1 L Hospitalovo pravidlo

Podobné dokumenty
dx se nazývá diferenciál funkce f ( x )

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je

Definice derivace v bodě

I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta

Diferenciál a Taylorův polynom

Derivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace

f(c) = 0. cn pro f(c n ) > 0 b n pro f(c n ) < 0

30. listopadu Derivace. VŠB-TU Ostrava. Dostupné: s1a64/cd/index.htm.

1. Písemka skupina A...

Limita a spojitost LDF MENDELU

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Zimní semestr akademického roku 2015/ ledna 2016

Obsah. Derivace funkce. Petr Hasil. L Hospitalovo pravidlo. Konvexnost, konkávnost a inflexní body Asymptoty

Derivace úvod. Jak zjistit míru změny?

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 16. ledna 2009

Cvičení 1 Elementární funkce

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a

. 1 x. Najděte rovnice tečen k hyperbole 7x 2 2y 2 = 14, které jsou kolmé k přímce 2x+4y 3 = 0. 2x y 1 = 0 nebo 2x y + 1 = 0.

4. Diferenciál a Taylorova věta

III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ).

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),

Limita a spojitost funkce

Limita funkce. FIT ČVUT v Praze. (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39

Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava.

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 26. ledna x. x 1 + x dx. q 1. u = x = 1 u2. = 1 u. u 2 (1 + u 2 ) (1 u 2 du = 2.

Limita a spojitost funkce

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Management rekreace a sportu. 10. Derivace

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce

f( x) x x 4.3. Asymptoty funkce Definice lim f( x) =, lim f( x) =, Jestliže nastane alespoň jeden z případů

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =

Matematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr

Nejčastějšími funkcemi, s kterými se setkáváme v matematice i v jejích aplikacích, jsou

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 4. února 2009

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

METODICKÝ NÁVOD MODULU

1 Polynomiální interpolace

Diferenciál funkce. L Hospitalovo pravidlo. 22. a 23. března 2011

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 17. února ( sin (π 2 arctann) lim + 3. n 2. π 2arctan n. = lim + 3.

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

Teorie. kunck6am/ (a) lim. x x) lim x ln ) = lim. vnitřní funkce: lim x. = lim. lim. ln(1 + y) lim = 1,

Derivace funkce Otázky

Funkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim

I. 4. l Hospitalovo pravidlo

7. Aplikace derivace

Derivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace

MATEMATIKA I - vybrané úlohy ze zkoušek v letech

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

{ } Ox ( 0) 4.2. Konvexnost, konkávnost, inflexe. Definice Obr. 52. Poznámka. nad tečnou

ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ

6. Bez použití funkcí min a max zapište formulí predikátového počtu tvrzení, že každá množina

verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Integrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody)

Pro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.)

DERIVACE. ln 7. Urči, kdy funkce roste a klesá a dále kdy je konkávní a

Základy matematické analýzy (BI-ZMA)

0.1 Úvod do matematické analýzy

Asymptoty funkce. 5,8 5,98 5,998 5,9998 nelze 6,0002 6,002 6,02 6, nelze

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Seznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné.

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, )

Matematika (KMI/PMATE)

Cvičení 1 Elementární funkce

FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY

1. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny 1., 2. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.

MATEMATIKA I DIFERENCIÁLNÍ POČET I FAKULTA STAVEBNÍ MODUL BA01 M06, GA01 M05 DERIVACE FUNKCE

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností

Obecnou definici vynecháme. Jednoduše řečeno: složenou funkci dostaneme, když dosadíme za argument funkci g. Potom y f g

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

5. Limita funkce a spojitost strana 1/5 2018/KMA/MA1/přednášky. Definice 5.1. Mějme funkci f : D R a bod x 0 R.

0.1 Funkce a její vlastnosti

Derivace funkcí více proměnných

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13

Integrální počet - II. část (další integrační postupy pro některé typy funkcí)

Matematika 1 pro PEF PaE

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

Matematika I (KMI/PMATE)

7B. Výpočet limit L Hospitalovo pravidlo

Teorie. Hinty. kunck6am

Přednáška 3: Limita a spojitost

Občas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z:

Matematika (KMI/PMATE)

Funkce. Limita a spojitost

Úvodní informace. 17. února 2018

Kapitola 1: Reálné funkce 1/20

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

Příklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3

Transkript:

L Hospitalovo pravidlo Věta.. Bud R R R {± }). Necht je splněna jedna z podmínek i) ii) f) g), g). Eistuje-li vlastní nebo nevlastní) f ) g ) Obdobné tvrzení platí i pro jednostranné ity., pak eistuje také f) g) a platí f) g) f ) g ). Řešené příklady Příklad.. Spočtěte 3 3 3. 3 3 3 L H 3 3 6 3. Příklad.. Spočtěte 8 3. [ ] [ ] 8 3 L H 3 L H 6. Příklad.3. Spočtěte Příklad.. Spočtěte n n n n. L H n n n n. n e. n [ ] e L H n n e L H n n ) n e L H L H n! e.

Příklad.5. Spočtěte cos sin. cos sin sin sin cos L H L H sin sin cos cos cos cos sin cos cos sin. Příklad.6. Spočtěte tg 3 tg. [ ] tg 3 tg L tg 3 H cos 3 cos 6 cos sin cos 3 sin 3 3 L H sin sin 3 3 3. 3 cos cos 3 cos cos 3 Příklad.7. Spočtěte ln ). ln ) ln ) [ ] ln [ ] L H ln ln. Příklad.8. Spočtěte a. a a [ ] L H a a a a. Příklad.9. Spočtěte.

[ ] e. Protože e je spojitá funkce, můžeme s itou přejít do eponentu. [ ] [ ] L H. e e e. Příklad.. Spočtěte. e Poslední rovnost opět plyne ze spojitosti funkce e. L H e.. Příklad.. Spočtěte e e e. tg ) tg. tg ) tg [ ] e ln tg tg e ln tg tg. ln tg ln tg tg sin cos sin tg L H tg cos tg cos sin sin cos sin. tg ) tg e ln tg tg e e. Příklad.. Spočtěte cotg )sin. 3

cotg )sin eln cotg sin. ln cotg Příklad.3. Spočtěte sin L H sin cos sin sin cos sin cos. cotg )sin eln cotg sin e ln cotg sin e. ln. ) ln ) [ ] eln ln e ln ln. ln ln ln ln Příklad.. Spočtěte [ ] L H ln ) ln ) e ln ln e. ) e. ln. ) e Příklad.5. Spočtěte e e ) L H L H e e e e e e e. ). Příklad.6. Spočtěte ) ) L H L H sin. ).

sin ln sin ) cos sin sin sin sin cos e ln sin ln sin [ ] e ln sin. L H cos sin sin L H sin cos cos sin cos L H cos cos cos sin 6. Dohromady pak Příklad.7. Spočtěte sin ) e ln sin e 6. tg ). tg ) e ln tg e ln tg. Dohromady ln tg L H tg tg tg cos cos cos tg tg cos sin cos sin cos sin sin sin L H cos sin cos L H sin sin cos cos sin sin sin 8 cos sin L H cos cos 8 cos 6 sin 8 sin cos cos cos sin 8 cos 3. tg ) e ln tg 5 e ln tg e 3.

Příklad.8. Spočtěte arctg ). Nejprve ukážeme, že tedy L H arctg ) e ln arctg ) arctg ln. arctg ln arctg arctg ln. L H e ln arctg )., arctg arctg ln ln ln. ln arctg ) arctg ) arctg ) L H arctg arctg arctg ) arctg ) arctg arctg ) ) arctg arctg arctg ) arctg L H arctg arctg 3. arctg ) e ln arctg ) e ln arctg ) e 3. 3 Diferenciál funkce a Taylorův polynom Definice 3.. Necht má v bodě vlastní derivaci. Lineární zobrazení df ): R R dané předpisem df )h) f ) h se nazývá diferenciál funkce f v bodě. 6

6 f h) 5 τh) df )h) f ) 3 h 3 Diferenciál funkce f v bodě udává přírustek na tečně ke grafu funkce v bodě [ ; f )]. Příklad 3.. Určete diferenciál funkcí a) e, b). a) Funkce e má derivaci ve všech bodech reálné osy. Bud R libovolné. df )h) f ) h e e ) h. b) Funkce má derivaci ve všech bodech svého definičního oboru. Bud R libovolné. df )h) f ) h f ) h ln Celá idea diferenciálu spočívá v tom, že funkci aproimujeme pomocí lineárního polynomu. Nyní budeme chtít funkci aproimovat pomocí polynomů libovolného stupně. Necht má funkce f v bodě všechny derivace až do řádu n, které jsou vlastní. Chceme funkci nahradit polynomem tvaru P n a a ) a n ) n tak, aby polynom P n aproimoval funkci f co nejpřesněji. Je jistě rozumné požadovat, aby f i) ) P i) n ) pro i,..., n. 7 ).

f ) P n ) a, f ) P n ) a, f ) P n ) a, Odtud dostáváme hledaný polynom P n ) f ) f )!. f n) ) P n) n n n ) a n n!a n. ) f )! ) f n) ) ) n. n! Tento polynom se nazývá Taylorův polynom stupně n funkce f se středem a značí se T n ). Taylorův polynom se středem v bodě se nazývá Maclaurinův polynom. Věta 3.3. Necht má funkce f v okolí bodu vlastní derivace až do řádu n pro některé n N {}. pro všechna z toho okolí platí: f) f ) f )! ) f )! ) f n) ) ) n R n ), 3.) n! kde R n ) f n) ξ) n)! ) n, přičemž ξ je vhodné číslo mezi a. Chyba R n ) se nazývá zbytek a vzorec 3.) se nazývá Taylorův vzorec. Další řešené příklady Příklad.. Rozviňte polynom P ) 3 do Taylorova polynomu se středem. Podle Taylorova vzorce máme T ) P ) P )! ) P )! přičemž R ), nebot P 5) ). Proto T ) P ) P )! Spočítejme jednotlivé koeficienty. ) P )! ) P 3) ) 3! ) P 3) ) 3! P ) 6 5, P ) 3 6, P ) 6, P ) 8, P ). ) 3 P ) ) R ),! ) 3 P ) ).! T ) 5 ) ) 8 ) 3 ). 8

Příklad.. Určete přibližnou hodnotu arctg, pomocí diferenciálu. arctg, ) arctg) d arctg), ), ), 5, 835398. Příklad.3. Pomocí Maclaurinových polynomů y sin vyjádřete sin 5 s chybou menší než 5 a dokažte, že chyba uvedeného vyjádření je menší než 5. K tomu, abychom mohli sestavit Maclaurinovy polynomy, potřebujeme znát sin n) ). Pro obecné n pak máme sin ) cos), sin ) cos ) sin), sin ) cos ) sin ) cos). sin n) ) {, pro n sudé ) n, pro n liché. Je-li n liché, pak maclaurinův polynom stupně n je tvaru Pro n sudé platí tedy přičemž pro platí T n ) 3 3! 5 5! 7 n n ) 7! n!. T n ) T n ), R n ) R n ), R n ) n )! n, zde jsme využili toho, že sin n). Nyní si vyjádřeme 5 v radiánech. 5 8 36 36. Našim úkolem je najít n ideálně co nejmenší) takové, že Protože 36 ) Rn ) sin T n < 36) 5. 36 36, můžeme použít předchozí odhad velikosti zbytku. Chceme, aby platilo R n 36 ) n )! 36 ) n < 5. Vzhledem k tomu, že < 3, 6, dostáváme, že ) n n < n )! 36 n )!. To znamená, že stačí vzít n, pak budeme mít zaručeno, že chyba bude menší než 5. Hodnota sin 5 je pak přibližně ) ) T T 3 36 36 36 36 3! ) 3. 9