ ẋ + ẏ dt. t ϕ f) x (P) π (ϱ(ϕ)) 3 σ(ϕ) sin 3 ϕ (ϱ(ϕ)) + ( ϱ(ϕ)) dϕ. ϕ t
4.3. POŠNÝ NTEGRÁ. DRUHU 43 4.3 Plošný integrál. druhu Klíčová slova: orientace listu, orientovaný list, koherentní orientace kraje listu, orientace listu indukovaná parametrizací, plošný integrál. druhu funkce f po listě, orientovaný plošný integrál, elementu toku vektorového pole listem 4.3. Plošný integrál. druhu po listě Element toku vektorového pole listem Při definici plošného integrálu. druhu jsme vycházeli z geometrické interpretace a zavedli jsme pojem elementu plošného obsahu listu. nyní budeme postupovat analogicky, jenomže místo geometrické interpretace využijeme fyzikální interpretaci a budeme se zabývat tokem vektorového pole f listem. Je-li g(u) parametrizace listu, pak n (g(u)) n(g(u)) n(g(u)) (u) (u) u u (u) (u) u u (4.33) je jednotkové normálové pole listu a skalární součin f(g(u)) n (g(u)) představuje tok vektorového pole f jednotkovou plochou ve směru normálového vektoru listu v bodě x g(u). Je tedy přirozené nazývat součin f(x) n (x) ds (4.34) elementem toku vektorového pole f. Tato úvaha nás vede k následující definici orientovaného plošného integrálu. Definice plošného integrálu. druhu po listě Nechť R 3 je list orientovaný normálovým vektorovým polem ν. Nechť g: R 3 je jeho parametrizace indukující na něm orientaci n souhlasnou se zadanou orientací ν a nechť f: R 3 je dané vektorové pole. Existuje-li neorientovaný plošný integrál (f n ) ds, (4.35) kde integrand je skalární součin zadané vektorové funkce f a jednotkového normálového vektorového pole n, pak pro toto číslo používáme označení f ds (f n ) ds (4.36) a nazýváme je plošným integrálem. druhu vektorového pole f po listě (také orientovaným plošným integrálem). Poznámky. Místo právě použité symboliky se používá i zápis f ds.
44 KAPTOA 4. POŠNÉ NTEGRÁY. Orientace listu určené vektory n a n jsou navzájem opačné. Odtud plyne, že i hodnota orientovaného integrálu téhož pole po témže listu závisí na orientaci. Pro navzájem opačné orientace se tyto hodnoty integrálů liší znaménkem. 3. Zapišme integrál (4.35) ve tvaru, v němž se nejčastěji používá pro výpočet. Uvědomme si nejdříve, že neorientovaný integrál na pravé straně definiční rovnosti (4.36) orientovaného integrálu můžeme vyjádřit pomocí parametrizace g: R 3 ve tvaru Platí tedy fds f n ds f n n ds f(g(u)) n(g(u)) n(g(u)) n(g(u)) du du ( (u) f(g(u)) u fds f(g(u)) (u) ) du du. u ( (u) ) (u) du du. (4.37) u u Použijeme-li na integrand pravidla pro smíšený součin, dostáváme f n f ( ) u u det f, f, f 3 u, u, u, u, 3 u 3 u ( 3 f ) ( 3 3 + f ) ( 3 + f 3 ). u u u u u u u u u u u u Dostali jsme tak hledané vyjádření integrálu (4.36) pomocí parametrizace ( ( 3 fds f ) 3 u u u u ( 3 + f ) 3 + u u u u ( + f 3 )) du du. u u u u (4.38) 4. Ve speciálním případě, kdy list je graf funkce z z(x, y) a je parametrizován jako graf funkce parametrizací g(x, y) (x, y, z(x, y)), (x, y), je, jak víme, x (x, y) y (x, y) ( z x (x, y), z (x, y), ), y
4.3. POŠNÝ NTEGRÁ. DRUHU 45 a tedy vztah (4.37) můžeme psát ve tvaru fds ( f (x, y, z(x, y)) z x (x, y), f (x, y, z(x, y)) z ) y (x, y), f 3(x, y, z(x, y)) dx dy. (4.39) 5. Podobně jako u křivkového integrálu i u plošného integrálu se používá pro orientovaný integrál zápis fds f dx dx 3 + f dx 3 dx + f 3 dx dx. (4.4) Ukažme nyní jeho oprávněnost. Pro je x g (u, u ), x g (u, u ), x 3 g 3 (u, u ) (4.4) dx u du + u du, dx u du + u du, (4.4) dx 3 3 du + 3 du. u u Definujeme-li součin diferenciálů du i a du j tak, že požadujeme, aby platila rovnost pak nutně platí takže dostáváme dx dx 3 du i du j du j du i, i, j,, (4.43) du i du i, i,, (4.44) ( du + ) ( 3 du du + ) 3 du u u u u dx 3 dx dx dx ( 3 ) 3 du du, u u u u ( 3 du + ) ( 3 du du + ) du u u u u ( 3 ) 3 du du, u u u u ( du + ) ( du du + ) du u u u u ( ) du du, u u u u (4.45)
46 KAPTOA 4. POŠNÉ NTEGRÁY Dosadíme-li nyní do (4.4), dostaneme (4.38). 6. Uvědomme si, že z rovností (4.4) a (4.39) pro vektorovou funkci f (,, f 3 ) a list parametrizovaný jako graf funkce z z(x, y) plyne f 3 dx dy f 3 (x, y, z(x, y)) dx dy. (4.46) Příklady. Máme počítat tok vektorového pole f(x, y, z) (x, y, z ) částí jednotkové sféry ležící v poloprostoru z, orientované ven. Máme počítat plošný integrál. druhu po listu {(x, y, z) R 3 (x + y + z ) (z )} orientovaném například normálovým vektorem ν(,, ) (,, ). Zvolíme parametrizaci g(u, v) (u, v, u v ), (u, v) {(u, v) R u + v }. Pak n(g(u)) f(g(u)) (u, v, u v ), ( ) u u v, v u v,. Jelikož je n (,, ) (,, ) ν(,, ), indukuje zvolená parametrizace orientaci souhlasnou se zadanou orientací. Budeme integrovat funkci f(g(u)) n(g(u)) (u, v, u v ) ( ) u u v, v u v, u + v u v + (u + v ). Odtud f ds x dy dz + y dz dx + z dx dy (f n) ds u +v ( u + v u v + (u + v ) ) du dv π ϱ ( + ϱ ϱ )ϱ dϕdϱ π ϱ ( + ϱ ϱ )ϱ dϱ π 6.
4.3. POŠNÝ NTEGRÁ. DRUHU 47. Máme počítat celkový tok vektorového pole f(x, y, z) (x, y, z) částí paraboloidu z x + y orientovaného dovnitř (viz obr. 4.5 a) ). Máme najít hodnotu plošného integrálu. druhu vektorové funkce f(x, y, z) (x, y, z) po orientovaném listu {(x, y, z) R 3 z x + y } s orientací ν(o) (,, ). ist budeme parametrizovat jako graf funkce g(u, v) (u, v, u + v ), (u, v) {(u, v) R u + v }. Pro výpočet integrandu potřebujeme f(g(u)) (u, v, u + v ), n(g(u)) ( u, v, ), n (o) (,, ) ν(o). Vidíme, že orientace indukovaná parametrizací je souhlasná se zadanou orientací. Můžeme spočítat integrand f(g(u)) n(g(u)) (u, v, u + v ) ( u, v, ) u v + u + v, takže f ds. z z x a) y æ x æ b) y Obrázek 4.5: lustrace k 3. a 4. příkladu Zadané vektorové pole f je tečné vektorové pole listu, takže listem nic neprotéká. 3. Máme počítat tok vektorového pole f(x, y, z) (x, y, z) částí paraboloidu z x + y orientovaného dovnitř (viz obr. 4.5 a) ). Máme najít hodnotu plošného integrálu. druhu vektorové funkce f(x, y, z) (x, y, z) po orientovaném listu {(x, y, z) R 3 z x + y }
48 KAPTOA 4. POŠNÉ NTEGRÁY s orientací ν(o) (,, ). Tato úloha se od předchozí liší jen v zadaném vektorovém poli. Můžeme tedy použít mezivýsledky z předchozího příkladu. Pro f(g(u)) (u, v, u + v ) dostáváme f(g(u)) n(g(u)) (u, v, u +v ) ( u, v, ) u v +u +v u v, takže f ds u +v ( u v ) du dv π ϱ 3 dϕ dϱ π. 4. Máme počítat tok vektorového pole f(x, y, z) (x, y, z) částí roviny x + y + z ležící v prvním oktantu, orientované směrem k počátku (viz obr. 4.5 b) ). Máme najít hodnotu plošného integrálu. druhu vektorové funkce f(x, y, z) (x, y, z) po orientovaném listu {(x, y, z) R 3 (z x y) (x ) (y ) (z )} s orientací ν(x) 3(,, ). Zvolíme parametrizaci 3 g(u, v) (u, v, u v), Pak f(g(u, v)) (u, v, u v), (u, v) {(u, v) R ( u ) ( v u)}. n(g(u, v)) (,, ) (,, ) ν(g(u, v)). Zvolená parametrizace indukuje opačnou orientaci. Dále je takže f(g(u)) n(g(u)) (u, v, u v) (,, ), f ds u dv du ( u) du 4. 5. Máme počítat tok vektorového pole f(x, y, z) (x, y, z) plochou kruhu x + y, z, orientovaného proti orientaci osy z. Máme najít hodnotu plošného integrálu. druhu vektorové funkce f(x, y, z) (x, y, z) po orientovaném listu {(x, y, z) R 3 (x + y ) (z )} s orientací ν(,, ) (,, ). Zvolíme parametrizaci g(u, v) (u, v, ), (u, v) {(u, v) R u + v }. Zřejmě je n (,, ) (,, ) (,, ) ν(,, ), a tedy indukovaná orientace je opačná než zadaná. Dále je takže f(g(u, v)) (u, v, ), f(g(u, v)) n(g(u, v)) (u, v, ) (,, ), f ds du dv π. u +v
4.3. POŠNÝ NTEGRÁ. DRUHU 49 6. Máme počítat tok vektorového pole f(x, y, z) (x, y, z) plochou z + xy, (x, y) <, > <, > orientovanou tak, aby normálový vektor svíral s vektorem e 3 ostrý úhel (viz obr. 4.6 ). z x y æ Obrázek 4.6: K ilustraci plochy z 6. příkladu Máme najít hodnotu plošného integrálu. druhu vektorové funkce f(x, y, z) (x, y, z) po orientovaném listu {(x, y, z) R 3 (z + xy) ( x ) ( y )} s orientací ν(,, ) (,, ). Zvolíme parametrizaci jako graf funkce g(u, v) (u, v, + uv), (u, v) {(u, v) R ( u ) ( v )}. Potom je n(g(u, v)) ( v, u, ), a tedy n (,, ) (,, ) ν(,, ). ndukovaná orientace je stejná jako zadaná. Dále je takže f(g(u, v)) n(g(u, v)) (u, v, + uv) ( v, u, ) uv, f ds f n ds ( uv) du dv 3 4. 7. Máme počítat plošný integrál x dy dz+z dx dy po části kuželové plochy x +y z, z, orientované ven (tj. orientace ν svírá s vektorem e 3 tupý úhel). Máme najít hodnotu plošného integrálu. druhu vektorové funkce f(x, y, z) (x,, z ) po orientovaném listu {(x, y, z) R 3 (z x + y ) ( z )} s orientací ν(,, ) (,, ). Zvolíme parametrizaci pomocí polárních souřadnic g(ϱ, ϕ) (ϱ cos ϕ, ϱ sin ϕ, ϱ), {(ϱ, ϕ) R ( < ϱ < ) ( < ϕ < π)}.
5 KAPTOA 4. POŠNÉ NTEGRÁY Pak ν (,, ) ν(g(, π)) (,, ). Pro vektorové tečné pole dostáváme t (g(u, v)) (cos ϕ, sin ϕ, ), t (g(u, v)) ( ϱ sin ϕ, ϱ cos ϕ, ) a odtud dostaneme vektorové pole normál n(g(u, v)) t (g(u, v)) t (g(u, v)) ( ϱ cos ϕ, ϱ sin ϕ, ϱ). Vidíme, že n (g(, π)) (,, ) ν(g(, π )), a tedy indukovaná orientace je opačná než zadaná. Dále je f(g(ϱ, ϕ)) n(g(ϱ, ϕ)) (ϱ cos ϕ,, ϱ ) ( ϱ cos ϕ, ϱ sin ϕ, ϱ) ϱ 3 ( cos 3 ϕ) takže ϱ 3 ϱ 3 ( sin ϕ) cos ϕ ϱ 3 ϱ 3 cos ϕ + ϱ 3 sin ϕ cos ϕ, f ds f n ds π (ϱ 3 ϱ 3 cos ϕ + ϱ 3 sin ϕ cos ϕ) dϕ dϱ π. Úlohy. Vypočtěte integrál x dy dz + y dz dx + z dx dy, kde list je zadán parametrizací x u cos v, y u sin v, z cv, (u, v) a, b, π, c >, < a < b. [π c(b a ).]. Vypočtěte integrál (y z) dy dz + (z x) dz dx + (x y) dx dy po průniku kulové plochy x +y +z r a válce x +y ax, < a < r, z, orientovaném tak, že normálový vektor svírá s osou z tupý úhel. [.] 3. Vypočtěte integrál x dy dz + y dz dx + z dx dy po části kulové plochy x + y + z ležící v prvním oktantu, orientovaném tak, že normálový vektor svírá s osou z ostrý úhel. [3π/8.] 4. Vypočtěte integrál (z r ) dx dy po části kulové plochy x +y +z rz ležící v pásu < r z r orientované tak, že normálový vektor svírá s osou z ostrý úhel. [πr 4 /.]
4.3. POŠNÝ NTEGRÁ. DRUHU 5 5. Vypočtěte integrál x dy dz + z dx dy po části kužele x + y z ležící v pásu z orientované tak, že normálový vektor svírá s osou z tupý úhel. [ π/.] 6. Vypočtěte integrál y dy dz + x dz dx + z dx dy po části roviny x + y + z ležící v prvním oktantu orientované tak, že normálový vektor svírá s osou z ostrý úhel. [ /6.] 7. Vypočtěte integrál xz dy dz + xy dz dx + yz dx dy po části válcové plochy x + y r, z a, a >, ležící v prvním oktantu a orientované vnější normálou. [r a(r/3 + πa/8).] 8. Vypočtěte tok vektorového pole f(x, y, z) (x, y, z) pláštěm rotačního válce x + y r, z h, orientovaným vnější normálou. [πr h.] 9. Vypočtěte tok vektorového pole f(x, y, z) (x, y, z) pláštěm kužele x + y z, z, orientovaným vnější normálou. [.]. Vypočtěte tok vektorového pole f(x, y, z) (x, y, z) podstavou kužele x + y z, z, orientovanou vnější normálou. [π.] 4.3. Plošný integrál. druhu po ploše Definice plošného integrálu. druhu po ploše Je dána orientovaná plocha P R 3, její rozklad na orientované listy,,..., m a parametrizace g j : j R 3 listu j, j,,..., m, indukující na listech souhlasnou orientaci se zadanou orientací plochy. Nechť f: P R 3 je daná vektorová funkce. Existujíli integrály f ds, j,,... m, j pak číslo P f ds m f ds j j nazýváme plošným integrálem. druhu funkce f po ploše P (také orientovaným plošným integrálem. Poznámka Je-li P orientovaná plocha, pak číslo f ds udává celkový tok vektorového P pole plochou P. Příklady
5 KAPTOA 4. POŠNÉ NTEGRÁY. Počítejme tok vektorového pole f(x, y, z) (x, y, xyz) jednotlivými stěnami jednotkové krychle orientovanými ven z krychle (viz obr. 4.7 ). z 6 x 3 5 4 y æ Obrázek 4.7: K ilustraci plochy z. příkladu Krychle je uzavřená plocha P, kterou můžeme rozložit na šest listů, představujících stěny krychle. Označme P... 6, kde {(x, y, z) R 3 (x, ) (y, ) (z )}, {(x, y, z) R 3 (x, ) (y, ) (z )}, 3 {(x, y, z) R 3 (x ) (y, ) (z, )}, 4 {(x, y, z) R 3 (x ) (y, ) (z, )}, 5 {(x, y, z) R 3 (x, ) (y ) (z, )}, 6 {(x, y, z) R 3 (x, ) (y ) (z, )}. Počítejme integrály po jednotlivých listech. isty parametrizujeme jako grafy konstantních funkcí definovaných na intervalu,, nabývajících tam hodnoty nebo. Přitom musíme parametrizace volit tak, aby vektor normály příslušné stěny směřoval ven z krychle. Postupně dostaneme tyto výsledky. : z, g(u, v) (u, v, ), f(g(u)) (u, v, uv), n(g(u)) (,, ), f(g(u)) n(g(u)) uv, f ds (f n) ds uv du dv 4. : z, g(u, v) (u, v, ), f(g(u)) (u, v, ), n(g(u)) (,, ), f(g(u)) n(g(u)),
4.3. POŠNÝ NTEGRÁ. DRUHU 53 takže takže takže 3 : x, f ds. g(u, v) (, u, v), f(g(u)) (, u, uv), n(g(u)) (,, ), f(g(u)) n(g(u)), f ds f n ds 3 3 4 : x, du dv. g(u, v) (, u, v), f(g(u)) (, u, uv), n(g(u)) (,, ), f(g(u)) n(g(u)) (, u, uv)(,, ), 4 f ds. 5 : y, výpočet analogicky jako po 3, 6 : y, výpočet analogicky jako po 4. Nyní sečteme jednotlivé výsledky přes listy a dostaneme P 6 f ds f ds j 4 + + + + + 9 4. j. Máme počítat tok vektorového pole f(x, y, z) (x, y, z) kulovou plochou x + y + z a orientovanou ven. Kulová plocha (sféra) je uzavřená plocha P, kterou můžeme rozložit na dva listy, představující horní a dolní polosféru. Označme P, kde {(x, y, z) R 3 (z a x y ) (x + y a )}, {(x, y, z) R 3 (z a x y ) (x + y a )}. Vektorové pole f i plocha P jsou symetrické vzhledem k počátku, takže stačí vypočítat tok horní polosférou a celkový tok sférou bude pak jeho dvojnásobek. Budeme tedy počítat hodnotu orientovaného plošného integrálu P f ds f ds x dy dz + y dz dx + z dx dy (f n) ds po orientovaném listu s orientací ν(/, /, /) (/, /, /). Zvolíme parametrizaci pomocí sférických souřadnic g(ϕ, ϑ) (a cos ϕ cos ϑ, a sin ϕ cos ϑ, a sin ϑ), < ϕ < π, ϑ < π.
54 KAPTOA 4. POŠNÉ NTEGRÁY Odtud pro tečná vektorová pole dostáváme (ϕ, ϑ) ( a sin ϕ cos ϑ, a cos ϕ cos ϑ, ), ϕ (ϕ, ϑ) ( a cos ϕ sin ϑ, a sin ϕ sin ϑ, a cos ϑ). ϑ Jejich vektorový součin dává vektorové pole normál n(g(ϕ, ϑ)) a cos ϑ(cos ϕ cos ϑ, sin ϕ cos ϑ, sin ϑ). Zřejmě je n (g(π/4, π/4)) (/, /, /) ν(/, /, /)). Parametrizace indukuje souhlasnou orientaci. Dále je Je tedy f(g(ϕ, ϑ)) n(g(ϕ, ϑ)) a 3 cos ϑ(cos ϕ cos ϑ, sin ϕ cos ϑ, sin ϑ) (cos ϕ cos ϑ, sin ϕ cos ϑ, sin ϑ) a 3 cos ϑ(cos ϕ cos ϑ + sin ϕ cos ϑ + sin ϑ) a 3 cos ϑ. x dy dz + y dz dx + z dx dy (f n) ds π π/ a 3 cos ϑ dϑ dϕ πa 3. f ds x dy dz + y dz dx + z dx dy 4πa 3. Dostali jsme tak f ds P Úlohy æ. Vypočtěte tok vektorového pole f(x, y, z) (x, y, z) povrchem kužele x + y z, z, orientovaným vnějším normálovým vektorem. [π.]. Vypočtěte tok vektorového pole f(x, y, z) (x, y, z) sférou x + y + z r orientovanou vnějším normálovým vektorem. [6πr 3 /3.] 3. Vypočtěte integrál P xz dy dz + yz dz dx + x dx dy po jednotkové sféře x + y + z orientované vnějším normálovým vektorem. 4. Vypočtěte integrál P x dy dz + y dz dx + dx dy z po elipsoidu x /a +y /b +z /c orientovaném vnějším normálovým vektorem. [.] [4π(a b + a c + b c )/abc.]