Komplexní analýza Fourierovy řady Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVU v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Fourierovy řady 1 / 20
Úvod Často se setkáváme s periodickými funkcemi: kmity struny, průběh elektrického napětí, srdeční činnost (elektrokardiogram),... Mnoho periodických funkcí můžeme psát jako lineární kombinaci komplexních exponenciál. Například graf odpovídá funkci f(t) = 1 2 cos(πt) + 2 9 cos(3πt) 2 7 sin(πt) 2 5 sin(3πt) = αe 3iπt + βe iπt + γe iπt + δe 3iπt, kde β = γ = 1 4 i 7 a α = δ = 1 9 i 5. Martin Bohata Komplexní analýza Fourierovy řady 2 / 20
Úvod Ne všechny periodické funkce však lze vyjádřit jako lineární kombinace komplexních exponenciál. Pokud by tak šla vyjádřit například funkce f(t) = sin t, pak by musela být všude diferencovatelná, což není. Avšak f(t) lze vyjádřit pomocí (nekonečné) řady obsahující násobky komplexních exponenciál. Navíc koeficienty u jednotlivých exponenciál jsou dány jistým integrálním vzorcem, ve kterém vystupuje funkce f. akové řady nazýváme Fourierovými řadami. Počátky Fourierových řad (18. století a začátek 19. století): problémy vedení tepla a vlnění. Aplikace: diferenciální rovnice, fyzika, teorie signálů, komprese dat,... Martin Bohata Komplexní analýza Fourierovy řady 3 / 20
rigonometrické řady Definice Necht > 0 a c n C pro každé n Z. Řada n= c n e 2πint se nazývá trigonometrická řada. Řekneme, že trigonometrická řada konverguje v bodě t R, jestliže lim n n k= n c k e 2πikt existuje konečná. ato limita (pokud je konečná) se nazývá součtem trigonometrické řady v bodě t. Martin Bohata Komplexní analýza Fourierovy řady 4 / 20
rigonometrické řady Částečné součty n k= n c k e 2πikt trigonometrické řady se nazývají trigonometrické polynomy. Konverguje-li trigonometrická řada v nějakém bodě t, pak také konverguje v každém bodě t + l, kde l Z. Konverguje-li trigonometrická řada n= c n e 2πint v nějakém bodě, pak její součet je periodická funkce s periodou. Martin Bohata Komplexní analýza Fourierovy řady 5 / 20
Periodické rozšíření Definice Necht a R, > 0 a f : [a, a + ] C. Periodickým rozšířením funkce f budeme rozumět funkci g : R C splňující g(t) = f(t) pro každé t [a, a + ) a g(t + ) = g(t) pro každé t R. Periodické rozšíření je periodická funkce s periodou. Každá periodická funkce f : R C je periodickým rozšířením nějaké vhodné funkce g. V dalším proto budeme zkoumat funkce f : [a, a + ] C místo funkcí periodických. Martin Bohata Komplexní analýza Fourierovy řady 6 / 20
Periodické rozšíření Příklad Periodické rozšíření funkce f(t) = { 0 pro t [ 1, 0) 1 pro t [0, 1] je g(t) = { 0 pro t k Z [2k 1, 2k) 1 pro t k Z [2k, 2k + 1). Martin Bohata Komplexní analýza Fourierovy řady 7 / 20
Ortogonalita Necht < a < b < +. Značení: { L 1 ([a, b]) = f : [a, b] C b }. a { f(t) dt < L 2 ([a, b]) = f : [a, b] C } b a f(t) 2 dt <. vrzení Platí L 2 ([a, b]) L 1 ([a, b]). Na L 2 ([a, b]) je dán skalární součin předpisem f, g = b a f(t)g(t) dt. Necht m, n Z, a R a > 0. Potom v L 2 ([a, a + ]) platí { e 2πimt, e 2πint pro m = n, = 0 pro m n. Důkaz: Viz přednáška. Martin Bohata Komplexní analýza Fourierovy řady 8 / 20
Ortogonalita Předpokládejme, že a R, > 0, f L 2 ([a, a + ]) a f(t) = n= c n e 2πint. Jak najít koeficienty c n? Využitím ortogonality dostaneme c n = 1 a+ a f(t)e 2πint dt. Je-li funkce f z L 1 ([a, a + ]), pak výše uvedený integrál f(t)e 2πint dt je konečný. o nás vede k následující definici. a+ a Martin Bohata Komplexní analýza Fourierovy řady 9 / 20
Definice Fourierovy řady Definice Necht a R, > 0 a f L 1 ([a, a + ]). Řada kde c n = 1 n= a+ a c n e 2πint, f(t)e 2πint se nazývá (komplexní) Fourierova řada funkce f a koeficienty c n se nazývají (komplexní) Fourierovy koeficienty funkce f. dt, Konverguje-li Fourierova řada funkce f v bodě t R, označíme její součet symbolem F f (t). Martin Bohata Komplexní analýza Fourierovy řady 10 / 20
Reálný tvar Fourierovy řady Reálná Fourierova řada funkce f L 1 ([a, a + ]): a 0 2 + ( ) ( ) 2πnt 2πnt a n cos + b n sin, kde a n = 2 b n = 2 a+ a a+ a n=1 ( ) 2πnt f(t) cos dt = c n + c n pro každé n N 0 ; ( ) 2πnt f(t) sin dt = i(c n c n ) pro každé n N. Nabývá-li f pouze reálných hodnot, pak V tomto případě je tak c n = c n. a n = 2Re c n pro každé n N 0 ; b n = 2Im c n pro každé n N. Martin Bohata Komplexní analýza Fourierovy řady 11 / 20
Jednoduchý příklad Příklad Uvažme funkci f(t) = { 0 pro t [ 1, 0), 1 pro t [0, 1]. Zřejmě f L 2 ([ 1, 1]). Komplexní Fourierova řada funkce f je 1 2 + n Z\{0} 1 ( 1) n e iπnt = 1 2πin 2 + Reálná Fourierova řada funkce f je 1 2 + n=1 1 ( 1) n sin (πnt) = 1 πn 2 + n= n=0 1 iπ(2n + 1) eiπ(2n+1)t, 2 sin (π(2n + 1)t). π(2n + 1) Martin Bohata Komplexní analýza Fourierovy řady 12 / 20
Jednoduchý příklad částečné součty Příklad (Pokračování) Označme S n = n k= n c ne 2πint. Martin Bohata Komplexní analýza Fourierovy řady 13 / 20
Jednoduchý příklad Gibbsův jev Příklad (Pokračování) Velikost překmitů částečných součtů S n bĺızko bodů, ve kterých není f spojitá, se nezmenšuje s rostoucím n. omuto jevu se říká Gibbsův jev. Martin Bohata Komplexní analýza Fourierovy řady 14 / 20
Bodová konvergence Definice Řekneme, že funkce f : D R C je po částech spojitá na [a, b], jestliže existuje konečně mnoho bodů t 0,..., t n [a, b] tak, že 1 a = t 0 < t 1 < < t n = b; 2 pro každé k {1,..., n} je f spojitá na (t k 1, t k ); 3 f(t k +) = lim f(t) je konečná pro každé k {0,..., n 1}; t t k + 4 f(t k ) = lim f(t) je konečná pro každé k {1,..., n}. t t k Podle uvedené definice nemusí být po částech spojitá funkce definována v bodech t 0,..., t n. Martin Bohata Komplexní analýza Fourierovy řady 15 / 20
Bodová konvergence Věta (Dirichletova věta) Necht a R, > 0 a f : [a, a + ] C. Předpokládejme, že f a f jsou po částech spojité funkce na [a, a + ]. Pak (komplexní i reálná) Fourierova řada funkce f konverguje v každém bodě intervalu [a, a + ] a její součet je 1 F f (t) = 1 2 [f(t+) + f(t )] pro každé t (a, a + ); 2 F f (a) = F f (a + ) = 1 2 [f(a+) + f((a + ) )]. Důkaz: Vynecháváme. Jsou-li splněny předpoklady Dirichletovy věty, f je spojitá na [a, a + ] a f(a) = f(a + ), pak f(t) = F f (t) pro každé t [a, a + ]. V tomto případě je tak F f (t) periodickým rozšířením funkce f(t). Martin Bohata Komplexní analýza Fourierovy řady 16 / 20
Příklady Příklad Již víme, že komplexní Fourierova řada funkce { 0 pro t [ 1, 0) f(t) = 1 pro t [0, 1]. je 1 2 + n Z\{0} 1 ( 1) n e iπnt. 2πin Podle Dirichletovy věty konverguje tato řada pro každé t [ 1, 1] (a tedy pro každé t R) a platí, že 0 pro každé t ( 1, 0), F f (t) = 1 pro každé t (0, 1), 1 2 pro každé t { 1, 0, 1}. Martin Bohata Komplexní analýza Fourierovy řady 17 / 20
Příklady Příklad Je dána funkce f(t) = sin t, Komplexní Fourierova řada této funkce je n= Reálná Fourierova řada této funkce je t [0, π]. 2 π(1 4n 2 ) e2int. 2 π + 4 π(1 4n 2 cos (2nt). ) n=1 Z Dirichletovy věty plyne, že F f (t) = sin t pro každé t R. Martin Bohata Komplexní analýza Fourierovy řady 18 / 20
Příklady Příklad (Pokračování) Označme S n = n k= n c ne 2πint. Z Dirichletovy věty plyne, že F f (t) = sin t pro každé t R. Martin Bohata Komplexní analýza Fourierovy řady 19 / 20
Parsevalova rovnost Věta (Parsevalova rovnost) Necht a R, > 0 a f L 2 ([a, a + ]). Jestliže c n C jsou komplexní Fourierovy koeficienty funkce f, pak n= c n 2 = 1 a+ a f(t) 2 dt Důkaz: Vynecháváme. Pro reálné Fourierovy koeficienty a n a b n funkce f L 2 ([a, a + ]) má Parsevalova rovnost tvar a 0 2 + ( a n 2 + b n 2 ) = 2 2 n=1 a+ a f(t) 2 dt Martin Bohata Komplexní analýza Fourierovy řady 20 / 20