Vlastnosti funkcí
Definiční obor funkce Konstantní funkce D f = R Lineární funkce D f = R Kvadratická funkce D f = R Exponenciální funkce D f = R Logaritmická funkce D f = 0, + Nepřímá úměrnost D f = R 0 Pozn.: Pod odmocninou nesmí být záporné číslo. Jmenovatel zlomku nesmí být roven 0.
Najděte definiční obory zadaných funkcí (pro které x je funkce definována): 1. f: y = 2 x 2. f: y = 3 x 2 3. f: y = 1 + x 2 4. f: y = log 2 x + 3 5. f: y = log1(x + 1) 4 6. f: y = x 2 2x + 1
Najděte definiční obory zadaných funkcí (pro které x je funkce definována): 1. f: y = 2 x D f = (, 2 2. f: y = 3 x 2 D f 3. f: y = 1 + x 2 D f = R = R 2 4. f: y = log 2 x + 3 D f = 3, 5. f: y = log1(x + 1) D f = 1, 4 6. f: y = x 2 2x + 1 D f = R
7. f: y = 3 1+x+x 2 8. f: y = 1 x 2 9. f: y = log 2 x 2 5x + 6 10. f: y = ln(x 2 ) 11. f: y = 1 x 2 + 2 X+1 12. f: y = ln 1 x + ln x + 4 13. f: y = 4 x 2 + ln 2x + 6
7. f: y = 3 1+x+x2 D f = R 8. f: y = 1 x 2 D f = 1, 1 9. f: y = log 2 x 2 5x + 6 D f =, 2 3, 10. f: y = ln(x 2 ) D f = R 0 11. f: y = 1 x 2 X+1 D f = R 1, 2 12. f: y = ln 1 x + ln x + 4 D f = ( 4, 1) 13. f: y = 4 x 2 + ln 2x + 6 D f = 2, 2
14. f: y = 2 x+1 15. f: y = 3 1 9x 2 ex 1 16. f: y = x 4 x 2 17. f: y = log 2 x 2 + 5x 4 18. f: y = ln x+2 x 3 19. f: y = 1 x + 2 x 2 20. f: y = ln 1 + x + 4 + x 2
14. f: y = 2 x+1 D f = R 15. f: y = 3 1 9x 2 ex 1 D f = R 1 3, 1 3 16. f: y = x D f = 0, 2) 4 x2 17. f: y = log 2 x 2 + 5x 4 D f = (1, 4) 18. f: y = ln x+2 x 3 D f =, 2 3, 19. f: y = 1 + 2 x x2 D f = (0, ) 20. f: y = ln 1 + x + 4 + x 2 D f = ( 1, )
Základní operace s funkcemi - Skládání Jsou-li f a g dvě funkce a je-li pro prvek a definičního oboru funkce f hodnota b = f(a) prvkem definičního oboru funkce g, potom definujeme g(f(a)) = g(b). Vzniklou složenou funkce zapisujeme jako y = g(f(x)), přičemž f se nazývá vnitřní funkce a g se nazývá vnější funkce. Funkci y = g(f(x)) značíme také g f (čteme g složeno s f).
Máme funkce h: y = x 2 a g: y = ln x. Vytvořte složené funkce h g x a g h x.
Máme funkce h: y = x 2 a g: y = ln x. Vytvořte složené funkce h g x a g h x. Složenou funkce h g x vytvoříme tak, že do vnější funkce h dáme místo x funkci vnitřní. h g x = ln x 2 Složenou funkce g h x vytvoříme tak, že do vnější funkce g dáme místo x funkci vnitřní. g h x = ln(x 2 )
Máme funkce f: y = cos x, g: y = ln x, h: y = 1 x 2 a k: y = x 2 + x + 2. Vytvořte složené funkce: g h x h g x g k x f f x k g x f g h x f g x h g f x h f x h f k x
Základní operace s funkcemi - Inverze Je-li f: D H vzájemně jednoznačné zobrazení, pak je definována inverzní funkce f 1 : H D, přičemž f 1 b = a, právě když f a = b. Výpočet inverzní funkce Inverzní funkci vytvoříme tak, že v předpisu y = f x zaměníme proměnné x a y, tj. dostaneme x = f y. Z této rovnice poté vyjádříme y pomocí x.
Opakování y = e x a y = ln x jsou navzájem inverzní funkce, tj. e ln x = x, ln e x = x. Dále platí jestliže y = a x potom x = log a y e 0 = 1 a ln 1 = 0 ln a b = ln a + ln b e a+b = e a e b ln a b = ln a ln b ea b = ea e b
Máme funkce f: y = 3x + 6 a g: y = x 3. Nalezněte inverzní funkce f 1 a g 1.
Máme funkce f: y = 3x + 6 a g: y = x 3. Nalezněte inverzní funkce f 1 a g 1. f: x = 3y + 6 f 1 : y = x 6 3 g: x = y 3 x 2 = y 3 g 1 : y = x 2 + 3
Vytvořte inverzní funkce: f: y = 3 x 2 f: y = log 2 x 5 f: y = 3 ln 2x + 1 f: y = 3 x 1 f: y = e 2x+5
Vytvořte inverzní funkce: f: y = 3 x 2 f: y = log 2 x 5 f 1 : y = 3 x + 2 f 1 : y = 2 x + 5 f: y = 3 ln 2x + 1 f 1 : y = 1 2 ex 3 1 f: y = 3 x 1 f 1 : y = log 3 x 1 f: y = e 2x+5 f 1 : y = 1 2 ln x 5
Parita funkce Funkce je sudá, jestliže f x = f x. Funkce je lichá, jestliže f x = f x. Výpočet parity Paritu funkce zjistíme tak, že za x dosadíme x a upravíme výraz. Pokud neplatí ani jedna z rovností výše, funkce není ani sudá ani lichá.
Určete paritu funkcí: y = x 3 1 ani sudá, ani lichá y = x + x 2 sudá, f x = f x y = x 3 + x lichá, f x = f x y = e x 1 ani sudá, ani lichá y = 2 x2 + 6 sudá, f x = f x
Aplikace Firma zakoupila auto za 800 tisíc Kč. Jeho hodnota H (v tis. Kč) bude klesat podle funkce H t od koupě vozu. = 800 e 0,12t, kde t je čas v letech uplynulý 1. Jakou hodnotu bude mít vůz za jeden a půl roku? 2. Kdy bude mít vůz hodnotu 500 tisíc Kč? 3. Odvoďte vzorec pro inverzní funkci a vysvětlete, co vyjadřuje. 1. H 1,5 = 800 e 0,12 1,5 = 668.216 tis. Kč 2. 500 = 800 e 0,12t t = ln500 800 0,12 = 3.916 roku 3. t = lnh(t) 800, kde t je čas, kdy klesne cena vozu na hodnotu H. 0,12