M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 16: Fourierovy řady 1 16 Fourierovy řady 16.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních" periodických funkcí? Konkrétněji: lze každou π-periodickou funkci napsat jako součet "sinů a kosinů"? 1 sin x + 1 6 cos 3x + 1 9 sin1x + 1 7 cos 5x Škálování: a k cos(kx, b k sin(kx = řada typu c + k N(a k cos(kx + b k sin(kx, c, a k, b k R. Využití komplexní exponenciály: cos(kx = eikx +e ikx, sin(kx = eikx e ikx i c k e ikx, c k C. k Z p-periodicita místo π-periodicity: faktor π p. = řada typu Definice. Reálným trigonometrickým (p-periodickým polynomem řádu n rozumíme funkci tvaru x a n ( π + a k cos p kx, kde n N, a k, b k R, (k =,...,n, p >. Komplexním trigonometrickým (p-periodickým polynomem řádu n rozumíme funkci tvaru x n k= n kde n N {}, c k C, (k = n,...,n, p >. c k e π p ikx, Definice. Reálnou trigonometrickou (p-periodickou řadou rozumíme řadu funkcí a + a k cos p kx, kde a k, b k R, k N, p >. Komplexní trigonometrickou (p-periodickou řadou rozumíme řadu funkcí kde c k C, k Z, p >. c k e π p ikx,
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 16: Fourierovy řady Obr.: Aproximace spojité, po částech hladké funkce, pomocí trigonometrického polynomu řádu n. Obr.: Aproximace nespojité, po částech hladké funkce, pomocí trigonometrického polynomu řádu n. Cvičení. Ukažte, že pokud pro všechna x R platí a + n kde a k, b k R, c k C, p >, pak a k cos p kx = a k = c k + c k, c k = a k ib k b k = i(c k c k, c k = a k + ib k a = c, c = a. n k= n, k N,, k N, c k e π p ikx,
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 16: Fourierovy řady 3 Lemma 16.1. Pro všechna k, m N a p > platí: sin p kx dx = sin cos p kx dx =, p kx cos p mx dx =, sin p kx sin p mx dx = p δ km, cos p kx k Z = cos p mx Věta 16.. Necht p > a necht pro všechna x R platí dx = p δ km, e π p ikx dx = pδ k. f(x = a + a k cos p kx, přičemž řadu vpravo je možno integrovat přes intervaly konečné délky člen po členu. Potom a = p a k = p b k = p f(x dx, Věta 16.3. Necht p > a necht pro všechna x R platí f(xcos p kx dx, k N, f(xsin p kx dx, k N. f(x = c k e π p ikx, přičemž řadu vpravo je možno integrovat přes intervaly konečné délky člen po členu. Potom c k = 1 p 16. Bodová konvergence Fourierových řad Označení. f(xe π p ikx dx, k Z. (i Bud te a < b a bud dále q 1. Množinu všech funkcí (s hodnotami v C, definovaných alespoň skoro všude na (a, b, pro které je označíme symbolem L q (a, b. ( b 1/q f q := f(x dx q <, a (ii Bud p >. Množinu všech p-periodických funkcí, definovaných na R, s hodnotami v C, které jsou navíc prvky prostoru L 1 (, p, budeme značit P p.
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 16: Fourierovy řady 4 Lemma 16.4. Necht f P p pro p > a necht α R. Potom f(x dx = α+p α f(x dx. Definice (reálná Fourierova řada. Necht f P p pro p >. Definujeme čísla a k, b k, k N, pomocí vztahů z Věty 16.. Tato čísla pak nazýváme ("reálnými" Fourierovými koeficienty funkce f a řadu a + a k cos p kx nazýváme "reálnou" (sinově-kosinovou Fourierovou řadou funkce f. Jejím n-tým částečným součtem rozumíme součet s f,n (x = a n ( π + a k cos p kx, n N. Definice (komplexní Fourierova řada. Necht f P p pro p >. Definujeme čísla c k, k Z, pomocí vztahů z Věty 16.3. Tato čísla pak nazýváme (komplexními Fourierovými koeficienty funkce f a řadu c ke π p ikx nazýváme komplexní Fourierovou řadou funkce f. Jejím n-tým částečným součtem rozumíme součet n s f,n (x = c k e π p ikx, n N {}. k= n Definice. Bud f P p pro p >, x R, a s f,n (x bud n-tý částečný součet (reálné resp. komplexní Fourierovy řady funkce f. Pokud existuje vlastní lim s f,n(x =: F f (x, n nazvu tuto hodnotu součtem (reálné resp. komplexní Fourierovy řady funkce f v bodě x R. Lemma 16.5. Bud f P p pro p >. Je-li f sudá funkce, je b k = pro všechna k = 1,,..., a a k = 4 p / f(xcos p kx dx, k N {}. Je-li f lichá funkce, je a k = pro všechna k =, 1,,..., a Problém: Příklad: b k = 4 p / f(xsin p kx dx, k N. f P p F f F f (x? = f(x. f(x = π x na, π a dále π-periodicky (f P π F f (x = sin(kx k konverguje bodově x R f( = π, F f( =. Studované otázky: Vlastnosti Fourierových koeficientů v závislosti na vlastnostech f.
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 16: Fourierovy řady 5 Rovnost f a F f v závislosti na vlastnostech f. Věta 16.6 (Riemann-Lebesgueovo lemma. Necht f P p pro p >. Potom Fourierovy koeficienty a k, b k, resp. c k existují a jsou konečné k N resp. Z. Navíc platí lim a k = lim b k = lim c k =. k k k ± Věta 16.7. Necht f P p C s+1 (R pro p >, s {, 1,... }. Potom řady k j ( a k + b k konvergují pro všechna j =, 1,...,s. a k j c k Věta 16.8. Necht f, g P p, p >, přičemž všechny odpovídající si Fourierovy koeficienty funkcí f a g jsou stejné. Potom f = g s.v. na R. Věta 16.9 (Carleson. Necht p >, f P p a necht navíc platí f L (, p. Potom F f = f s.v. na R. Úmluva: až do konce kapitoly bude p > mít význam délky periody. Definice. Řekneme, že funkce f P p je po částech hladká, pokud existují body = x < x 1 < < x n = p tak, že f je spojitá na každém intervalu (x i, x i+1, v krajních bodech těchto intervalů má vlastní limity zprava i zleva (označme je f(x i + a f(x i+1 a má uvnitř těchto intervalů omezenou derivaci, pro všechna i =,...n 1. Věta 16.1. Necht f P p je po částech hladká ve smyslu předchozí definice. Potom F f (x = f(x+ + f(x x R. Speciálně je tedy F f (x = f(x ve všech bodech x, ve kterých je f spojitá. Věta 16.11 (Parsevalova rovnost. Necht f P p a necht navíc platí f L (, p. Bud te a k, b k resp. c k reálné resp. komplexní Fourierovy koeficienty funkce f. Potom platí resp. p f(x dx = a + ( a k + b k, 1 p f(x dx = c k. Cvičení. 1. Modifikujte funkci x tak, aby Fourierova řada výsledné funkce obsahovala pouze členy tvaru cos(kx. Dosazením vhodných bodů sečtěte řady 1 a ( 1 k+1 k. Pomocí Parsevalovy rovnosti sečtěte řadu k 1. k 4. Rozmyslete si, jakou funkci by bylo potřeba rozvinout do Fourierovy řady, abyste sečetli číselnou řadu 1. Na jaké problémy narazíte, pokusíte-li se touto metodou sečíst číselnou řadu k 6 1? k 3 3. Modifikujte funkci cos x tak, aby Fourierova řada výsledné funkce obsahovala pouze členy tvaru sin(kx (tj. tzv. "rozviňte kosinus do sinové řady".
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 16: Fourierovy řady 6 Výsledky a komentáře 1. Uvažte x na π, π a dále dodefinovanou π-periodicky. Výsledná funkce f je sudá, po částech hladká a spojitá na R. Tedy F f (x = f(x x R. Spočtěte F f (x = π 3 + 4 ( 1 k cos(kx. k Dosazení bodů x = π resp. x = dá 1 k 4 = π4 9. 1 k = π 6 resp. ( 1 k+1 k = π 1. Konečně,. Uvažte např. x 3 na π, π a dále dodefinovanou π-periodicky. Z Parsevalovy rovnosti dostanete π 6 14 = (k π 6. Umocněním v čitateli a s využitím výsledků předchozího bodu je k 6 1 = k 6 π 6 945. 3. Uvážíme cos x na (, π, rozšířenou liše na ( π, a dále dodefinovanou π-periodicky. Výsledek: 8 π k sin(kx 4k 1. 16.3 Derivování a integrování Fourierových řad Věta 16.1 (o derivování. Bud f P p taková, že číselné řady k s ( a k + b k resp. k s c k, (1 sestavené z jejich Fourierových koeficientů, konvergují pro nějaké s {, 1,,... }. Potom F f (x = f(x pro všechna x R; navíc je možno příslušnou Fourierovu řadu derivovat s-krát člen po členu, přičemž f P p C s (R. Pozn. Podle věty 16.7 je podmínka (1 splněna například pro f P p C s+1 (R. Věta 16.13 (o integrování. Bud f P p a bud te a k, b k její Fourierovy koeficienty. Pak x kde (integrační konstanta f(tdt = A + a x + p π A = p π a k k sin p kx b k k cos p kx, b k k. Pozn. Tato věta platí bez ohledu na to, jestli Fourierova řada pro f konverguje či ne. 16.4 Aplikace: rovnice vedení tepla Uvažujme rovnici vedení tepla u t = u x. ( Hledáme funkci u = u(x, t :, π, R, která uvnitř svého defničního oboru řeší ( a navíc splňuje počáteční podmínku u(x, = f(x, kde f je daná funkce, spojitá na, π, f( = f(π =. Současně u splňuje okrajové podmínky u(, t = u(π, t = pro všechna t >. Hledejme nejprve řešení ( ve tvaru u(x, t = A(xB(t, kde A, B jsou nenulové dostatečně hladké funkce. Po dosazení dostáváme na A, B podmínku B (t B(t = A (x A(x.
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 16: Fourierovy řady 7 Levá strana závisí pouze na t a pravá pouze na x. Proto musí být oba výrazy nezávislé na t, resp. x, a tedy konstatní. Označme odpovídající konstantu α. Nenulová funkce A pak musí splňovat A( = A(π =, což nastane pouze pro (spočtěte přesně α = n, kde n N. Funkce A je potom (až na násobek konstantou tvaru sinnx. Funkce B (spočtěte je pak nutně násobkem e nt. Tyto úvahy nás vedou k hledání řešení ve tvaru Pro t = má ale platit u(x, t = a n e nt sinnx. (3 n=1 f(x = u(x, = a n sinnx, Koeficienty a n ve (3 jsou tedy Fourierovými koeficienty zadané funkce f, pokud jde tato rozvinout do řady sinů. To půjde, pokud ji rozšíříme liše na π, π. f(x = 1 sin x + 1 9 sin 1x + 1 7 sin15x n=1 u(x,t = 1 e 4t sin x + 1 9 e 144t sin 1x + 1 7 e 5t sin 15x