MASARYKOVA UNIVERZITA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY. Bakalářská práce

MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Bakalářská práce BRNO 2016 JOSEF ŘÍHA

MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Zobecněné trigonometrické funkce Bakalářská práce Josef Říha Vedoucí práce: prof. RNDr. Jan Slovák, DrSc. Brno 2016

Bibliografický záznam Autor: Název práce: Studijní program: Studijní obor: Vedoucí práce: Josef Říha Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita Ústav matematiky a statistiky Zobecněné trigonometrické funkce Matematika Finanční a pojistná matematika prof. RNDr. Jan Slovák, DrSc. Akademický rok: 2015/2016 Počet stran: vii + 20 Klíčová slova: zobecněné trigonometrické funkce; p-laplacian; zobecněný sinus; funkce horní meze; p-kružnice

Bibliographic Entry Author: Title of Thesis: Degree Programme: Field of Study: Supervisor: Josef Říha Faculty of Science, Masaryk University Department of Mathematics and Statistics Generalized trigonometric functions Mathematics Financial and Insurance Mathematics prof. RNDr. Jan Slovák, DrSc. Academic Year: 2015/2016 Number of Pages: vii + 20 Keywords: generalized trigonometric function; p-laplacian; generalized sinus; function of the upper limit;p-circle

Abstrakt V této bakalářské práci se věnujeme zobecněným trigonometrickým funkcím. V úvodu se podíváme na propojení zobecněných trigonometrických funkcí s diferenciálními rovnicemi. V první kapitole si připomeneme definici a základní vlastnosti trigonometrických funkcí a konečně ve druhé kapitole se věnujeme definici a vlastnostem zobecněných trigonometrických funkcí.

Abstract In this thesis we study generalized trigonometric functions. In the introduction we point to connection with differential equation. In Chapter 1 we define familiar trigonometric function and we remind its properties. In Chapter 2 we define generalized trigonometric functions and we deal with their properties.

Poděkování Tímto bych rád poděkoval prof. RNDr. Janu Slovákovi, DrSc. za odborné vedení mé práce, za cenné rady a čas, který strávil čtením a konzultací tohoto textu. Prohlášení Prohlašuji, že jsem svoji bakalářskou práci vypracoval samostatně s využitím informačních zdrojů, které jsou v práci citovány. Brno 23. května 2016.......................... Josef Říha

Obsah Úvod....................................................................... 1 Kapitola 1. Základní pojmy................................................. 3 1.1 Definice a vlastnosti trigonometrických funkcí.................... 3 1.2 Definice a vlastnosti hyperbolických funkcí...................... 6 Kapitola 2. Zobecněné trigonometrické a hyperbolické funkce................ 9 Seznam obrázků............................................................ 17 Seznam tabulek............................................................. 17 Přehled použitého značení................................................... 18 Seznam použité literatury................................................... 20 viii

Úvod K vysvětlení co jsou zobecněné trigonometrické funkce, mějme p (1, ) a definujme funkci arcsin p, což je zobrazení z intervalu 0,1 do intervalu 0, ), jako arcsin p x = x 0 1 dt. (1) p (1 t p ) Pomocí inverzní funkce dostaneme funkci sin p, která je definovaná pouze na intervalu 0, π p 2, kde π p = 2 1 1 0 p dt, ale jsme schopni tuto funkci rozšířit na R pomocí symetrie a periodicity. Takto definovaná funkce sin p se shoduje se známou funkcí sinus, (1 t p ) pokud p = 2. Pozornost si tyto funkce zaslouží díky propojení s jednodimenzionálním p- Laplacianem. Například jsou řešením Dirichletova problému: ( u p 2 u ) = λ u p 2 u na (0,π p ) a u(0) = u(π p ) = 0. Ukažme si, že to mu tak skutečně je. Nejdříve uvažujme klasický Dirichletův problém pro Laplaceův operátor : Můžeme spočítat, že vlastní čísla mají tvar: s odpovídajícími vlastními funkcemi: Pak tedy mějme analogický problém: u = λu na (0,1) a u(0) = u(1) = 0. λ n = (nπ) 2, n N, u n (t) = sin(nπt), n N, p u = λ u p 2 u na (0,1) a u(0) = u(1) = 0. V článku [3] je ukázáno (jak lze i snadno ověřit přímým dosazením), že všechna vlastní čísla tohoto problému jsou tvaru: s odpovídajícími vlastními funkcemi: λ n = (nπ p ) p p p, n N, p = p p 1 u n (t) = sin p (nπ p t), n N. 1

Úvod 2 Samozřejmě nemůžeme očekávat, že tyto zobecněné trigonometrické funkce budou mít stejné vlastnosti jako klasické trigonometrické funkce, například u nich neplatí velká většina identit, které známe z trigonometrie. Později si ukážeme, že ty funkce jsou diferencovatelné. Dále můžeme tyto funkce zobecnit, tak že definujeme funkci arcsin p,q kde p (1, ), která zobrazuje interval 0,1 na interval 0, jako arcsin p,q x = x 0 1 dt. (2) p (1 t q ) Opět dostaneme pomocí inverze funkci sin p,q, která je shodná se sin p pro p = q a je propojená s Dirichletovým problémem pro p,q-laplacian: ( u p 2 u ) = λ u q 2 u na (0,π p,q ) a u(0) = u(π p,q ) = 0. p-laplacian nebo také p-laplaceův operátor je parciální diferenciální operátor druhého řádu, je zobecněním Laplaceova operátoru, kde p (1, ). A můžeme ho zapsat následovně: p u = ( u p 2 u), (3) kde, u p 2 = ( ( u x 1 ) 2 ( ) ) p 2 u 2 2 + + x n Ve speciálním případě pro p = 2, dostaneme klasický Laplacian, který lze zapsat takto: (( 2 ) ( u 2 )) u u = + + (5) x 2 1 p-laplacian se používá k minimalizaci l p normy gradientu. Obecně můžeme uvažovat nějaký jiný "průměrovací"diferenciální operátor, který má předpis (D u). Například v rovnici vedení tepla, λ (( 2 ) u x 2 + je D konstantní difuzní koeficient λ. ( 2 ) u y 2 + x 2 n ( 2 )) u z 2 = u t (4) (6)

Kapitola 1 Základní pojmy V této kapitole si připomene základní definice a vlastnosti trigonometrických funkcí, které budeme porovnávat s poznatky o zobecněných trigonometrických funkcích. 1.1 Definice a vlastnosti trigonometrických funkcí Definice 1.1. Máme-li orientovaný úhel x v pravoúhlé soustavě souřadnic tak, aby jeho vrchol ležel v počátku souřadnicového systému a jedno jeho rameno splynulo s kladnou poloosou x pak, jestliže budeme pozorovat průsečík P druhého ramene úhlu x s jednotkovou kružnicí, můžeme hodnoty sinx a cosx definovat takto: 1. P sinx x 2. 1. 0 cosx 1. 1. 2. Obrázek 1.1: Jednotková kružnice 1. sin x je definován jako y-ová souřadnice průsečíku P druhého ramene orientovaného úhlu x s jednotkovou kružnicí. 3

Kapitola 1. Základní pojmy 4 2. cos x je definován jako x-ová souřadnice průsečíku P druhého ramene orientovaného úhlu x s jednotkovou kružnicí. 3. tgx je definován jako poměr sinx a cosx, tedy tgx = sinx cosx 4. cotgx je definován jako poměr cosx a sinx, tedy cotgx = cosx sinx Můžeme si tedy sestrojit grafy těchto funkcí. (1.1) (1.2) Obrázek 1.2: Graf funkce sinx Obrázek 1.3: Graf funkce cosx Obrázek 1.4: Graf funkce tgx Obrázek 1.5: Graf funkce cotgx Ted si uvedeme některé základní identity, které platí pro trigonometrické funkce. Tyto identity budeme formulovat jako věty, které dokážeme.

Kapitola 1. Základní pojmy 5 Věta 1.1. Pro všechna x R platí Důkaz. Přímo z definice 1.1 a Pythagorovy věty. π2 Věta 1.2. Pro všechna x k, kde k Z platí Důkaz. Přímo z definice 1.1. sin 2 x + cos 2 x = 1 (1.3) tgx cotgx = 1 (1.4) V následující větě uvádíme součtové vzorce. Dokazovat je nebudeme pomocí axiomatické (syntetické) geometrie, ale použijeme elegantní Eulerovu identitu e ix = cosx+isinx. Věta 1.3. Pro všechna x,y R platí sin(x + y) = sinx cosy + cosx siny (1.5) cos(x + y) = cosx cosy sinx siny (1.6) sin(x y) = sinx cosy cosx siny (1.7) cos(x y) = cosx cosy + sinx siny (1.8) Důkaz. Identitu 1.5 a 1.6 dokážeme pomocí Eulerovy identity: cos(x + y) + isin(x + y) = e i(x+y) = e ix e iy = (cosx + isinx) (cosy + isiny) = kde e je Eulerovo číslo a x R a po roznásobení závorek dostáváme = (cosx cosy sinx siny) + i(sinx cosy + cosx siny) porovnáním reálné a imaginární části dostáváme dokazované identity. cos(x + y) = (cosx cosy sinx siny) sin(x + y) = (sinx cosy + cosx siny) Identity 1.7 a 1.8 analogicky. Vzorce pro dvojnásobný úhel dostáváme okamžitě ze součtových vzorců. Věta 1.4. Pro všechna x R platí Důkaz. Plyne z 1.5 a 1.6 pro x = y. sin2x = 2 sinx cosx (1.9) cos2x = cos 2 x sin 2 x (1.10)

Kapitola 1. Základní pojmy 6 1.2 Definice a vlastnosti hyperbolických funkcí Ted se můžeme podívat na definici a vlastnosti funkcí hyperbolických. Jako hyperbolické funkce označíme skupinu funkcí podobnou funkcím trigonometrickým. Základními hyperbolickými funkcemi jsou hyperbolický sinus, cosinu a z nich odvozeny tangens a kotangens. Definice 1.2. Hyperbolické funkce jsou definovány následujícími vzorci: kde e je Eulerovo číslo a x R. sinhx = ex e x 2 coshx = ex + e x 2 tghx = sinhx coshx cotghx = coshx sinhx (1.11) (1.12) (1.13) (1.14) Následující věta plyne ihned z definice. My si ji ale dokážeme pomocí derivace, díky níž zjistíme, že výraz cosh 2 x sinh 2 x je roven konstantě. Stejný postup lze využít i při dokazování Pythagorovy identity. Věta 1.5. Pro všechna x R platí cosh 2 x sinh 2 x = 1 (1.15) Důkaz. Jednou z možností jak dokázat tuto identitu je pomocí derivace levé strany. Z diferenciálního počtu víme, že dx d sinhx = coshx a dx d coshx = sinhx. Označme levou stranu této identity jako f (x). Pak d dx f (x) = 2 coshx coshx 2 sinhx coshx = 0. Jelikož je derivace funkce f (x) nulová, tak tato funkce musí na celém svém definičním oboru konstantní. Vyčíslíme funkci f (x) v libovolném bodě a díky konstantnosti víme, že této hodnoty nabývá na celém R. cosh 2 0 sinh 2 0 = 1 Věta 1.6. Pro všechna x R platí tghx cotghx = 1 (1.16)

Kapitola 1. Základní pojmy 7 Důkaz. Přímo z definice 1.2. Součtové vzorce hyperbolických funkcí jsou velmi podobné těm u trigonometrických funkcí, tedy až na nějaké to znaménko. Důkaz provedeme dosazením z definice a počítáním upravujeme. Věta 1.7. Pro všechna x,y R platí sinh(x + y) = sinhx coshy + coshx sinhy (1.17) cosh(x + y) = coshx coshy + sinhx sinhy (1.18) sinh(x y) = sinhx coshy coshx sinhy (1.19) cosh(x y) = coshx coshy sinhx sinhy (1.20) Důkaz. Důkazy těchto identit jsou technická záležitost a proto uvedeme pouze druhou z nich. coshx coshy + sinhx sinhy = ex +e x 2 ey +e y 2 + ex e x 2 ey e y 2 = = 1 4 (ex+y + e x y + e x+y e x y ) + 1 4 (ex+y e x y e x+y e x y ) = = 1 4 (2 ex+y + 2 e x y ) = ex+y +e x y 2 = cosh(x + y) Identity 1.17, 1.19 a 1.20 analogicky. Vzorce pro dvojnásobný úhel opět dostáváme okamžitě ze součtových vzorců. Věta 1.8. Pro všechna x R platí Důkaz. Plyne z 1.17 a 1.18 pro x = y. sinh2x = 2 sinhx coshx (1.21) cosh2x = cosh 2 x + sinh 2 x (1.22)

Kapitola 1. Základní pojmy 8 Na závěr si ještě můžeme hyperbolické funkce nakreslit. Obrázek 1.6: Graf funkce sinhx Obrázek 1.7: Graf funkce coshx Obrázek 1.8: Graf funkce tghx Obrázek 1.9: Graf funkce cotghx

Kapitola 2 Zobecněné trigonometrické a hyperbolické funkce Druhá kapitola nám představí zobecněné trigonometrické funkce. Nejprve si ale připomeňme některé důležité poznatky ze základních kurzů matematické analýzy. 1 dx = arcsinx (2.1) (1 x 2 ) 1 dx = argsinhx (2.2) (1 + x 2 ) kde arcsin je funkce arkus sinus tedy funkce inverzní k funkci sinus a argsinh je funkce argument hyperbolického sinu a je inverzí k hyperbolickému sinu. Definice 2.1. Zobecněný arcsin p,q s parametry 1 < p,q < definujeme jako integrál horní meze, kde x 0,1 : x 1 arcsin p,q x = dt (2.3) p 0 (1 t q ) Jelikož výraz 1 p (1 t q ) je kladný na intervalu (0,1), funkce arcsin p,q je rostoucí a prostá funkce, která zobrazuje interval 0,1 na 0, π p,q 2 kde, 1 π p,q = 2 0 1 dt (2.4) p (1 t q ) Definice 2.2. Funkci sin p,q definujeme jako inverzní funkci k funkci arcsin p,q. Takto definovaná funkce zobrazuje interval 0, π p,q 2 na interval 0,1. Funkci sin p,q rozšíříme na interval 0,π p,q následujícím dodefinováním: 9

Kapitola 2. Zobecněné trigonometrické a hyperbolické funkce 10 sin p,q x = sin p,q (π p,q x), kde x π p,q 2,π p,q Takto definovanou funkci sin p,q můžeme rozšířit na interval π p,q,π p,q použitím lichosti. Na celé R funkci rozšíříme pomocí 2π p,q -periodičnosti. Můžeme si sestrojit graf funkce sin 6,6. K sestrojení tohoto grafu využijeme software Maple. Čtenáři dáváme k dispozici i kód s jehož pomocí si může sestrojit další grafy. Poznámka. #Zacneme nadefinovanim integralu horni meze. fce := proc (x) options operator, arrow; int(1/(-t^6+1)^(1/6), t = 0.. x) end proc; #Dale vytvorime inverzi pomoci nasledujiciho prikazu, #kterou si muzeme vykreslit. f := solve(fce(invfce) = x, invfce); plot(f, x = -10.. 10); #Tento zpusob nam neda moc dobry vysledek, proto pro vykresleni #pouzijeme kombinaci funkci pri zvoleni vhodneho intervalu. f1 := solve(fce1(invfce) = x, invfce); f2 := solve(fce1(invfce) = x-2.094395102, invfce); f3 := solve(fce1(invfce) = x-4.188790204, invfce); #Posledni prikaz nam vykresli nas graf. plot({f1, f3, -f2}, x = 0.. 5); Obrázek 2.1: Graf funkce sin 6,6 x

Kapitola 2. Zobecněné trigonometrické a hyperbolické funkce 11 Musíme poznamenat, že tento způsob by měl fungovat vždy, ale vykreslení grafu tímto způsobem trvá velmi dlouho. Můžeme si tedy některé grafy vykreslit jako aproximace řešení rovnice uvedené v úvodu. Opět si můžeme v poznámce ukázat jak na to. Poznámka. #Za neme na tením knihovny. with(detools): #Nadefinujeme rovnici do prom nné. rovnice := -(diff(abs(diff(u(t), t))^(p-2)* (diff(u(t), t)), t))-lambda*abs(u(t))^(p-2)*u(t) #Dosadíme za prom nné. p := 2.1: lambda := 1: #Vykreslíme e²ení. DEplot(rovnice, u(t), t = 0.. 7, u = -2.. 2, [[u(0) = 0, (D(u))(0) = 1]]) Obrázek 2.2: Graf funkce sin 2,5,2,5 Obrázek 2.3: Graf funkce sin 2,8,2,8

Kapitola 2. Zobecněné trigonometrické a hyperbolické funkce 12 Obrázek 2.4: Graf funkce sin 2,1,2,1 Nyní se podívejme na vybrané aproximace hodnot π p,q, kde p = q. Uvedeme je v následující tabulce a budeme tyto aproximace jsme počítat z 2.4 pomocí software Wolframalpha. Tabulka 2.1: Aproximace vybraných hodnot π p,p π p,p p π p,p 2 3,1415 3 2,4184 4 2,2214 5 2,1379 6 2,0944 7 2,0687 8 2,0523 9 2,0412 10 2,0332 2 Poznamenejme, že uzavřená oblast ohraničená takzvanou p-kružnicí nebo můžeme říct jednotkovou kružnicí v l p normě. S p = {(x,y) R 2 ; x p + y p = 1} (2.5) p p 1. má obsah π p,p, kde p = Zobecněné trigonometrické funkce lze také definovat pomocí jednotkové p-kružnice podobně jako nám dobře známe trigonometrické funkce. Tedy sin p,p x můžeme definovat jako y-ovou souřadnici průsečíku P, který vznikne jako průnik jednotkové p-kružnice s druhým ramenem úhlu x, který má vrchol v bodě (0,0) a jeho první rameno je kladná poloosa x. cos p,p x je pak souřadnice x-ová. Můžeme si některé tyto kružnice nakreslit.

Kapitola 2. Zobecněné trigonometrické a hyperbolické funkce 13 Obrázek 2.5: Jednotková l 3 kružnice Obrázek 2.6: Jednotková l 4 kružnice Obrázek 2.7: Jednotková l 9 kružnice Obrázek 2.8: Jednotková l kružnice Věta 2.1. Pro každé x R je funkce sin p,q diferencovatelná. Důkaz. Označme f (x) = arcsin p,q x = x 1 0 p dt, x 0,1. f (x) je integrálem horní (1 t q ) meze, takže je diferencovatelná ve všech vnitřních bodech. Funkce sin p,q je tedy určitě diferencovatelná na intervalu 0, π p,q 2 ). Musíme tedy vyřešit situaci v bodě π p,q 2. Je zřejmé že, lim x 1 f (x) =. Pak tedy z definice derivace a L Hospitalova pravidla víme, že lim x 1 f (x) = f (1) =. Pak z věty o derivaci inverzní funkce víme ( f 1 (1)) 1 = = 0, tedy funkce sin f ( f 1 (1)) p,q má v bodě π p,q 2 nulovou derivaci, což nám zajistí, že můžeme funkci v bodě π p,q 2 hladce navázat a takto sestrojená funkce je opravdu na celém R diferencovatelná.

Kapitola 2. Zobecněné trigonometrické a hyperbolické funkce 14 Díky tomu, že funkce sin p,q je diferencovatelná na celém R, můžeme definovat funkci cos p,q jako derivaci funkce sin p,q. Definice 2.3. Funkci cos p,q x definujeme následovně: cos p,q x = d dx sin p,q,x R (2.6) Je zřejmé, že funkce cos p,q je sudá, periodická s periodou 2π p,q a lichá podle bodu π p,q 2. Věta 2.2. Necht x 0, π p,q 2, pak Důkaz. Nejprve označme: cos p,q x = p 1 (sin p,q x) q (2.7) F p,q x = arcsin p,q x = x 0 1 p (1 t q ) dt Potom z definice cos p,q x můžeme napsat: cos p,q x = d dx sin p,q x = d dx ((F p,qx) 1 ) = d dx (( x 0 1 p (1 t q ) dt) 1 ) Z věty o derivaci inverzní funkce víme: nejprve spočteme d dx F p,qx potom, d dx (F p,qx) 1 1 = d dx F p,q((f p,q x) 1 ) d dx F p,qx = dx d ( x 1 0 p dt) = (1 (1 t q ) xq ) 1 p d dx F p,q((f p,q x) 1 ) = (1 ((F p,q x) 1 ) q ) 1 p = (1 (sin p,q x) q ) 1 p a konečně dostáváme identitu: cos p,q x = 1 d dx F p,q((f p,q x) 1 ) = (1 (sin p,q x) q ) 1 p Lze analogicky ověřit, že tato identita má na intervalu π p,q 2,π p,q tvar: Důsledek 2.3. Pro všechna x R platí Důkaz. Tato identita je přímým důsledkem věty 2.2. cos p,q x = p 1 (sin p,q x) q (2.8) sin p,q x q + cos p,q x p = 1 (2.9)

Kapitola 2. Zobecněné trigonometrické a hyperbolické funkce 15 Všimněme si, že pro p = q = 2 dostáváme identitu 1.1. Definice 2.4. Funkci tg p,q definujeme jako podíl sin p,q a cos p,q, tedy: tg p,q x = sin p,q x cos p,q x (2.10) Definice 2.5. Funkci cotg p,q definujeme jako podíl cos p,q a sin p,q, tedy: cotg p,q x = cos p,q x sin p,q x (2.11) Poznámka. Všimněme si, že pro p = q = 2 dostáváme klasické trigonometrické funkce. Ted si uvedeme několik identit týkajících se derivací zobecněných trigonometrických funkcí, které plynou přímo z jejich definic. Věta 2.4. Pro všechna x 0, π p,q 2 platí d dx cos p,q x = p q (cos p,q x) 2 p (sin p,q x) q 1 (2.12) d dx tan p,q x = 1 + p(sin p,q x) q q(cos p,q x) p (2.13) d dx (cos p,q x) p 1 = p(p 1) (sin p,q x) q 1 (2.14) q d dx (sin p,q x) p 1 = (p 1)(sin p,q x) p 1 (cos p,q x) (2.15) Důkaz. Identity plynnou z definice a z věty 2.2. Lemma 2.5. (Symetrie)Necht p, q (1, ). Potom π p,q = p q π q,p. kde, p = p p 1 (2.16) Důkaz. Identita plyne z integrálu 2.4 při vhodné záměně proměnných, tedy y = (1 t π 1 q ) 1 p p,q 2 = (1 t q ) 1 ( p dt = t = 1 y p ) q 1 0 dt = (1 p y p ) 1 q ( ) = q y p 1 dy = p 1 y p 1 p (1 y p ) q y p p dy = p q 0 q Tím je identita ověřena. q 1 0 (1 y p ) 1 q dy = p π q,p q 2

Kapitola 2. Zobecněné trigonometrické a hyperbolické funkce 16 Věta 2.6. Pro všechna x 0,1 platí, ( ) cos 1 p,q x = sin 1 p,q (1 x p ) 1 q ( ) sin 1 p,q x = cos 1 p,q (1 x q ) 1 p (2.17) (2.18) 2 ( ) sin 1 p,q x 1 q + 2 ) sin 1 π p,q π p,q p,q ((1 x) 1p = 1 (2.19) ( ( πp,q x )) ( )) p πq cos p,q = (sin,p (1 x) p 2 q,p 2 Důkaz. Identity 2.17 a 2.18 plynnou z 2.2. (2.20) Pro úplnost si můžeme nadefinovat zobecněné hyperbolické funkce. Postupovat budeme podobně jako u trigonometrických funkcí. Definice 2.6. Zobecněný arcsinh p,q s parametry 1 < p,q < definujeme jako integrál horní meze, kde x 0,1 arcsinh p,q x = x 0 1 p (1 +t q ) (2.21) Potom funkci sinh p,q definujeme jako funkci inverzní k funkci arcsinh p,q. cosh p,q dostaneme jako derivaci funkce sinh p,q. A konečně funkce tgh p,q a cotgh p,q dostáváme jako vhodný podíl funkcí sinh p,q a cosh p,q.

Seznam obrázků 1.1 Jednotková kružnice............................. 3 1.2 Graf funkce sinx............................... 4 1.3 Graf funkce cosx.............................. 4 1.4 Graf funkce tgx............................... 4 1.5 Graf funkce cotgx.............................. 4 1.6 Graf funkce sinhx.............................. 8 1.7 Graf funkce coshx.............................. 8 1.8 Graf funkce tghx.............................. 8 1.9 Graf funkce cotghx............................. 8 2.1 Graf funkce sin 6,6 x............................. 10 2.2 Graf funkce sin 2,5,2,5............................ 11 2.3 Graf funkce sin 2,8,2,8............................ 11 2.4 Graf funkce sin 2,1,2,1............................ 12 2.5 Jednotková l 3 kružnice........................... 13 2.6 Jednotková l 4 kružnice........................... 13 2.7 Jednotková l 9 kružnice........................... 13 2.8 Jednotková l kružnice........................... 13 Seznam tabulek 2.1 Aproximace vybraných hodnot π p,p.................... 12 17

Přehled použitého značení Pro snažší orientaci v textu zde čtenáři předkládáme přehled základního značení, které se v celé práci vyskytuje. C R Z N p sin cos tg cotg arcsin sinh cosh tgh cotgh argsinh sin p,q cos p,q tg p,q cotg p,q arcsin p,q sinh p,q cosh p,q tgh p,q cotgh p,q argsinh p,q e π množina všech komplexních čísel množina všech reálných čísel množina všech celých čísel množina všech přirozených čísel laplacian p-laplacian funkce sinus funkce kosinus funkce tangens funkce kotangens funkce arkus sinus funkce hyperbolický sinus funkce hyperbolický kosinus funkce hyperbolický tangens funkce hyperbolický kotangens funkce argument hyperbolického sinus funkce zobecněný sinus funkce zobecněný kosinus funkce zobecněný tangens funkce zobecněný kotangens funkce zobecněný arkus sinus funkce zobecněný hyperbolický sinus funkce zobecněný hyperbolický kosinus funkce zobecněný hyperbolický tangens funkce zobecněný hyperbolický kotangens funkce zobecněný argument hyperbolického sinus Eulerovo číslo Ludolfovo číslo 18

Kapitola SEZNAM TABULEK 19 i komplexní jednotka

Seznam použité literatury [1] D. Edmunds, P. Gurka a J. Lang, Properties of generalized trigonometric functions, v Journal of Approximation Theory, (2011), č. 1, 47 56. [2] B. A. Bhayo a M. Vuorinen, On generalized trigonometric functions with two parameters, v Journal of Approximation Theory, (2010), č. 10, 1415-1426. [3] P. Drábek a R. Manásevich, On the closed solution to some nonhomogeneous eigenvalue problems with p-laplacian, v Differential Integral Equations (1999), č. 6, 773 788. 20