6. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ ktaristka@gmail.com Příklad. a) b) c) ln + 3x) x x ln 3 ) x x x e 2 e 2x arccos x d) Vtkněte nejrchleji rostoucí člen z logaritmu lnx 2 x + ) lnx 0 + x + ) Postupujeme vtknutím. lnx 2 x + ) lnx 0 + x + ) 2 x + x 2 ) 0 + x 9 + x 0 ) 2 + ln x + x 2 ) 0 + ln + x 9 + x 0 ) Je načase vužít další hezké vlastnosti logaritmu, konkrétně jeho chování vůči mocninám. A konečně poslední vtknutí 2 + ln x + ) x 2 0 + ln + + ) x 9 x 0 2 + ln x + )/ x 2 0 + ln + + )/ 2 + 0 0 + 0 5. x 9 x 0 Jen pro pohodlí řekněme, že výpočet it vužívá vět o algebře it a výpočet s přihlédnutím ke spojitosti logaritmu) ln x + ) x 2 To, že ln x + x 2 ) 0 netřeba zdůvodňovat. ln 0+0) 0 0.
e) Zbavme se odmocnin Sledujte výpočet. + x sin x e x2 + x sin x e x2 + x sin x )/x 2 e x2 )/x 2 Po použití vět o itě podílu ita jmenovatele je rovna jedné) pokračujeme rozšířením odmocnin. + x sin x x 2 + x sin x x 2 + x sin x + f) sin x x + x sin x + + ) + 2. substituce věta o itě složené funkce, varianta s rze monotónní nekonstantní) funkcí uvnitř). + ) + g) Vtkněte dominantní člen z logaritmu Vtkneme dominantní člen + lnx 3 arctan x) x lnx 2 + arctan x) ) + ) e. + lnx 3 arctan x) x lnx 2 + arctan x) 3 arctan x x 2 + arctan x ) x 2 x x 3 ) x 3 + ln 2 + ln 3 + ln arctan x ) x 3 2 + ln + arctan x ) arctan x x 3 ) + arctan x x 2 x 2 ) V OAL 3 + 0 2 + 0 2
Použili jsme it h) i) arctan x arctan x x x 3 x x 2 0, neb arctan x je omezená a /x mizející funkce. Dále jsme použili spojitosti logaritmu v ) a opět součin omezené a mizející. xarccotg x x x j) Užijte vzorce pro logaritmus lnx 2 + 4) 2 arccotg x x [lnx + ) ] k) x [lnx + ) ] Užijeme pravidla, že rozdíl logaritmů je logaritmus podílu a spojitosti logaritmu. x[lnx + ) ] x + x ln + x x) [ ln + ) x ] ln[e]. x 2. a) b) c) ln + x 2 ) ln x 2 ) x x5/2 arcsin x 5 + x 5 ) x ln 2x ) x 2 d) Vtkněte nejrchleji rostoucí člen ln2 + e 3x ) ln3 + e 2x ) 3
e) Vtknutím, jako obvkle. Pak použijte větu o algebře it a spojitost logaritmu. ln2 + e 3x ) ln3 + e 2x ) ln e 3x + ln 2 + ) e 3x ln e 2x + ln 3 + ) e 2x 3x + ln 2 + ) e 3x 2x + ln 3 + ) 3 + ln 2 + )/x e 3x e 2x 2 + ln 3 + )/x 3 + 0 2 + 0 3 2. e 2x x sin x e x2 sin x /2 x 3/2 x sin x e x2 x sin x/x 2 x sin x e x2 )/x 2 x 2 Protože x sin x je kladný výraz na okolí nul, též tak x 2, můžeme doplnit absolutní hodnot. x sin x /2 sin x /2 sin x x 2 x x f) Užijte substituci x a Užijeme substituci x a. g) Užijte a x e x ln a, 0 ln + a x /2 ln a, kde a > 0 x a ln a x a ) ln [ 0 + a a x, x kde a > 0. Substituujme x + a posléze e z. Pak máme ln z 0 a x a ln +a a 0 ) ] ln[e /a ] a. z e z e z. z 0 z + + x 4
Tím jsme spočítali příklad pro speciální případ, kd a je rovno Eulerovu číslu e. Nní spočteme itu pro obecné a > 0. V závěru substituujeme x ln a. a x e x ln a e x ln a e ln a ln a ln a. x x x ln a 0 h) i) x 2 ) x 2 + x 2 2 x 2 ) x 2 + x 2 2 Zde výhodně vužijeme znalosti it x + x )x e. Stačí upravovat x x 2 ) x 2 + x 2 2 x x 2 2 + 3 x 2 2 ) x 2 + 3 ) x 2 x x 2 2 + 3 ) x 2 2 x x 2 + 3 ) 2 2 x x 2 e 3 2 e 3. 2 j) Převed te na základní itu ln + 3 x ) x ln + 2 x ) k) ln + 3 x ) x ln + 2 x ) Protože 3 x 0, pokud x, vede k cíli nenápadné rozšíření. ln + 3 x ) x ln + 2 x ) ln+3 x ) x 3 x x ln+2 x ) 2 x x 3 x 2 x Substituce 3 x a z 2 x dává ihned v kombinaci s faktem, že 3 2 >, a ted 3 2 )x klesá v minus nekonečnu k nule ln+) 0 ln+z) z 0 z ) 3 x x 2 0 0. 5
l) Vtkněte... ln + x + 3 x) ln + 3 x + 4 x) V čitateli vtkněte x, dole 3 x oba člen s nejvšší mocninou u x). ln + x + 3 x) ln + 3 x + 4 x) m) Vtkneme dominantní člen ln x + lnx /2 + + x /6 ) ln 3 x + lnx /3 + + x /2 ) 2 + lnx /2 + + x /6 ) 3 + lnx /3 + + x /2 ) 2 + lnx /2 + + x /6 )/ 3 + lnx /3 + + x /2 )/ ln + 3 x ) ln + 2 x ) 2 + 0 3 + 0 3 2. V čitateli i jmenovateli jsou dominantními člen exponenciál. Vtkneme je ted. Sledujte, co se bude dít. ln + 3 x ) ln + 2 x ) ln 3 x 3 x + ) ln 2 x 2 x + ) ln 3 x + ln3 x + ) ln 2 x + ln2 x + ) x ln 3 + ln3 x + ) x ln 2 + ln2 x + ) ln 3 + ln3 x + )/x ln 2 + ln2 x + )/x Věta o itě podílu a o itě součtu dává s přihlédnutím k fatku, že 0/ 0, hranaté závork naznačují neoficiální část výpočtu; pokud ale máte zavedenu algebru nekonečen, je vše v pořádku) ln 3 + ln0 + )/+ ) 2 + ln0 + )/+ ) n) Půjčte si a a, roztrhněte, vtkněte a a a a a. a x x a x a, ln 3 ln 2. kde a > 0 Postupujeme trikem vhodného rozšíření za pomoci it z předchozího příkladu. a x x a x a a x a a + a a x a x a 6 a x a a x a x a a a x a
Nní jde vlastně o počítání derivací funkcí a x a x a v bodě a. a a ax a x a x aa a )a x a V první itě substituujeme x a, ve druhé z x/a. a a a a a za 0 z z aa ln a a a ea ln z z z Nní chtře rozšíříme a užijeme substituci t z na poslední zlomek. Viz též příklad XXI.B.. a a ln a a a ea ln z a ln z z a ln z z z a a ln a a a lnt + ) a a a ln a a a a a ln a ). t 0 t o) Půjčte si x a a postupujte obdobně x x a a x a, kde a > 0 Postupujeme trikem vhodného rozšíření. x x a a x a x x x a + x a a a x a x x x a x a + x a a a x a Druhou itu už známe a víme, že je rovna a a viz výpočet v minulém příkladu). Zbývá spočítat první itu. x x x a ) ) x a +aa x a xx a +a a x a ex a) +a a x a x a x a ex a) x a) Substituce x a) na druhou itu. ) + a a x a ) e x a) x a) + aa a a e ln a + a a a a ln a + a a a a ln a + ). 0 7
p) + c ) x x Pokud c > 0, tak substituujeme x/c a dostaneme + c x + x) ) c [ + ) ] c e c, + + nebot mocninná funkce x c je spojitá. Pokud c 0, vše je triviální. Pokud c < 0, potom použijeme substituce x/c a dostaneme + c x x) ) c + + + + [ + ) c ) c + ) + c + ) )c+c + ) ] c + ) c e c c e c. + q) Limita první plne třeba substitucí z. ) x + a x x a Jednoduchou úpravou dostaneme ) x + a x ) x a + 2a x + 2a ) x e 2a. x x a x x a x x a 8