Moerní technologe ve stuu plkovné fk CZ..7/../7.8 Tenor mlé eformce stuní opor k přenášce SLO/EXTM
Anlý stvu eformce těles e ž po řu esetletí enou nečetněších úloh mechnk. Účelem tohoto krátkého stuního tetu e vést nenutněší áklní pom oboru mechnk kontnu které tvoří vbu me eformcí přemětu optckým epermentálním metom užívným v epermentální mechnce.
Stv eformovného těles bueme koumt be ohleu n příčn které eformc vvoláví n fkální ákon pole nchž probíhá. Změříme se poue n určení čstě geometrckého vthu me velčnm které chrkteruí vlstní eformc ervcem velčn popsuících celkové posunutí těles. V tomto celkovém posunutí e hrnut: vlstní eformce těles lneární trnslce přemětu ko tuhého těles rotce přemětu ko tuhého těles. Vlstní eformce e měn váemné poloh enotlvých hmotných boů tvořících toto těleso s tím souvseící tvrové měn těles. Lneární trnslce přemětu ko tuhého těles e posunutí př němž se celé těleso posouvá ko celek. Rotce přemětu ko tuhého celku e posunutí př kterém se celé těleso otáčí ko celek. V nšch úvhách se omeíme poue n tv. mlé eformce veeme tenor mlé eformce. Násleuící ovoení proveeme pole M. Brčk [ ]. Př této příležtost e nutno konsttovt že tento přístup k tenoru eformce e klscký. Zímvý moerní přístup k popsu teore mlé eformce pomocí krtéských tenorů může nbínout npříkl práce M. Okrouhlík [3]. Měme v blíké bo P Q n neeformovném tělese obr.. Poloh bou P těles v neeformovném stvu e vhleem k počátku soustv souřnc án polohovým vektorem ehož složk sou pro 3. Poobně poloh bou Q vhleem k počátku e určen polohovým vektorem ehož složk sou. Nní těleso vstvíme působení eformce. Jeím vlvem bo P přee o bou P bo Q o bou Q. Poloh bou P e án polohovým vektorem o složkách pro 3 poloh bou Q e án polohovým vektorem o složkách. Působením vněších sl se te bo P posunul o bou P toto posunutí bueme chrkterovt vektorem posunutí který má složk pro 3. Me souřncem boů P P pk pltí váemný vth pro 3. Pro nše úvh ále přepokláeme že funkce sou spoté mí prcální ervce všech potřebných řáů. Stuem eformovného stvu těles be ohleu n příčn které eformc vvoláví se bývá geometre konečných eformcí. 3
4 Obr. : K váření tenoru mlé eformce. Jk blo řečeno výše omeíme se poue n mlé eformce tkže složk vektoru posunutí spolu s ech ervcem sou velm mlé ve srovnání s číslem. Z rovnce s váříme ferencál přčemž v Tlorově rovo funkce můžeme nebt člen všších řáů. Vužeme-l entt δ 3 ke δ e Kroneckerovo elt potom le psát δ. 4 Souřnce bou Q sou proto sečteme-l rovnce 4 ískáme pro ně vth. 5 Ze vthu 5 e řemé že půvoní souřnce bou Q se náslekem eformce neměnl poue o složku vektoru posunutí le o výr
. 6 Protože posunutí neávsí n poloe bou Q vhleem k bou P e společné všem boům uvžovného okolí bou P popsue nám trnslc těles ko tuhého celku. Výr 6 všk ž n poloe bou Q P t. n ávsí te chrkterue bývící ěe - rotc těles ko tuhého celku eho vlstní eformc. Zbýveme se ále tímto výrem porobně. Pomocí rovnce 4 le výr 6 vářt ko δ. 7 Z tohoto vthu plne že výr 6 vlstně přestvue přírůstk složek půvoního vektoru které ončíme δ. Tto přírůstk v sobě musí hrnovt k vlstní eformc tk rotc těles. Nní prostuueme kžý příp oěleně. Pro příp rotce pltí že válenost vou lbovolných boů ůstáví konstntní. Otu plne že přírůstk δ sou sce růné o nul le kvrát élk půvoního vektoru se nemění. Te vrce tohoto kvrátu e rovn nule pltí δ δ δ. 8 Ončíme-l v rovnc 7 výr / ko potom pro přírůstek složek vektoru působený rotcí ostneme relc δ. 9 Dosíme-l tento vth o rovnce 8 obržíme po úprvě. Výr n levé strně rovnce ále roepíšeme o enotlvých složek. Te 33 3 33 3 33 3. 5
Rovnce musí být splněn pro kžý bo nfntemálního okolí uvžovného bou P toho plne že sou lbovolné nenulové nfntemální velčn. Proto koefcent u 3 musí být rovn nule rovnce e tuíž splněn entck. Pk pltí 33 3 3 3 3 nebol obecně pro 3. b Z rovnc 7 9 ž le učnt ávěr že výr přestvue ntsmetrcký tenor vřue rotc uvžovného blíkého okolí bou P ko tuhého celku. Jelkož ntsmetrcký tenor e určen v troroměrném prostoru třem neávslým složkm můžeme tenor vářt ve tvru tv. álního vektoru o složkách 3 které váíme ko. 3 3 3 3 Z ůvou ntsmetrčnost roložíme výr / n část smetrckou ntsmetrckou tím o sebe rolšíme příspěvek vlstní eformce příspěvek rotce přemětu. Tuíž. 4 Smetrcká část uává vlstní eformc nčíme. 5 Antsmetrcká část uává rotc elementu těles ko tuhého celku nčíme. 6 6
7 Zveeme-l nkonec ončení rovnc 5 6 o rovnce 7 le přírůstk složek vektoru vářt pomocí superpoce přírůstků působených vlstní eformcí rotcí elementu těles δ. 7 V ávěru shrneme ovoené výslek pokusíme se e npst v přehleném tvru. Z tímto účelem proveeme násleuící úvhu. Souřnce bou P sme v soulu s obr. ončl ko souřnce bou Q ko. Ončme nní souřnce bou Q pomocí. Pk ostneme. 8 Rovnc 7 le proto přepst o tvru δ. 9 Otu úprvou obržíme přehlený vth pro přírůstek souřnc bou Q δ δ. První člen n prvé strně rovnce vřue trnslc těles te prlelní posunutí společně s boem P k se válenost enotlvých boů nemění. Druhý člen vřue vlstní eformc kontnu př níž se mění válenost boů kontnu. Třetí člen přestvue rotc těles ko tuhého celku př níž se válenost boů nemění. Poku bchom se npříkl omel n měření eformce elementu ploch povrchu koumného přemětu v rovně voleného krtéského souřného sstému můžeme n ávěr tetu eště uvést v souhrnném ápsu všechn složk tenoru mlé eformce opovíící této rovně. S okem n 3 5 6 le pro trnslční rotční eformční složk tenoru mlé eformce vhleem k počátku krtéského souřného sstému psát [ ]
ke složk repreentuí trnslce ve směru souřných os složk repreentuí rotce kolem os ále složk respektve přestvue poměrné proloužení ve směru souřné os respektve konečně složk přestvue smk. 8
Senm použté oporučené ltertur: [] BRDIČKA M. Mechnk kontnu. Prh: NČSAV 959. [] BRDIČKA M. SAMEK L. SOPKO B. Mechnk kontnu. Prh: Acem. [3] OKROUHLÍK M. etor Implementton of Nonlner Contnuum Mechncs n Fnte Element Coes. Prgue: Insttute of Thermomechncs Acem of Scences of the Cech Republc 995. 9