Vzorce na inegrování. s d s+ s+. d ln. e d e. a d a lna, s 5. sind cos 6. cosd sin 7. cos d g 8. d cog sin 9. d arcsin arccos+k 0. + d arcg arccog+k. a + d a arcg a. + d ln(+ +. d ln +. sinhd cosh 5. coshd sinh [af(+bg(]d a f(d+b g( d Pozor!!! Neplaí žádné univerzální pravidlo pro inegrál součinu a podílu dvou funkcí!!!
Inegruje. ( +5d d d d+5 d +5. (+( ( d ( ( d ( +d 5 5 +. 5 + +. ( d ( + + d + d + d ( + d ln + 5. d ( 6 6 7 6. d d ( d ( 6 d 7 6 7 6 6 6 7 7 d arcsin arcsin 7. d ( ( d ( ln 8. +cos +cos d +cos +cos sin d +cos cos d cos d + cos cos d g + 9. sin d (sin +sin d (sin + cos d ( (cos sin d ( cosd sin Inegrace meodou per pares. sind u u v sin v cos ( cos ( cosd cos+sin. e d u u v e v e e e d e e d u u v e v e e [e e d] e e +e e ( +. lnd lnd u ln u v v ln d ln d ln. arcgd u arcg u + v v arcg ( + arcg d arcg + arcg d + arcg + + d 5. e cosd u e u e v cos v sin e sin e sind u e u e v sin v cos e sin [e ( cos e ( cosd] e sin+e cos e cosd e cosd e sin+e cos e cosd (e sin+e cos
6. sin d sin sind u sin u cos v sin v cos sincos+ cos d sincos+ ( sin d sincos+ d sin d Odud Subsiuční meoda sin d sincos+ sin d ( sincos. d d d d d ln ln. e +e d +e e d d e d e d ln ln +e ln(+e. cogd cos sin d sin cosd d d ln ln sin. + d + d d d d + 5. +8d +8 d d d ( +8 d 6. ln d ln d d d ln 7. arcg + d arcg + d d 8. d d d d arcg d d ln ln 9. e d d d e d e d e e 0. cos sind cos sind d d cos
. +9 d +( d d d d + arcg arcg. d 9 d ( 9 ( d d d d arcsin arcsin d. a + d a d + a a a d d a + ad a arcg a arcg a Převeďe na souče polynomu a ryze racionální funkce a inegruje. ( d dělením + d + + d + d d d d ln ln +. ( + d d arcg +. ( d + d d d ln Rozlože ryze lomenou funkci na souče parciálních zlomků. R( + Rozložíme jmenovael na součin kořenových fakorů(v reálném oboru. ( ( (+ Proože máme ři různé jednonásobné reálné kořeny, rozklad dopadne ako: + + ( (+ A + B + C + Vynásobíme rovnos společným jmenovaelem z levé srany. + A( (++B(+( Máme dvě možnosi a do rovnice posupně dosadíme reálné kořeny původního jmenovaele: 0 : 0+ A( (+B 0( 0( A : + B (+ B : + C( ( C
b rovnici ješě upravíme a porovnáme koeficieny u jednolivých mocnin na pravé a na levé sraně: + A A+B +B C + (A+B +(B C A : 0 A+B : B C 0 : A Řešenímsousavyřírovnicořechneznámýchdosaneme A, B, C. Celkem máme: R( + + +.. R( + + ( + ( Mámejedenjednonásobnýkořen 0advojnásobnýkořen.Rozkladbudevypada ako: ( A + B + C ( A( +B( A A+A+B B Koeficieny najdeme kombinací obou meod. Nejprve dosadíme dva reálné kořeny a poom poslední koeficien získáme medoou porovnávání koeficienů. Porovnámekoeficienu : Aedy. R( ++ + + 0 : A A : C C A B B R( + (. + + ( ++ Máme dvojnásobný reálný kořen 0 a kvadraický dvojčlen se záporným diskriminanem. Porovnáním koeficienů: ++ ( ++ A + B + C+D ++ ++ A( +++B( +++(C+D ++ A +A+A+B +B +B +D ++ (B + (A+B +D+(A+B+A Odud A,B,C,D,j. B + C, A + B + D 0, A + B, A. R( + ++. 5
Inegrování parciálních zlomků I.yp: A α d II.yp: A ( α k d, k 5 d 5 d d d ln 5 (+ 5 d + d d 5 d 5 d (+ III.yp: B +p+q d, p q < 0 +5 d +5 ( d d d ln ln +5 + d ( d + + + d d d ( + d d + [ ( +] d + d ( arcg arcg ++ d ++ d ++ d + d ++ + ++ d 5 ++ d ln ++ 5 ++ d ++ d ++ d ( + + d + Máme dvě možnosi a ( d + + b + d Celkem máme d ( d + + + d d + d arcg ( + arcg d +( a + d a arcg a arcg ++ d ln ++ 5 arcg ln ++ 5 ( + arcg ( + ( + 6
Ryze lomenou funkci převeďe na souče parciálních zlomků a inegruje.. ( + d + + d ln + + ln ln + ( + d + ( d ln +ln +. ( ++ + + d + ++ (viz dřív ln + ln ++ 5 arcg d ( +. Rozložíme na parciální zlomky: + + d + + y + y +y + (y (y + + ( ( + + ( (+( + + ( (+( + A + B + + C+D + + A(+( ++B( ( ++(C+D( (+ : + 8A A 8 : 8B B 8 0 : 0 A B D D : 0 A+B C + ( (+( + 8 + 8 + + + + ( + + d 8 + 8+ d + 8 ln + 8 ln + 8 ln + 8 ln + ( + d + 8 ln + 8 ln + ln( ++ arcg + d 5. d : ( + ( + d Ryze lomenou funkci rozložímenasoučeparciálníchzlomků ( ( ++ A + B ++ A( +++(B( : 0 A+B A B 0 : 0 A C A C : A B A+A+A 7
Řešenímsousavyjsoukoeficieny A,B,C.Pokračujemevinegrování inegrál + ++ dspočíámezvlášť: + ++ d ++ d 6 ( d + + + d ++ + ++ d 6 ++ + 6 ++ d 6 ++ d 6 ln ++ + ++ d 6 ln ++ + ( ++ + d 6 ln ++ + ( + d + + d d 6 ln ++ + + d 6 ln ++ + arcg 6 ln ++ + arcg + d Celkem ( d + + + d ++ + ln 6 ln ++ + arcg + Někeréinegrályypu sin n cos m d. sin cos d sin cos sind ( cos cos sind cos sind d ( d ( 6 d 7 7 5 5 7 cos7 5 cos5. sin 5 d ( cos sind cos sind d ( d ( + d + 5 5 cos+ cos 5 cos5. sin 5 cos d sin cosd d 5 ( d ( 5 7 d Lzepoužíisubsiuci cos. 6 6 8 8 6 sin6 8 sin8. cos cos sin 5 d sin sin 5 cosd sin 5 cosd sin cosd d ( 5 d 5 d + sin + sin 5. sin d sin ( cos sin 8
6. cos d cos (+cos + sin 7. sin cos d [ ] ( cos ( cos cos +cos d 6 ( 6 ( cosd ( 6 sin sin+sin sin (+cosd d d (sin cos+cos d 6 cosd+ ( sin cosd 8 sin 6 sin+ 6 8. sincos d gcos d g cos d d d ln g 9. 0. sin d sin cos d cos cos d π sin(+ Obecnágoniomerickásubsiuce g g cos d d ln g sin(+ π d ( ln g (+ π + π d g cos d d d sin d.. g d, d +, sin +, cos + sin +cos d + + + d + ( + d sin cos + + + + + d + d d ln(+ g ( ln +g + + + + d 6+ d ++ d d ( (+ d 5 5 + d 5 ln + 5 ln + g 5 ln + 5 ln g + 9