Reprezentace holomorfní funkce Laurentovou řadou

98

Kapitola 5 Reprezentace holomorfní funkce Laurentovou řadou Úvod V předchozí kapitole jsme viděli, že každou holomorfní funkci je možné lokálně rozvést v mocninnou řadu. Tento rozvoj umožňuje efektivní popis holomorfní funkce i její numerický výpočet. Omezující je ovšem skutečnost, že mocninná řada konverguje vždy v kruhu. Z toho vyplývá, že na množinách, které nejsou kruhy, není možno holomorfní funkce globálně vyjádřit jako součet jediné mocninné řady. K důležitým příkladům takovýchto množin patří např. kruh s vyjmutým středem odpovídající situaci, kdy je funkce holomorfní na okolí daného bodu s výjimkou bodu samotného. Podívejme se na následující funkci f(z)= z. Tato funkce je holomorfní v množině C \ {}. Standardní rozvoj funkce f v mocninnou řadusestředemvpočátkuje z =+z+ z2 + +z n +, z <. Geometrická řada na pravé straně konverguje právě když z <. Tím jsme získali rozvoj pouzevjednotkovémkruhusestředemvpočátku.funkce f jeovšemholomorfníina vnějšku jednotkového kruhu {z C z > }, tedy za hranicí konvergence dané mocninné řady.zdejižnenímožnovyjádřit fjakosoučetmocninnéřadysestředemvnule.kdyby totižtakovářadaexistovala,muselabykonvergovativz=.tojevšaknemožné,neboť fnemávlastnílimituvbodě. Nadruhéstraně,vzdáme-lisepožadavkumít f pouzevetvarumocninnéřady,je možnopro z >psát z = z = (+ z z z + z ) 2+ = z z 2 = 99 n= zn, z >.

00 KAPITOLA 5. REPREZENTACE LAURENTOVOU ŘADOU Vidíme tedy, že funkci f je možno vyjádřit pomocí řady, která obsahuje záporné mocniny z. Jakmile připustíme záporné mocniny dostáváme nový typ řady, který umožní rozvoje na takovýchoblastech sdírami jakojenapříkladmezikruží. 2 Laurentovy řady Definice 5.. Řada tvaru (5.) a n (z z 0 ) n = a 2 (z z 0 ) 2+ a z z 0 + a 0 + a (z z 0 )+a 2 (z z 0 ) 2 +, senazýválaurentovařadasestředemvbodě z 0 akoeficienty a n, n Z.Řada a n (z z 0 ) n se nazývá regulární část Laurentovy řady, řada se nazývá hlavní část Laurentovy řady. a n (z z 0 ) n Řada(5.) konverguje v daném bodě z C, konverguje-li současně v tomto bodě její hlavní i regulární část. Její součet je přitom definován jako součet regulární a hlavní části, tj. a n (z z 0 ) n = a n (z z 0 ) n + a n (z z 0 ) n. n= Stejná terminologie se týká absolutní konvergence a konvergence stejnoměrné. Obor konvergence Laurentovy řady je průnikem oborů konvergence její hlavní a regulárníčásti,coždáváinávodnajehonalezení. Příklad 5.. Zjistíme obor konvergence Laurentovy řady Podíváme se nejdříve na regulární část 2 n (z ) n. 2 n (z ) n. Jedná se obyčejnou mocninnou řadu. Ze vztahu(4.6) ve Větě 4.2 je její poloměr konvergence R= lim n n =2. 2 n

2. LAURENTOVY ŘADY 0 Na hranici U(; 2) kruhu konvergence regulární část nekonverguje v žádném bodě, neboť vtěchtobodechje2 n z n =,tudížčlenyřadynekonvergujíknule. Nyní se podíváme na hlavní část. Nejprve provedeme záměnu sčítacího indexu n = m: 2 n (z ) n = m= 2 m (z ) m. Tutořadupomocísubstituce u= z převedemenamocninnouřadu 2 m u m. m= Její poloměr konvergence je 2. Hlavní část tedy konverguje absolutně pro z <2 tj. z > 2. Jdeovnějšekkruhusestředemvbodě z=apoloměrem 2.Stejnějakovpředchozím případě můžeme ukázat, že na hranici tohoto kruhu řada nekonverguje v žádném bodě. Závěrem tedy máme, že obor konvergence je mezikruží se středem v bodě, vnitřním poloměrem /2 a vnějším poloměrem 2, tj. množina { z C }. 2 < z <2 Postup v předchozím příkladě je zcela obecný. Regulární část Laurentovy řady je mocninná řada s jistým poloměrem konvergence R. Z Kapitoly 4 víme, že tato řada konverguje absolutněvotevřenémkruhu {z C z z 0 < R}adivergujevevšechbodechmnožiny {z C z z 0 > R}.HlavníčástLaurentovyřady(5.)nenířadamocninná,lzeji nicméně na mocninnou řadu převést pomocí substituce Dostaneme tak řadu u= z z 0. a n u n. n= Nechť K je poloměr konvergence této mocninné řady a položíme r= K. (Opětpokládáme 0 =, =0.)Pakhlavníčástkonvergujeabsolutněprovšechna z splňujícínerovnost z z 0 < K tj. z z 0 > r.

02 KAPITOLA 5. REPREZENTACE LAURENTOVOU ŘADOU Vbodechmnožiny {z C z z 0 < r}hlavníčástdiverguje.číslo rbudemenazývat poloměr konvergence hlavní části Laurentovy řady. Celkově tedy máme, že Laurentova řada(5.) konverguje absolutně v každém bodě množiny a nekonverguje v žádném bodě množiny {z C r < z z 0 < R} {z C z z 0 < r} {z C z z 0 > R}. Kvůli pohodlí si pro množiny vznikající jako obory absolutní konvergence Laurentových řad zavedeme značení P(z 0 ;r,r)={z C r < z z 0 < R}, kde0 r,r.vzávislostinamožnýchhodnotách rarjemnožina P(z 0 ;r,r)buď mezikružísestředemvbodě z 0 apoloměry ra R(0 < r < R)nebokruhbezsvéhostředu (r=0<r)nebovnějšekkruhu(r >0,R= )nebo C \ {z 0 }(r=0,r= )nebo prázdná množina(r R). Závěr této úvahy shrneme ve větě o konvergenci Laurentových řad, která je zobecněním Věty 4.2. Věta5.. Nechť a n(z z 0 ) n jelaurentovařada.je-li Rpoloměrkonvergence regulární části a r poloměr konvergence hlavní části, pak Laurentova řada konveguje absolutně na množine P(z 0 ;r,r) a stejnoměrně na každém mezikruží P(z 0 ;, 2), kde 0 < r < < 2 < R,vizobr.5..Je-li r R,pakLaurentovařadadivergujevkaždém boděmimouzávěrmnožiny P(z 0 ;r,r). Poznámka5.. ObsahemVěty5.jeskutečnost,žemnožina P(z 0 ;r,r)jemaximální otevřenou množinou, na které konverguje Laurentova řada absolutně. Budeme ji nazývat mezikruží konvergence Laurentovy řady. Vyšetřování řady na hranici této množiny je obecně komplikované. Pro naše účely však postačí stanovit parametry r a R. VedruhéčástiVěty5.jepředpoklad r Rdůležitý.Je-litotiž r = R,paksice P(z 0 ;r,r)=,nicméněsemůžestát,ženakružnici {z C z z 0 =r=r}laurentova řada v nějakém bodě konverguje.(viz cvičení.(c).) Důkaz. Jediné, co ještě vyžaduje argument, je stejnoměrná konvergence Laurentovy řady. Znamená stejnoměrnou konvergenci hlavní i regulární části. Víme již, že regulární část konvergujestejnoměrněnakaždémkruhu {z C z z 0 < 2},kde 2 < R. Podívejme se tedy na hlavní část (5.2) a n (z z 0 ) n = n= a n (z z 0 ) n. Pro z z 0 > > rplatíodhad (5.3) a n (z z 0 ) n < a n. n

2. LAURENTOVY ŘADY 03 Podle Weierstrassova kritéria(věta 4.) bude hlavní část konvergovat stejnoměrně, jestliže zaručíme, aby a n <. n n= Nechť zležínakružnici {z C z z 0 = }.Tatokružniceječástíoblastiabsolutní konvergence řady(5.2). Proto řada(5.2) konveguje absolutně i pro naše zvolené z, což přesně znamená, že a n <. n Tím je důkaz ukončen. n= Laurentova řada je řadou funkcí, její součet jetedykomplexnífunkce.věta5.říká,žetuto funkci je možno na určitých mezikružích stejnoměrně aproximovat polynomy v proměnných z z 0 a z z 0.Tytopolynomyjsounauvažovaných mezikružích holomorfní funkce. Protože podle Věty 4.7 je stejnoměrná limita holomorfních funkcí opět funkce holomorfní, je součet Laurentovy řady holomorfní funkce na mezikružíkonvergence P(z 0 ;r,r),(r < R).Důležitájeiopačnáotázka.Jemožnokaždoufunkci holomorfní na daném mezikruží o středu z 0 vyjádřit jako součet Laurentovy řady o tomtéž středu? Prozradíme, že odpověď je kladná. Im z 0 2 r Obr. 5.. K jejímu odvození však budeme potřebovat následující modifikaci Cauchyova integrálního vzorce pro mezikruží. Věta 5.2. (Cauchyův integrální vzorec pro mezikruží) Nechť f je funkce holomorfní na otevřené množině obsahující mezikruží Pakprovšechna z P(z 0 ;r,r)platí (5.4) f(z)= 2πj P(z 0 ;r,r), kde0 < r < R <. C 2 w z dw C w z dw, kde C a C 2 jsoukladněorientovanékružnicesestředemvbodě z 0 apoloměry rar. Důkaz. Zvolmepevněbod z P(z 0 ;r,r)aopišmekolemněhokladněorientovanou kružnici K ležící vmezikruží P(z 0 ;r,r). Kružnice C,C 2 a K spojímeorientovanými úsečkamitak,jakjetonaznačenonaobr.5.2a).tímsekružnice K rozpadnenadva orientovanéoblouky K a K 2.DefinujmedáleuzavřenoukřivkuΓskládajícísezoblouků kružnic C,C 2,K,K 2 aspojujícíchúseček(vizschématickézobrazenínaobr.5.2(a)): Γ=L K M ( C 2 ) ( M) K 2 ( L) C. R Re

04 KAPITOLA 5. REPREZENTACE LAURENTOVOU ŘADOU C 2 C z 0 L K 2 K M r z 0 C R (a) Obr. 5.2. Funkce (proměnné w)jeholomorfnívmezikruží,zekteréhojsmeodstranilikruh w z ohraničený kružnicí K. Podle Cauchyovy věty platí 0= w z dw= (5.5) Γ = L M = K w z dw+ w z dw+ w z dw+ K K 2 C w z dw+ w z dw w z dw M L C 2 w z dw w z dw+ w z dw. C 2 C (b) w z dw w z dw= Uvážíme-li, že podle Cauchyova integrálního vzorce(3.9) je w z dw=2πjf(z), je rovnost(5.5) už požadovanou identitou f(z)= 2πj w z dw K C 2 C w z dw. Nyní se dostáváme k nejdůležitější větě teorie Laurentových řad. Věta5.3.Nechť f jefunkceholomorfnínamezikruží P(z 0 ;r,r),kde0 r < R. Pakexistujíkoeficienty a n C, n Z,že f(z)= a n (z z 0 ) n

2. LAURENTOVY ŘADY 05 provšechna z P(z 0 ;r,r).přitomkoeficientytétolaurentovyřadyjsouurčenyjednoznačně a platí (5.6) a n = 2πj (w z 0 ) n+dw, n Z, C kde Cjelibovolnákladněorientovanájednoducháuzavřenákřivkaležícívmezikruží P(z 0 ;r,r) amajícíbod z 0 vesvévnitřníoblasti(vizobr.5.2(b)). Důkaz. Vprvnífáziukážeme,žefunkce fjesoučetnějakélaurentovyřady.bezújmy naobecnostilzepředpokládat,že z 0 =0,neboťposunutímcelésituacesevyšetřované vlastnostinezmění.zvolmesinyníkladněorientovanékružnice C = {z C z = }, C 2 = {z C z = 2},propoloměry r < < 2 < Rabod z P(0;, 2).Podle Cauchyova vzorce pro mezikruží je (5.7) f(z)= 2πj C 2 w z dw C w z dw. Podívejmeseteďnafunkci(proměnné w) w z namnožině C.Prokaždé w C je w = < z.tonásvedekmyšlencerozvéstvýraz vgeometrickou řadu w z skvocientem w z.máme (5.8) w z = z( w z )= z = wn z n+. w z = z w n z n = Mámeřaduvzniklouvrovnosti(5.8)integrovatpodélkřivky C.Zatímúčelembychom rádi prohodili pořadí integrálu a sumy. K tomu je ovšem zapotřebí ověřit stejnoměrnou konvergencipříslušnéřadyna C.Funkce f mánamnožině C maximum,řekněme M. Je tedy možno odhadnout wn z n+ M w n n z n+= M z n+, w C. Protože z <mářada wn z n+na C konvergentníčíselnoumajorantu M n z n+ apodleweierstrassovakritéria(věta4.)jetedystejnoměrněkonvergentnína C.Integrací(5.8)přeskřivku C takzískáme (5.9) C w z dw= C wn ( ) z n+dw= w n dw C z n+.

06 KAPITOLA 5. REPREZENTACE LAURENTOVOU ŘADOU Tento typ řady má tvar hlavní části nějaké Laurentovy řady. Jak to vypadá s integrálem podélkřivky C 2?Pro w C 2 je w = 2 > z. Postupbudeprotoanalogickýjakovýše,pouzestímrozdílem,ževýraz w z napíšeme jako geometrickou řadu s kvocientem z/w: w z = w( z w )= w z n w n= zn w n+. Zcelastejněseověří,žepřiintegracipodél C 2 můžemezaměnitpořadíintegracea sumy, a tak nakonec dostaneme (5.0) C 2 w z dw= ( C 2 ) w n+ z n. Dosazením(5.9) a(5.0) do(5.7) máme (5.) f(z)= 2πj w n dw z n++ 2πj C C 2 z n. w n+ To dokazuje existenci rozvoje nějakou v Laurentovu řadu. Zbývá odvodit integrální vyjádření koeficientů Laurentova rozvoje a tím i jeho jednoznačnost.vímejiž,žeexistujíkoeficienty a n C, n Ztakové,že f(z)= a n (z z 0 ) n na P(z 0 ;r,r).zvolmekřivku CsvlastnostmiuvedenýmiveVětě5.3.Provšechna w C platí a k (w z 0 ) k = a po vynásobení výrazem k= (w z 0 ) n+(propevnězvolené n Z)máme k= a k (w z 0 ) k n = (w z 0 ) n+. Díky stejnoměrné konvergenci Laurentovy řady můžeme integrovat řadu vlevo člen po členuazískattak (5.2) k= a k C (w z 0 ) k n dw= C (w z 0 ) n+dw

2. LAURENTOVY ŘADY 07 Klíčovýmpozorovánímjenynískutečnost,žeintegrál C (w z 0) m jerovennulevyjma případu m=.je-li m 0,jeintegrovanáfunkceholomorfnínacelékomplexnírovině. Podle Cauchyovy věty je integrál nulový. Je-li m < 0, užijeme zobecněný Cauchyův integrální vzorec(4.28) pro konstantní funkci f(z) =. Dostaneme tak, že vyšetřovaný integráljenenulovýpouzepro m= ajehohodnotaje2πj.řadanalevéstraněrovnosti (5.2)mátedynejvýšejedennenulovýčlenatoproindex k=n.rovnice(5.2)setak redukuje na vztah 2πj a n = (w z 0 ) n+dw, což dává integrální vyjádření koeficientů a ukončuje důkaz. C Poznámka 5.2. Laurentova řada ve Větě 5.3 se nazývá Laurentovou řadou funkce f vmezikruží P(z 0 ;r,r). Jednoznačnost koeficientů v Laurentově rozvoji implikuje, že funkci holomorfní v P(z 0 ;r,r)jemožno zakódovat doposloupnostikoeficientů(a n )jejíholaurentovarozvoje. To také znamená, že pro Laurentovy řady se stejným součtem jsou odpovídající koeficienty stejné. Přesněji, rovnost a n (z z 0 ) n = b n (z z 0 ) n najistémotevřenémmezikružíimplikuje a n = b n provšechna n Z.Tentoprincipbudeme často využívat. Příklad5.2.NaleznemeLaurentovuřaduostředu z 0 =0funkce f(z)= (z 2)(z 3) voblasti P(0;2,3)avyužijmejikvýpočtuintegrálů f(z) dza f(z)z 0 dz, z0 C C kde C je kladně orientovaná kružnice zadaná vztahem z = 5/2. Funkce f jeholomorfnívevšechbodech Ckroměbodů2a3.Jetedyholomorfní v mezikruží P(0; 2, 3) a úloha má řešení. Při hledání Laurentova rozvoje racionální funkce se standardně využívá rozkladu na parciální zlomky. V našem případě je f(z)= z 3 z 2. U jednotlivých zlomků využijeme součtu geometrické řady. Dostaneme tak z 3 = 3 z 2 = z z 3 2 z = = z n 3 n+ pro z <3, 2 n z n+= 2 n z n pro z >2.

08 KAPITOLA 5. REPREZENTACE LAURENTOVOU ŘADOU Závěrem máme f(z)= 2 n z n z n 3 n+ pro2 < z <3. Získaná Laurentova řada má tedy nenulovou hlavní i regulární část. U prvního z částečných zlomků z 3, z 2 jsmenalezlivyjádřenípomocímocninnéřadyaudruhéhopomocí řady se zápornými mocninami. Tento výsledek je možno odhadnout předem. Funkce z 3 je totiž holomorfní v kruhu {z C z < 3} obsahujícím dané mezikruží. Její Laurentova řada bude proto pouze obyčejná mocninná řada. Naproti tomu funkce z 2 jeholomorfní vmnožině {z C z >2},cožjedoplněkkruhu,aprotozdemusímehledatLaurentův rozvoj obsahující záporné mocniny. Máme-li k dispozici Laurentovu řadu můžeme okamžitě nalézt oba zadané integrály, které souvisí s koeficienty Laurentova rozvoje. Z integrálního vyjádření plynepro n=9an=,že C C a n = 2πj C f(z) z n+dz f(z) z 0 dz= a 9 2πj= 2πj 3 0 f(z)z 0 dz= a 2πj= 2 πj. VzávěrutétočástisezmínímeoLaurentověřaděsestředem z=. Definice 5.2. Řada a n z n= +a 2z 2 + a z+ a 0 + a z + a 2 z 2+, kde a n C, n Z,senazýváLaurentovouřadousestředemvbodě (nebotakés nevlastnímstředem)akoeficienty a n.část a n z n, ( resp. ) a n z n se nazývá regulární část Laurentovy řady,(resp. hlavní část Laurentovy řady). Řada s nevlastním středem je vlastně jenom jinak zorganizovanou Laurentovou řadou sestředemvbodě0.narozdílodstředuvevlastnímboděobsahujehlavníčástnezáporné mocniny a regulární část mocniny záporné. Na první pohled to vypadá jako uměle zavedený pojem. Skutečně nepřináší žádnou novou informaci o Laurentově řadě, nicméně výhodnost této konvence se ukáže posléze.

3. CVIČENÍ 09 Příklad 5.3. Nalezněme Laurentův rozvoj se středem v bodě funkce f(z)=z 2 e z. Příklad vede na použití mocninného rozvoje exponenciální funkce v počátku. z 2 e z = z 2 = z 2 + z+ n!z n= z2 + z+ n=2 n!z n 2= (n+2)! zn, z >0. (Vposlednímkrokujsmeprovedlizměnusčítacíhoindexu n n+2.)tedy a 2 = a =, a n =, pro n 0. (n+2)! DanýLaurentůvrozvojmákonečnouhlavníčást z 2 + zanekonečnouregulárníčást (n+2)! z n= 2! + 3! z + 4! z 2+ 3 Cvičení Úloha: Stanovte obor konvergence Laurentovy řady 2 n z n + 3 n z n. Řešení:Všimnemesi,žehlavníiregulárníčástjsougeometrickéřadyskvocienty 2z a 3z. Hlavní část tedy konverguje právě, když 2z < tj. z > 2. Pro absolutní konvergenci regulární části je nutná a postačující podmínka 3z < tj. z < 3. Vidíme tedy, že obory konvergence se neprotnou a tedy obor konvergence zadané řady je prázdná množina. Úloha: Stanovte obor konvergence Laurentovy řady 2 n2 (z ) n.

0 KAPITOLA 5. REPREZENTACE LAURENTOVOU ŘADOU Řešení: Podívejme se nejdříve na regulární část 2 n2 (z ) n. Použijeme odmocninového kritéria absolutní konvergence R = lim n = lim n 2 n2 n 2, tj. R=. Regulární část konverguje v celé komplexní rovině. Konvergence hlavní části je ekvivalentní konvergenci řady n= 2 n2 (z ) n= u n, kde u= 2 n2 z. n= Opětovným použitím odmocninového kritéria dostáváme n lim = lim n 2 n2 n 2. Hlavníčásttedykonvergujeprovšechna u C,tj.provšechna z.oboremkonvergence zadanéřadyjecelákomplexnírovinavyjmabodu,formálně P(;0, ). Rozmyslete si, že komplexní rovina bez bodu je maximální množina konvergence Laurentovy řady s nenulovou hlavní částí! Úloha: Vyšetřete konvergenci Laurentovy řady 3 n + (z j)n. Řešení:Použitímpodílovéhokritériaproregulárníčást 3 n + (z j)n máme lim n 3 n+ + 3 n + 3 n + = lim n 3 n+ + = lim +3 n n 3+3 n= 3. Regulární část tedy konverguje absolutně pro z j < 3. Pro hlavní část přepsanou do tvaru 3 n +(z j) n= 3 n + un, kde u= z j, n= je limita v podílovém kritériu lim n n= 3 n + 3 n + Tatočástkonvergujeabsolutněpro u <,tj. z j >.Oborkonvergencezadanéřady je mezikruží P(j;,3)={z C < z j <3}. =.

3. CVIČENÍ (Na hranici tohoto mezikruží řada nekonverguje neboť členy řady nekonvergují k nule.) Úloha:Prozadanépoloměry0<r<R< nalezněte Laurentovyřady,které konvergují právě v následujících množinách (a) {z C z < R} (b) {z C z > r} (c) {z C r < z < R}. Řešení: Ve všech případech musíme volit nekonečnou řadu. Budeme ji však hledat jako co nejjednodušší, tedy jako řadu geometrickou. (a) Podmínce vyhovíme mocninnou řadou c n z n, kterákonvergujeprávěkdyž cz = c z <.Ekvivalentně, z < c.volbou c= R tak dostaneme řadu, jejíž obor konvergence je právě zadaná množina. To odpovídá řadě R nzn. (b) V tomto případě se pokusíme nalézt hlavní část Laurentovy řady ve tvaru c n z n, tedyvetvarugeometrickéřadyskvocientem cz.podmínkakonvergencedá cz < tj. z > c. Požadovanýoborkonvergencetedyzískámenapříkladvolbou c= r.tímmámeřadu z n r n. (c) Na základě výsledků v předchozích částech je možno zvolit Laurentovu řadu z n r n+ R nzn. Úloha: Nalezněte Laurentův rozvoj funkce f(z)= z a, a

2 KAPITOLA 5. REPREZENTACE LAURENTOVOU ŘADOU sestředemvboděatovevšechmožnýchoblastech. Řešení:ZadanáfunkcejeholomorfnívC \ {a}.vúvahutedypřicházejídvěoblasti: kruhsestředemvboděapoloměrem a avnějšektohotokruhu.naobr.5.3jsou označenyjako P a P 2. a P 2 P Obr. 5.3. Podívejme se na první případ. Funkci upravíme následujícím způsobem: z a = z + a = a Pro z < a jesplněnapodmínka z a <, které využijeme k rozvoji v geometrickou řadu Máme tedy rozvoj a z a += a f(z)= (z ) n (a ) n+. z a +. (z ) n (a ) n. Nynísebudemezabývatpřípadem z > a.vtétooblastiplatí a z <, proto využijeme následujících algebraických úprav a rozvoje v geometrickou řadu: z a = z + a = z + a z = z (a ) n (a ) n (z ) n= (z ) n+= (a ) n (z ) n.

3. CVIČENÍ 3 Na P 2 máfunkcerozvoj f(z)= (a ) n+(z )n. Úloha: Nalezněte Laurentův rozvoj o středu z = funkce voblasti {z C z > 2}. f(z)= (z j) 2 Řešení: Funkce f je holomorfní v zadané množině, která je vnějškem kruhu se středem vboděapoloměrem 2.Očekávámeprotorozvojdozápornýchmocninčlenu z.bod jležínahranicitétooblasti.nejdříverozvinemepro z {z C z > 2}funkci z j = z + j = z + j z = ( ) n ( j)n = z (z ) n+, z > 2. ( ) n( j)n (z ) n= Vzniklou identitu budeme derivovat podle proměnné z. Vzhledem k tomu, že Laurentova řadakonvergujestejnoměrněnakaždéomezenéuzavřenémnožiněobsaženévp(; 2, ) můžeme Laurentův rozvoj derivovat člen po členu. Tím dostáváme Závěrem, (z j) 2= ( ) n ( j) n ( n ) (z ) n+2. (z j) 2= ( ) n ( j) n n+ (z ) n+2= = 2 ( ) n+ ( j) n 2 (n+)(z ) n. Tento příklad ukazuje obecnou početní metodu rozvoje racionální funkce v Laurentovu řadu. Nejdříve danou racionální funkci rozložíme na parciální zlomky typu A (z a) k. Poté rozvineme funkci A z a

4 KAPITOLA 5. REPREZENTACE LAURENTOVOU ŘADOU v geometrickou řadu a výsledek k krát derivujeme. Kombinací rozvojů parciálních zlomků pak získáme konečný výsledek. Úloha: Nalezněte první čtyři členy Laurentova rozvoje funkce prooblast {z C 0 < z <}. f(z)= e z z(z 2 +) Řešení:Zezadáníplyne,žestředhledanéřadyjevz 0 =0.Využijemestandardního rozvoje a nalezneme též rozvoj funkce z(z 2 +) = z e z =+z+ z2 2! + z3 3! + z(z 2 +) v P(0;0,). +z 2= z ( ) n z 2n = = z z+ z3 z 5 +. ( ) n z 2n = Tedy f(z)= ) ( ) (+z+ z2 2 + z3 6 + z z+ z3 z 5 +. Laurentovy řady můžeme násobit stejně jako polynomy. V součinu na pravé straně předchozírovnostitedydostávámenejnižšímocninu z apovynásobení f(z)= z + 2 z 5 6 z2 +. Úloha: Nalezněte několik prvních členů Laurentova rozvoje funkce f(z) = cotg z v prstencovém okolí bodu 0. Řešení:Funkcecotg z jeholomorfnívckroměbodů kπ,kde k Z.Maximální prstencové okolí nuly, ve kterém můžeme rozvinout cotg z v Laurentovu řadu je tedy P(0; 0, π). Pro hledaný rozvoj použijeme algoritmu dělení nekonečných polynomů cotg z=(cos z):(sin z)= ) ) ( z2 2! + z4 4! z6 6! + : (z z3 3! + z5 5! z7 7! +.

3. CVIČENÍ 5 Máme tak, ) ( z2 2 + z4 24 z6 720 + : ) ( z2 6 + z4 20 z6 5040 + z2 3 + z4 30 z6 840 + ) ( z2 3 + z4 8 z6 360 + z4 45 + z6 630. (z z3 )=z 6 + z5 20 z7 5040 + Dalším pokračování v dělení(například za pomoci počítače) máme (5.3) cotg z = z z 3 z3 45 2z5 945 z7 4725 2z9 93555. z3 z3 45 Úloha:Nalezněterozvojefunkce f(z)=zsin z vlaurentovyřadysestředyvbodech 0a.Stanovtevoboupřípadechkoeficienty a 2 a a 0. Řešení: Pro střed v počátku máme zsin z = z =+ ( ) n (2n+)! z 2n+= ( ) n ( 2n+)! z2n. ( ) n (2n+)! z 2n Todává a 2 = 6, a 0=0.Prostředvnekonečnupoužijemestejnéhorozvoje Odtud a 2 =0,a 0 =!. zsin z = ( ) n (2n+)! z 2n. Úloha: Pomocí rozvoje v Laurentovu řadu nalezněte následující integrály 2z+ I = (z 2 dz + z 2)z00 C I 2 = C (2z+)z 00 z 2 + z 2 dz,

6 KAPITOLA 5. REPREZENTACE LAURENTOVOU ŘADOU kde Cjekladněorientovanájednoducháuzavřenákřivkaležícívmezikruží P(0;,2)a obsahující bod 0 ve svém vnitřku. Řešení:ZintegrálníhovztahuprokoeficientyLaurentovarozvojeplyne I =2πja 99, I 2 =2πja 0,kde a 99 a a 0 jsoukoeficientyvlaurentověrozvojifunkce f(z)= 2z+ z 2 + z 2 vmezikruží < z <2.Rozklademnačástečnézlomkymáme Rozvojem v řady pak dostáváme Tedy což dává z+2 = 2 z = z + z 2 z 2z+ z 2 + z 2 = z+2 + z. = ( ) n zn 2 2 n= ( ) n zn 2n+, z <2. = zn+, z >. 2z+ z 2 + z 2 = z n + ( ) n zn 2 n+ < z <2, I =2πj 2 00= 2 99πj I 2 =2πja 0 =2πj. Před poslední úlohou se zmíníme o souvislosti Laurentovy a Fourierovy řady. Nechť funkce f(t)jetvaru f(t)=r(cos t,sin t), kde R: R 2 Rjeracionálnífunkcevedvouproměnných,tj.podíldvoupolynomůdvou proměnných. Předpokládáme, že f(t) je definována pro všechna t 0, 2π. Nalezneme metodu výpočtu Fourierovy řady funkce f pomocí Laurentova rozvoje vhodné komplexní funkce.využijemeeulerovuidentitu e jt =cos t+jsin t,t R,zekteréplyne,žepro z= e jt platí cos t= z+ z 2 sint= z z 2j = z2 + 2z = z2 2jz. Definujeme tedy komplexní funkci ( z f(z)=r 2 ) +, z2. 2z 2jz

3. CVIČENÍ 7 Dostali jsme tím racionální funkci komplexní proměnné, pro kterou platí f(e jt )=R(cos t,sin t), t R. Jinýmislovy, fnabývávodpovídajícíchbodechnajednotkovékružnici Chodnotu f(t). Funkce fprotomusíbýtholomorfnívjistémmezikružíobsahujícím C.Rozviňmevtomto mezikružífunkci fvlaurentovuřadusestředemvpočátku: Dosazením z= e jt máme f(z)= R(cos t,sin t)= a n z n. a n e jnt, t R. Vidímetedy,žekoeficientyLaurentovarozvojefunkce f jsousoučasněkoeficientykomplexní Fourierovy řady funkce f. Tato metoda umožňuje často pohodlnější výpočet než je výpočetkoeficientů a n pomocíintegrálníhovzorce. Úloha: Pomocí Laurentovy řady nalezněte Fourierovu řadu funkce f(t)= 2+cos t. Řešení: Funkce f(t) vyhovuje předpokladům předešlé úlohy. Spočítáme si nejdříve f(z)= 2+ z2 + 2z = 2z z 2 +4z+. Funkce f(z)jeracionálnífunkcedefinovanávšudekroměbodů z = 2+ 3az 2 = 2 3.BudemehledatLaurentůvrozvojfunkce vmezikružíobsahujícíjednotkový kruh,tedyvoblastidanénerovnicemi z =2 3 < z < z 2 =2+ 3.Rozkladne částečné zlomky má tvar f(z)= A + B, z z z z 2 kde, po krátkém výpočtu A= 2+ 3 3, B= 2+ 3 3. Laurentovy rozvoje parciálních zlomků jsou A z z = A z z = A z z n z n+, z > z

8 KAPITOLA 5. REPREZENTACE LAURENTOVOU ŘADOU Platí tedy kde B = B z z z 2 z 2 z 2 = B z 2 f(z)=a z n z n 2 z n z n+ B z n z2 n+ = = B a 0 = B z 2 = 3, z n z n+ 2, z < z 2. a n z n, z < z < z 2, apro n a n = B z n+ 2 = 2+ 3 3 ( 2 3) n+= 3 ( 2 3) n, a n = Az n = 2+ 3 3 ( 2+ 3) n = 3 ( 2+ 3) n. Všimněme si jedné důležité vlastnosti koeficientů a n = a n n=,2,... (Stačí rozšířit zlomek ( 2 3) nvýrazem( 2+ 3) n!)tentovztahjeobecnouzákonitostí, která plyne ze skutečnosti, že pro koeficienty komplexního Fourierova rozvoje reální funkceplatí a n = a n.znamenáto,ževždypostačístanovitpouzeregulárníčástdaného rozvoje.vrátímesenyníkfunkci f(t). f(t)= f(e jt )= = a 0 + 2a n cos nt. n= Po dosazení numerických hodnot a n e njt = a 0 + n= a n (e njt + e njt )= n= f(t)= + 2 ( 2+ 3) n cos nt. 3 3. Nalezněte obor konvergence následujících Laurentových řad (a) (b) (c) +e nzn e n (z 2j) n z n n 2 z n+ n 2

3. CVIČENÍ 9 2. NalezněteLaurentovuřadukteráa)konvergujeprávěvmezikruží P(0,,2)b)konvergujeprávěvuzavřenémmezikruží P(0,,2). 3. Nalezněte Laurentovy rozvoje zadaných funkcí v uvedených oblastech (a) z 2 +2z 8 v P( 2,2,4), 3z (b) (2z )(2 z) v P(0,0, 2 ) 3z (c) (2z )(2 z) v P(0, 2,2) 3z (d) v P(0,2, ) (2z )(2 z) (e) 3zsin πz z+5 vmaximálnímmezikružísestředem z 0= 5 z 2 2z+5 (f) (z 2)(z 2 +) v P(0,,2) (g) (z 2 +) 2 v P(j,0,2) z (h) (z 2 4)(z 2 pro < z <2 ) z (ch) sin,pro z >. z (i) e z z+2, z0 =,pro z >2 (j) cos z2 4z (z 2) 2,pro z 2 >0. 4. RozhodnětezdalzedanéfunkcerozvéstvLaurentovyřadysestředem z 0 vmezikruží P(z 0,0, ). (a) cos z, z 0=0 (b)cos z, z 0= (c) tgh z, z 0= (d)ln z, z 0 = (e) Ln z, z 0 =. 5. Rozviňtefunkci f(z)= z +z3a)vmocninouřadusnezápornýmimocninami z,b) v Laurentovu řadu se zápornými mocninami z. Určete obory konvergence! 6. Rozviňtefunkci f(z)=ln z+j vlaurentovuřadusestředemvbodě vmaximální možné oblasti! z j 7. NalezněteprvnítřičlenyLaurentovarozvojefunkce f(z)= π sin πz sestředemvbodě 0 a určete oblast konvergence této řady!

20 KAPITOLA 5. REPREZENTACE LAURENTOVOU ŘADOU 8. Ukažte,žefunkceholomorfnívmezikruží P(0,r,R), r < R,jesoučtem f= f + f 2, kde f jeholomorfnípro z < Raf 2 jeholomorfnípro z > r! a n 9. Ukažte,žeřada z nkonvergujevjistémokolínekonečnaprávětehdykdyžexistují konstanty M 0,c >0tak,že a n Mc n provšechna n 0. 0. Nechť fjefunkceholomorfnívmezikruží P(0,r,R),r < R,prokterouplatí f(z)=f( z)provšechna z P(0,r,R). Charakterizujte funkci f pomocí koeficientů v jejím Laurentově rozvoji!. Předpokládejme,žefunkce fjeholomorfnívp(0,r,r), r < R.Nechť f(z) M provšechna z P(0,r,R). Odvoďtenásledujícíodhadprokoeficienty(a n )Laurentovarozvoje f(z)= a nz n : ( M a n min r n, M ) R n provšechna n Z. 2. Pomocí rozvoje v Laurentovu řadu spočtěte následující integrály z n (+z 2 dz,n Z,kde Cjejednoducháuzavřeníkřivkaležícívoblasti ) C a) z >b) z <,kterámánuluvesvévnitřníoblasti. 3. Předpokládejme,že f jefunkceholomorfnívoblasti C \ {0}.Ukažte, žeplatí-li f(2z)=f(z)provšechna z 0je fkonstantnífunkce. 4. Pomocí Laurentových rozvojů nalezněte Fourierovy řady následujících periodických funkcí (a) f(x)= 2sin x 5 4cos x 2cos x (b) f(x)= 5 4cos x qsinx (c) f(x)= 2qcos x+q2, q < q 2 (d) f(x)= 2qcos x+q2, q < qcos x (e) f(x)= 2qcos x+q2, q < (f) f(x)=ln( 2qcos x+q 2 ), q <!

3. CVIČENÍ 2 5. Besselovyfunkce J n, n Z,jsoudefinoványjakokoeficient a n (b)vlaurentově rozvoji funkce f(z)=e 2 b(z z) sestředemvbodě0.vyjádřete J n (b)pomocínekonečnéřady. Výsledky..a) P(0,,),b) c)konvergujepro z =. e z n z n 2.a) z n+ 2 nb) n 2 z n+ n 2 2 n ( 3.a) ) ( ) n 2 n (z+2) n + 6 4 n+(z+2)n b) 2 n z n z n + 2 n c) d) 2 n zn ( 2 n 2 n ) z n e)3 ( ) n 52n+ (2n+)!(z+5) 2n 5 f)2 ( ) n z 2n z n 2 n+ n= (2n+)!(z+5) 2n+, z+5 0 ( ) n 52n+ g) 4(z j) 2 j 4(z j) + (n+3)j n (z j) n 2 n+4 h) 3 z 2n+ z 2n+ 2 4 n n= sin(+n π 2 ch) ) n!(z ) n i) e ( 2z ) +6z + j)cos ( ) k 2 k 2 2k+ (2k)!(z 2) 4k+sin (2k+)!(z 2) 4k+2 k=0 4.a)ano,b)anoc)ned)nec)ne 5.a) ( ) n z 3n+, z < b) ( ) n z3n+2, z > k=0

22 KAPITOLA 5. REPREZENTACE LAURENTOVOU ŘADOU 6. k= 2j( ) k (2k )z2k, z > 7. z + π2 z+ 7π4 360 z3 +,vp(0,0,). 9. Použijte odhad integrálu v integrálním vyjádření koeficientů Laurentovy řady! 0. a 2n+ =0provšechna n C.VyužijtejednoznačnostkoeficientůLaurentovyřady!. Použijte integrálního vyjádření koeficientů! 2.a)2πj( ) n 2 je-li nliché,0jinak b)2πj( ) n+ 2 je-li nliché,0jinak. 3. Využijte jednoznačnosti koeficientů v Laurentově rozvoji! sin(n+)x 4.a) 2 n+ cos(n+)x c) 2 n+ q n sin nx n= d)+2 e) q n cos nx q n cos nx f) 2 n= q n cos nx n (Nejdříve spočtěte Laurentovu řadu derivace pomocné funkce!) ( ) b 2k+n 5. J n (b)= (n+k)! k! ( )k.(využijtepravidlapropočítánísoučinuřad!) 2 k=0