I Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 5

Obsh I Diferenciální integrální počet funkcí jedné proměnné 5 Preklkulus 7. Reálná čísl................................................ 7. Funkce jejich zákldní vlstnosti................................... 3.3 Posloupnosti............................................... 7.4 Diferenční sumční počet....................................... 5.5 Elementární funkce............................................ 3.6 Limit funkce............................................... 4.7 Spojité funkce............................................... 47.8 Cvičení.................................................. 5 Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 55. Derivce.................................................. 55. Derivce vyšších řádů, diferenciál.................................... 6.3 Obecné věty o derivci.......................................... 6.4 Tylorův vzorec.............................................. 65.5 Průběh funkce.............................................. 68.6 Rovinné křivky.............................................. 73.7 Cvičení.................................................. 77 3 Integrální počet funkcí jedné proměnné 8 3. Primitivní funkce............................................. 8 3. Určitý integrál.............................................. 86 3.3 Vlstnosti Riemnnov integrálu.................................... 94 3.4 Integrál jko funkce horní meze..................................... 3.5 Nevlstní integrály............................................ 4 3.6 Aplikce určitého integrálu....................................... 9 3.7 Numerická integrce........................................... 3.8 Cvičení.................................................. II Diferenciální počet funkcí více proměnných diferenciální rovnice 5 4 Metrické prostory 7 4. Pojem metriky.............................................. 7 4. Podmnožiny metrického prostoru.................................... 4.3 Konvergence................................................ 3 4.4 Úplné kompktní prostory....................................... 5 4.5 Zobrzení metrických prostorů..................................... 8 4.6 Cvičení.................................................. 3

5 Diferenciální počet funkcí více proměnných 33 5. Spojitost limit............................................. 33 5. Derivce.................................................. 35 5.3 Diferenciál................................................. 38 5.4 Derivce složené funkce, Tylorův vzorec................................ 4 5.5 Průběh funkce více proměnných..................................... 44 5.6 Implicitní funkce............................................. 47 5.7 Diferencovtelná zobrzení........................................ 49 5.8 Diferencovtelné vriety......................................... 54 5.9 Vázné extrémy.............................................. 57 5. Vektorové funkce, sklární vektorová pole.............................. 6 5. Cvičení.................................................. 67 6 Obyčejné diferenciální rovnice 69 6. Zákldní pojmy.............................................. 69 6. Elementární metody řešení ODR.................................... 7 6.3 Existence jednoznčnost řešení systému ODR............................ 77 6.4 Globální vlstnosti řešení systému ODR................................ 8 6.5 Systémy lineárních ODR......................................... 8 6.6 Lineární diferenciální rovnice vyššího řádu............................... 86 6.7 Diferenciální nerovnosti......................................... 9 6.8 Autonomní systémy........................................... 9 6.9 Eulerov numerická metod řešení ODR................................ 95 6. Cvičení.................................................. 96 7 Úvod do vričního počtu 99 7. Funkcionál jeho vrice........................................ 99 7. Úlohy s pevnými konci.......................................... 7.3 Úlohy s volnými konci.......................................... 4 III Funkcionální nlýz 9 8 Nekonečné řdy 8. Pojem řdy jejího součtu....................................... 8. Řdy s nezápornými členy........................................ 5 8.3 Řdy bsolutně nebsolutně konvergentní.............................. 9 8.4 Dvojné řdy................................................ 4 8.5 Součin řd................................................. 7 8.6 Posloupnosti řdy funkcí........................................ 3 8.7 Vlstnosti stejnoměrně konvergentních posloupností řd...................... 34 8.8 Mocninné řdy.............................................. 38 8.9 Cvičení.................................................. 44 9 Fourierovy řdy 47 9. Hilbertův prostor............................................. 47 9. Prostor L, b).............................................. 53 9.3 Fourierovy řdy vzhledem k trigonometrickému systému....................... 57 9.4 Fourierův integrál............................................. 6 9.5 Aplikce Fourierových řd........................................ 64 9.6 Cvičení.................................................. 66 Okrjové úlohy pro obyčejné lineární diferenciální rovnice druhého řádu 67. Formulce úloh.............................................. 67. Řešení nehomogenní okrjové úlohy.................................. 7.3 Cvičení.................................................. 73

Speciální funkce distribuce 75. Funkce Γ................................................. 75. Besselovy funkce............................................. 8.3 Legendreovy polynomy.......................................... 89.4 Čebyševovy-Lguerreovy polynomy................................... 9.5 Čebyševovy-Hermiteovy polynomy................................... 96.6 Distribuce................................................. 98 3

Část I Diferenciální integrální počet funkcí jedné proměnné 5

Kpitol Preklkulus. Reálná čísl Přirozená čísl: N {,, 3,...} Dospějeme k nim při počítání prvků nějké množiny. Lze n nich definovt zákldní početní operce, uspořádání. Celá čísl: Z {..., 3,,,,,, 3,...} výsledek. Doplnění množiny N tk, by operce odčítání měl vždy Rcionální čísl: Q { m n výsledek. : m Z, n N} Doplnění množiny Z tk, by operce dělení měl vždy Ircionální čísl: I Čísl, která není možno vyjádřit ve tvru m n, kde m Z, n N Ircionální čísl potřebujeme. Npř. log 3 I. Sporem. Připusťme, že log 3 m n. Pk m n 3 m 3 n m 5 m 3 n Dostli jsme dv různé rozkldy jednoho čísl n prvočinitele. To je spor. Nebo I. Sporem. Připusťme, že m n. Pk m n n m V rozkldu n prvočinitele čísl stojícího n levé strně rovnosti je v liché mocnině, v rozkldu n prvočinitele čísl stojícího n prvé strně rovnosti tedy téhož čísl) je v sudé mocnině. To je spor... Definice Buď M množin, n níž je definováno uspořádání. Uspořádání je binární relce, která je i) reflexivní: M) ) ii) ntisymetrická:, b M) b, b b) iii) trnsitivní:, b, c M) b, b c c) ) Buď M, A M. Řekneme, že je horní resp. dolní) závor množiny A v množině M, jestliže x resp. x) pro kždé x A. Řekneme, že množin A je ohrničená shor resp. zdol), jestliže existuje její horní resp. dolní) závor. Řekneme, že množin A je ohrničená, je-li ohrničená shor i zdol. 7

.. Příkldy. Množin A {, +, + + 3,...} je ohrničená zdol dolní závor je npř. ) není ohrničená shor: Při oznčení n + + 3 +... + n je 4 8 + + 3 + 4 > + + 4 + 4 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 > + + 4 8 + 3. Indukcí lze dokázt, že n > + n číslo + n může být libovolně velké.. Množin B {, + 4, + 4 + π 9,...} je ohrničená shor, b 6 později.) pro kždé b B. Bude dokázáno..3 Definice Buď A M, kde M je množin, n níž je definováno uspořádání. Řekneme, že A je mximum nebo největší prvek minimum nebo nejmenší prvek) píšeme mx A min A), jestliže pro kždé x A pltí x x)...4 Definice Buď M množin, n níž je definováno uspořádání buď A M. Řekneme, že M je supremum množiny A, jestliže je nejmenší horní závorou množiny A, t.j. jestliže pltí s) x A) x ), s) x A) x b)) b. Píšeme sup A...5 Definice Buď M množin, n níž je definováno uspořádání buď A M. Řekneme, že M je infimum množiny A, jestliže je největší dolní závorou množiny A, t.j. jestliže pltí i) x A) x), i) x A) b x)) b. Píšeme inf A...6 Poznámky. Podmínku s) v..4 lze nhrdit podmínkou s ) p M, p < ) x A) p < x). p < je definováno jko p součsně p ; v dlším budeme používt i symboly, >.) Nechť M splňuje s) nechť p M, p <. Pk p není horní závor množiny A jink by podle s) bylo p). Odtud plyne, že existuje x A tkové, že x > p, tedy pltí s ). Nechť M splňuje s ) buď b M horní závor množiny A. Kdyby b <, pk by existovlo x A tkové, že b < x tedy b by nebyl horní závor množiny A. Je tedy b.. Anlogicky lze dokázt, že podmínku i) v..5 lze nhrdit podmínkou i ) p M, p > ) x A) p > x). 3. Libovolná A M má nejvýše jedno supremum nejvýše jedno infimum. 8

Nechť sup A, b sup A. b je podle s) horní závor množiny A, tedy b podle s). Anlogicky je horní závor A, tedy b. Z ntisymetrie relce plyne b. Anlogicky se ukáže pltnost tvrzení pro infimum. 4. Jestliže existuje mx A min A), pk existuje tké sup A inf A) pltí sup A mx A inf A min A). Nechť mx A. splňuje s) přímo podle definice mxim..3 Nechť b je horní závor množiny A. Pk b x pro kždé x A, zejmén tedy b A. Což znmená, že pltí s). Tvrzení pro infimum minimum se dokáže nlogicky...7 Definice Množin reálných čísel je množin R, n níž jsou definovány dvě binárním operce + sčítání), násobení) jedn binární relce < menší než), které splňují podmínky R) pro všechn, b R pltí + b b + komuttivní zákon pro sčítání) R) pro všechn, b, c R pltí + b) + c + b + c) socitivní zákon pro sčítání) R3) existuje prvek R tkový, že pro všechn R pltí + existence neutrálního prvku vzhledem ke sčítání) R4) ke kždému R existuje prvek R tkový, že + ) existence opčného prvku) R5) pro všechn, b R pltí b b komuttivní zákon pro násobení) R6) pro všechn, b, c R pltí b) c b c) socitivní zákon pro násobení) R7) existuje prvek R, tkový, že pro všechn R pltí existence neutrálního prvku vzhledem k násobení) R8) ke kždému R, existuje prvek R tkový, že existence inversního prvku) R9) pro všechn, b, c R pltí b + c) b) + c) distributivní zákon) R) kždé dv prvky z množiny R jsou srovntelné, podrobněji: kždá dvojice prvků, b R splňuje právě jeden ze vzthů < b, b, b < zákon trichotomie) R) jestliže pro, b, c R pltí < b b < c, pk tké < c trnsitivit relce <) R) jestliže pro, b R pltí < b, pk pro kždé c R je + c < b + c monotonie vzhledem ke sčítání) R3) jestliže pro, b, c R pltí < b < c, pk c < b c monotonie vzhledem k násobení) R4) je-li M neprázdná shor zdol) ohrničená podmnožin množiny R, pk existuje sup M R inf M R)..8 Poznámky. R) R4) R5) R8) jsou xiomy komuttivní grupy R) R9) jsou xiomy pole R) R3) jsou xiomy uspořádného pole R) R4) jsou xiomy spojitě uspořádného pole Existuje jediné ž n isomorfismus) uspořádné pole. Axiom R4) se nzývá xiom spojitosti.. Přímk, n níž je zvolen počátek obrz reálného čísl ), jednotková délk orientce obrz čísl ) se nzývá číselná os. Existuje prosté vzájemně jednoznčné zobrzení množiny reálných čísel n číselnou osu. 9

3. Druhá část xiomu R4) existence infim) je důsledkem první části osttních xiomů. Nejdříve ukážeme, že pro kždé R je ). Vyjdeme z R4): ) + )) / přičteme zlev + ) + ))) + / R), R3) + )) + )) / R4) + )) / R), R3) ) Dále ukážeme, že jestliže < b pk b < : < b / + ) zprv + ) < b + ) / R4) < b + ) / + b) zlev b) + < b) + b + )) / R3), R) b < b) + b) + ) / R), R4) b < + ) / R), R3) b < Nechť nyní je M R zdol ohrničená, b její dolní závor. Položme M { x : x M}. Pk pro kždé x M pltí b x tedy podle druhého kroku důkzu je x b pro kždé x M. To znmená, že M je shor ohrničená podle první části R4) existuje sup M s R. Podle R4) je s R. Ukážeme, že s inf M: Buď x M libovolné. Pk podle s) je x s podle pomocných tvrzení n zčátku důkzu je s x. Poněvdž x bylo libovolné, je podmínk i) splněn. Buď c R tkové, že c x pro kždé x M. Pk x c pro kždé x M podle s) je s c, tedy c) s. Podle prvního kroku důkzu je c s, což znmená, že i podmínk i) je splněn...9 Příkld Nechť M { m n : m, n N, m < n}. Ukžte, že sup M, inf M. Ř.: Pltnost podmínky s): m n pro m n. Pltnost podmínky s ): Buď p M, p <. Je-li p, pk npř. pro M pltí p <. Nechť tedy p >. Položme n + [ p ]. Přitom [x] oznčuje celou část z čísl x, t.j. celé číslo z tkové, že x z < x +. Npř. [π] 3, [ 3 ], [ 3.5] 4 p.) Pk n > p n np > n > np n n > p zřejmě n n M. Pltnost podmínky i): m n > pro všechn m, n N. Pltnost podmínky i ): Buď p M, p >. Je-li p, pk npř. pro M pltí p <. Položme n + [ p ]. Pk n > p tedy p > n M. < p. Nechť tedy.. Definice Množinu R R {, } nzýváme rozšířená množin reálných čísel, symboly, nzýváme nevlstní reálná čísl nevlstní body číselné osy). Kldeme < < pro kždé R. Symboly, nejsou čísl, nedefinujeme pro ně početní operce.

.. Definice Buďte, b R, < b. Uzvřeným intervlem o krjních koncových, hrničních) bodech, b rozumíme množinu otevřeným intervlem množinu polouzvřenými intervly zprv resp. zlev) množiny Nekonečné intervly definujeme jko množiny [, b] {x R : x b},, b) {x R : < x < b},, b] {x R : < x b}, [, b) {x R : x < b}. [, ) {x R : x },, ) {x R : x > },, b] {x R : x b},, b) {x R : x < b},, ) R. Je-li J intervl jkéhokoliv typu x J, x není krjní, řekneme, že x je vnitřní bod intervlu J... Definice Okolím podrobněji symetrickým) δ-okolím, δ > ) bodu x R rozumíme intervl x δ, x + δ). Okolím bodu rozumíme intervl, ), kde R. Okolím bodu rozumíme intervl, ), kde R. δ-okolí bodu x R budeme oznčovt symbolem O δ x ), stručně Ox )...3 Vět Okolí bodů z množiny R mjí tyto vlstnosti: o) Jsou-li O x ) O x ) dvě okolí téhož bodu x R, pk O x ) O x ) je okolím bodu x. o) Jsou-li x, x R, x x, pk existují Ox ) Ox ) tková, že Ox ) Ox ).. x R, O x ) x δ, x + δ ), O x ) x δ, x + δ ). Položme δ min{δ, δ }. Pk Ox ) x δ, x + δ) O x ) O x ) je okolím bodu x. x, O x ), ), O x ), ). Položme mx{, }. Pk Ox ), ) O x ) O x ) je okolím bodu. x. Pltnost tvrzení ukážeme nlogicky jko v předchozím přípdě.. Bez újmy n obecnosti lze předpokládt, že x < x. < x < x <. Položme δ 4 x x ). Pk Ox ) x δ, x +δ), Ox ) x δ, x +δ) jsou okolí bodů x, x s poždovnou vlstností. Volb δ 4 x x ) smozřejmě není jediná možná. Stčí volit δ rx x ), kde r.) < x < x. Nechť δ > je libovolné položme x + δ. Pk Ox ) x δ, x + δ), Ox ), ) mjí poždovnou vlstnost. Anlogicky ukážeme pltnost tvrzení v osttních přípdech.

..4 Definice Buď x R. Ryzím okolím bodu x rozumíme množinu Ox ) \ {x }. Okolí nevlstního bodu je vždy ryzí. Ryzí okolí bodu x budeme oznčovt O x )...5 Definice Buď x R, δ >. Prvým resp. levým) δ-okolím bodu x rozumíme intervl [x, x + δ) x δ, x ]). Ryzím prvým resp. levým) δ-okolím bodu x rozumíme otevřený intervl x, x + δ) x δ, x )). Prvé resp. levé) δ-okolí bodu x budeme oznčovt P δ x ), stručně Px ) resp. L δ x ), stručně Lx )). Ryzí prvé resp. levé) δ-okolí bodu x budeme oznčovt P δ x ), stručně P x ) resp. L δ x ), stručně L x ))...6 Poznámky. Tké prvá levá okolí, ryzí okolí mjí vlstnosti o), o) z věty..3. Sndnou modifikcí důkzu..3.. Buď J R intervl buď x vnitřní bod intervlu J. Pk existuje Ox ) tkové, že Ox ) J. Nechť, b R jsou krjní body intervlu J...7 Vět Jsou-li, b R, položíme δ min{x, b x )}. Pk δ > x δ, x + δ) je poždovné okolí. Jsou-li R b, položíme δ x ). Pk δ > x δ, x + δ) je opět poždovné okolí. Anlogicky ukážeme pltnost tvrzení v osttních přípdech.. Mezi dvěm libovolnými reálnými čísly x, x, x < x leží rcionální i ircionální číslo.. V libovolném okolí libovolného čísl x R leží rcionální i ircionální číslo. Stručně: Množin Q i množin I je hustá v množině R.). Položme n [ x x ] +, m [nx ] +. Pk m Z, n N tedy q m n Q. Dále pltí m > nx m nx + n > x x x < m n nx nx > nx > nx + Odtud x < m n nx+ n < nx n x, což znmená, že q je rcionální číslo mezi čísly x x. Položme s [ x x ] +, r [ s x ] +. Pk r Z, s N w r s I, neboť v opčném přípdě by Q, což by byl spor s tvrzením dokázným v úvodu tohoto odstvce. Dále pltí Odtud x < r s čísly x x. r > s x r s x + s > x < r s s x + ) s < s x s s x > s x x x + x, což znmená, že w je ircionální číslo mezi. je důsledkem., neboť mezi čísly x δ x + δ leží rcionální i ircionální číslo.

. Funkce jejich zákldní vlstnosti.. Definice Funkce f podrobněji reálná funkce jedné reálné proměnné) je zobrzení z množiny R do množiny R. Množin Dom f {x R : y R)x, y) f)} se nzývá definiční obor funkce f. Domin) Množin Im f {y R : x R)x, y) f)} se nzývá obor hodnot funkce f. Imge) Je-li f funkce, pk zobrzení f : Dom f Im f je surjekce zobrzení n). Je-li x, y) f, píšeme y fx), x y, x f y. Prvky z Dom f se nzývjí hodnoty nezávisle proměnné, rgument. Prvky z Im f se nzývjí hodnoty závisle proměnné, funkční hodnot. Pokud není explicitně uvedeno jink, definičním oborem rozumíme největší vzhledem k množinové inklusi) množinu, pro jejíž prvky lze funkční hodnotu vypočítt... Definice Grfem funkce f rozumíme množinu G {x, fx)) : x Dom f}, kde x, y) znčí orthogonální krtézské souřdnice bodu v rovině...3 Příkld. fx) x mx{x, x}, Dom f R, Im f [, ). x. fx), x Dom f, ), neboť musí pltit x > > x > x Im f R, neboť pro libovolné r R je r x x x )r x r + r )x x, ± r +r Znménko u x musí být stejné jko znménko r u r, tedy x + r 3. fx) [x], kde [x] je celá část z čísl x, to jest celé číslo tkové, že [x] x < [x] +. Dom f R, Im f Z. 4. Dirichletov funkce χx) {, x Q, x I. Dom χ R, Im χ {, }...4 Definice Buďte f, g funkce, Dom f Dom g. Pk definujeme součet funkcí f, g předpisem: f + g)x) fx) + gx) pro x Dom f Dom g, rozdíl funkcí f, g předpisem: f g)x) fx) gx) pro x Dom f Dom g, součin funkcí f, g předpisem: fg)x) ) fx)gx) pro x Dom f Dom g, f podíl funkcí f, g předpisem: x) fx) pro x Dom f Dom g \ {x Dom g : gx) }), g gx) bsolutní hodnotu funkce f předpisem f x) fx) mx{fx), fx)} pro x Dom f. 3

..5 Definice Funkce f se nzývá ohrničená shor ohrničená, zdol ohrničená), je-li množin Im f ohrničená shor ohrničená, zdol ohrničená) podmnožin množiny R. Funkce f je ohrničená právě tehdy, když existují, b R tková, že fx) b pro kždé x Dom f, což nstne právě tehdy, když existuje h R tkové, že fx) h pro kždé x Dom f. Anlogická tvrzení pltí pro funkci ohrničenou shor nebo zdol...6 Definice Funkce f se nzývá sudá, jestliže Funkce f se nzývá lichá, jestliže x Dom f x Dom f, f x) fx). x Dom f x Dom f, f x) fx). Příkldy sudé funkce: x n, kde n N, x, cos x. Příkldy liché funkce: x n+, kde n N, sin x, tg x. Buď f sudá funkce, G její grf, x, y) G. Pk x, y) G. Body x, y) x, y) jsou symetrické podle osy y, grf sudé funkce je symetrický podle osy y. Buď f lichá funkce, G její grf, x, y) G. Pk x, y) G. Body x, y) x, y) jsou symetrické podle počátku souřdného systému, grf liché funkce je symetrický podle počátku souřdného systému...7 Vět Má-li funkce f vlstnost: x Dom f x Dom f, pk ji lze vyjádřit jko součet funkce sudé liché. fx) fx) + f x)) + fx) f x)) gx) fx) + f x)); g x) f x) + fx)) gx); gx) je sudá, hx) fx) f x)); h x) f x) fx)) fx) f x)) hx); hx) je lichá...8 Definice Buď p R, p >. Řekneme, že funkce f je periodická s periodou p, jestliže x Dom f x + p Dom f, fx + p) fx). Příkldy: sin x, cos x period π, tg x period π, sin x π period, konsttntní funkce fx) c R periodou je jkékoliv p, ). Buď f funkce periodická s periodou p >, n N. Pk f je periodická s periodou np. x Dom f x + p Dom f x + p + p x + p Dom f x + np Dom f. fx + np) fx + n )p + p) fx + n )p) fx + n )p + p) fx + n )p) fx). Množin period periodické funkce f je nekonečná, tedy neprázdná zdol ohrničená nulou. Podle..7 R4) existuje p inf{p : p je period funkce f}. Pokud p je periodou funkce f, nzýváme ji nejmenší nebo zákldní periodou funkce f. Periodická funkce nemusí mít nejmenší periodu. Npř. periodou Dirichletovy funkce je kždé kldné rcionální číslo...9 Definice Funkce f se nzývá rostoucí v bodě x Dom f, jestliže existuje Ox ) tkové, že Ox ) Dom f pltí x Ox ), x < x fx) < fx ) x Ox ), x > x fx) > fx ), 4

stručně: jestliže pro x Ox ) \ {x } pltí x x )fx) fx )) >. Funkce f se nzývá neklesjící v bodě x Dom f, jestliže existuje Ox ) tkové, že Ox ) Dom f pltí x Ox ), x < x fx) fx ) x Ox ), x > x fx) fx ), stručně: jestliže pro x Ox ) pltí x x )fx) fx )). Anlogicky definujeme funkci klesjící nerostoucí v bodě x Dom f. Funkce, která je v bodě x Dom f nerostoucí nebo neklesjící, se nzývá monotonní v bodě x Dom f. Funkce, která je v bodě x Dom f rostoucí nebo klesjící, se nzývá ryze monotonní v bodě x Dom f. Funkce rostoucí v bodě x Dom f nemusí být rostoucí v žádném jiném bodě z Dom f... Definice Řekneme, že funkce je rostoucí n intervlu J, jestliže J Dom f pro libovolná x, x J pltí x < x fx ) < fx ). Řekneme, že funkce je neklesjící n intervlu J, jestliže J Dom f pro libovolná x, x J pltí x < x fx ) fx ). Anlogicky definujeme funkci klesjící nerostoucí n intervlu J. Funkce rostoucí nebo klesjící n intervlu se nzývá ryze monotonní n intervlu, funkce nerostoucí nebo neklesjící n intervlu se nzývá monotonní n intervlu. Monotonie v bodě lokální vlstnost Monotonie n intervlu globální vlstnost Slov intervl J v předchozí definici lze nhrdit slovy množin M Dom f... Vět Funkce f je rostoucí n otevřeném intervlu J Dom f právě tehdy, když je rostoucí v kždém bodě tohoto intervlu. Nechť f je rostoucí n J nechť x J. J je otevřený x je vnitřní bod podle..6.) existuje Ox ) J. Tedy Ox ) Dom f. Je-li x Ox ), x < x, je fx) < fx ); je-li x Ox ), x > x, je fx) > fx ). Tedy f je rostoucí v bodě x. Nechť f je rostoucí v kždém bodě intervlu J. Připusťme, že f není rostoucí n J. Existují tedy x, x J, že x < x fx ) fx ). Oznčme M {x [x, x ] : fx) > fx )}. Pltí ) M, neboť f rostoucí v x ex. Ox ), že pro kždé x > x je fx) > fx ). b) M je shor ohrničená, neboť x je horní závor M. Podle..7 R4) existuje x sup M x. Předpokládejme x x. f je rostoucí v bodě x existuje Ox ) x δ, x + δ) Dom f, že pro x Ox ), x < x pltí fx) < fx ). Podle..6s ) existuje x M, x > x δ. Poněvdž x M, je x x. Jest x Ox ). Pokud x < x, pk fx) < fx ), pokud x x, pk fx) fx ). Tedy fx) fx ). Součsně x M tedy fx) > fx ) fx ). Odtud fx) > fx ) spor. Musí tedy být x < x. Poněvdž f je rostoucí v x, existuje Ox ), že pro kždé x Ox )\{x } pltí x x )fx) fx )) >. Bez újmy n obecnosti lze předpokládt Ox ) x δ, x +δ) [x, x ]. Podle..6s ) existuje x M, x > x δ tkové, že x x. x Ox ) tedy fx) fx ). Součsně fx) > fx ), neboť x M. Odtud plyne fx ) < fx ). Zvolme x Ox ), x > x. Pk fx) > fx ). Přitom x M, neboť x > x sup M. Tedy fx) fx ). Odtud plyne fx ) > fx ). To je spor. 5

.. Poznámky. Anlogická vět pltí pro neklesjící, klesjící nerostoucí funkci.. Pro uzvřený intervl vět nepltí: Npř. fx) sinx), J [ π, π ]. f je rostoucí n celém J, le není rostoucí v krjních bodech. 3. Ve druhé části důkzu jsme nevyužili předpokld, že intervl J je otevřený. Pltí tedy: Je-li funkce f rostoucí v kždém bodě libovolného intervlu J, pk je rostoucí n celém intervlu J...3 Definice Buďte f, ϕ funkce nechť pltí Im ϕ Dom f. Pk F {x, y) R : u R)x, u) ϕ, u, y) f)} se nzývá složená funkce. Funkce ϕ se nzývá vnitřní složk funkce F, funkce f se nzývá vnější složk funkce F. x ϕx) u fu) fϕx)) Podmínk Im ϕ Dom f je nutná dosttečná pro existenci složené funkce. Není-li tto podmínk splněn, lze jí někdy dosáhnout vhodným zúžením Dom ϕ...4 Příkldy. ϕx) x, Im ϕ [, ) fu) sinu), Dom f, ). Tedy Im ϕ Dom f, F x) fϕx)) sin x. ϕx) x, definujeme Dom f [, ]. Pk Im ϕ [, ]. fu) u, Dom f [, ). [, ] [, ), F x) fϕx)) x. 3. ϕx) x, Im ϕ, ] fx) log u, Dom f, ). Složená funkce neexistuje. Proces skládání funkcí lze opkovt vytvářet funkce vícenásobně složené. Npř.: y log sin x: y u u log v v w w sin x..5 Definice Nechť f je funkce, která je bijekcí. Pk se nzývá inversní funkce k funkci f. f {y, x) R : x, y) f} Z definice plyne: Dom f Im f, Im f Dom f, x f y) y fx). Zobrzení f : Dom f Im f je surjekce. Aby toto zobrzení bylo bijekcí, musí být injekcí prostým zobrzením), t.j. x, x Dom f, x x fx ) fx )...6 Poznámky. Grf inversní funkce f je symetrický s grfem funkce f podle osy prvního třetího kvdrntu.. Je-li funkce f ryze monotonní, pk je prostá. Nechť pro určitost je f rostoucí buďte x, x Dom f, x x. Pokud x < x pk fx ) < fx ), pokud x > x pk fx ) > fx ) tedy fx ) fx ). 6

..7 Vět Nechť funkce f je rostoucí resp. klesjící) n množině Dom f. Pk funkce f je rostoucí resp. klesjící) n množině Im f. Nechť f je rostoucí n Dom f buďte y, y Im f, y < y. Oznčme x f y ), x f y ), t.j. y fx ), y fx ). Jest x x podle..6.. Kdyby x > x, pk by y fx ) > fx ) y, což by byl spor. Pltí tedy x f y ) < f y x..3 Posloupnosti.3. Definice Posloupnost je funkce f, pro niž Dom f N. t.j. f : N R) Oznčení: f n fn), čstěji n, b n,... { n }, stručně { n } posloupnost n člen posloupnosti Posloupnosti mohou mít vlstnosti: ohrničenost, monotonie, periodicit s periodou p N) zvedené v.. Nopk pojmy inversní nebo složená posloupnost nemjí smysl. Pltí: { n } je rostoucí n N) n < n+ ) { n } je neklesjící n N) n n+ ) podobně..3. Definice Řekneme, že posloupnost { n } má limitu píšeme lim n n, nebo stručněji lim n, n, jestliže ke kždému ε R, ε > existuje n N tkové, že pro kždé n n pltí n < ε. Posloupnost, která má limitu, se nzývá konvergentní..3.3 Vět o jednoznčnosti limity) Libovolná posloupnost má nejvýše jednu limitu. Připusťme, že pro { n } pltí lim n, lim n b, b. Nechť pro určitost < b. Položme ε b. Pk ε >. Tedy existuje n N, že n n n < ε existuje n N, že n n n b < ε Položme n mx{n, n }. Pk pro n n pltí ε < n < + ε, b ε < n . Existuje n N tkové, že pro n n pltí ε < n < + ε. Buď h mx{,,..., n, + ε}, d min{,,..., n, ε}. Pk pro kždé n N pltí d n h. 7

.3.5 Poznámky. Buďte { n }, {b n } konvergentní posloupnosti, lim n, lim b n b. Jestliže existuje n N tkové, že pro kždé n n pltí n b položme ε b. Pk ε > existují n N, že pro n n je ε < n < + ε, n N, že pro n n je b ε n 3 mx{n, n, n } nyní je ε + b < n < b n < b + ε + b spor. Tvrzení zůstne v pltnosti i z předpokldu n b n pro n n.. Řekneme, že posloupnost { n } je skorostcionární, jestliže existuje n N tkové, že pro n n je n. Řekneme, že posloupnost { n } je stcionární, jestliže pro kždé n N je n. Skoro)stcionární posloupnost je konvergentní pltí lim n. 3. Buď { n } konvergentní posloupnost, lim n {b n } buď ohrničená posloupnost. Pk lim n b n. {b n } je ohrničená existuje h R, že b n < h pro kždé n N. Buď ε > libovolné. K ε h > existuje n tkové, že pro n n je n n < ε h. Pro n n pltí n b n n b n < ε h h ε, tedy lim nb n. 4. Jestliže posloupnost { n } je monotonní neohrničená, pk lim n. Buď { n } neklesjící ε > libovolné. Poněvdž je { n } neohrničená, existuje n N tkové, že n > ε..3.6 Vět Poněvdž { n } je neklesjící, pro kždé n n pltí n n > ε >. Odtud plyne, že pro n n pltí n n < ε, tedy lim. n n Pro nerostoucí posloupnost se důkz provede nlogicky. Buďte { n }, {b n } konvergentní posloupnosti, lim n, lim b n b. Pk. existuje lim n pltí lim n,. existuje lim n + b n ) pltí lim n + b n ) + b, 3. existuje lim n b n pltí lim n b n b, 4. existuje lim n b n ) pltí lim n b n ) b, 5. pokud b, pk existuje lim n b n pltí lim n b n b.. Buď ε > libovolné. Pk existuje n N, že pro n n je n < ε. Pro n n tedy pltí n n < ε, což znmená lim n.. Buď ε > libovolné. K ε > existuje n N tkové, že pro n n je n < ε, existuje n N tkové, že pro n n je b n b < ε. Pro n n mx{n, n } pltí n +b n ) +b) n )+b n b) n + b n b < ε + ε ε tedy lim n + b n ) + b. 8

3. Je-li, plyne tvrzení z.3.4 z.3.5.3. Nechť buď ε > libovolné. Podle.3.4 existuje h R tkové, že b n < h pro kždé n N. K ε h > existuje n N tkové, že pro n n je n < ε h. K ε > existuje n N tkové, že pro n n je b n b < ε. Pro n n mx{n, n } pltí obě nerovnosti součsně, tedy n b n b n b n b n + b n b n b n b n + b n b n b n + b n b < < ε h h + ε ε + ε ε. 4. Plyne z., 3..3.5.. 5. Podle. je lim b n b podle předpokldu b >. Tedy k b > existuje n N tkové, že pro n n je b n b < b, neboli b n > b b b. Odtud plyne, že pro n n je Buď ε > libovolné. K b ε > existuje n N tkové, že pro n n je b n b < b ε Pro n n mx{n, n } je b n b b b n b b n Podle 3. je lim n lim n lim b n b n b b. < b ε b b ε tedy lim b n b.. b n < b. Poznmenejme, že z.3.6.3 z.3.5. plyne: Jsou-li c R, { n } konvergentní posloupnost s lim n, pk existuje limc n ) c lim n c..3.7 Vět o třech posloupnostech, o sevření) Buďte { n }, {b n }, {c n } posloupnosti tkové, že existuje n N, že pro n n je n b n c n. Jestliže lim n lim c n, pk tké lim b n. Buď ε > libovolné. K němu existuje n N tkové, že pro n n je n < ε, neboli n > ε. Dále existuje n 3 N tkové, že pro n n 3 je c n < ε, neboli c n < + ε. Pro n n mx{n, n, n 3 } pltí ε < n b n c n < + ε, neboli ε je lim n. n Pro plyne tvrzení z.3.5.. Buď >. Pk n n pro kždé n N, neboli ) + α) n, kde α n. n n Dále + α n ) n + nα n + α n + + α n n n + αn n + nα n. Odtud α n n. Celkem α n. Podle.3.5.4 je lim lim n n n lim n tedy podle.3.7.3.5. je lim α n. Podle.3.5..3.6. je lim n + lim α n. Buď < <. Pk b > tedy lim n b. Avšk podle.3.6.5 je lim n b lim lim n lim n, z čehož plyne lim n. 9

.3.9 Vět o monotonních posloupnostech) Je-li posloupnost { n } neklesjící shor ohrničená, pk je konvergentní pltí lim n sup{ n : n N}. Je-li posloupnost { n } nerostoucí zdol ohrničená, pk je konvergentní pltí lim n inf{ n : n N}. Je-li monotonní posloupnost { n } ohrničená, pk je konvergentní. Buď { n } neklesjící shor ohrničená posloupnost. Podle..7R4) existuje sup{ n : n N} R. Buď ε > libovolné. Pk ε < podle..6s ) existuje n { n } tkové, že n > ε. Poněvdž { n } je neklesjící, je n > ε pro kždé n n. Tedy pro n n je ε < n < + ε, neboli lim n. Druhé tvrzení se dokáže nlogicky, třetí je důsledkem prvního druhého..3. Příkld { Posloupnost + ) n } je rostoucí konvergentní. n Znčíme lim + n) n e, jest e.7888846.) l S využitím binomické věty vzthu n + < l n, neboli l n + > l pro všechn n, l N dostneme: n + ) n+ n+ ) n n + n + k n + ) k > ) n + k n + ) k > k n k n k k k n + )nn ) n k + ) k! nn ) n k + ) k! n + ) k n + ) k n n n k! n + n + n k + n + k n ) ) k ) k! n + n + n + n k n k n k n k k! k! n ) n ) n n n n n k + n n )n ) n k + ) k! nn )n ) n k + ) k! k n ) n k n n k k n k > ) n k + ) n n { To znmená, že posloupnost + ) n } je rostoucí. n Položme n + n) n+. Pk n s využitím nerovnosti + x) m + mx pro x, m N viz..3.8) dostneme: ) n + n+ n n+ + n n + n+ + ) n+ n n + ) n+ n+ n n+ n n + n+ ) n+ n nn + ) n + n ) n+ + n + n + n + n + ) n n +. nn + ) n + n

Tedy n n+, posloupnost { n } je nerostoucí, zdol ohrničená nulou. Podle.3.9 je konvergentní. Dále podle.3.6..3.5.4 pltí lim + ) tedy podle.3.6.5 existuje n lim + n) n + ) n+ lim + ) n+ n n lim + ) lim + ) lim + n+. n) n n.3. Definice Řekneme, že posloupnost { n } má nevlstní limitu píšeme lim n stručněji lim n, n ) n jestliže ke kždému h R existuje n N tkové, že pro kždé n n pltí n > h. Řekneme, že posloupnost { n } má nevlstní limitu píšeme lim n stručněji lim n, n n ) jestliže ke kždému h R existuje n N tkové, že pro kždé n n pltí n < h. Má-li posloupnost { n } nevlstní limitu, řekneme, že je určitě divergentní. Nemá-li posloupnost { n } limitu ni nevlstní limitu, řekneme, že je oscilující. Nhrdíme-li v tvrzeních.3.3,.3.5.,.3.7 slovo limit slovem nevlstní limit, zůstnou tto tvrzení v pltnosti..3. Poznámky. Buď { n } konvergentní posloupnost, lim n. Jestliže existuje n N tkové, že pro kždé n n je n > resp. n <, resp. n ), pk lim resp. lim, resp. lim n n n ). Buď h > libovolné. Poněvdž lim n, existuje n N tkové, že pro kždé n n je n < h. Pro n n mx{n, n } pltí > h, tedy lim. n n n Druhé tvrzení se dokáže nlogicky, třetí je jejich důsledkem.. Nechť lim n, resp. lim n ) nechť posloupnost {b n } je zdol resp. shor) ohrničená. Pk lim n + b n ) resp. lim n + b n ) ). Existuje k R, že b n > k pro kždé n N. Buď h R libovolné. Poněvdž lim n, existuje n N tkové, že pro kždé n n je n > h k. Tedy pro n n je n + b n > h k + k h, což znmená lim n + b n ). Druhé tvrzení se dokáže nlogicky. 3. Nechť lim n nechť {b n } je posloupnost tková, že existují n N, δ > tková, že pro n n je b n > δ resp. b n < δ). Pk lim n b n resp. lim n b n ). Nechť lim n nechť {b n } je posloupnost tková, že existují n N, δ > tková, že pro n n je b n > δ resp. b n < δ). Pk lim n b n resp. lim n b n ). Buď h R libovolné. Existuje n N tkové, že pro n n je n > h δ. Pro n n mx{n, n } pltí n b n > h δ δ h, což znmená lim nb n. Zbývjící tvrzení se dokáží nlogicky. Předpokld { } b n > δ pro n n nelze zeslbit n b n > pro n n. Npříkld pro { n } {n}, {b n } n je podle.3.5.4 lim n b n lim n. 4. Nechť lim n {b n } je ohrničená posloupnost. Pk lim n lim b n n.

Buď ε > libovolné. Existuje n N, že pro n n je n > ε, tedy n n n < ε. Druhé tvrzení nyní plyne z.3.5.3. 5. Je-li posloupnost { n } neklesjící resp. nerostoucí) není ohrničená shor resp. zdol), pk je určitě divergentní lim n resp. lim n ). Buď h R libovolné. Poněvdž { n } není ohrničená shor, existuje n N tkové, že n > h. Poněvdž { n } je neklesjící, pro n n je n n > h, tedy lim n. Druhé tvrzení se dokáže nlogicky..3.3 Definice Nechť { n } je posloupnost {n k } k je rostoucí posloupnost přirozených čísel. Posloupnost { n k } k se nzývá vybrná z posloupnosti { n }. Npříkld { n } {, 4, 6,... }, { n } {, 4, 9,... }, { n } nm { m, m+, m+,... } jsou posloupnosti vybrné z { n }. Poznámk: Sndno ověříme, že posloupnost { n } je rostoucí, klesjící, nerostoucí, neklesjící, ohrničená shor, ohrničená zdol, ohrničená, stcionární právě tehdy, když kždá posloupnost { nk } vybrná z posloupnosti { n } má stejnou vlstnost..3.4 Vět lim n R právě tehdy, když pro kždou posloupnost { nk } n k vybrnou z posloupnosti { n} pltí lim n k. k Nechť R buď ε > libovolné. K ε > existuje n N tkové, že n < ε pro kždé n n. Poněvdž {n k } k je rostoucí posloupnost přirozených čísel, existuje k N tkové, že n k n n k n k pro kždé k k. Tedy pro kždé k k je nk < ε, což znmená lim. Pro nebo dokážeme tvrzení nlogicky. je triviální. Je-li lim k n k pro kždou {n k } k, pltí to zejmén pro n k k. k n k.3.5 Definice Číslo R nzveme hromdným bodem posloupnosti { n }, jestliže ke kždému n N kždému ε > existuje n n tkové, že n < ε. je hromdným bodem posloupnosti { n } právě tehdy, když existuje nekonečně mnoho indexů m N tkových, že m < ε pro kždé ε >. Npříkld posloupnost { ) n } {,,,,,... } má dv hromdné body..3.6 Vět Číslo R je hromdným bodem posloupnosti { n } právě tehdy, když existuje posloupnost { nk } vybrná z posloupnosti { n }, která konverguje k číslu.

Nechť je hromdným bodem posloupnosti { n }. K ε, n existuje n N, n tkové, že n <. K ε k n + N existuje n N, n > n tkové, že n <. K ε 3 3 k n + N existuje n 3 N, n 3 > n tkové, že n3 < 3. Tímto způsobem postupujeme dále. Výsledkem konstrukce je rostoucí posloupnost přirozených čísel {n k } tkových, že nk < k. k, ke kždému ε > existuje k N tkové, že k k < ε pro kždé k k. Poněvdž lim k Tedy pro k k pltí nk < k < ε, což znmená lim k n k. Jestliže existuje { nk } tková, že lim n k, pk ke kždému ε > existuje k N tkové, že pro kždé k k k tedy pro nekonečně mnoho indexů k pltí nk < ε, což znmená, že je hromdným bodem posloupnosti { n }. Z.3.4 plyne: Je-li lim n R, pk je jediným hromdným bodem posloupnosti { n }..3.7 Lemm Buď { n } posloupnost M množin hromdných bodů této posloupnosti. Nechť M. Je-li M shor resp. zdol) ohrničená, pk existuje mx M resp. min M). Podle..7R4) existuje sup M. Buď ε > libovolné. Pk ε < podle..6s ) existuje hromdný bod m M tkový, že m > ε. Tedy ε m + ε >. Dále m ε m m + ε) ε, m + ε m + m + ε) + + ε + ε, neboť sup M m. Odtud plyne, že m ε, m + ε ) ε, + ε). Podle definice hromdného bodu leží v m ε, m + ε ) nekonečně mnoho členů posloupnosti { n }, tedy i v ε, + ε) leží nekonečně mnoho členů posloupnosti { n }, což znmená, že je hromdný bod posloupnosti { n }, M tedy podle..6.4 mx M. Druhá část tvrzení se dokáže nlogicky..3.8 Vět Bolzno [78 848], Weierstrss [85 897]) Kždá ohrničená posloupnost má lespoň jeden hromdný bod. Buď { n } ohrničená posloupnost, h n H pro kždé n N. Položme M k { n : n > k}. M k, M k je shor ohrničená H je její horní závor). Existuje tedy b k sup M k. Zřejmě b k h pro kždé k N poněvdž M k M k+, pltí b k b k+. Tedy posloupnost {b k } k je nerostoucí zdol ohrničená. Podle.3.9 je {b k} k konvergentní, lim b k b. k Ukážeme, že b je hromdný bod posloupnosti { n }. Buď ε > libovolné. Existuje k N, že pro kždé k k jest b k b < ε, neboli b k < b + ε. Pro k k je tké b k sup{ n : n k} k. Celkem k b k < b + ε. Připusťme, že b není hromdný bod posloupnosti { n }. Pk v intervlu b ε, b + ε) leží pouze konečný počet členů této posloupnosti. To vzhledem k poslední nerovnosti znmená, že existuje n k tkové, že pro k n je k b ε. Tedy i b k sup{ n : n k} b ε. Podle.3.5. je b lim b k b ε, což je spor. k.3.9 Důsledky. Z kždé ohrničené posloupnosti lze vybrt posloupnost konvergentní. plyne z.3.6.. Je-li množin hromdných bodů posloupnosti prázdná, je posloupnost neohrničená. 3

.3. Definice Buď { n } posloupnost M množin jejích hromdných bodů. Nechť M. Je-li posloupnost { n } ohrničená shor, kldeme lim sup n lim sup n mx M, je-li n { n } ohrničená zdol, kldeme lim inf n lim inf n min M. Není-li { n } ohrničená shor, kldeme n lim sup n, není-li { n } ohrničená zdol, kldeme lim inf n. Nechť M. Je-li posloupnost { n } ohrničená shor, kldeme lim sup n lim inf n, je-li { n } ohrničená zdol, kldeme lim sup n lim inf n. Není-li { n } ohrničená shor ni zdol, kldeme lim sup n, lim inf n. Číslo lim sup n se nzývá limes superior posloupnosti { n }, číslo lim inf n se nzývá limes inferior posloupnosti { n }. Stručně: lim sup n je největší hromdný bod posloupnosti { n }, pokud je tto posloupnost ohrničená shor, lim inf n je nejmenší hromdný bod posloupnosti { n }, pokud je tto posloupnost ohrničená zdol..3.7 ukzuje, že definice je korektní. Anlogickou úvhou jko v důkzu věty.3.8 lze ukázt, že lim sup n lim k sup{ n : n > k}), lim inf n lim k inf{ n : n > k}). Zřejmě pltí: lim inf n lim sup n. lim inf n lim sup n právě tehdy, když existuje vlstní nebo nevlstní limit lim n..3. Definice Posloupnost { n } se nzývá cuchyovská, jestliže ke kždému ε R, ε > existuje n N tkové, že pro kždé n n kždé m n pltí m n < ε..3. Vět Cuchyovo Bolznovo kriterium konvergence) Posloupnost { n } je konvergentní právě tehdy, když je cuchyovská. Nechť { n } je konvergentní, lim n. Buď ε > libovolné. K ε > existuje n N tkové, že pro n n je n < ε pro m n je m < ε. Tedy pro n n m n pltí m n m + n m + n < ε + ε ε. Nechť { n } je cuchyovská. K číslu existuje ñ tkové, že pro n ñ pltí n ñ <, tedy ñ < n < ñ +. Položme h min{,,..., ñ, ñ }, H mx{,,..., ñ, ñ + }. Pk pro kždé n N je h n H, tedy { n } je ohrničená podle.3.9. existuje vybrná posloupnost { nk } k tková, že lim k n k R. Buď ε > libovolné. K ε existuje k N tkové, že pro kždé k k je nk < ε. Součsně existuje n N tkové, že pro m, n n je m n < ε. Buď n n libovolné. Zvolme k k tkové, že n k n. Pk n n nk + nk n nk + nk < ε + ε ε, tedy lim n. 4

.4 Diferenční sumční počet.4. Definice Buď { n } posloupnost. Posloupnost { n } jejíž členy jsou dány vzthem n n+ n nzýváme první) diference vpřed) posloupnosti { n }. Zřejmě pltí: Posloupnost { n } je rostoucí klesjící) právě tehdy, když všechny členy posloupnosti { n } jsou kldné záporné)..4. Definice Řekneme, že k N je uzel posloupnosti { n }, jestliže k nebo k k <..4.3 Vět Buď { n } posloupnost, k N. Jestliže k > k k k+, pk k je uzel posloupnosti { n }; jestliže k < k k k+, pk k je uzel posloupnosti { n }. Nechť k > k, k > k+. Pk k k+ k <, k k k >, tedy k ) k ) <. Nechť k > k, k k+. Pk k k+ k. Anlogicky lze ukázt pltnost druhého tvrzení..4.4 Vět Buďte { n }, {b n } posloupnosti, c R. Pk pltí. c n ) c n,. n + b n ) n + b n, 3. n b n ) n b n, 4. n b n ) n )b n+ + n b n ) n )b n + n+ b n ), ) n 5. Pokud b n b n+, pk n)b n n b n ). b n b n+. c n ) c n+ c n c n+ n ) c n. b n. n + b n ) n+ + b n+ ) n + b n ) n+ n ) + b n+ b n ) n + b n. 3. Plyne z.. 4. Pltí n b n ) n+ b n+ n b n n+ b n+ n b n+ + n b n+ n b n n+ n )b n+ + n b n+ b n ) n )b n + n+ b n ), tkže první vzth pltí. Druhý plyne z prvního z komuttivity násobení. ) 5. b n b n+ b n. b n b n+ b n ) b n b n+ b n b n+ n Podle 4. nyní je ) n + n n b n n n)b n n b n ). b n+ b n+ b n b n+ b n b n+ b n b n 5

.4.5 Definice Buďte { n } posloupnost, m, k N, m k. Sumu členů posloupnosti { n } v mezích od m do k definujeme vzthem k i m + m+ + + k..4.6 Vět im Buďte { n }, {b n } posloupnosti, c R, m, k N, m k. Pk k c i c im k i ± b i ) im k i, im k i ± im Plyne přímo z distributivního socitivního zákon..4.7 Vět k b i. Buďte { n } posloupnost, m, k N, m k. Oznčme [ n ] k nm k m. Pk pltí k im i [ i ] k+ im. k n m+ m ) + m+ m+ ) + + k k ) + k+ k ) k+ m. im Vět ukzuje, že diference sumce jsou v jistém smyslu inversní operátory..4.8 Vět Sumce per prtes ) Buďte { n }, {b n } posloupnosti, m, k N, m k. Pk pltí Ř.: Podle.4.7.4.4.4 pltí k im k [ n b n ] k+ nm i b i ) im i b i [ n b n ] k+ nm im k i )b i+. im k i )b i+ + i b i ) im Příkld: Njděte součet + 4 + 9 + + n. n i i n i i + ) i) i n + ) 3 n 3 + 3n + 3n k i )b i+ + im n i i [ i 3] n+ n i i ) i + ) i i n i + ) i ) i + ) n 3 + 3n + 3n i n i + 3i + ) n 3 + 3n + 3n i n 3 + 3n nn + ) + 3n n 3 6 n i i i k i b i. im n i + )i + ) i n n n 3 i i i n3 + 6n + 4n 3n 3n i n i. i

Odtud n i i n3 + 3n + n 6 nn + )n + ) 6..4.9 Vět Sztolz [84 93]). Nechť { n } je posloupnost tková, že lim n {b n } je ryze monotonní posloupnost tková, n že lim b n n. Jestliže lim c R n, pk tké lim c. n n b n n b n. Nechť { n } je posloupnost {b n } je neohrničená rostoucí posloupnost. Jestliže lim n tké lim c. n b n. Nechť pro určitost je {b n } klesjící. n c R. Buď ε > libovolné. Existuje n N tkové, že pro kždé k N, k n pltí poněvdž b k+ n > n pltí: c ε)b n b n+ ) < n n+ < c + ε)b n b n+ ) c ε)b n+ b n+ ) < n+ n+ < c + ε)b n+ b n+ ).. c ε)b m b m ) < m m < c + ε)b m b m ). Seštením těchto nerovností dostneme c ε)b n b m ) < n m < c + ε)b n b m ). Podle.3.5..3.6 je lim c ε)b n b m ) c ε)b n lim b m) c ε)b n. m m Podobně lim c + ε)b n b m ) c + ε)b n, lim n m ) n. Tedy podle.3.5. je m m c ε)b n n c + ε)b n. Poněvdž {b n } je klesjící lim n b n, je b n > pro kždé n N tedy c ε n b n c + ε. n Tto nerovnost pltí pro kždé n > n, což znmená, že lim c. n b n c. Buď K R libovolné. Existuje n N tkové, že pro kždé k N, k n pltí k+ k b k+ b k k k+ b k b k+ > K. Odtud pro kždé m, n N, m > n > n dostneme: k k+ > Kb k b k+ ) / m kn n m > Kb n b m ) / lim n Kb n / b n n K, b n 7 m n b n c R, pk

n což znmená, že lim. n b n c. Anlogicky jko předchozí přípd. Je-li {b n } rostoucí, provedeme důkz nlogicky.. Nejdříve dokážeme pomocné tvrzení: Jsou-li α, α,..., α k reálná čísl β, β,..., β k kldná reálná čísl, m, M R tková, že pro kždé i {,,..., k} pltí m < α i β i < M, pk Důkz provedem úplnou indukcí vzhledem ke k. m < α β < M je splněno triviálně. m < α + α + + α k β + β + + β k < M. Z indukčního předpokldu m < α + α + + α k β + β + + β k z předpokldu tvrzení < M, neboli mβ + β + + β k ) < α + α + + α k < Mβ + β + + β k ) dostneme sečtením dokzovnou nerovnost. mβ k < α k < Mβ k c R. Buď ε > libovolné. Existuje n N tkové, že pro n n pltí c ε < n+ n b n+ b n < c + ε. Poněvdž {b n } je podle předpokldu neohrničená rostoucí, lze bez újmy n obecnosti předpokládt b n. Položme α n+ n, α n+ n+,..., α k n n, β b n+ b n, β b n+ b n+,..., β k b n b n. Podle pomocného tvrzení je c ε < n n < c + ε b n b n, neboli n n c b n b n < ε. Dále pltí n c b n n n + n c b n b n n n b n b n + n c b n b n b n b n ) n n bn b n c + b n b n c + n c b n b n b n b n b n ) n n bn b n c + b n b n )c + n cb n b n b n b n b n ) n n c b ) n + n cb n b n b n b n b n n n c b n b n b n + n cb n. b n Poněvdž podle.3..5.3..4 je lim pro n > n je b n n b n b n n N, n > n tkové, že pro n n pltí b n b n b n b n. 8 b n b n, neboli, tk existuje

n cb n Poněvdž lim n b n, existuje n 3 N tkové, že pro n n 3 pltí n cb n b n < ε. Tedy pro n n mx{n, n, n 3 } pltí n c b n < ε + ε ε, n což znmená, že lim c. n b n c. Buďte h R, ε > libovolná čísl. Poněvdž lim n n+ n b n+ b n neboli vzhledem k tomu, že b k+ b k >, existuje n N tkové, že pro k n je k+ k b k+ b k > h + ε), k+ k > h + ε)b k+ b k ). Sečtením těchto nerovnic pro k od n do n dostneme n > h + ε) b n b n b n b n Poněvdž podle.3..5.3..4 je lim n b n pltí b n b n existuje n 3 N, že pro n n 3 pltí Tedy pro n n mx{n, n, n 3 } pltí n což znmená, že lim. n b n c. Anlogicky jko předchozí přípd. n n > h + ε)b n b n ) ) + n. b n n lim, existuje n N, že pro n n n b n <, neboli b n > b n n b n > ε. n b n > h + ε) ε h, Poznámky: Předpokld o ryzí monotonii posloupnosti {b n } v první části věty obecně nelze vynecht. Je-li npříkld n n b n )n, pk lim n+ n lim n b n+ b n n b n n ) n n lim n n n lim b n, n n n+ n ) n+ n+ + n ) lim n n n )n+ n + n + lim n ) n posloupnost { ) n } {,,,,,,... } je oscilující. 9 ) n podle.3..4, všk n +

Jestliže neexistuje vlstní ni nevlstní lim n nelze nic tvrdit o existenci lim. n b n n n+ n b n+ b n osttní předpokldy Sztolzovy věty jsou splněny, Je-li npříkld n )n n, b n, pk lim n n, {b n } je klesjící lim b n. Přitom n n posloupnost n b n ) n+ n + ) )n n n + n ) n+ n + n + ) n n + ) n n + ) nn + ) ) n n + n + n + n { } ) n n + n + n { 5 + n, 3 6, 5, 4, 6 3, 85 4,... } nemá limitu. Ale n lim lim n b n n ) n n n ) n lim n n. { } n!) Příkld: Rozhodněte, zd posloupnost je konvergentní pokud no, určete její limitu. n)! Ř.: Oznčme n n!) n)!. Pk pro kždé n N pltí n n+ n n + )!) n)! n + ))! n!) 4 + 8 + ) 4 + 5 <, n + ) n + )n + ) n + n + ) n + + 4n + ) 4 + 8n + ) neboli n+ < n. To znmená, že { n } je klesjící, zdol ohrničená posloupnost tedy podle.3.9 existuje lim n n R. Posloupnost {n)!} je rostoucí neohrničená, tedy n!) lim n n)! n!) lim n n)! n + )!) n!) lim n n + )! n)! lim n neboli 4. Odtud..5 Elementární funkce A. Polynomy.5. Definice n + n 4n + 6n + lim n n!) n + ) ) lim n n)!) n + )n + ) ) + n 4 + 6 n + n 4, Buďte n N {},,,..., n R, n. Polynom rcionální funkce celistvá) je funkce tvru P x) n x n + n x n + + x +. Číslo n se nzývá stupeň polynomu, znčíme n st P. Čísl,,..., n se nzývjí koeficienty polynomu. Je-li st P, polynom se nzývá lineární. Je-li st P, polynom se nzývá kvdrtický. Je-li st P 3, polynom se nzývá kubický. 3

Je-li st P 4, polynom se nzývá bikvdrtický. Číslo nzveme nulovým polynomem. Nepřiřzujeme mu stupeň., ), st P je lichý Dom P R, Im P [, ), st P je sudý, n >., ], st P je sudý, n < Komplexní čísl: C { + ib :, b R}, kde i + ib ) + + ib ) + ) + ib + b ) + ib ) + ib ) b b ) + i b + b ) Je-li α + ib C, β C pk ᾱ ib číslo komplexně sdružené konjugovné) α αᾱ + b bsolutní hodnot modul) komplexního čísl α + β ᾱ + β αβ ᾱ β α n ᾱ n pro n N α R b α ᾱ Množin komplexních čísel s opercemi +, splňuje R) R9) z..7. Tvoří tedy pole. Toto pole nelze uspořádt..5. Definice Číslo α C se nzývá kořen nulový bod) polynomu P, jestliže pltí P α). Je-li α kořenem polynomu P, pk lineární polynom x α nzveme kořenovým fktorem polynomu P..5.3 Zákldní vět lgebry Kždý polynom stupně n s komplexními koeficienty má komplexní kořen. Tto vět je známá od 7. století. První chybný) pokus o důkz publikovl d Alembert roku 746, větu dokázl Guss roku 799..5.4 Vět Buď P x) polynom, st P n. Číslo α C je kořenem polynomu P právě tehdy, když existuje polynom Q, st Q n tkový, že P x) x α)qx). Nechť P x) n x n + n x n + + x +, α je kořenem P. Pk P x) P x) P x) P α) n x n + n x n + + x + n α n + n α n + + α + ) n x n α n ) + n x n α n ) + + x α) + ). Pro kždé k N pltí x k α k ) : x α) x k + x k α + x k 3 α + + xα k + α k. Tedy P x) n x α)x n +x n α+ +α n )+ n x α)x n +x n 3 α+ +α n )+ + x α). Oznčíme Qx) n x n + x n α + + α n ) + n x n + x n 3 α + + α n ) + + dostneme tvrzení. je zřejmé. P x), st P n. Podle.5.3 má P kořen α, tedy P x) x α )Q x). Je-li st Q, pk Q x) x α )Q x), tedy P x) x α )x α )Q x). Anlogicky pokrčujeme po n krocích dostneme P x) n x α )x α ) x α n ). Může se stát, že α α α k, k n. Pk x α )x α ) x α k ) x α ) k. Celkem P x) n x α ) k x α ) k x α m ) km, přičemž k, k,..., k m N, k + k + + k m n. 3

.5.5 Definice Číslo α C se nzývá k-násobný kořen polynomu P x), jestliže P x) x α) k Qx), kde Qx) je polynom nemjící kořen α. -násobný kořen se nzývá jednoduchý.).5.6 Vět o rozkldu polynomu n kořenové fktory) Nechť P x) n x n + n x n + + x + je polynom, st P n. Nechť α, α,..., α m jsou všechny jeho nvzájem různé kořeny, přičemž α je k -násobný, α je k -násobný,..., α m je k m -násobný. Pk P x) n x α ) k x α ) k x α m ) km, k, k,..., k m N, k + k + + k m n. Důsledek: Polynom stupně n má právě n kořenů, jestliže k-násobný kořen počítáme k krát..5.7 Příkld P x) x 5 + x 4 + x 3 x x x 3 x + x + ) x + x + ) x 3 )x + x + ) )) )) x )x + x + )x + x + ) x ) x + i 3 x i 3.5.8 Vět Nechť polynom P x) n x n + n x n + + x + má reálné koeficienty komplexní kořen α. Pk má tké komplexně sdružený kořen ᾱ násobnosti kořenů α ᾱ jsou stejné. Pro x R je x x tedy P x) ā n x n + ā n x n + + ā n x n + n x n + + P x). Podle.5.6 je P x) n x α ) k x α ) k x α m ) km tedy P x) n x ᾱ ) k x ᾱ ) k x ᾱ m ) km. Z rovnosti P x) P x) plyne tvrzení. Polynom s reálnými koeficienty se nzývá reálný polynom..5.9 Vět o rozkldu reálného polynomu v reálném oboru n ireducibilní polynomy) Buď P x) n x n + n x n + + x + reálný polynom, st P n. Nechť α, α,..., α m jsou všechny jeho reálné kořeny, přičemž α je k -násobný,..., α m je k m -násobný. Nechť ± ib, ± ib,..., r ± ib r jsou všechny jeho imginární kořeny, přičemž ± ib je l -násobný,..., r ± ib r je l r násobný. Pk je P x) n x α ) k x α ) k x α m ) km [x ) + b ] l [x ) + b ] l [x r ) + b r ] lr, k + k + + k m + l + l + + l r n. Podle.5.6.5.8 v rozkldu polynomy P x) vystupuje součin fktorů x j + ib j )) lj x j ib j )) lj x j + ib j )x j ib j )x + j + ib j ) j ib j )) lj x j x + j + b j + i jb j j b j )) lj x j x + j + b j )lj [x j ) + b j ]lj. Fktory x j ) +b j se někdy nhrzují kvdrtickým polynomem x +p j x+q j se záporným diskriminntem p j 4q j..5. Příkld Viz též.5.7. x 5 + x 4 + x 3 x x x ) x + i 3 nebo x 5 + x 4 + x 3 x x x )x + x + ). )) x i 3 )) x ) x + ) ) + 3 4 3

B. Rcionální funkce.5. Definice Buďte P x), Qx) nenulové polynomy. Funkce Rx) P x) se nzývá rcionální lomená funkce. Qx) Je-li st P < st Q, funkce R se nzývá ryze lomená; je-li st P st Q, funkce R se nzývá neryze lomená. Dom R R \ {α, α,..., α k }, kde α, α,..., α k jsou všechny reálné kořeny polynomu Qx). Je-li Rx) neryze lomená, lze provést nznčené dělení. Výsledkem je polynom Sx) zbytek polynom T x), který je buď nulový nebo st T < st Q. Tedy Rx) Sx) nebo Rx) Sx) + T x). Odtud plyne, že pltí Qx).5. Poznámk Neryze lomená funkce je buď polynomem nebo ji lze vyjádřit jko součet polynomu ryze lomené funkce..5.3 Lemm Buď Rx) P x) ryze lomená rcionální funkce nechť α je reálný k-násobný kořen polynomu Qx), tj. Qx) Qx) x α) k Q x), Q α). Pk existují reálná čísl,,..., k tková, že pro všechn x Dom R pltí P x) Rx) x α) k Q x) k x α) k + k x α) k + + x α) + x α + P x) Q x), kde P x) je buď nulový polynom, nebo st P < st Q. Pro kždé R je P x) x α) k Q x) x α) k + P x) Q x) x α) k Q x). Položme k P α) Q α). Pk P α) kq α). Je-li P x) k Q x) nulový polynom, tvrzení pltí. Nechť P x) k Q x) není nulový. Pk α je jeho kořen podle.5.4 je P x) α k Q x) x α)p k x), P x) x α) k Q x) k x α) k + P k x) x α) k Q x). P k x) Stejný postup plikujeme n rcionální funkci x α) k po k krocích dostneme tvrzení. Q x).5.4 Lemm Buď Rx) P x) ryze lomená rcionální funkce nechť α + ib je imginární r-násobný kořen polynomu Qx) Qx), tj. Qx) [x ) + b ] r Q x), Q + ib). Pk existují reálná čísl m, n, m, n,..., m r, n r, tková, že pro všechn x Dom R pltí Rx) P x) [x ) + b ] r Q x) m r x + n r [x ) + b ] r + m r x + n r [x ) + b ] r + + m x + n [x ) + b ] + m x + n x ) + b + P x) Q x), kde P x) je buď nulový polynom, nebo st P < st Q. 33