11. cvičení z Mateatiky. - 6. května 16 11.1 Vypočtěte 1 x + y + z dv, kde : x + y + z 1. Věta o substituci á analogický tva a podínky pouze zanedbatelné nožiny nyní zahnují i plochy, oviny atd.: f dv = f Φ det Φ dv. Použijee sféické souřadnice: Φ Ψ :, +, π, π R 3, kde Ψ : x = sin ϑ cos ϕ y = sin ϑ sin ϕ z = cos ϑ. Poznáka: Sféické souřadnice jsou složení dvou upavených cylindických souřadnic a sice: takže po deteinant áe Φ 1 : = sin ϑ ϕ = ϕ z = cos ϑ Ψ = Φ Φ 1, Φ : x = cos ϕ y = sin ϕ z = z det Ψ = detφ Φ 1 detφ 1 = Φ1 = sin ϑ = sin ϑ. Zvolíe si paaetizaci koule = Ψ jako Takže ůžee psát =Ψ : 1 & ϕ π & ϑ π. 1 x + y + z 4z + 4 dv = sin ϑ 4 cos ϑ + 4 dv = = = π π π = π 1 sin ϑ 4 cos ϑ + 4 dϕ dϑ d = π [ 4 cos ϑ + 4 ] ϑ=π ϑ= + d = π d = π π sin ϑ 4 cos ϑ + 4 dϑ d = + 4 + 4 4 + 4 d = + d = π d = 3 π.
11. Vypočtěte těžiště tělesa : x + y + z R & z tanα x + y, s hustotou ρ = 1, kde R > a α, π jsou paaety. Těleso je půnike koule o poloěu R a kužele s vcholový úhle α, jehož špička je ve středu koule. Výhodné tedy bude použít opět sféické souřadnice Paaetizace = Ψ pak bude Ψ : x = sin ϑ cos ϕ y = sin ϑ sin ϕ z = cos ϑ : R & ϕ π & ϑ α Po těžiště usíe nejdříve spočítat hotnost: = 1 dv = =Ψ α π sin ϑ dv = sin ϑ dϕ dϑ d = = π α sin ϑ dϑ d = π1 cos α d = 3 πr3 1 cos α. Potože těleso je otačně syetické podle osy z, budou x-ová i y-ová souřadnice těžiště obě nulové. Zbývá tedy spočítat z-ovou souřadnici těžiště: T 3 = 1 z dv = 1 =Ψ 3 cos ϑ sin ϑ dv = 1 α π 3 sin ϑ dϕ dϑ d = = π 3 d α sin ϑ dϑ = πr4 8 1 cos α = 3R 16 1 cos α 1 cos α = 3R 8 1 + cos α. 11.3 čete těžiště hoogenniho kužele s výškou h > a poloěe podstavy R >. Kužel : z H & x + y R h z, tentokát po zěnu zintegujee tak, že ho nejdříve ozřežee hoizontálně na kuhy a ty pak zintegujee v závislosti na výšce. Využijee znáý vzoec na obsah kuhu o dané poloěu. hotnost: = 1 dv = 1 dxdy dz = x +y R h z π R h z dz = π 3 R h Page
Potože těleso je otačně syetické podle osy z, budou x-ová i y-ová souřadnice těžiště obě nulové. Zbývá tedy spočítat z-ovou souřadnici těžiště: T 3 = 1 z dv = 1 z dxdy dz = 1 x +y R h z π R h z3 dz = 1 π 4 R h = 3 4 h. Z postupu je vidět, že při integaci záleží pouze na ploše hoizontálních řezů přesněji na závislosti plochy na výšce a tedy stejný výsledek těžiště je ve čtvtině výšky nad podstavou dostanee po kužel s jakýkoliv tvae podstavy např. pyaidu atd.. 11.4 Vypočtěte 4 x 4 x x +y x + y dz dy dx. Oblast integace je neboli a tedy : x & y 4 x & x + y z : x 4 & x + y 4 & x + y z : x + y z, což je kužel s výškou a poloěe podstavy také, kteý stojí na své vcholu v počátku. K výpočtu integálu použijee cylindické souřadnice: tj. Φ :, +, π R R 3, kde Φ : Φ = Jako paaetizaci si vezee Můžee tedy psát 4 x 4 x cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ 1 x = cos ϕ y = sin ϕ z = z a det Φ =. : z & ϕ π. x +y x + y dz dy dx = =Φ x + y dv = = z π dv = 3 dϕ d dz = π z 3 d dz = Page 3
= π z 4 dz = π 1 5 = 16 5 π. 11.5 Vypočtěte těžiště tělesa x : a + y b + z 1 & x, y, z, c s hustotou ρ = 1, kde a, b, c > jsou paaety. Oblast integace je osina obecného elipsoidu. Použijee poto upavené sféické souřadnice Φ kteé paaetizují tento elipsoid: x/a = sin ϑ cos ϕ Φ : y/b = sin ϑ sin ϕ, z/c = cos ϑ kteé vzniknou složení klasických sféických souřadnic Ψ a lineání tansfoace L, kteá defouje jednotlivé osy: Φ = L Ψ, L x, ỹ, z := a x, bỹ, c z. Máe tedy potože Paaetizace oblasti = Φ je Φ = L Φ Ψ a det Φ = det L Φ det Ψ = abc sin ϑ, L = a b c. : 1 & ϕ π & ϑ π. Výpočet hotnosti si usnadníe znalostí objeu koule K o poloěu 1 a toho, že obje je jedna osina objeu celého elipsoidu F. Potože F = LK, áe: = 1 dv = 1 1 dv = 1 det L dv = 8 8 = abc 8 K F =LK K 1 dv = abc 8 4 3 π = πabc 6. Po zjištění těžiště T = T 1, T, T 3 se nyní stačí oezit jen na jednu složku např. T 3, potože ostatní lze analogicky získat příslušný natočení elipsoidu do daného sěu a zopakování výpočtu. Máe tedy T 3 = 1 z dv = 1 c cos ϑ abc sin ϑ dv = = 3c π π π =Φ 3 sin ϑ dϕ dϑ d = 3c π Podobně tedy budee ít T 1 = 3 8 a a T = 3 8 b. π 3 d π sin ϑ dϑ 1 dϕ = 3 8 c. Page 4
11.6 Vypočtěte oent setvačnosti otačního paaboloidu o výšce h a poloěu postavy R vzhlede k ose, kteá pochází těžiště a je kolá k ose otační syetie paaboloidu tzv. ekvatoiální oent. Oblast integace je : h R x + y z h. číe těžiště tělesa poocí cylindických souřadnic a paaetizace = Φ hotnost: = = π : =Φ Φ : x = cos ϕ y = sin ϕ z = z h R z h & ϕ π. 1 dv = dv = h R π [ h h ] R d = πh 4 R 4R dϕ dz d = = πhr. Těleso je otačně syetické podle osy z, takže je potřeba učit pouze z-ovou souřadnici těžiště: T 3 = 1 = 4 hr h R =Φ z dv = 1 z dz d = hr z dv = 1 h R π z dϕ dz d = h h 4 R 4 d = h [ ] R 6 R 6R 4 = 3 h. Moent setvačnosti vzhlede k ose kolé na osu z a pocházející těžiště nebude vzhlede k syetii tělesa podle osy z záviset na konkétní volbě sěu této osy. Zvolíe si ji tedy např. ovnoběžnou s osou x - tj. osa p bude ít ovnice y = a z = 3h. Hledaný oent setvačnosti pak bude M = ρ p x, y, z dv, kde ρ p x, y, z = y + z 3 h je vzdálenost bodu x, y, z od příky p. K výpočtu oentu použijee opět tansfoaci Φ: M = y + z 3 h dv = = h R π =Φ 3 sin ϑ + z R 3 h dϕ dz d = π 3 sin ϑ + z 3 h dv = h R 3 + z 3 h dz d = Page 5
= π h 3 1 R + 3 [ z 3 h 3 ] z=h z= h R d = πh R 4 = πh 4 R4 6 + R h [ h 81 R 1 R 3 3 5 R + 81 h 3 h R 3 d = 3 4 ] R = πhr 1 R + h. 3 Page 6