Moderní technologie ve studiu aplikované yziky CZ..07/..00/07.008 0. Derivace, průběh unkce Před mnoha lety se matematici snažili o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici zápolili s problémem určení rychlosti nerovnoměrného pohybu. K zásadnímu obratu došlo v 8. století (Newton, Leibniz), kdy byly poprvé zormulovány základy dierenciálního počtu. Objevil se pojem derivace. Pojem derivace dnes nachází aplikace všude, kde se popisuje dynamika chování yzikálně realizovatelného systému. Matematicky jde přitom o itu jistého podílu. DEFINICE DERIVACE Derivace unkce y () je unkce ( ) ( + ) ( ) y, (0.) 0 0 deinovaná pro taková, pro něž ita eistuje. Namísto ( ) se značí též dy/ d a čte se "dy podle d". Platí D ( ) D ( ), neboť pro některá D ( ) nemusí ita eistovat. Veličina se nazývá změna nezávisle proměnné, veličina y ( + ) ( ) změna unkce y ( ( ) ). Pro pevně zadané c D ( ) se číslo (c ) nazývá derivace unkce v bodě c; značí se též ( ) c vyjádřit alternativně ve tvaru. Označíme-li c +, pak z 0 plyne c a (c) lze ( c ) ( c + ) ( c ) ( ) ( c ). (0.) 0 c c Poznámka: Derivace je tedy vyjádření poměru změny unkce (unkční hodnoty) k odpovídající nekonečně malé změně nezávisle proměnné. Její deinice vychází z geometrického významu (viz dále obr. 0.). 99
(a) Určíme '() a '(3) pro (). Podle (0.) dostáváme ( ) ( + ) + + ( ) + + ( ) 0 0 0 0. odtud ( 3) ( ) 3 3 6 ( + ) + e e e e e e 0 0 (b) Určíme '() a '(0) pro () e. Podle (0.) dostáváme ( ) 0 e e. 0 (viz důležité ity v předchozí kapitole); odtud ( ) ( ) 0 ; Derivace elementárních unkcí se určí výpočtem ity podle (0.), případně aplikací pravidel pro počítání s derivacemi, které si ukážeme později. Uveďme nyní přehled základních vzorců. ( c ) 0 s ( ) s s, c je libovolná konstanta;, s je libovolná konstanta; log ( ) a ln a, a je libovolná kladná konstanta, a ; ( a ) a lna ( e ) e ;, a je libovolná kladná konstanta; ln ( ) ; ( sin ) cos ( cos ) sin tg ; cos ( ) ( cotg ) ; sin ; ; ( arcsin ) ; ( arccos ) ; Tyto vzorce, podobně jako pravidla pro počítání s derivacemi, je nutné naučit se nazpaměť. 00
( arctg ) + ; ( arccotg ) +. Jako vzorec pro přibližný výpočet derivace (c ) unkce v bodě c, pokud (c ) eistuje, lze použít i podílu příslušného k itě ve vztahu (0.), neboť (pro dosti malé ) je podíl přibližným odhadem ity, tj. ( c + ) ( c ) ( c ). (0.3) Určíme přibližně '() pro unkci () /. Pro dosti malé, např. 0,0, dostaneme užitím (0.3) ( + 0,0) ( ) ( ),97 (přesná hodnota je ). 0,0 0,0,0 INTERPRETACE Geometrická: Již víme, že derivace se objeví při řešení úlohy nalezení rovnice tečny ke grau unkce. Uvažujme unkci a body P [c, (c )], Q [c +, (c + )] jejího grau (obr. 0.). Spojnice těchto bodů (sečna s grau) má směrnici k s tg α a platí k s ( c + ) ( c ). Blíží-li se k nule ( 0), blíží se bod Q k bodu P a tudíž přejde sečna s v tečnu t grau unkce v bodě P [c, (c )]. Její směrnice bude dána výrazem k t ( c + ) ( c ). (0.4) 0 Výraz na pravé straně (0.4) je pak, v souladu s deinicí (0.), derivace unkce v bodě c, tj. (c). Tedy k t (c). Rovnice tečny ke grau unkce v bodě P [c, (c )] má přitom obecně tvar ( c ) ( c )( c ) y. (0.5) Tento tvar vychází z analytické geometrie, kde platí věta: Má-li přímka danou směrnici k a prochází bodem A[, y ], lze ji vyjádřit rovnicí y k( ) + y. 0
y (c + ) Q s (c + ) (c ) t (c) 0 β P α c 0 c + Obrázek 0. K geometrické interpretaci derivace Určíme rovnici tečny ke grau unkce () v bodě příslušném. Platí '(), dále (), '() a užitím (0.5) dostáváme rovnici tečny ve tvaru y ( ), tudíž po úpravě y 0. Z geometrické interpretace je zřejmé, že eistence derivace úzce souvisí s eistencí tečny ke grau. Dá se tedy očekávat, že neeistuje-li tečna ke grau v daném bodě, pak nebude eistovat ani derivace příslušné unkce v příslušném bodě. Takovými typickými body na grau jsou body typu hrotu, zlomu apod. Pro unkci znázorněnou na obrázku 0. je oprávněná hypotéza, že neeistuje (c ), (d ). Obrázek 0. Neeistence derivace unkce v bodě c a d Fyzikální: Jedna z možných yzikálních interpretací derivace je následující. Je-li s (t ) dráha, kterou hmotný bod urazí za čas t, pak výraz s ( t ) s( t ) t t 0 0 v p 0
vyjadřuje průměrnou rychlost v p pohybu hmotného bodu v době od okamžiku t 0 do okamžiku t. Derivace s(t ), jakožto ita tohoto zlomku (pro t jdoucí k t 0) ( t ) s( t ) s 0 s ( t ) t t v, t t 0 t t 0 0 pak je okamžitou rychlostí v hmotného bodu v okamžiku t 0. VLASTNOSTI DERIVACÍ Eistence derivace (přesněji vlastní derivace 3 ) stačí k tomu, aby unkce byla v bodě spojitá: Jestliže eistuje vlastní derivace unkce v bodě c, tj. (c ), pak je unkce spojitá v bodě c. Pozor, obrácená věta neplatí!!! Příkladem spojité unkce, která nemá v bodě (konkrétně v bodě 0) derivaci, je unkce ( ). Poznámka: Požadavek eistence vlastní derivace, tj. aby výsledkem derivace unkce v bodě bylo reálné číslo, je pro vlastnost spojitosti uvedený v předchozí větě podstatný. Například unkce sgn () má v bodě 0 derivaci +, ale není v tomto bodě spojitá. Eistují ale i unkce, jako například ( ) v bodě 0 derivaci +, a jsou v tomto bodě spojité. 3, které mají Jestliže eistují ( ), g ( ), pak pro D ( ) D (g) eistují ( ± g)(), / a platí ( g) (), a je-li navíc g() 0, i ( g ) ( ) ± ; (0.6) ( g ) ( ) ( ) ± g ( ) ( g ) ( ) ( ) g( ) + ( ) g ( ) ( ) g ( ) g( ) ( ) g ( ) [ g( )] ; (0.7). (0.8) Vztahy (0.6) (0.7) jsou tzv. základní pravidla pro počítání s derivacemi. tg tg + tg +. cos cos (a) ( ) ( 0.7) ( ) tg + ( tg) 3 Jelikož je derivace unkce itou jakési unkce, termín označující vlastní derivaci reprezentuje vlastní itu. 03
Při derivaci unkce tg jsme využili znalostí základního vzorce, můžeme ale postupovat i jinak, protože víme, že unkce tg sin / cos. (b) ( tg) ( 0.7) ( ) tg + ( tg) tg + ( 0.8) tg + ( sin) cos ( cos) cos Přitom jsme využili vztah sin + cos. sin cos sin cos + sin tg + cos tg +. cos (c) sin + cos sin cos ( 0.8) ( 0.6) ( sin cos) ( sin + cos) ( sin cos) ( sin + cos)( sin cos) ( sin cos) ( cos sin)( sin cos) ( sin + cos)( cos + sin) ( sin cos) cossin sin cos sin cos ( sin cos) ( sin + sincos + cos ) ( sin + cos ) ( sin cos ) ( sin cos ). Velmi důležitá je věta o derivaci složené unkce: Jestliže pro unkce y (u ), u g ( ) eistují (u ) a g ( ), pak eistuje derivace složené unkce y (g ( )) a platí [ ( g( ))] ( g( )) g ( ) (0.9) pro taková, pro něž jsou všechny příslušné unkce deinovány. Vzorec (0.9) se zapisuje také ve tvaru dy d dy du. (0.0) du d Určíme y pro y ( + ) 3. Položíme u g() +, y (u) u 3. Užitím (0.0) dostáváme 3 ( u ) ( + ) 3u 3( + ) 6( + ). dy dy du y d du d Výpočet derivace složené unkce se po jisté prai provádí mechanicky principem podle (0.9), aniž je třeba ormálně provádět rozklad složené unkce. Zkusme takto vypočítat znovu předchozí příklad. 04
3 y + Určíme y pro y ( + ) 3. Platí ( ) 3( + ) 6 ( + ). Přirozeným způsobem lze vzorec (0.9) zobecnit i pro unkci složenou z více než dvou unkcí. Určíme ypro y sin( + ). Tedy [ ( )] ( ) ( ) cos + y sin + cos + ( ). sin + [Pomůcka pro výpočet derivace y: y je složená unkce po sin po ( + ), tj. nejprve derivujeme jako odmocninu, pak jako sinus a pak derivujeme ( + ) ]. Pro unkci () u() v() se postupuje tak, že se () přepíše do tvaru (viz vlastnosti logaritmické unkce) ( ) e v() ln u() a aplikuje se vzorec (0.9). sin sin sinln sinln sin ( ) ; platí ( ) e a odtud ( ) e cosln + cosln + sin. Následující tvrzení je tzv. věta o derivaci inverzní unkce. Je-li reálná, ryze monotónní a spojitá unkce na nějakém intervalu I, c I, a eistuje nenulová derivace (c ) unkce v bodě c, pak eistuje derivace ( - ) inverzní unkce - v bodě a (c ) a platí ( ) ( a) ( c). (0.) (ln) y e ln e... ( 0, ). (Víme, že logaritmická unkce je inverzní k eponenciální unkci) VYŠŠÍ DERIVACE Pro celé číslo n 0 se n-tá derivace (n) unkce deinuje rekurentně vztahy ( 0) ; (0.a) ( ) ( n ) ( n ) (0.b) 05
pokud pro všechna m 0,,, n eistují unkce (m) na nějaké neprázdné d d podmnožině M D ( ).Užívá se též označení ( ) n n ; pro n, případně n 3, se značí, případně, namísto (), případně (3). Pro pevně zadané c se číslo (n) (c) nazývá n-tá derivace unkce v bodě c. Z deinice je zřejmé, že vyšší derivace se vypočtou opakovaným provedením derivace. Pro () sin dostáváme () cos, () (()) sin, () (()) cos, (4) () (()) sin atd. L HOSPITALOVO PRAVIDLO Při výpočtu it podílu unkcí nastává potíž, jestliže ita unkce ve jmenovateli (případně i v čitateli) je rovna nule. V takových případech (ale i v jiných) může být užitečná následující věta, nesoucí tradiční název L Hospitalovo pravidlo. Jestliže platí ( ) g( ) 0 c c (0.3) nebo c ( ) ± g (0.4) a platí-li c g ( ) ( ) a, kde a, c R, pak rovněž platí ( ) ( ) a. c g Pokud zůstávají předpoklady v platnosti, lze použít této věty i opakovaně. Zdůrazněme, že v případě nesplnění předpokladů (0.3), případně (0.4) nelze věty použít. 3 (a) ( ) ( + + ) + + 3 0, 0 0, platí (0.3), typ 0 06
3 ( ) 3 ( ) ( + ) + 4. 9 (b) ( + ) ln 0 ln 0 + ( + ) 0, 0, platí(0.3), typ. 0 0 0 0 Podmínka (0.3) se často vyjadřuje tak, že jde o výraz typu 0 / 0. Analogicky se hovoří o výrazech typu /, avšak podmínka (0.4) vyžaduje daleko méně totiž jen g( ) ± c. Při výpočtu jiných typů, u kterých nelze přímo použít vět o itách, lze postupovat tak, že se snažíme převést je korektními úpravami na tvary splňující (0.3), případně (0.4). PRŮBĚH FUNKCE V tomto okamžiku již máme dostatek znalostí, potřebných k takzvanému vyšetření průběhu unkce. Půjde o to, že u konkrétních unkcí budeme vyšetřovat vlastnosti, které nám umožní, abychom unkci výstižně charakterizovali a uměli rozumným způsobem nakreslit její gra. Bude nás zajímat deiniční obor, sudost, lichost (zda je gra symetrický), periodičnost (zda je gra rozložitelný na pravidelně se opakující shodné části), spojitost, dále intervaly, na nichž je unkce monotónní, lokální etrémy, intervaly, na nichž je unkce konvení, konkávní, inlení body a asymptoty. Vyšetření průběhu unkce obecně zahrnuje: Stanovení deiničního oboru, spojitost. Vyšetření symetrie grau (unkce sudá, lichá), periodicity. Stanovení nulových bodů unkce (průsečíky grau s osou ). Stanovení intervalů monotonie. Lokální etrémy unkce. Stanovení intervalů, na nichž je unkce konkávní a konvení. Inlení body unkce. Stanovení potenciálních asymptot (nalezení koeicientů určité lineární unkce). Prvními čtyřmi položkami výše uvedeného seznamu jsme se již v našem kurzu zabývali. Nyní se budeme věnovat otázce monotonie s přihlédnutím k novým znalostem o derivaci unkce. 07
MONOTONIE Doposud jsme ověřovali monotonii dané unkce pouze na základě deinice, tento postup však může být velmi pracný. Ukážeme nyní eektivnější způsob, kdy o monotonii unkce na určitém intervalu rozhodneme na základě znalosti znaménka první derivace unkce na tomto intervalu. Platí tvrzení: Za předpokladu, že unkce má derivaci na intervalu (a, b), a, b R, a je-li ) ( ) > 0 pro každé (a, b) je rostoucí na (a, b); ) ( ) < 0 pro každé (a, b) je klesající na (a, b); 3) ( ) 0 pro každé (a, b) je neklesající na (a, b); 4) ( ) 0 pro každé (a, b) je nerostoucí na (a, b); 5) ( ) 0 pro každé (a, b) je konstantní na (a, b). Užitím předchozího tvrzení dokažte, že následující (elementární) unkce jsou rostoucí na svých deiničních oborech. (a) ( ) Řešení: ln > D ( ) ( 0, ) ; ( ) 0 pro D( ), tedy dle předchozího tvrzení je rostoucí na intervalu (, ) 0. (b) ( ) Řešení: e D ( ) R ; ( ) e > 0 pro D( ), tedy dle předchozího tvrzení je rostoucí na R. (c) ( ) arctg Řešení: D ( ) R ; ( ) > 0 pro D( ) +, tedy dle předchozího tvrzení je rostoucí na R. Poznámka: Jak už to u předpokladů tvrzení bývá, i předpoklad eistence derivace na určitém intervalu je podstatný. Vidíme to, například, v případě unkce () /. Derivaci má zápornou na D ( ) R - {0}, takže by unkce měla být klesající. Platí ale (-) < (). Nebyl totiž dodržen náš předpoklad D ( ) není interval. 08
Maimálními intervaly monotonie budeme rozumět intervaly, které nejsou podmnožinou nějakého většího intervalu, na kterém by byla daná unkce ještě monotónní. Je třeba si uvědomit, že obrácené implikace obecně neplatí!!! Z aktu, že je unkce rostoucí na nějakém intervalu nevyplývá, že zde má kladnou derivaci. Příkladem je unkce () 3. Tato je rostoucí na R, ale (0) 0. Při určování intervalů monotonie je tedy úkolem vyřešit nerovnice () > 0, () < 0. Rychlejší a stejně účinný postup nám nabízí poslední tvrzení minulé kapitoly (kapitola 9), které zde připomeneme: Je-li spojitá na (a, b) a () 0 pro všechna (a, b), pak je na (a, b) buď stále kladná, nebo stále záporná. Podle tohoto tvrzení, je-li derivace spojitá, stačí najít její nulové body, v jimi ohraničených disjunktních intervalech pak bude ( ) buď stále kladná, nebo stále záporná. Vzhledem k tomu, že určování intervalů monotonie souvisí s určováním lokálních etrémů, další příklady zařadíme za následující podkapitolu. LOKÁLNÍ EXTRÉMY Řekneme, že unkce má v bodě c lokální minimum (lokální maimum), jestliže eistuje okolí bodu c takové, že pro všechna z tohoto okolí je ( ) (c), ( ( ) (c) ). Řekneme, že unkce má v bodě c ostré lokální minimum (ostré lokální maimum), jestliže eistuje prstencové 4 okolí bodu c takové, že pro všechna z tohoto okolí je ( ) > (c ), ( ( ) < (c ) ). Má-li unkce v bodě c lokální minimum nebo lokální maimum, říkáme, že má v bodě c lokální etrém. Naším úkolem je najít body, v nichž má zadaná unkce lokální etrémy. Z deinice vyplývá, že pokud je deiničním oborem uvažované unkce interval, nemůže jít o krajní body tohoto intervalu. Důvodem je skutečnost, že unkce není deinovaná na celém okolí krajních bodů tohoto intervalu. Postup hledání lokálních etrémů se tedy skládá z těchto kroků: ) Vytipujeme body podezřelé z eistence lokálního etrému (tj. body, v nichž by mohl být lokální etrém; v jiných bodech etrém být nemůže). ) Následně rozhodneme, ve kterém z těchto bodů je lokální etrém a jestli se jedná o lokální minimum nebo maimum. 4 Prstencové okolí bodu c znamená okolí bodu c, které neobsahuje bod c. 09
Obrázek 0.3 Lokální etrémy unkce : ostré lokální minimum v bodě c (a, b); lokální minimum i maimum (rozvažte) v bodě c (c); ostré lokální maimum v bodech c, b; ostré lokální minimum v bodě a (d) Zamysleme se nad tím, které body mohou být podezřelé. Podle tvrzení o monotonii víme, že má-li unkce na celém intervalu (a, b) nenulovou derivaci, pak je na tomto intervalu rostoucí nebo klesající a v žádném bodě takového intervalu nemůže být etrém. Pokud tedy derivace eistuje, přicházejí v úvahu pouze body, v nichž je derivace rovna nule, ( ) 0. Pro tyto body zavádíme speciální název stacionární body (viz například obr. 0.3d - body a, b, c). Dalšími body podezřelými z eistence etrému jsou body (viz například obr. 0.3b - bod c), v nichž první derivace neeistuje, v tomto bodě tedy neeistuje tečna ke grau unkce. Situaci shrnuje následující tvrzení: Má-li unkce v bodě c lokální etrém, pak je c buďto stacionární bod ( (c) 0 ), anebo (c) neeistuje. Poznámka: Toto tvrzení udává takzvanou nutnou podmínku eistence lokálního etrému. Říká, že pokud má unkce v bodě lokální etrém, pak nemůže nastat jiná situace, než že se derivace v tomto bodě buďto rovná nule, nebo vůbec neeistuje. Tedy pokud v daném bodě derivace eistuje a nerovná se nule, 0
nemůže zde být lokální etrém. Tvrzení ale nedává návod, za jakých podmínek lze lokální etrém najít. V následujícím příkladě uvidíme, že unkce ve stacionárním bodě může, ale nemusí mít lokální etrém. Určete stacionární body následujících unkcí. (a) ( ) Řešení: D ( ) R; ( ) ; ( ) R (b) ( ) 3 Řešení: D ( ) R; ( ) 3 ; ( ) R D ; 0pro 0, stacionárním bodem je tedy 0. D ; 3 0pro 0, stacionárním bodem je tedy 0. V případě (a), viz obr. 0.4, se jedná o lokální minimum, v případě (b) na obr. 0.4 ale unkce lokální etrém nemá. Obrázek 0.4 Stacionární bod, 0 3, pro unkce a) ( ) ; b) ( ) Jaké podmínky musí unkce splňovat, to se dozvíme v následujícím tvrzení, které obsahuje tzv. postačující podmínky eistence lokálního etrému: Nechť je unkce spojitá v bodě c a má derivaci v nějakém prstencovém okolí bodu c. Je-li () < 0 ( () > 0) pro každé z levého prstencového okolí c a () > 0 ( () < 0 ) pro každé z pravého prstencového okolí c, pak má unkce v bodě c ostré lokální minimum (ostré lokální maimum). Předpoklad spojitosti unkce v bodě c je zejména splněn, je-li v c stacionární bod.
Shrňme si výše řečené: Mění-li derivace unkce ( ) znaménko při přechodu přes bod c, je v bodě c lokální etrém. Nemění-li derivace unkce ( ) znaménko při přechodu přes bod c, není v bodě c lokální etrém. Je-li změna znaménka z + na -, jde o lokální maimum (unkce roste-klesá). Je-li změna z na +, jde o lokální minimum (unkce klesá-roste). 3 Stanovte maimální intervaly monotonie unkce ( ) 4 + 6 + 4 + 3 Řešení: ) ( ) R D. ) Vypočteme první derivaci ( ) + + 4; ( ) R a nalezněte její lokální etrémy. D. 3) Určíme intervaly, na kterých je kladná (záporná). Nejprve položíme ( ) 0 stacionární body unkce. ( ) 0, když,. Tyto nulové body nám rozdělí R na intervaly (, ), (, ), (, ), abychom nalezli. Z každého vybereme jeden bod a určíme znaménko unkční hodnoty. Například ( ) 48 < 0; ( 0 ) 4 > 0 ; ( 3 ) 48 < 0 4) Na intervalech (, ), (, ) je tedy unkce klesající, na intervalu (, ) bod je lokálním minimem, lokálním maimem unkce.. je rostoucí a stacionární 4 3 Stanovte maimální intervaly monotonie unkce ( ) Řešení: ) ( ) R D. 3 ) Vypočteme první derivaci ( ) 4 ; ( ) R 4 a nalezněte její lokální etrémy. D. 3) Určíme intervaly, na kterých je kladná (záporná). Nejprve položíme ( ) 0 stacionární body unkce. ( 3) 0 4, když 0, 3. Tyto nulové body nám rozdělí R na intervaly (, 0), ( 0, 3), (, ), abychom nalezli 3. Z každého vybereme jeden bod a určíme znaménko unkční hodnoty. Například ( ) 6 < 0 ; ( ) 8 < 0; ( 4 ) 64 > 0 4) Na intervalech (, 0), ( 0, 3), je tedy unkce klesající, na intervalu (, ) bod 0 není lokálním etrémem, 3 je lokálním minimem unkce.. 3 je rostoucí a stacionární
KONVEXNOST, KONKÁVNOST, INFLEXE Z inormací o monotonii a lokálních etrémech dané unkce spolu se znalostí deiničního oboru, spojitosti, příp. sudosti, lichosti a periodičnosti si již dovedeme vytvořit hrubou představu o grau této unkce. Prozatím však neumíme rozhodnout o tom, zda je gra unkce mezi dvěma body prohnutý dolů nebo nahoru. Podívejme se na tuto situaci podrobněji. Obrázek 0.5 Příklad konvení unkce Obrázek 0.6 Příklad konkávní unkce Příklady unkcí z obr.0.5 a obr. 0.6 se od sebe liší tvarem grau. V prvním případě (obr. 0.5) se gra unkce mezi jejími průsečíky se sečnou nachází pod sečnou grau. Tuto unkci nazveme unkcí konvení. V druhém případě (obr. 0.6) se gra unkce nachází nad sečnou grau v bodě c a unkci budeme nazývat unkcí konkávní. Výše uvedené termíny si nyní deinujme přesněji. Tedy: Mějme spojitou unkci na intervalu I, leží-li pro každé a, b, c I, a < c < b bod [c, (c ) ] pod nebo na úsečce tvořené body [a, (a ) ], [b, (b ) ], je tato unkce na I konvení (nepřipustíme-li, že bod leží na úsečce, pak je takzvaně ryze konvení). 3
Leží-li pro každé a, b, c I, a < c < b bod [c, (c ) ] nad nebo na úsečce tvořené body [a, (a ) ], [b, (b ) ], je tato unkce na I konkávní (nepřipustíme-li, že bod leží na úsečce, pak je takzvaně ryze konkávní). Řekneme, že unkce má v bodě c inlei, jestliže eistuje (c ) R a unkce je v nějakém levém (pravém) okolí bodu c ryze konvení a v nějakém pravém (levém) okolí tohoto bodu ryze konkávní. Má-li unkce v bodě c inlei, pak bod [c, (c ) ] nazveme inlením bodem grau unkce. Následující tvrzení nám objasní souvislost druhé derivace s výše deinovanými pojmy a zároveň poskytne návod pro vyšetřování těchto vlastností u konkrétních unkcí. ) () > 0 pro každé (a, b) je ryze konvení na (a, b); ) () < 0 pro každé (a, b) je ryze konkávní na (a, b); 3) (c) 0 pro nějaké c (a, b) a dále je kladná (záporná) na levém okolí bodu c a zároveň je záporná (kladná) na pravém okolí bodu c má v bodě c inlei. Poznámka: Všimněme si analogie se zkoumáním monotonie a hledáním lokálních etrémů. Tam nás zajímaly nulové body a znaménko první derivace. Zde nás zajímají nulové body a znaménko druhé derivace. Opět nás budou zajímat maimální intervaly konvenosti a konkávnosti dané unkce. Postup při určování intervalů ryzí konvenosti a konkávnosti unkce a jejích inleních bodů je tedy následující: ) Určíme D ( ). ) Vypočteme a D ( ). 3) Vypočteme a D ( ). 4) Určíme intervaly, na nichž je kladná (záporná), předpokládáme přitom, že D ( ) lze vyjádřit jako sjednocení disjunktních intervalů a že je spojitá na každém z těchto intervalů. a) Určíme nulové body, tj. řešíme rovnici ( ) 0. b) Každý interval z D ( ) rozdělíme nulovými body na disjunktní intervaly. 4
c) Vybereme z každého intervalu jeden bod a určíme znaménko v tomto bodě. 5) Určíme intervaly, na nichž je unkce konvení (konkávní), a určíme inlení body. Inlením bodem bude bod c D ( ), ve kterém eistuje (c ) a navíc se v něm gra unkce mění z konvení křivky na konkávní či naopak. Stanovme maimální intervaly konvenosti a konkávnosti unkce ( ) 3 + 7 Řešení: ) ( ) R D. ) Vypočteme první derivaci ( ) 4 6 4 3; ( ) R 3 D. 3) Vypočteme druhou derivaci ( ) 4 ; ( ) R 4) Určíme intervaly, na kterých je ( ) 0 D. 4 3. kladná (záporná). Nejprve položíme ( ) 0., když,. Tyto nulové body nám rozdělí R na intervaly (,), (,), (, ). Z každého vybereme jeden bod a určíme znaménko unkční hodnoty. Například ( ) 48 > 0; ( 0 ) 4 < 0; ( 3 ) 48 > 0. 5) Na intervalech (,), (, ) je tedy unkce ryze konvení, na intervalu (,) a body, jsou inleními body unkce. je ryze konkávní ASYMPTOTY GRAFU FUNKCE Nyní se seznámíme s pojmem asymptota grau unkce. Ze střední školy již známe pojem asymptoty v souvislosti s hyperbolou. Je to přímka, ke které se hyperbola neomezeně přibližuje. Asymptoty rozlišujeme podle toho, zda jsou rovnoběžné se souřadnou osou y nebo ne. Přímka c, c R se nazývá svislá asymptota grau unkce, jestliže je alespoň jedna jednostranná ita unkce v bodě c nevlastní. Pro svislé asymptoty se někdy používá název asymptoty bez směrnice. To, že je přímka c svislou asymptotou grau unkce, geometricky znamená, že pokud se blížíme k bodu c zleva nebo zprava, body grau unkce se blíží k bodům přímky c (viz obr. 0.7). Je-li unkce v nějakém bodě spojitá, nemůže zde mít svislou asymptotu, protože v tom případě je ita rovna přímo unkční hodnotě a unkční hodnota je konečné číslo. Připadají v úvahu tedy pouze ty body, na jejichž prstencovém okolí je unkce deinovaná, ale není v tomto bodě spojitá. 5
Obrázek 0.7 Příklad svislé asymptoty grau unkce Najděte svislé asymptoty graů unkcí ( ) a g( ) 3 Řešení: sin. Určíme nejprve deiniční obor unkce D ( ) (,0) ( 0, ). Funkce je spojitá na ( ) jediným bodem, kde by mohla mít svislou asymptotu je bod c 0. Spočteme ity: + 0 ( ), ( ) + 0 3 3 0 0 3 3 D,. Druhý výpočet byl vlastně nadbytečný, jelikož již první z it byla nevlastní. Lze tedy říci, že přímka 0 je svislou asymptotou grau unkce. Určíme deiniční obor unkce D ( g) (,0) ( 0, ). Funkce g je spojitá na ( g) D, jediným bodem, kde by g mohla mít svislou asymptotu je opět bod c 0. Spočteme ity: + 0 g sin ( ), g( ) + 0 0 0 sin. Žádná z jednostranných it není nevlastní. Lze tedy říci, že přímka 0není svislou asymptotou grau unkce g. Jiný bod nepřipadá v úvahu, gra unkce g tedy žádnou svislou asymptotu nemá. Nyní budeme deinovat asymptoty grau unkce v nevlastních bodech + a -. Přímku y a + b; a, b R; nazveme asymptotou grau unkce v plus nekonečnu (v minus nekonečnu), jestliže platí: ( ( ) ( a + b) ) 0... ( ( ) ( a + b) ) 0 + (0.5) Pro asymptoty v plus a minus nekonečnu se někdy používá název asymptoty se směrnicí nebo také šikmé asymptoty. 6
Obrázek 0.8 Příklady šikmé asymptoty grau unkce To, že je přímka y a + b asymptotou grau unkce v plus nekonečnu, geometricky znamená, že pokud se blížíme k plus nekonečnu, body grau unkce se blíží k bodům této přímky (viz obr. 0.8). Analogicky pro asymptotu v minus nekonečnu. Šikmé asymptoty nemusí eistovat současně; pokud eistují, mohou být různé. Nevíme přitom, zda se gra unkce k asymptotě přibližuje shora (obr. 0.8a) nebo zdola nebo zda kolem asymptoty osciluje (obr. 0.8b). Platí tvrzení: Přímka y a + b je asymptotou grau unkce v plus nekonečnu, právě když ( ) a, a R; ( ( ) a ) b +, b R. + Přímka y a + b je asymptotou grau unkce v mínus nekonečnu, právě když ( ) a, a R; ( ( ) a) b, b R. způsobem: Při výpočtu šikmé asymptoty grau unkce postupujeme následujícím ) Zjistíme, zda eistuje + ( ). Jestliže neeistuje nebo je nevlastní, unkce nemá asymptotu v +. Pokud tato ita eistuje a je vlastní, položíme ( ) a a přistoupíme k dalšímu bodu. + 7
) Zjistíme, zda eistuje ( ( ) a) +. Jestliže neeistuje nebo je nevlastní, unkce nemá asymptotu v +. Jestliže tato ita eistuje a je vlastní, položíme + ( ( ) a ) b. 3) Jestliže obě ity eistovaly a byly vlastní, pak je přímka y a + b asymptotou grau unkce v +. Analogicky bychom postupovali při výpočtu asymptoty grau unkce v -. Najděte šikmé asymptoty grau unkce ( ) Řešení:. 3 Pro ity v + i platí: ± ( ) ± 3 a. ± 3 ± 3 + 6 3 6 3 ( ( ) a) 6 b ± ± ± Přímka y + 6 je tedy šikmou asymptotou grau unkce v + i.. V tomto okamžiku již máme všechny poznatky potřebné k tomu, abychom byli schopni zdárně načrtnout gra unkce. Tuto činnost nazýváme vyšetřování průběhu unkce. Postup, skládající se z řady dílčích úloh, si shrneme do následujících bodů: i. Určíme deiniční obor D ( ). ii. Rozhodneme o intervalech spojitosti, určíme případné body nespojitosti. iii. Rozhodneme, zda je unkce sudá nebo lichá, příp. periodická. iv. Vypočteme a D ( ). v. Určíme intervaly, na nichž je kladná (záporná), přitom předpokládáme, že D ( ) lze vyjádřit jako sjednocení disjunktních intervalů a že je spojitá na každém z nich. Pak a) Určíme nulové body, čili řešíme rovnici ( ) 0. b) Každý interval z D ( ) rozdělíme těmito nulovými body na disjunktní intervaly. c) Vybereme z každého intervalu jeden bod a určíme znaménko v tomto bodě. 8
Na základě předchozího určíme intervaly monotonie unkce a lokální etrémy. vi. Vypočteme a D ( ). vii. Určíme intervaly, na nichž je kladná (záporná), přitom předpokládáme, že D ( ) lze vyjádřit jako sjednocení disjunktních intervalů a že je spojitá na každém z nich. Pak a) Určíme nulové body, čili řešíme rovnici ( ) 0. b) Každý interval z D ( ) rozdělíme těmito nulovými body na disjunktní intervaly. c) Vybereme z každého intervalu jeden bod a určíme znaménko v tomto bodě. Na základě předchozího určíme intervaly, na nichž je gra unkce ryze konvení (konkávní) a stanovíme inlení body grau unkce. viii. Najdeme asymptoty: a) Svislé asymptoty, ty mohou nastat v bodech nespojitosti unkce nebo v hraničních (vlastních) bodech D ( ). I když k důkazu eistence svislé asymptoty nám stačí najít jen jednu jednostrannou nevlastní itu v bodě nespojitosti, kvůli načrtnutí grau unkce je vhodné spočítat obě jednostranné ity. b) Šikmé asymptoty. i. Podle potřeby určíme další vlastnosti unkce, jako jsou průsečíky se souřadnými osami, unkční hodnoty ve významných bodech lokálních etrémech a inleních bodech, dále intervaly, na nichž je unkce kladná (záporná).. Načrtneme gra unkce. Vyšetřete průběh unkce ( ) arctg. Řešení: Dodržíme jednotlivé body uvedeného postupu. i) Deiniční obor ( ) R D. ii) Funkce je elementární, tedy je spojitá na celém ( ) R D. iii) Zjistíme, zda je unkce sudá, lichá, popřípadě periodická. 9
( ) ( ) arctg( ) + arctg ( ). Tedy je lichá unkce (nemůže být zároveň sudá). Její gra bude souměrný podle počátku. Stačilo by v tomto případě vyšetřit průběh unkce pouze na intervalu ( 0, ). My ale provedeme výpočty pro celý ( ) iv) Nyní vypočteme a D ( ). + ( ) arctg, ( ) R D. v) Určíme intervaly, na nichž je kladná (záporná):. a) Najdeme nulové body, tj. řešíme rovnici ( ) 0 + 0, ;. D. b) D ( ) rozdělíme spočtenými nulovými body na disjunktní intervaly: (, ), (,), (, ) c) Vybereme z každého intervalu jeden bod a určíme znaménko v tomto bodě. 3 0. ( ) ( ) > 0; ( 0 ) < 0 ; unkce je tedy kladná na intervalech (, ), (, ) a záporná na intervalu (,). Určíme tedy intervaly monotonie a lokální etrémy unkce takto: Funkce je rostoucí na intervalech (, ), (, ) a klesající na intervalu (,) v bodě má lokální minimum. vi) Nyní vypočteme + a D ( ). ( ), ( ) R ( + ) D. vii) Určíme intervaly, na nichž je kladná (záporná): a) Najdeme nulové body ( + ) b) D ( ) 0, 0., tj. řešíme rovnici ( ) 0. rozdělíme spočteným nulovým bodem ( 0. V bodě má lokální maimum; ) na disjunktní intervaly (,0), (, ) c) Vybereme z každého intervalu jeden bod a určíme znaménko v tomto bodě. ( ) < 0; ( ) > 0 intervalu (,0). ; unkce je tedy kladná na intervalu (, ) 0. 0 a záporná na Určíme intervaly konvenosti a konkávnosti unkce a inlení bod takto: Funkce je konkávní na intervalu (,0) a konvení na intervalu (, ) 0. Bod 0je inlením bodem unkce (mění se v něm konkávnost grau na konvenost a eistuje v něm první derivace unkce ). viii) Najdeme asymptoty unkce. Funkce je spojitá na celém D ( ), proto nemůže mít žádnou svislou asymptotu. Najdeme asymptotu grau unkce v nevlastním bodě + : 0
( ) + arctg arctg π a. + + + ( ( ) a) arctg ( arctg) arctg b + + + + π Přímka y je tedy šikmou asymptotou grau unkce v +. Najdeme asymptotu grau unkce v nevlastním bodě : ( ) arctg arctg π a. ( ( ) a) arctg ( arctg) arctg b π Přímka y + je tedy šikmou asymptotou grau unkce v. i) Průsečíky grau unkce se souřadnou osou budou tři řešení rovnice arctg : 0; 33, (přibližně);, 3 33 (přibližně). Zaokrouhlené unkční hodnoty v lokálních etrémech: ( ) 0, 85; ( ) 0, 85 ) Načrtneme gra unkce. π π... Obrázek 0.9 Gra unkce ( ) arctg s šikmými asymptotami π π y a y +
Cílové znalosti. Derivace, geometrická a yzikální interpretace.. Derivace elementárních unkcí. 3. L Hospitalovo pravidlo. 4. Vyšetření průběhu unkce (monotonie, lokální etrémy, konvenost, konkávnost, inlee, asymptoty grau unkce).