Teorie. Hinty. kunck6am

Podobné dokumenty
Teorie. Hinty. kunck6am

(5) Primitivní funkce

Kapitola 7: Integrál.

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.

Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

Teorie. Hinty. kunck6am

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Kapitola 7: Integrál. 1/17

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala

f konverguje a g je omezená v (a, b), pak také konverguje integrál b a fg. Dirichletovo kritérium. Necht < a < b +, necht f : [a, b) R je funkce

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí

Základy matematiky pro FEK

Zkouška ze Základů vyšší matematiky ZVMTA (LDF, ) 60 minut. Součet Koeficient Body

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciál funkce. L Hospitalovo pravidlo. 22. a 23. března 2011

Seznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné.

Integrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody)

Bakalářská matematika I

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek

Určete (v závislosti na parametru), zda daný integrál konverguje, respektive zda konverguje. dx = t 1/α 1 dt. sin x α dx =

30. listopadu Derivace. VŠB-TU Ostrava. Dostupné: s1a64/cd/index.htm.

Matematika 1 pro PEF PaE

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, )

Integrální počet - II. část (další integrační postupy pro některé typy funkcí)

Matematika 1. Matematika 1

Teorie. kuncova/

INTEGRÁLY S PARAMETREM

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),

Derivace a monotónnost funkce

Matematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16

Začneme obráceným postupem k počítání derivací, tj. hledáním funkcí, jejichž derivaci známe.

Uzavřené a otevřené množiny

I. TAYLORŮV POLYNOM. 2. a) x x3, b) x x3 + x5, c) 1 + 2x x2 2x 4, f (4) (0) = 48, d) x , c)

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Úvod. Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali

Základy matematické analýzy

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010

Integrální počet funkcí jedné proměnné

8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8

1. sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) pro x, y R, cos(x + y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) pro x, y R;

Derivace. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim

kuncova/, 2x + 3 (x 2)(x + 5) = A x 2 + B Přenásobením této rovnice (x 2)(x + 5) dostaneme rovnost

0.1 Funkce a její vlastnosti

Zadání. Goniometrie a trigonometrie

MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH

II. 3. Speciální integrační metody

Matematika (KMI/PMATE)

SPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ INTEGRACE RACIONÁLNÍCH FUNKCÍ

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14

F (x) = f(x). Je-li funkce f spojitá na intervalu I, pak existuje k funkci f primitivní funkce na intervalu I.

Limita funkce. FIT ČVUT v Praze. (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA NEURČITÝ INTEGRÁL

Neurčitý integrál. Robert Mařík. 4. března 2012

Cyklometrické funkce

5. cvičení z Matematiky 2

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné

I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou

Kapitola 1: Reálné funkce 1/13

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Zimní semestr akademického roku 2015/ ledna 2016

Management rekreace a sportu. 10. Derivace

Text může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková

Obsah Obyčejné diferenciální rovnice

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO

rovnic), Definice y + p(x)y = q(x), Je-li q(x) = 0 na M, nazývá se y + p(x)y =

9. Vícerozměrná integrace

SPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ

. 1 x. Najděte rovnice tečen k hyperbole 7x 2 2y 2 = 14, které jsou kolmé k přímce 2x+4y 3 = 0. 2x y 1 = 0 nebo 2x y + 1 = 0.

VIDEOSBÍRKA DERIVACE

Zápočtová písemka z Matematiky III (BA04) skupina A

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 26. ledna x. x 1 + x dx. q 1. u = x = 1 u2. = 1 u. u 2 (1 + u 2 ) (1 u 2 du = 2.

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

Konvergence kuncova/

Derivace funkce Otázky

Zkouška ze Aplikované matematiky pro Arboristy (AMPA), LDF, minut. Součet Koeficient Body. 4. [10 bodů] Integrální počet. 5.

Derivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace

Matematika 1 pro PEF PaE

GONIOMETRIE. 1) Doplň tabulky hodnot: 2) Doplň, zda je daná funkce v daném kvadrantu kladná, či záporná: PRACOVNÍ LISTY Matematický seminář.

2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je

Matematická analýza pro informatiky I. Derivace funkce

Limita a spojitost funkce

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22

Kapitola 1: Reálné funkce 1/20

7.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P7.1a]

Petr Hasil

2.6. Limita funkce. Nechť c R jevnitřnínebokrajníbodintervaludefiničníhooborufunkce

NEURČITÝ INTEGRÁL - CVIČENÍ

1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu

8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice

Transkript:

kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže pro každé x I existuje F (x) a platí F (x) = f(x). Věta (Rovnost až na konstantu). Necht F a G jsou primitivní funkce k funkci f na otevřeném intervalu I. Pak existuje c R takové, že F (x) = G(x) + c pro každé x I. Věta 3 (Linearita neurčitého integrálu). Necht f má na otevřeném intervalu I primitivní funkci F, funkce g má na I primitivní funkci G a α, β R. Potom funkce αf +βg je primitivní funkcí k αf + βg na I. Hinty Příklady. Najděte primitivní funkce F k následujícím funkcím f na maximální možné podmnožině reálných čísel a tuto množinu určete. (a) f(x) = ( + sin x + cos x) ( + sin x + cos x) dx = x cos x + sin x + C. (b) f(x) = 3x + x 3 (c) f(x) = x 4x4 3x + x 3 dx = 3 x3 3 + x4 4 + c = x3 + x4 4 + c x 4x4 dx = ln x 4 x5 5 + c x 0 Matematika B, LS 08/9

(d) f(x) = x + x 3 x + x 3 dx = x + x 3 dx = x3/ 3/ + x + c dx = x 3 + 3 x + c x > 0 (e) f(x) = 7 3 x + sin x + x 7 3 x + sin x 7x5/3 dx = + x 5/3 cos x arctan x + c (f) f(x) = cos x ex cos x ex dx = tan x e x + c x π + kπ, k Z (g) f(x) = + x + x + + x + x + x + + x = arcsin x + arctan x + x + x3 3 + c x (, ) (h) f(x) = x 3 + π x sin x x 3 + π x5/ x sin dx = x 5/ x/ / π cot x + c x > 0, x kπ, k Z (i) f(x) = + x x + x x dx = ln x + x + ln x + x + c x (, ) (, ) Matematika B, LS 08/9

. Najděte primitivní funkce F k následujícím funkcím f na maximální možné podmnožině reálných čísel a tuto množinu určete. (a) f(x) = 3x + 4x + 3x 3x + 4x + 3x dx = x + 4 3 + x dx = 3x + 4x 3 + ln x + c 3 x 0 (b) f(x) = ( x)( x)( 3x) Roznásobením ( x)( x)( 3x) dx = (c) f(x) = x + x ( 6x+x 6x 3 ) dx = x 3x + 3 x3 3 x4 +C. ( ) x + x ( dx = + x dx = x / + x /) dx = x3/ x 3/ + x/ / +C. x > 0 3. Dokažte, že pokud F (x) = f(x), potom ( a F (ax + b) + C) = f(ax + b), pokud a 0. Plyne z Věty o aritmetice derivací a derivace složené funkce. 4. Najděte primitivní funkce F k následujícím funkcím f na maximální možné podmnožině reálných čísel a tuto množinu určete. (a) f(x) = cos(3x) cos 3x dx = sin 3x + c 3 (b) f(x) = sin(x π) sin(x π) dx = cos(x π) + c Matematika B, LS 08/9 3

(c) f(x) = e 5 3x (d) f(x) = + 4x + 4x dx = (e) f(x) = 4x e 5 3x dx = 3 e5 3x + c + (x) dx = arctan x + c 4x = ln 4x + c 4 x 4 (f) f(x) = (x + ) 7 (g) f(x) = e 3x + 7 x (x + ) 7 dx = 6 (x + )8 + c e 3x + 7 x dx = 3 e3x + 7 ln x + c (h) f(x) = (e x + e x ) Pomocí lineární substituce y = x, resp. y = x dostaneme (e x + e x ) dx C = e x e x (i) f(x) = (3 x ) 3 Tento příklad substituovat nelze, je třeba roznásobit. (3 x ) 3 dx = (7 7x + 9x 4 x 6 ) dx = 7x 9x 3 + 9 5 x5 x7 7 + C. Matematika B, LS 08/9 4

(j) f(x) = (sin 5x sin 5α) Pomocí lineární substituce y = 5x dostaneme (sin 5x sin 5α) dx = cos 5x x sin 5α + c, 5, nebot sin 5α je konstantní funkce (nezávislá na proměnné x). (k) f(x) = + (3x + 7)5 x x + (3x + 7)5 dx = ln x + 8 (3x + 7)6 + c x (l) f(x) = sin ( x + π ) 4 Pomocí lineární substituce y = x + π 4 dostaneme sin ( x + π ) dx = C ( cotg x + π ) 4 4 x + π 4 kπ, tedy x k π π 8, k Z (m) f(x) = x dx = x ( dx = arcsin ( x) + c x) x (, ), tedy x (, ). (n) f(x) = x + A Víme, že primitivní funkce k funkci x je ln x + C. Tedy primitivní funkce k funkci ln ax + b + C. Odtud vyplývá, že (položte a =, b = A) x A ax+b je a dx = ln x + A + C. x + A 5. Najděte primitivní funkce F k následujícím funkcím f na maximální možné podmnožině reálných čísel a tuto množinu určete. Matematika B, LS 08/9 5

(a) f(x) = ex e x + + 4 cos x e x e x + + 4 (e x cos x dx = )(e x + ) e x + 4 + sin x dx = = e x x 4 cot x + c x kπ, k Z (b) f(x) = 4 (3x ) (e x ) + 4 sin x dx dx = 4 (3x ) x ( /3, ) (c) f(x) = ( x) ( x) dx = x > 0 dx = ( 3x ) x + x dx = x 4 3 3 arcsin ( 3x x 3 + x + c ) + c (d) f(x) = tan x sin tg x cos ( ) x dx = cos x dx = x cos x dx = cos x dx = tg x x+c. x π + kπ, k Z x + x (e) f(x) = x + x dx = ( + x ) + x dx = ( ) + x dx = x arctan x+c. (f) f(x) = x + 3 x x + 3 x ( x dx = + 4 x dx = + 4 ) ( x dx = 4 ) x dx = x ln + x x + C. x ± Matematika B, LS 08/9 6

(g) f(x) = ( x + 3 x ) ( x + 3 x ) dx = (4 x + 6 x + 9 x ) dx = 4x ln 4 + 6x ln 6 + 9x ln 9 + C. (h) f(x) = + 3x Výraz převedeme na tvar a poté užijeme substituci y = cx. +c x + 3x dx = C = 3 3 arctan x = 6 arctan + ( 3 x ) dx (i) f(x) = cotg x cos cotg x sin ( ) x dx = sin x dx = x sin x dx = sin x dx = cotg x x + C. 3 x x kπ, k Z (j) f(x) = 5x Protože je y dy = y, platí 5x dx C = 5 5x = 5 5x x < /5 ( ) a (k) f(x) = x + a x + a3 x 3, a R ( ) a x + a x + a3 x 3 dx = a ln x a x a3 x + C. x 0 6. Najděte takovou funkci, aby f (x) = 6x( x) a f(0) =. 6x( x) dx = x 3 + 3x + c. Ježto máme f(0) =, tak = 0 3 + 3 0 + c = c. Hledaná funkce je tedy f(x) = x 3 + 3x +,. Matematika B, LS 08/9 7

7. Najděte chyby (a) x e x dx = 3 x3 e x + c (b) Integrál součinu není součin integrálů, stejně jako u derivací. x dx = x dx = x arcsin x + c x x x nelze vytknout před integrál, to můžeme jen u konstanty. Matematika B, LS 08/9 8