Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na p edná²kách, kde k ní p idávám slovní komentá. N které d leºité ásti látky pí²u pouze na tabuli a nejsou zde obsaºeny. Text m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková
KAPITOLA 4: Derivace funkce 4. Úvod Denice: ekneme, ºe funkce f má v bod x 0 derivaci [ derivaci zleva derivaci zprava ] rovnu íslu a, jestliºe existuje f (x) f (x 0 ) lim x x 0 x x 0 = a [ lim x x 0 f (x) f (x 0 ) x x 0 = a lim x x + 0 f (x) f (x 0 ) x x 0 = a ]. Pí²eme f (x 0 ) = a [ f (x 0 ) = a f +(x 0 ) = a ].
Dal²í zna ení: f (x 0 ) = d f d x (x 0) = d d x f (x 0) a R... vlastní derivace a = ±... nevlastní derivace f má derivaci na intervalu a, b)... existuje f (x 0 ) pro kaºdé x 0 (a, b) a existuje f +(a) ( analogicky pro intervaly (a, b), (a, b, a, b )
Poznámky: f (x 0 ) existuje a je rovna a práv tehdy, kdyº existují f (x 0 ), f +(x 0 ) a ob jsou rovny a. Z V ty 4. o limit sloºené funkce je f f (x 0 + h) f (x 0 ) (x 0 ) = lim. h 0 h Index 0 u x zde v t²inou vynecháváme a pí²eme f f (x + h) f (x) (x) = lim. h 0 h Derivace jako funkce je denována tam, kde existuje vlastní derivace. Z ejm vºdy platí D(f ) D(f ). P íklad 4.: Ur ete pomocí denice derivace funkcí f (x) = c R, f (x) = x, f (x) = e x, f (x) = cos x a f (x) = sin(x).
Te na a normála p ímka v rovin s = (s, s 2 )... sm rový vektor A = [a, a 2 ] p pro s 0 : p : y = a 2 + s 2 (x a ) s k p = s 2... sm rnice p ímky p s q u =-s2 u 2=s u A s s s 2 p kolmá p ímka q p u = (u, u 2 ) = ( s 2, s )... sm rový vektor pro s 2 0 : k q = u 2 u = s s 2 = k p
te na t a normála n grafu funkce f v bod [x 0, f (x 0 )] (n kdy: v bod x 0 ) jsou kolmé p ímky procházející bodem [ x 0, f (x 0 ) ] takové, ºe pro f (x 0 ) R \ {0} t : y = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) n t n : y = f (x 0 ) f (x 0 ) (x x 0) f x ( ) 0 tj. k t = f (x 0 ), k n = f (x 0 ) x 0
pro f (x 0 ) = 0 n t : y = f (x 0 ) n : x = x 0 tj. k t = 0 f ( x 0 ) t x 0 pro f (x 0 ) = ± t : x = x 0 n : y = f (x 0 ) tj. k n = 0 f x ( ) 0 t x 0 n
P íklad 4.2a: Najd te te nu a normálu grafu funkce f (x) = x 2 v bod [3,?] (v bod 3). e²ení: Máme x 0 = 3, f (3) = 9 (tj. A = [3, 9]), D(f ) = R. Spo ítáme f (3): f (3) = lim x 3 x 2 9 x 3 = lim (x + 3) = 6. x 3 Tedy k t = f (3) = 6, k n = f (3) = 6. Rovnice te ny a normály odtud jsou a t : y = 9 + 6(x 3) (neboli t : 6x y 9 = 0) n : y = 9 (x 3) (neboli n : x + 6y 57 = 0). 6
P íklad 4.2b: Najd te te nu t grafu funkce prochází bodem [ 3, ]. f (x) = x, která e²ení: Máme D(f ) = R \ {0}. Protoºe f ( 3) =, 3 neleºí bod [ 3, ] na grafu funkce f. Ozna me [x T, y T ] bod dotyku te ny t ( y T = f (x T ) = x ). Máme T f (x) =. x 2 Te na t má tak rovnici t : y = x T x 2 T (x x T ). Protoºe má na te n t leºet bod [x, y] = [ 3, ], musí platit = x T x 2 T ( 3 x T )
Tato podmínka na x T je ekvivalentní kvadratické rovnici x 2 T 2x T 3 = 0, která má dv e²ení x T = a x T 2 = 3. Hledané te ny mají rovnice t : y = ( ) 2 (x + ) tj. t : y = x 2 t 2 : y = 3 (3) 2 (x 3) tj. t 2 : y = 9 x + 2 3.
4.2 V ty o derivacích V ta 4.: Má-li funkce f v bod x 0 vlastní derivaci, pak je v x 0 spojitá. P íklad 4.3: a) Funkce f (x) = x je spojitá, f (0) ale neexistuje - tedy spojitost k existenci derivace nesta í. b) Funkce f (x) = sgn x není spojitá v nule, p esto tam má derivaci, ale nevlastní - tedy existence nevlastní derivace spojitost nezaru uje.
V ta 4.2: Nech existují vlastní f (x 0 ), g (x 0 ). Potom a) b) ( f ± g ) (x0 ) = f (x 0 ) ± g (x 0 ) ( f g ) (x0 ) = f (x 0 ) g(x 0 ) + f (x 0 ) g (x 0 ) ( speciáln pro c R : ( c f ) (x0 ) = c f (x 0 ) ) c) ( ) f (x 0 ) = f (x 0 ) g(x 0 ) f (x 0 ) g (x 0 ), g g 2 (x 0 ) je-li g(x 0 ) 0.
P íklad 4.4: (tg x) = ( sin x ) (sin x) cos x sin x(cos x) = cos x cos 2 x = = cos x cos x sin x( sin x) cos 2 x = cos2 x + sin 2 x cos 2 x = = cos 2 x.
Platí: a) (f + f 2 +... + f n ) = ( f + (f 2 +... + f n ) ) = f + ( f 2 + (f 3 +... + f n ) ) =... = f + f 2 +... + f n b) (f f 2... f n ) = (f (f 2... f n ) ) = = f (f ) 2... f n ) + f (f 2... f n =f (f 2... f n ) + f (f 2 (f 3... f n ) ) = = f ( ) ( f 2... f n + f f (f ) ) 2 3... f n ) + f 2 ( f 3... f n = = f ( ) ( f 2... f n + f f (f 2 3... f n ) + f 2 ( f 3 (f 4... f n ) ) ) =...
P íklad 4.5: Ukaºte, ºe pro n N platí (x n ) = n x n. e²ení: Provedeme d kaz matematickou indukcí: pro n = máme: (x ) = x = =.x 0 =.x. p edpokládejme, ºe vztah platí pro n, ukáºeme, ºe platí i pro n + : (x n+ ) = (x x n ) = x x n + x (x n ) = = x n + x (n x n )= x n + n x n = (n + )x n = = (n + )x (n+)
V ta 4.3 (o derivaci sloºené funkce): Nech existují vlastní f (x 0 ) a g ( f (x 0 ) ). Potom existuje vlastní derivace funkce g f v bod x 0 a platí ( g f ) (x0 ) = g ( f (x 0 )) f (x 0 ). Platí: ( (h g f ) (x0 (x 0 ) = h (g f )) ) = = h ( ) (g f )(x 0 ) (g f ) (x 0 ) = h ( ) g(f (x 0 )) g ( f (x 0 ) ) f (x 0 ) ( analogicky pro funkci vzniklou sloºením více funkcí )
V ta 4.4 (o derivaci inverzní funkce): Nech f je prostá a spojitá na (a, b), x 0 (a, b), f (x 0 ) = y 0. Jestliºe existuje vlastní f (x 0 ) 0, pak existuje také f (y 0) a platí f (y 0 ) = f (x 0 ) ( = f (f (y 0 )) ). P íklad 4.6: Derivace funkce a) ln y, b) arcsin y, y (, ). P íklad 4.7: Derivace funkce a) a x, a > 0, x R, b) x α, α R, x > 0.
Poznámka (logaritmické derivování): Derivace funkcí typu h(x) = ( u(x)) v(x) = e v(x) ln(u(x)), kde u(x) > 0 pro v²echna x D(h) : ( h (x) = e v(x) ln(u(x)) ( ) ) ( ( ) ) v(x) ln u(x) = h(x) v(x) ln u(x) ( = h(x) v ( ) ( ( )) ) (x) ln u(x) + v(x) ln u(x) ( ( ) ) = h(x) v (x) ln u(x) + v(x) u(x) u (x) ( ( ) ) = h(x) v (x) ln u(x) + v(x) u(x) u (x).
V ta 4.5: Nech f je spojitá na n jakém intervalu x 0, x 0 + δ) a existuje lim f (x) = a. x x 0 + Potom existuje f +(x 0 ) a platí f +(x 0 ) = a. ( Analogicky pro f (x 0 ) a f (x 0 ). ) P íklad 4.8: Pro funkci f (x) = x 2 cos x, x 0, f (0) = 0, která je spojitá na R, neexistuje lim f (x), existuje ale x 0 f (0) = 0 tvrzení V ty 4.5 tedy nelze obrátit.
4.3 Derivace vy²²ích ád n -tá derivace ( derivace ádu n ) funkce f... f (n) denujeme indukcí: ) n = : f () (x 0 ) = f (x 0 ) 2) n > : p edpokládejme, ºe existuje vlastní f (n ) na n jakém okolí U(x 0 ) a funkce f (n ) má v x 0 derivaci - pak pokládáme: f (n) (x 0 ) = ( f (n )) (x0 ) pro n = 0 pí²eme: f (0) = f
Zna ení: f () (x 0 ) = f (x 0 ) = d f d x (x 0) f (2) (x 0 ) = f (x 0 ) = d 2 f d x (x 0) 2. f (6) (x 0 ) = f VI (x 0 ) = d 6 f d x (x 0) 6. f (n) (x 0 ) = d n f d x n (x 0) P íklad 4.9: Pro f (x) = ln x, x > 0, máme f (x) = /x = x, f (x) = ( ) x 2, f (x) = ( )( 2) x 3, f (4) (x) = ( )( 2)( 3) x 4,. f (n) (x) = ( ) n (n )! x n.
V ta 4.6 ( Leibniz v vzorec ) : Nech existují vlastní n -té derivace f (n) a g (n) funkcí f a g v bod x 0 R. Potom ( f g) (n) (x 0 ) = n k=0 ( ) n f (k) (x 0 ) g (n k) (x 0 ). k
P íklad 4.0: Najd te pomocí V ty 4.6 (x 2 sin x) (9). e²ení: Snadno ov íme, ºe pro derivace funkcí f (x) = x 2 a g(x) = sin x platí: f (0) (x) = x 2, f (x) = 2x, f (x) = 2, f (k) (x) = 0 pro k 3 g (4l) (x) = sin x, g (4l+) (x) = cos x, g (4l+2) (x) = sin x, g (4l+3) (x) = cos x (l N 0). Tedy podle Leibnizova vzorce (V4.6) máme: (x 2 sin x) (9) = ( ) ( ) ( ) ( ) 9 = x 2 9 9 9 cos x 0 }{{} + 2x sin x }{{} + 2 ( cos x) + 0 ( sin x) +0 + 0 +... = 2 }{{} 3 }{{} (sin x) (9) (sin x) (8) (sin x) (7) (sin x) (6) = x 2 cos x + 9 2 x sin x 9 8 2 cos x = x 2 cos x + 8x sin x 72 cos x. 2
P ehled derivací elementárních funkcí: ( e x ) = e x x R (ln x ) = x x R \ {0} (a x ) = a x ln a x R pro a > 0 (log a x ) = x ln a (x α ) = α x α x R \ {0} pro a > 0, a x R pro α N 0 x R \ {0} pro α Z x (0, ) pro α R \ Z 2 pro α = x = 0 pokládáme (ov²em pouze zde): 0 0 0 = 0 2 pro n které racionální exponenty lze roz²í it na R nebo R \ {0}
(sin x) = cos x x R (cos x) = sin x x R (tg x) = { π } x R \ cos 2 x 2 + kπ k Z (cotg x) = sin 2 x x R \ {kπ k Z} (sinh x) = cosh x x R (cosh x) = sinh x x R (tgh x) = cosh 2 x x R (cotgh x) = sinh 2 x x R \ {0}
(arcsin x) = x 2 x (, ) (arccos x) = x 2 x (, ) (arctg x) = + x 2 x R (arccotg x) = + x 2 x R