kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže pro každé x I existuje F (x) a platí F (x) = f(x). Věta (Rovnost až na konstantu). Necht F a G jsou primitivní funkce k funkci f na otevřeném intervalu I. Pak existuje c R takové, že F (x) = G(x) + c pro každé x I. Věta 3 (Linearita neurčitého integrálu). Necht f má na otevřeném intervalu I primitivní funkci F, funkce g má na I primitivní funkci G a α, β R. Potom funkce αf +βg je primitivní funkcí k αf + βg na I. Hinty Příklady. Najděte primitivní funkce F k následujícím funkcím f na maximální možné podmnožině reálných čísel a tuto množinu určete. (a) f(x) = ( + sin x + cos x) ( + sin x + cos x) dx = x cos x + sin x + C. (b) f(x) = 3x + x 3 (c) f(x) = x 4x4 3x + x 3 dx = 3 x3 3 + x4 4 + c = x3 + x4 4 + c x 4x4 dx = ln x 4 x5 5 + c x 0 Matematika B, LS 08/9
(d) f(x) = x + x 3 x + x 3 dx = x + x 3 dx = x3/ 3/ + x + c dx = x 3 + 3 x + c x > 0 (e) f(x) = 7 3 x + sin x + x 7 3 x + sin x 7x5/3 dx = + x 5/3 cos x arctan x + c (f) f(x) = cos x ex cos x ex dx = tan x e x + c x π + kπ, k Z (g) f(x) = + x + x + + x + x + x + + x = arcsin x + arctan x + x + x3 3 + c x (, ) (h) f(x) = x 3 + π x sin x x 3 + π x5/ x sin dx = x 5/ x/ / π cot x + c x > 0, x kπ, k Z (i) f(x) = + x x + x x dx = ln x + x + ln x + x + c x (, ) (, ) Matematika B, LS 08/9
. Najděte primitivní funkce F k následujícím funkcím f na maximální možné podmnožině reálných čísel a tuto množinu určete. (a) f(x) = 3x + 4x + 3x 3x + 4x + 3x dx = x + 4 3 + x dx = 3x + 4x 3 + ln x + c 3 x 0 (b) f(x) = ( x)( x)( 3x) Roznásobením ( x)( x)( 3x) dx = (c) f(x) = x + x ( 6x+x 6x 3 ) dx = x 3x + 3 x3 3 x4 +C. ( ) x + x ( dx = + x dx = x / + x /) dx = x3/ x 3/ + x/ / +C. x > 0 3. Dokažte, že pokud F (x) = f(x), potom ( a F (ax + b) + C) = f(ax + b), pokud a 0. Plyne z Věty o aritmetice derivací a derivace složené funkce. 4. Najděte primitivní funkce F k následujícím funkcím f na maximální možné podmnožině reálných čísel a tuto množinu určete. (a) f(x) = cos(3x) cos 3x dx = sin 3x + c 3 (b) f(x) = sin(x π) sin(x π) dx = cos(x π) + c Matematika B, LS 08/9 3
(c) f(x) = e 5 3x (d) f(x) = + 4x + 4x dx = (e) f(x) = 4x e 5 3x dx = 3 e5 3x + c + (x) dx = arctan x + c 4x = ln 4x + c 4 x 4 (f) f(x) = (x + ) 7 (g) f(x) = e 3x + 7 x (x + ) 7 dx = 6 (x + )8 + c e 3x + 7 x dx = 3 e3x + 7 ln x + c (h) f(x) = (e x + e x ) Pomocí lineární substituce y = x, resp. y = x dostaneme (e x + e x ) dx C = e x e x (i) f(x) = (3 x ) 3 Tento příklad substituovat nelze, je třeba roznásobit. (3 x ) 3 dx = (7 7x + 9x 4 x 6 ) dx = 7x 9x 3 + 9 5 x5 x7 7 + C. Matematika B, LS 08/9 4
(j) f(x) = (sin 5x sin 5α) Pomocí lineární substituce y = 5x dostaneme (sin 5x sin 5α) dx = cos 5x x sin 5α + c, 5, nebot sin 5α je konstantní funkce (nezávislá na proměnné x). (k) f(x) = + (3x + 7)5 x x + (3x + 7)5 dx = ln x + 8 (3x + 7)6 + c x (l) f(x) = sin ( x + π ) 4 Pomocí lineární substituce y = x + π 4 dostaneme sin ( x + π ) dx = C ( cotg x + π ) 4 4 x + π 4 kπ, tedy x k π π 8, k Z (m) f(x) = x dx = x ( dx = arcsin ( x) + c x) x (, ), tedy x (, ). (n) f(x) = x + A Víme, že primitivní funkce k funkci x je ln x + C. Tedy primitivní funkce k funkci ln ax + b + C. Odtud vyplývá, že (položte a =, b = A) x A ax+b je a dx = ln x + A + C. x + A 5. Najděte primitivní funkce F k následujícím funkcím f na maximální možné podmnožině reálných čísel a tuto množinu určete. Matematika B, LS 08/9 5
(a) f(x) = ex e x + + 4 cos x e x e x + + 4 (e x cos x dx = )(e x + ) e x + 4 + sin x dx = = e x x 4 cot x + c x kπ, k Z (b) f(x) = 4 (3x ) (e x ) + 4 sin x dx dx = 4 (3x ) x ( /3, ) (c) f(x) = ( x) ( x) dx = x > 0 dx = ( 3x ) x + x dx = x 4 3 3 arcsin ( 3x x 3 + x + c ) + c (d) f(x) = tan x sin tg x cos ( ) x dx = cos x dx = x cos x dx = cos x dx = tg x x+c. x π + kπ, k Z x + x (e) f(x) = x + x dx = ( + x ) + x dx = ( ) + x dx = x arctan x+c. (f) f(x) = x + 3 x x + 3 x ( x dx = + 4 x dx = + 4 ) ( x dx = 4 ) x dx = x ln + x x + C. x ± Matematika B, LS 08/9 6
(g) f(x) = ( x + 3 x ) ( x + 3 x ) dx = (4 x + 6 x + 9 x ) dx = 4x ln 4 + 6x ln 6 + 9x ln 9 + C. (h) f(x) = + 3x Výraz převedeme na tvar a poté užijeme substituci y = cx. +c x + 3x dx = C = 3 3 arctan x = 6 arctan + ( 3 x ) dx (i) f(x) = cotg x cos cotg x sin ( ) x dx = sin x dx = x sin x dx = sin x dx = cotg x x + C. 3 x x kπ, k Z (j) f(x) = 5x Protože je y dy = y, platí 5x dx C = 5 5x = 5 5x x < /5 ( ) a (k) f(x) = x + a x + a3 x 3, a R ( ) a x + a x + a3 x 3 dx = a ln x a x a3 x + C. x 0 6. Najděte takovou funkci, aby f (x) = 6x( x) a f(0) =. 6x( x) dx = x 3 + 3x + c. Ježto máme f(0) =, tak = 0 3 + 3 0 + c = c. Hledaná funkce je tedy f(x) = x 3 + 3x +,. Matematika B, LS 08/9 7
7. Najděte chyby (a) x e x dx = 3 x3 e x + c (b) Integrál součinu není součin integrálů, stejně jako u derivací. x dx = x dx = x arcsin x + c x x x nelze vytknout před integrál, to můžeme jen u konstanty. Matematika B, LS 08/9 8