Vícenásobný integrál verze. Úvod Následující tet se zabývá dvojným a trojným integrálem. ěl b sloužit především studentům předmětu ATEAT na Univerzitě Hradec Králové k přípravě na zkoušku. ohou se v něm vsktovat některé chb; autor ocení, kdž jej na chb a nejasnosti upozorníte na emailu jiri.lipovskzavináč uhk.cz. Teorie U dvojného integrálu je naším cílem vpočítat integrál z funkce dvou proměnných přes plochu ohraničenou zadanými křivkami. Obdobně u trojného integrálu počítáme integrál přes určitou oblast z funkce tří proměnných. Dvojný integrál značíme f(, dd, někd se můžeme setkat s komplikovanějším značením pomocí dvou integrálů f(, dd. Fubiniho věta nám umožní převést integrál přes tuto podmnožinu R (u trojného integrálu R na sled dvou (tří jednorozměrných integrací ( b ϕ( b ϕ( f(, dd f(, d d d f(, d. Příklad a ϕ ( a ϕ ( Příklad.. Vpočtěte integrál dd, kde množina je ohraničena shora funkcí a zdola funkcí. Řešení: Nejdříve musíme určit meze jednotlivých proměnných. jde od do a jde při pevném od do (viz obr.. áme ted meze integrálů < <, < < a můžeme vpočítat dd ( ( d d d d [ ] ( 4 d [ 4 4 6 6 ] 4. Příklad.. Vpočtěte integrál ( + dd, kde je ohraničena křivkami, + a. Řešení: eze jsou například < <, < <. Nní můžeme
.8.6.4...4.6.8 Obrázek : Obrázek k příkladu..8.6 - +.4. - -.5.5 Obrázek : Obrázek k příkladu.
.8.6.4 /. 4 6 8 Obrázek : Obrázek k příkladu. vpočítat integrál ( [ ] ( + dd ( + d d + d [ ] ( + ( ( ( d ( + 4 8 d. Příklad.. Vpočtěte integrál dd, kde je dána vztah < <, < <. Řešení: eze integrálu máme rovnou zadané, můžeme proto přikročit k jeho výpočtu. ( ( d d t, t dt ( d d 8 d tdt [ d 8 Příklad.4. Vpočtěte integrál e dd, kde je ohraničena křivkami, a. Řešení: eze jsou < <, < <. neboť ( e dd e d d [ ] e d [ (e d e d u, v e [e ] [e ] e e +. ] ] 6, Příklad.5. Vpočtěte integrál dd, kde je ohraničena křivkami + a +.
.8.6.4...4.6.8 Obrázek 4: Obrázek k příkladu.4.8 +.6.4 +-...4.6.8 Obrázek 5: Obrázek k příkladu.5 4
.8 +.6.4...4.6.8 Obrázek 6: Obrázek k příkladu.6 Řešení: eze jsou < <, < <. dd ( d d [ ( ]d [ ] d [ ( d ]. Příklad.6. Vpočtěte integrál dd, kde je jednotkový čtvrtkruh v prvním kvadrantu. Řešení: eze jsou < <, < <. dd ( d d t, dt d d ( t dt [ ] t. Příklad.7. Vpočtěte integrál e dd, kde je ohraničena křivkami 4 a. Řešení: eze jsou < <, < < 4. e dd 4 ( e d d 4 [ [e ] d (e ] 4 8(e. Příklad.8. Vpočtěte integrál dd, kde je ohraničena křivkami a. Řešení: eze jsou < <, < <. 5
.8.6.4...4.6.8 Obrázek 7: Obrázek k příkladu.8 dd ( d d ( [ ] d [ 5 d 6 5 8 4 ] 4. Příklad.9. Vpočtěte integrál dd, kde je ohraničena křivkami p a p, p >. Řešení: eze jsou < < p, p < < p. dd p ( p d p 4 p d p p (p + (p 5 d 4 p d ( p 7 7 p5. Příklad.. Vpočtěte integrál e dd, kde [, ] [, ]. Řešení: eze máme dán. e dd ( (e e +d ( e d d e d + [e ] d ( e d d ( e [e ] d e d+ [e ] +[] [( e +]. Příklad.. Vpočtěte integrál dd, kde je ohraničena křivkami + a +. 6
-.5 p p/ p/ -.5....4.5 Obrázek 8: Obrázek k příkladu.9 Řešení: ůžeme opět vužít obrázku 5. eze jsou,. dd ( d d [ ] ( ( d Příklad.. Vpočtěte integrál dd, kde je ohraničena křivkami + a + 4. Řešení: Nejdříve si vpočítáme průsečík parabol a přímk. (4 +, ( + (. Průsečík jsou ted a. eze integrálu budou < <, + < < 4. dd ( 4 + d d ( 4 8 + d (4 ( + d ] [ 5 5 4 + 6 5. Příklad.. Vpočtěte integrál dd, kde je ohraničena křivkami a + 5. Řešení: Nejdříve určíme průsečík hperbol a přímk. 7
6 5 + - 4 4 - + - -.5 - -.5.5 Obrázek 9: Obrázek k příkladu..5.5 + -5.5.5.5.5 Obrázek : Obrázek k příkladu. 8
.5.5.5.5.5.5 4 Obrázek : Obrázek k příkladu.4 5 +, ( (. eze jsou < <, < < 5. dd ( 5 d d [ ( 5 [ 5 8 5 + 4 4 ln ] ] d 65 8 ln. Příklad.4. Vpočtěte integrál e dd, kde je ohraničena křivkami,, a. Řešení: eze jsou < <, < <. ( e dd e d d [e ] [ e d ] [ ] e d [e e 4 Použitá a doporučená literatura (e d ] e.. Kopáček Jiří, Příklad z matematik pro fzik III., atfzpress, Praha,, kapitola. http://mat.fsv.cvut.cz/sibrava/vuka/vic int.pdf. http://mathonline.fme.vutbr.cz/download.asp?id file5 9