Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc.
Státní maturita z matematiky Úloha 1 1. a = s : 45 = 9.10180 45 = 9.101+179 45 = 9.10.10179 45 = 9.(2.5).10179 45 = 2.(5.9).10179 45 = = 2. 45.10179 45 = 2.10 179 2. b = s 2 : t = (9.10180 ) 2 54.10 160 = 9. 9.102.180 3. 3.10200 = 6. 9.10160 2. 3 = 3.101+199 2 = 3.10.10199 2 = = 3. 2.5.10199 2 = 15.10 199 Úloha 2 (a 2 2) 2 4 = a4 4a 2 +4 4 a 4 + 2a 3 a 3 (a + 2) = a2 (a 2 4) a 3 (a + 2) = (a + 2) (a 2) a (a + 2) = a 2 a 2
vyšší úroveň obtížnosti Úloha 3 1. 300n n 2 + 1 > 3 5 300n n 2 + 1 3 5 > 0 : 3 500n (n 2 + 1) 5(n 2 + 1) > 0 = n 2 + 500n 1 > 0 n 1,2 = 500 ± 500 2 4.( 1).( 1) 2.( 1) = 500 249 996 2 Tedy 499 členů posloupnosti je větších jak 3 5.. = / \ 499,998 0,002 = n (0,002; 499,998) [ ] 300n 2. lim n n 2 + 1 = l Hospital 300 = lim n 2n = +0 3
Státní maturita z matematiky Úloha 4 x log 4 x+1 = (x + 1) log 8 log (4 x+1 ) x = log 8 x+1 4 x(x+1) = 8 x+1 2 2x(x+1) = 2 3(x+1) 2x(x + 1) = 3(x + 1) 3(x + 1) 2x(x + 1) 3(x + 1) = 0 (x + 1)(2x 3) = 0 Součin se rovná nule, když alespoň jeden z činitelů se rovná nule. x + 1 = 0 = x 1 = 1 2x 3 = 0 = x 2 = 3 2 Dále jsme při řešení využili následujících vlastností logaritmů a mocnin. Mají-li se rovnat logaritmy o stejném základu, musejí se rovnat jejich argumenty. Mají-li se rovnat mocniny o stejném základu, musejí se rovnat jejich exponenty. 4
vyšší úroveň obtížnosti Úloha 5 Označme y úhlopříčku BD. Potom: sin ϕ = d y sin ε = x y y = d sin ϕ y = x sin ε = d sin ϕ = x sin ε x = d sin ε sin ϕ 5
Státní maturita z matematiky Úloha 6 V krychle = a 3 V válce = π.r 2.v V krychle = V válce a 3 = π.5 2.4 cm 3 a = 3 100π =. 6, 8 cm Úloha 7 y = x + 2 x + 3.(x + 3) y(x + 3) = x + 2 xy + 3y = x + 2 3y x xy x = 2 3y x(y 1) = 2 3y : (y 1) pro y 1 x = 2 3y y 1 6
vyšší úroveň obtížnosti Úloha 8 1. f(x) = y = 1 1 x + 3 = x = 0 y = 2 3 y = 0 1 = 1 x + 3 x + 3 = 1 x = 2 Průsečíky s osami souřadnic jsou body [0; 2 ] a [-2; 0]. 3 2. graf funkce f(x) 7
Státní maturita z matematiky Úloha 9 Náčrtek Střed S = A + C 2 [ 4 + 4 = ; 0 + 4 ] = [0; 2] = S = [0; 2] 2 2 Poloměr jedna varianta Označíme r vzdálenost středu čtverce S od úsečky AB. Pro další výpočet nejprve určíme vektor AS = S A = (0 (-4); 2 0) = (4; 2) a vektor AB = B A = (2 (-4); -2 0) = (6; -2), přičemž symbolem AS označíme velikost vektoru AS. 8
vyšší úroveň obtížnosti Z Pythagorovy věty plyne: r 2 = AS 2 ( 2 ( ) 2 ( 1 2 AB ) = 42 + 2 2 1 ) 2 6 2 2 + ( 2) 2 = (16 + 4) [ 1(36 + 4)] = 4 = 20 10 = 10 = r = 10 Poloměr druhá varianta Označíme T = A + B [ 4 + 2 = ; 0 + ( 2) ] = [ 1; 1] 2 2 2 střed úsečky AB. Potom ST = ( 1 0; 1 2) = ( 1; 3) a poloměr je roven velikosti vektoru ST. r = ST = ( 1) 2 + ( 3) 2 = 1 + 9 = 10 = r = 10 Rovnice kružnice (x S x ) 2 + (y S y ) 2 = r 2 = x 2 + (y 2) 2 = 10 Parametrické rovnice kružnice } x = S x + r. cos ϕ pro ϕ [0; 2π] y = S y + r. sin ϕ { x = 10. cos ϕ y = 2 + 10. sin ϕ 9
Státní maturita z matematiky Úloha 10 Označme x počet výrobků vyrobených šestého dne. Pak příslušný den bylo vyrobeno: 1. den... 3x 4 2. den... 3x 4 3. den... 3x 4 4. den... 3x 4 5. den... 3x 4 6. den... x 7. den... x 8. den... x 9. den... x 10. den... x 11. den... x 12. den... x 13. den... x 14. den... x 15. den... x Celkem za 15 dnů bylo vyrobeno 5 3 x + 10x výrobků. 4 5 3 x + 10x = 2 200.4 4 15x + 40x = 8 800 55x = 8 800 : 55 x = 160 Za prvních 5 dnů bylo vyrobeno 5 3 160 výrobků. 4 Na prvních 5 dnů připadá 600 výrobků. 10
vyšší úroveň obtížnosti Úloha 11 1. (cos x sin x) 2 = cos 2 x 2 cos x sin x + sin 2 x = 1 sin 2x = 1. C) 2. cos 2 ( x) + sin 2 ( x) = [cos( x)] 2 + [sin( x)] 2 = [cos x] 2 + [ sin x] 2 = = cos 2 x + sin 2 x = 1 = 2. A) 3. 1 cos 2x = sin 2 x + cos 2 x (cos 2 x sin 2 x) = 2 sin 2 x = 3. D) 11
Státní maturita z matematiky Úloha 12 1. A R B ; E R I = 1. C) 2. D AB I ; G AB F = 2. A) 3. P α E ; O α C = 3. E) 12
vyšší úroveň obtížnosti Úloha 13 = A) 13
Státní maturita z matematiky Úloha 14 1. využití směrových vektorů p : x 3 + y = 0 = p = (1; 3) q : x = 3 = q = (0; 1) jsou směrové vektory zadaných přímek. cos α = p. q p. q = 1.0 + ( 3).1 1 2 + ( 3) 2. = 0 3 = 3 0 2 + 1 2 1 + 3. 1 2 Úhel směrových vektorů přímek je: α = arccos( 3 2 ) = 150 Úhel přímek (musí být menší jak 90 ) je: ϕ = 180 150 = 30 = D) 2. využití normálových vektorů p : x 3 + y = 0 = n p = ( 3; 1) q : x = 3 = n q = (1; 0) jsou normálové vektory daných přímek. cos α = n p. n q n p. n q = 3.1 + 1.0 ( 3) 2 + 1 2. 1 2 + 0 2 = 3 + 0 3 + 1. 1 = Úhel směrových vektorů přímek je: α = arccos( 3 2 ) = 30 3 2 Úhel přímek (musí být menší jak 90 ) je tedy také: ϕ = 30 = D) 14
vyšší úroveň obtížnosti Úloha 15 a n = 4n 1 = a 2 3n 1 = 41 1 2 3.1 = 40 2 = 1 3 8 ; a 2 = 42 1 2 3.2 = 41 2 6 = 4 64 = 1 16 ; a 3 =... q = a n+1 a n = a 2 a 1 = 1 16 1 8 = 1 16 8 1 = 1 2 s = a 1 1 1 q = 8 1 1 2 = 1 8 1 2 = 1 8 2 1 = 1 4 = D) 15
Státní maturita z matematiky Úloha 16 Jestliže má uvedená rovnice platit pro všechny reálné hodnoty proměnné x, musíme nejprve určit neznámé parametry b a m, které dané rovnici vyhovují. Přitom využijeme některý z následujících postupů, případně jejich kombinaci. Mají-li se rovnat dva mnohočleny, musejí se rovnat jejich koeficienty u jednotlivých mocnin proměnné x. Má-li rovnice platit pro všechny reálné hodnoty proměnné x, tím spíše musí platit pro zvolené konkrétní hodnoty. Tedy rovnost mnohočlenů v obou případech převedeme na soustavu rovnic. Rovnost koeficientů (x + m)(x 2) = x 2 + bx + 8 x 2 2x + mx 2m = x 2 + bx + 8 x 2 mx 2x 2m = bx + 8 u jednotlivých mocnin proměnné x (lineární a absolutní člen) (lineární člen) x 1 : m 2 = b (absolutní člen) x 0 : 2m = 8 m = 4 a po dosazení za m do předchozího vztahu určíme b = 6. Konkrétní hodnoty proměnné x pro dva parametry b a m stačí dvě vhodné x = 2 : 0 = 2 2 } + 2b + 8 b = 6 = B) x = 0 : 2m = 8 m = 4 16
vyšší úroveň obtížnosti Úloha 17 A B C D E F }{{} 6, 0 až 9 }{{} 10 = 6.6.6 }{{}. 10.10.10 }{{} = 216.10 3 = E) písmena číslice 17
Státní maturita z matematiky Úloha 18 x zaměstanců je zařazeno do první skupiny s průměrným platem 45 000 korun y zaměstanců je zařazeno do druhé skupiny s průměrným platem 30 000 korun φ = 32 400 = plat 1. sk. plat 2. sk. {}}{{}}{ 45 000.x + 30 000.y x + y }{{} celkem zaměstnanců 32 400.(x + y) = 45 000 x + 30 000 y 2 400 y = 12 600 x : 600 4y = 21x.(x + y) Daná rovnice má nekonečně mnoho řešení, proto například volíme x = 4p. Pak y = 21p. Do druhé skupiny je (vyjádřeno v procentech) zařazeno = 21 p 25 p 100 = 84 % = C) y x + y 100 = 21p 4p + 21p 100 = 18
vyšší úroveň obtížnosti Úloha 19 Půjčka = 42 000 Kč ; 5 splátek po (à) 6 000 Kč = 30 000 Kč. Z toho 8 000 Kč představuje platbu úroků a 22 000 Kč bylo použito na umoření jistiny (splátku dluhu), protože: 42 000 5 6 000 + 8 000 = 20 000 Na platbu úroků [%] šlo úroky 8 000 100 = splátky 30 000 100 =. 26,6 % = B) 19
Státní maturita z matematiky Úloha 20 20
vyšší úroveň obtížnosti [ z.(cos α + i. sin α)] 2 = i z = 1 1 2.(cos 2α + i. sin 2α ) = i. 1 Při výpočtu druhé mocniny komplexního čísla v goniometrickém (trigonometrickém) tvaru jsme využili Moivrovy věty (vzorce). Rovnají-li se dvě komplexní čísla, musejí se zároveň rovnat jak jejich reálné tak také jejich imaginární složky. Rovnice v komplexním oboru lze tedy nahradit soustavou dvou rovnic v reálném oboru. V našem případě: cos 2α = 0 sin 2α = 1 2α = 90 + k.360 α = 45 + k.180 = E) 21
Státní maturita z matematiky Úloha 21 n = } 22.{{.. 22} 52 28 1. Číslo je dělitelné čtyřmi, jestliže je jeho poslední dvojčíslí dělitelné 4. 52 je dělitelné 4 bezezbytku = Ano 2. Číslo je dělitelné osmi, jestliže je jeho poslední trojčíslí dělitelné 8. 252 není bezezbytku dělitelné 8 = Ne 3. Číslo je dělitelné devíti, jestliže je jeho ciferný součet dělitelný 9. Ciferný součet je: 29.2 + 5 = 63 a 63 je dělitelné 9 bezezbytku = Ano 1. Číslo je dělitelné šesti, jestliže je sudé a současně je jeho ciferný součet dělitelný 3. Číslo n končí číslicí 2, tedy je sudé. Zároveň ciferný součet čísla n je 63 a tento je dělitelný 3 bezezbytku = Ano 22