.9.9 Logritmické rovnice I Předpokldy: 95 Pedgogická poznámk: Stejně jko u eponenciálních rovnic rozkldů n součin bereme ritmické rovnice jko nácvik výběru metody. Sestvujeme si rzenál metod n konci máme hodinu, ve které jsou pomíchné různé druhy rovnic studenti musejí smi vybírt nejvhodnější metodu řešení. Logritmické rovnice - rovnice s neznámou v ritmu. Co máme k dispozici? y definice ritmu: y právě když, r vzorce pro ritmy: r s r + s, r s s, s b r r s r, r. Př. : Vyřeš rovnici. b Podmínk: > (do ritmu nemůžeme dosdit cokoliv). Připomíná to nejjednodušší eponenciální rovnice typu 8. Jde řešit zpměti: Ptáme se jké číslo vznikne, když umocníme (zákld ritmu) n třetí (hodnot ritmu hodnot eponentu). Jde o číslo 8 K 8. { } Jk postup zobecnit (ne všechno půjde zpměti)? Jko u eponenciálních rovnic, npíšeme prvou strnu jko ritmus: 8 Rozebereme vzniklou rovnici: levá strn: L - hodnot funkce y pro neznámé číslo prvá strn: P 8 - hodnot funkce y pro číslo 8 Obě strny se mjí rovnt funkce y má pro i pro 8 stejnou hodnotu. - - - 6 8 -
Z grfu je vidět, že funkce y je prostá (ke kždému y má pouze jedno ) pokud má funkce y pro i pro 8 stejnou hodnotu (konkrétně y ) musí se 8 rovnt (eistuje pouze jedn hodnot, ze které se dostneme přes ritmus k ) 8. I všechny osttní ritmické funkce obecně. y jsou prosté postup můžeme použít Pokud se podří ritmickou rovnici uprvit do tvru ( výrz) ( výrz), můžeme přejít k rovnici výrz výrz. Protože funkce y je prostá, je tto úprv ekvivlentní. Této úprvě se říká odritmování. Při řešení rovnic budeme čsto potřebovt zpst nějké číslo jko ritmus při určitém zákldu. Jk zpst jko ritmus při zákldu? Možné cesty:, právě když (umocňujeme zákld hodnot ritmu je eponent). Př. : Npiš následující čísl jko ritmy při uvedeném zákldu: ) { } b) { 5 } e) { π } f) { } c) { } d) { } ) c) e) b) d) π π π f) 5 5 5 5 5 5 Pedgogická poznámk: Předchozí příkld tk sice vypdá jko ztrát čsu, le rozhodně jí není. Studenti mjí s převáděním čísel n ritmy znčné problémy (i když jde o trivilitu) předchozí příkld jim ušetří při řešení rovnic hodně čsu. Př. : ) ( ) b) ( + ) c) ( ) d) ( + ) 6 e) ( + ) f) (jink zpsáno ) ) Podmínk: > (nemůžeme dosdit cokoliv). ( ) 6 - rovnost ritmů můžeme odritmovt: + b) Podmínk: + > ( + ) ( + ) > + 9 - rovnost ritmů
6 8 K { 8} c) ( ) Podmínk: > > ( ) ( ) - odritmujeme K { } e) ( ) + Podmínk: >. ( + ) + - odritmujeme + K { } můžeme odritmovt: + 9 8 K { } d) ( + ) 6 Podmínk: + > >. Problém: levá strn není ritmus rovnici vydělíme + + - odritmujeme + K { } f) Podmínk: >. - odritmujeme 6 6 - odritmujeme 6 6 K { } Pedgogická poznámk: Studenti obcházejí trojku v bodě d) většinou nesmyslně převedením n třetí mocninu uvnitř. Připomínám jim, že nejdřív by měli zkoušet ty nejjednodušší cesty. V bodě f) je třeb studenty popostrčit odstrněním prvního ritmu. Př. : ) ( + ) ( ) b) ( ) ( ) c) ( + 6) ) ( + ) ( ) Podmínky: + >, >, zkontrolujeme doszením ž získáme kndidáty n kořeny. + + + + b) ( ) ( ) Podmínky: >, >, zkontrolujeme doszením ž získáme kndidáty n kořeny. + +
: + > - nevyhovuje : ( ) 6 > K { } c) ( + 6) + 9 6 > : ( ) + 9 > 9 + > : - nevyhovuje K { } Podmínky: >, + 6 >, zkontrolujeme doszením ž získáme kndidáty n kořeny. + 6 - nejde odritmovt, levá strn není ritmus ( ) 6 + - teď už můžeme odritmovt + 6 6 + : > : < nevyhovuje K { } Př. 5: ) ln ln ) (jink ( ) ( + ) b) 8 { } ) ln Podmínk: >. ln ln - odritmujeme - odritmujeme - odritmujeme K b) 8 { } ( ) Podmínk: >. +
( { } ) ( { } ) + { } + { } + { } { } { } { } + 8 8 8 + - odritmujeme 8 8 / : + - odritmujeme - odritmujeme - odritmujeme K { } Př. 6: Petáková: strn 5, cvičení 9 b), c), e), f), g), h) strn 5, cvičení c), d) Shrnutí: pk to odritmujeme. 5