Výukový mteriál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ..07/..0/0.0007 Logritmická funkce teorie Eponenciální funkce je funkce prostá, proto k ní eistuje inverzní funkce. Tto inverzní funkce se nzývá ritmická. Logritmická funkce je dán rovnicí f : =, ( 0; ) ( ; + ) číslo nzýváme zákld ritmu + definiční obor R (je vhodné si uvědomit, že obor hodnot eponenciální funkce se stne definičním oborem inverzní-ted ritmické funkce) obor hodnot R grf: ritmická křivk pozn. pro konstrukci grfu je vhodné připomenout, že grf nvzájem inverzních funkcí, které sestrojíme v téže soustvě souřdnic, jsou osově souměrné podle přímk o rovnici =, ted podle os I. III. kvdrntu. Průběh funkce její vlstnosti závisí n zákldu. > ( 0;) funkce je prostá, rostoucí, nemá mimum ni minimum ;0 protíná osu v bodě [ ] funkce je prostá, klesjící, nemá mimum ni minimum ;0 prochází n ose bodem [ ] ritmus se zákldem 0 se nzývá dekdický zákld se nepíše = ritmus se zákldem e (Eulerov konstnt) se nzývá přirozený píše se = ln Grf nvzájem inverzních funkcí jsou osově souměrné podle os I. III. kvdrntu Npř. f : = k ní inverzní funkce f : = (povšimněte si záměn definičního oboru z obor hodnot opčně)
Výukový mteriál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ..07/..0/0.0007 Logritmická funkce úloh k řešení (grf) Grf funkce ( m) + n = získáme posunutím grfu funkce = o vektor ( n) m;. Ke konstrukcím grfů se zákld,0, e,, s výhodou vužíváme šblonu funkcí. 0 Dále vužíváme předchozích znlostí získných při konstrukcích grfů elementárních funkcí. ) Sestrojte grf ritmických funkcí určete definiční obor, obor hodnot, vlstnosti. f : = g : = ( )
Výukový mteriál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ..07/..0/0.0007 ( 3) h : = ln + + k : = ln ( ) l : = m : = p : = ln r = ( + ) 3 : 0, 5 + 3
Výukový mteriál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ..07/..0/0.0007 Logritmická funkce úloh k řešení (definiční obor funkcí s ritm) Zákldní definiční obor funkce = jsou kldná reálná čísl. Výrz z ritmem ted musí být kldný. Připomeňme si všechn podmínk, které zohledňujeme při určování definičních oborů funkcí zdných rovnicemi:. Výrz ve jmenovteli musí být nenulový. Výrz pod odmocninou musí být nezáporný 3. Výrz z ritmem musí být kldný ) Určete definiční obor dných funkcí. ( ) f : = + Z uvedených podmínek zohledníme pouze výrz z ritmem získáme.. ( 6 ) + ( 3) g : = Získáváme dvě podmínk, ted soustvu lineárních nerovnic. h : = ( ) ( 3) k : = ln + l : = + 4 4
Výukový mteriál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ..07/..0/0.0007 ( 9) m : = ln r : = ( + 3) n : = 5 ( 5) + ( 6 ) ( ) p : = + Logritmická funkce ritmus (teorie ) Definice pojmu ritmus Logritmus kldného čísl při kldném zákldu různém od jedné, je tkové číslo, kterým musíme umocnit zákld, bchom získli rgument. Zpíšeme totéž pomocí mtemtických smbolů: Je-li > 0 > 0 = = Zkusme uvést několik příkldů: = 3 neboť 3 je eponent, kterým kdž umocníme zákld, získáme rgument, tj. 3 = 5 5 = 3 neboť 5 3 = 5 Příkld. Vpočítejte hodnot ritmů: 00, 3 7, 6, 5 0,, 0, 4 5 5
Výukový mteriál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ..07/..0/0.0007 Pokud nevíme hodnotu ritmu zpměti, oznčíme si ji jko neznámou hodnotu, použijeme definici vřešíme získnou eponenciální rovnici. 00 5 0, 00 = 0 = 00 5 0, = 5 = 0, 0 = 0 = 5 = 0 Ted hledný 00 =. 3 7 3 7 = 3 = 7 3 3 = 3 = 3 Ted hledný 3 7 = 3 6 6 = = 6 4 = = 4 Ted hledný 6 = 4 5 = 5 5 = 5 = Ted hledný 5 0, = 0, 4, 4 5 5 0 = 0,4 = 4 0 5 = 5 = 5 5 = 3 Ted hledný 0, 4 = 3 5 3 3 Pro ritmus pltí: = = 0 = Logritmická funkce ritmus - úloh k řešení Připomeňme si definici pojmu ritmus: > 0 > 0 = = ) Určete, pltí-li: ) = 3 b) = c) 0, = 5 6
Výukový mteriál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ..07/..0/0.0007 ) Určete, pltí-li: ) 9 = b) = 6 c) 7 = 3 3) Vpočítejte hodnot ritmů ) b) 3 = c) 0, 5 = d) 5 5 7
Výukový mteriál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ..07/..0/0.0007 Logritmická funkce ritmus- úloh k řešení -pokrčování ) Doplňte tbulku 0,5 0,5-0,5-3 3-0,5 0-0,5 6 ) Doplňte tbulku 3 0,0 0 00-0,5 0-3 3 0,5 0-0, 3) Pomocí prvních dvou odpovídjících údjů v následující tbulce vpočítejte zákld tbulku doplňte. 6 0,5 0,5-3