VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ PRUŽNOST A PEVNOST I Řešené příklad Výpočet osových kvadratických momentů Pátek, 9. května 8 Jan Tihlařík
1 Osové kvadratické moment průřeů Geometrické charakteristik příčného průřeu jsou veličin, které svým působem charakteriují příčný průře a jsou používán hlavně při výpočtech napětí a deformace pro jednotlivé působ namáhání. Mei geometrické charakteristik patří například plocha příčného průřeu, lineární moment a moment kvadratické. Zajímat nás budou nní osové kvadratické moment. T se pouˇívají například při řešení napětí a deformace v ohbu. Jejich definice je J = ds, roměr je [ m 4], (1) J = ds, roměr je [ m 4]. () Spolu s uvedenými osovými kvadratickými moment je dobré uvést i polární kvadratický moment, který se pouˇívá často při řešení napětí a deformace v krutu J P = r ds, roměr je [ m 4], () 1.1 Steinerov vět Osové kvadratické moment ve vtaích (1) a () jsou vtaˇen k centrálním osám a, tn. k osám, které procháejí těˇištěm průřeu. Pro praktické vuˇití je často potřeba tto moment transformovat k posunutým osám a (často jsou to hlavní centrální os). K tomu se vuˇívá tv. Steinerových vět J = J + S, (4) J = J + S, (5) kde je velikost posunutí -ové os a je velikost posunutí -ové os.
1. Řešené příklad Příklad 1 Vpočtěte osové kvadratické moment průřeu obdélníku o roměrech stran h a b k osám a podle obráku 1. d h b d Obráek 1: Obdélníkový příčný průře. S pouˇitím vtahů (1) a () vpočteme osové kvadratické moment pro obdélníkový průře následovně. J = ds, kde ds = bd. Integrováním v meích od h/ do h/ dostáváme J = bd = h/ h/ [ bd = b ] h/ h/ [ ] h = b 8 + h = bh 8 1. Analogick pro J dostáváme J = ds, kde ds = hd, J = hd = b/ b/ [ hd = h ] b/ b/ Osové kvadratické moment obdélníkového průřeu jsou [ ] b = h 8 + b = hb 8 1. J = bh 1 a J = hb 1. (6) 4
Příklad Vpočtěte osové kvadratické moment trojúhelníkového průřeu o délkách odvěsen h a b k osám a podle obráku. () h d b Obráek : Trojúhelníkový příčný průře. Abchom bli schopni vjádřit plošný element ds, podle něhož budeme integrovat, vjádříme vdálenost jako funkci, ted () ve tvaru () = b b ( h, plošný element ted bude ds = b b ) h d. Nní integrujeme opět podle vtahu (1) v meích od do h J = ds = h ( b b )d h h = bd h b h d = Analogick [ = b ] h b h [ 4 4 ] h = b h bh 4 = bh 1. J = ds = b ( h h )d b b = hd b h b d = [ = h ] b h b [ 4 4 ] b = h b hb 4 = hb 1. Osové kvadratické moment trojúhelníkového průřeu jsou ted J = bh 1 a J = hb 1. (7) 5
Příklad Vpočtěte osové kvadratické moment obdélníkového průřeu o délkách stran h a b k posunutým osám a podle obráku. b T h T T h b Obráek : Obdélníkový příčný průře a dva souřadné sstém. Pro výpočet osových kvadratických momentů k posunutým osám a použijeme již vpočtené moment příkladu 1 a použijeme Steinerov vět (4) a (5). V příkladu 1 jsme vpočetli centrální osové kvadratické moment J T = bh 1, J T = hb 1. Posunutím os o vdálenosti h/ proti směru os a b/ proti směru os (vi. obráek ) dojde k transformaci osových kvadratických momentů podle Steinerových vět ( J = J T + S = bh 1 + h ) S = bh J = J T + S = hb 1 + ( b 1 + bh 4 = bh, ) S = hb 1 + hb 4 = hb. Porovnáním výsledků před a po posunutí je řejmé, že osové kvadratické moment k centrálním osám mají menší hodnotu než stejné moment k osám posunutým. To je ostatně řejmé pohledu na samé Steinerov vět. Jelikoˇ jsou člen S a S v (4) a (5) vˇd kladné, musí být kvadratický moment ke kterékoliv posunuté ose větší neˇ moment k ose centrální. 6
Příklad 4 Vpočtěte polární a osové kvadratické moment kruhového průřeu o poloměru R k centrálním osám a podle obráku 4. R r dr T Obráek 4: Kruhový příčný průře. Pro výpočet polárního kvadratického momentu použijeme definici (), ted J P = r ds, plošný element bude ds = πrdr, ted J P = r πrdr = π R [ r r dr = π ] R = πr4. (8) Z Pthagorov vět však plne r = +, tudíˇ ( J P = r ds = + ) ds = ds + ds = J + J. (9) Jelikoˇ je kruhový průře smetrický vůči osám a, budou osové kvadratické moment stejné. Můˇeme ted napsat J = J a podle (9) bude J + J = J P J = 1 J P. S použitím výsledku (8) dostáváme hodnot osových kvadratickým momentů kruhového průřeu J = J = πr4 4. 7
Příklad 5 Vpočtěte osové kvadratické moment průřeu L-profilu k osám a podle obráku 5. b h T h 1 b 1 Obráek 5: Příčný průře L-profilu. Řešení příkladu ačneme rodělením příčného průřeu L-profilu na dva obdélníkové průře, které onačíme čísl 1 a podle obráku 6. Následně vpočteme centrální osové kvadratické moment pro kaˇdou část vlášt. b h T 1 1 T 1 1 h 1 b 1 Obráek 6: Příčný průře L-profilu rodělený na dvě části. Vužijeme-li výsledků (6) ískaných příkladu 1 pro obdélníkový průře, budou ted centrální osové kvadratické moment J 1 a J 1 pro část 1 J 1 = b 1h 1 1 a J 1 = h 1b 1 1. (1) 8
Pro část onačenou číslem budou centrální osové kvadratické moment J a J analogick J = 1 1 b (h h 1 ) a J = 1 1 b (h h 1 ). (11) Máme ted vjádřen osové kvadratické moment pro části 1 a. Abchom vpočetli celkové osové kvadratické moment pro celý příčný průře L-profilu, ted pro os a, musíme jednotlivé moment (1) a (11) transformovat posunutím a poté je sečíst. Polohu těˇiště T určíme T = S S 1 + S a T = S S 1 + S. Podle Steinerových vět (4) budeme transformovat vpočtené moment posunutím vhledem k osám a, ted posunutí pro část 1 bude J 1 = J 1 + TS 1 = 1 ( ) 1 b 1h S 1 + S 1, S 1 + S J 1 = J 1 + TS 1 = 1 ( ) 1 h 1b S 1 + S 1. S 1 + S Transformace posunutím pro část bude J = J + ( T ) S = 1 1 b (h h 1 ) + J = J + ( T ) S = 1 1 b (h h 1 ) + ( ) S S, S 1 + S ( ) S S. S 1 + S Nní stačí sečíst osové kvadratické moment obou částí a ískáme centrální osové kvadratické moment pro celý L-profil, ted J = J 1 + J, J = J 1 + J. 9
Příklad 6 Vpočtěte centrální osové kvadratické moment kruhového průřeu trubk o vnitřním průměru b = 6 mm a vnějším průměru a = 5 mm k osám a podle obráku 7. b a T Obráek 7: Příčný průře kruhové trubk. Řešení problému spočívá v opětovném rodělení celého průřeu na dvě kruhové části, jedné o poloměru a (onačíme číslem 1) a druhé o průměru b (onačíme číslem ) tak, jak je nanačeno na obráku 8. b a T 1 Obráek 8: Příčný průře kruhové trubk rodělený na dvě části. S pomocí výsledků ískaných v příkladu 4 spočítáme nejprve polární kvadratické moment obou částí, které poté od sebe odečteme, ted J P = J 1 P J P = πa πb = π ( a b ). 1
Z osové smetrie platí, že J = J = 1J P, ted J = J = π ( a b ) = π ( 5 ) = 15,96 mm 4 4 4 11
Příklad 7 Vpočtěte centrální osové kvadratické moment průřeu smetrického T- profilu o roměrech dle obráku 9. b = 4 mm h 1 = mm h 1 = 4 mm b 1 = mm Obráek 9: Příčný průře T-profilu. T-profil je sloˇen e dvou stejných částí, onačíme si je opět čísl 1 a. Najdeme nejprve polohu teˇiště, ke kterému budeme transformovat moment jednotlivých částí. Vdálenost těˇišt obou částí onačíme podle obráku 1. 1 T T T 1 1 1 Obráek 1: Příčný průře T-profilu rodělený na dvě stejné části. Poloha těžiště ted určíme T = S S 1 + S = 8 8 + 8 = 4 16 = 15 mm. 1
Nní spočteme jednotlivé centrální osové kvadratické moment pro obě dvě části T-profilu. Centrální osové kvadratické moment pro první část jsou pro část druhou potom J 1 = 1 1 b 1h 1, J 1 = 1 1 h 1b 1, J = 1 1 b h, J = 1 1 h b. Nní provedeme transformaci vpočtených momentů posunutím vhledem k celkovému těˇišti T-profilu J 1 = J 1 + TS 1 = 1 1 b 1h 1 + Th 1 b 1, J 1 = J 1 + TS 1 = 1 1 h 1b 1 + Th 1 b 1, J = J + TS = 1 1 b h + ( T ) h b, J = J + TS = 1 1 h b + ( T ) h b. Sečtením vpočtených kvadratických momentů obou částí dostaneme celkové centrální osové kvadratické moment pro celý průře T-profilu, ted J = J 1 + J = 1 1 J = J 1 + J = 1 1 ( ) b1 h 1 + b h + T (h 1 b 1 + h b ), ( ) h1 b 1 + h b + T (h 1 b 1 + h b ). Po dosaení číselných hodnot dostáváme výsledné centrální osové kvadratické moment J = 49 mm 4, J = 49 mm 4. Jiˇ dříve jsme si mohli všimnout, ˇe e smetrie plne J = J. 1
Příklad 8 Vpočtěte centrální osové kvadratické moment průřeu dle obráku 11. h h 1 b 1 Obráek 11: Příčný průře. Profil o výšce h = 45 mm je rodělíme na dva ákladní geometrické útvar čtverec o roměrech stran b 1 = h 1 = mm a pravoúhlý trojúhelník o délkách odvěsen b 1 = mm a h h 1 = 15 mm podle obráku 1. Pomocí námých poloh těˇišt T 1 a T určíme polohu teˇiště T celého průřeu. T h T 1 h 1 1 1 1 b 1 Obráek 1: Příčný průře rodělený na dvě části. Onačme 1 vdálenost těˇiště T 1 od os a 1 od os, analogick onačíme vdálenosti těˇiště T od os souřadného sstému jako a. Polohu těˇiště T vpočteme podle vtahů i S i i S i T =, T =, (1) S S kde S je celková plocha průřeu profilu. Podle (1) bude T = 1S 1 + S S 1 + S = T = 1S 1 + S S 1 + S = b 1 b 1 h 1 + b 1 b 1 (h h 1 ) b 1 h 1 + b 1(h h 1 ) h 1 b 1 h 1 + ( h 1 (h h 1 ) b 1 h 1 + b 1(h h 1 ), ) b1 (h h 1 ). 14
Po dosaení hodnot dostáváme polohu těžiště T průřeu profilu T = T = 15 + 5 9 + 5 15 + 7875 9 + 5 = 1575 115 = 1575 115 = 14 mm, = 19 mm. T T T 1 1 T 1 1 T Obráek 1: Příčný průře rodělený na dvě části. Dostali jsme ted nový souřadný sstém (obráek 1). Nní vpočteme osové kvadratické moment pro část 1 a, které následně transformujeme posunutím k novým osám, procháejícím těˇištěm průřeu profilu. J 1 = J 1 = 1 1 h 1b 1 = 675 mm 4, J = 1 1 b 1 (h h 1 ) + 1 18 b 1 (h h 1 ) = 97,5 mm 4, J = 1 1 b 1 (h h 1 ) + 1 18 b 1 (h h 1 ) = 975 mm 4. Nní provedeme transformaci posunutím k novým osám pomocí Steinerových vět J 1 = J 1 + 1 S 1 = 675 + 4 9 = 819 mm 4, J 1 = J 1 + 1 S 1 = 675 + 1 9 = 684 mm 4, J = J + S = 97,5 + 16 5 = 8857,5 mm 4, J = J + S = 975 + 4 5 = 4975 mm 4. Centrální osové kvadratické moment pro průře profilu ted budou J = J 1 + J = 819 + 8857,5 = 1747,5 mm4, J = J 1 + J = 684 + 4975 = 11175 mm4. 15
Příklad 9 Vpočtěte centrální osové kvadratické moment průřeu smetrického trojúhelníkového profilu s drážkou dle obráku 14. h 1 h 1 = 45mm b 1 = 4mm h = 8mm b = 1mm h b b 1 Obráek 14: Příčný průře trojúhelníkovým profilem s drážkou. Opět ačneme určením poloh težiště celého profilu. Profil rodělíme na tři části dva pravoúhlé trojúhelník a obdélník. Onačíme 1 = svislou polohu těˇiště T 1 a T trojúhelníků vhledem k souřadnému sstému podle obráku 16 a svislou polohu těˇiště T obdélníku. 1 T 1 T T 1 Obráek 15: Příčný průře roděleným trojúhelníkovým profilem. Těˇiště T 1 a T leˇí v jedné třetině výšk trojúhelníků, ted 1 = 15 mm. Těˇiště obdélníku je ve výšce = 4 mm. Podle vtahů (1) můˇeme psát T = 1S 1 S S 1 S = 15 9 4 8 8 = 16 mm. Ze smetrie plne, že -ová poloha těžiště T je rovna nule, ted T = mm. Nní spočteme osové kvadratické moment všech částí profilu. Kvůli smetrii 16
budou u trojúhelníků moment J 1 a J stejně velké. Dostáváme J 1 = J = 1 b 1 1 h 1 = 1 1 45 = 151875 mm 4, J 1 = J = 1 ( ) b1 h 1 = 1 1 1 45 = mm 4. Nní spočítáme osové kvadratické moment pro oblast obdélníku, ted J = 1 1 b h = 1 1 1 8 = 46,7 mm 4, J = 1 1 h b = 1 1 8 1 = 666,7 mm 4. Nní máme vpočten osové kvadratické moment pro celou trojúhelníkovou a obdélníkovou část. Abchom vpočetli celkové centrální osové kvadratické moment celého průřeu profilu, provedeme transformaci posunutím pomocí Steinerových vět a moment jednotlivých částí sečteme, ted J 1 = J = J 1 + 1S 1 = 151875 + 16 45 = 6775 mm 4, J 1 = J = J 1 + 1S 1 = + 45 = mm 4, J = J + S = 46,7 + 1 8 = 11946,7 mm 4, J = J + S = 666, 7 + 8 = 666,7 mm 4. Výsledné centrální osové kvadratické moment pro trojúhelníkový profil s obdélníkovou dráˇkou jsou J = J 1 + J J = 6775 + 6775 11946,7 = 5, mm4, J = J 1 + J J = + 666,7 = 59, mm4. 17
Příklad 1 Vpočtěte centrální osové kvadratické moment průřeu dle obráku 16. d e b a = 5 mm b = 7 mm c = 17 mm d = 8 mm e = 8 mm c a Obráek 16: Příčný průře profilem. Průře profilu si rodělíme na dva obdélník a jeden trojúhelník. Onačíme si polohu jejich teˇišt i a i, kde index i načí jednotlivé oblasti 1, a. Pomocí těchto poloh si vpočteme polohu hlavního těˇiště T, ted T a T podle obráku 17. T 1 1 T 1 T 1 Obráek 17: Příčný průře rodělený na tři ákladní části. Ze adaných roměrů profilu snadno určíme poloh těˇišt jednotlivých částí vůči počátku souřadného sstému, ted 1 = 8 mm ; 1 = 1,5 mm, = 4 mm ; = mm, = 19 mm ; = 9 mm. Nní můˇeme přistoupit k výpočtu těˇiště celého průˇeu. Opět vuˇijeme 18
vtahu (1), ted T = 1 S 1 S + S S 1 S + S = T = 1 S 1 S + S S 1 S + S = 8 4 4 8 + 19 11, 5 = 11,5 mm, 4 8 + 11,5 1, 5 4 8 + 9 11,5 = 1,9 mm. 4 8 + 11, 5 Získali jsme těžiště T celého průřeu, umístíme do něj ted nový souřadný sstém (červeně na obráku 18). Nní přistoupíme k výpočtu osových kvadratickým momentů jednotlivých částí profilu. Pro obdélníkové části budeme počítat moment k centrálním osám, pro trojúhelník potom moment podle definice (7), ted 1 T 1 T 1 1 T Obráek 18: Vdálenosti mei těžišti. J 1 = 1 1 (d + e)b = 1 1 16 7 = 644 mm 4, J 1 = 1 1 (d + e) b = 1 1 16 7 = 916 mm 4, J = 1 1 (b c) d = 1 1 1 8 = 666,7 mm 4, J = 1 1 (b c)d = 1 1 1 8 = 46,7 mm 4, J = 1 1 (a d e)b = 1 1 9 7 = 1476,5 mm 4, J = 1 1 (a d e) b = 1 1 9 7 = 164,5 mm 4. 19
Nní provedeme transformaci posunutím vhledem k centrálnímu souřadnému sstému celého průřeu. Použijeme při tom Steinerov vět, ted J 1 = J 1 + 1S 1 = 644 + (,6) 4 = 9164, mm 4, J 1 = J 1 + 1S 1 = 916 + (,5) 4 = 1458 mm 4, J = J + S = 666, 7 + (11,1) 8 = 15,5 mm 4, J = J + S = 46,7 + (7,5) 8 = 496,7 mm 4, J = J + S = 1476,5 + (1,9) 11,5 = 9197,7 mm 4, J = J + S = 164,5 + ( 4,5) 11, 5 = 41,6 mm 4. Pro ískání celkových centrálních osových kvadratických momentů profilu stačí nní posčítat vpočtené transformované moment, ted J = J 1 J + J = 9164, 15,5 + 9197,7 = 4788,5 mm4, J = J 1 J + J = 1458 496,7 + 41,6 = 1681,9 mm4.