6. Kombitorik Dlší dovedosti: - permutce s opkováím - kombice s opkováím (při mi.4-ti hod.dotci) - zákldí pojmy prvděpodobosti - důkzové úlohy zákldě biomické věty Možé mturití otázky: Vrice permutce Kombice Biomická vět Úlohy:. Kolik přirozeých čísel větších ež 00 lze vytvořit z cifer,,, 4 (bez opkováí, s opkováím). ( 6;88). Z míst A do míst B vedou 4 turistické cesty, z míst B do míst C vedou cesty. Určete, kolik způsoby lze vybrt trsu z míst A do míst C zpět tk, že: ) bez omezeí (44) b) z těchto sedmi cest eí žádá použit dvkrát (7) c) z těchto sedmi cest je právě jed použit dvkrát (60) d) z těchto sedmi cest jsou právě dvě použity dvkrát (). Určete počet všech čtyřciferých přirozeých čísel, v jejichž dekdickém zápisu eí ul ze zbývjících devíti číslic se v ěm kždá vyskytuje ejvýše jedou. Kolik z těchto čísel je větších ež 9000? Kolik je meších ež 000? (6, 67) 4. K sestveí vljky, která má být slože ze tří růzobrevých vodorových pruhů, jsou k dispozici látky brvy bílé, červeé, modré, zeleé žluté. Určete počet vljek: ) které lze z těchto látek sestvit (60) b) kolik z ich má modrý pruh (6) c) kolik z ich má modrý pruh uprostřed () d) kolik z ich emá červeý pruh uprostřed. (48) 5. O telefoím čísle spolužák si Všek zpmtovl je to, že je šestimísté, zčíá sedmičkou, eobshuje žádé dvě stejé číslice je dělitelé pětdvceti. Určete, kolik telefoích čísel přichází v úvhu. (4) 6. S připomíkmi k vrhovému zákou chce v prlmetu vystoupit šest poslců A, B, C, D, E, F. Určete počet: ) všech možých pořdí jejich vystoupeí (70) b) všech pořdí,kdy vystupuje A po E (60) c) všech pořdí,kdy vystupuje A ihed po E (0) 7. Kolik způsoby může 50 táboríků při ástupu rí rozcvičku stoupit: ) do řdy (50!) b) do řdy, kdy je táborík A krji (.49!) c) do řdy, v íž ejsou táboríci A, B vedle sebe (48.49!) d) do kruhu, v ěmž záleží pořdí. (49!) 8. Kolik přirozeých čísel lze vytvořit z cifer 0,,,, 5 větších ež 5 (bez opkováí). ( 5) 9. Jsou dáy cifry,,, 4, 5. Kolik lze sestvit čtyřciferých čísel (přirozeých, s opkováím), dělitelých pěti, (dvěm, čtyřmi). ( 5;50;5 )
0. Kolik přirozeých čísel meších ež 5000 lze vytvořit z cifer 0,, 4, 5 bez opkováí. ( 4). Kolik způsoby se v šestimísté lvici může posdit šest hochů, jestliže: ) dv chtějí sedět vedle sebe (40) b) dv chtějí sedět vedle sebe třetí chce sedět krji. (96). Zjedodušte: ( ). Řešte rovici:! ( ) ( ) ( )!! ( )! ( )!!!!!!! ( ) ( )! ( )!! 4. Dokžte, že pltí:!.!.!....! ( )! 4 ( ).( ) ( ) 5. Řešte: log ( 6 )! log( 5 )! log ( ) 6. Z kolik prvků lze vytvořit 5040 vricí čtvrté třídy bez opkováí. ( 0) 7. V roviě je dáo bodů p z ich leží jedé přímce. Kolik je těmito body určeo: ) přímek b) trojúhelíků p c) kružic p p 8. Ze šesti mužů čtyř že se má vybrt sedmičleá skupi: ) kolik způsoby je to možé ( 0) b) kolik způsoby je to možé, mjí-li tm být právě dvě žey ( 6) c) vypočtěte v % prvděpodobost, že v áhodě vybré sedmičleé skupiě budou spoň tři žey..00% 9. V prostoru je dáo 5 bodů. Kolik určují : ) rovi, jestliže žádé 4 eleží v jedé roviě (455) b) rovi, jestliže 8 z ich leží v jedé roviě. (400) 0. Je dá krychle ABCDEFGH. N kždé hrě je dáo 8 vitřích bodů. Určete počet: ) trojúhelíků, jejichž vrcholy leží v dých bodech (408) b) trojúhelíků, jejichž vrcholy leží v dých bodech trojúhelíky leží povrchu krychle. (846). V krbici je 0 výrobků, z ichž právě jsou vdé. Kolik způsoby lze vybrt 5 výrobků tk, by: ) žádý ebyl vdý () b) právě byl vdý (05) c) ejvýše byl vdý (6) d) právě byly vdé (05)
e) ejvýše byly vdé () f) spoň byly vdé (6). Kolik způsoby, je možo ze dvceti osob vybrt deset, poždujeme-li, by mezi vybrými: 9 ) ebyl p A 0 0 8 b) ebyli součsě A B 0 8 8 8 c) byl spoň jede z A B.. 9 8. Je dá čtvercová síť 54 v obdélíku ABCD tk, že AB 5 dílků. Kolik cest vede z A do C, jestliže mohu jít je vprvo horu? Kolik těchto cest vede bodem Q[;]? ( 6;60) 6. Test zkoušky se skládá z 5 otázek. Budou tm dvě otázky z dějepisu, (připrveo je 0), dvě ze zeměpisu (připrveo je 5), jed otázk z občské výchovy (připrveo je 0). Kolik vrit testu je možých? 0 5 0.. 7. Zvětší-li se počet prvků o, zvýší se počet kombicí třetí třídy o. Kolik bylo prvků? ( 7) 8. Pro jké je v rozvoji výrzu 6 9 4 sedmý čle rove 68? 9. Určete kompleí číslo, pro které je sedmý čle rozvoje výrzu ( i ) 0 rove -05. 4. Řešte: ) b) 5 4 7 c) 90 5. Zpište jediým kombičím číslem: 4 5 6 7 ) 0 b) 0 0 0 0 ( ) ( ) 0. Určete bsolutí čle v rozvoji výrzů: ) 5 ( ) 0 0! 0. 5!.5! b) [ 4 ] 8 9 4 (..5.7). Njděte všechy čley rozvoje, které obshují: ) v rozvoji b) 6 v rozvoji 0. 5. 7 0. 4. 6 6
. V rozvoji výrzu 4 je součet prvích tří koeficietů 67. Určete bsolutí čle rozvoje. ;. Určete kolik rcioálích čleů má rozvoj 50, určete je. 8 4. Dokžte, že pltí: ) 00/ 0 b) 6 7/ c) 0... 0 d)...... 0 e)...... 0 5. Njděte všech čísl z, pro která je sedmý čle rozvoje výrzu 0 i z rove číslu -680. i z i z z z 4 ; ; ; 6. Určete ejvětší čle v rozvoji výrzu 0 podle biomické věty. (pátý čle 680) 4
7. Poslouposti řdy Dlší dovedosti zlosti: - umět převést posledí ze zdáí -tým čleem rekuretí vzth obráceě - ktivě ovládt důkz mtemtickou idukcí - zát jedoduché složeé úrokováí při spořících účtech - zát výpočet spltosti úvěrů Možé mturití otázky: Obecé vlstosti posloupostí Aritmetická posloupost Geometrická posloupost Nekoečá geometrická řd Úlohy:. Vypočtěte limitu poslouposti. V poslouposti 5 ( ) ) zjistěte mootóost ( K ) b) určete limitu c) pro která jsou čley této poslouposti větší ež 5 ( 5). Dokžte, že posloupost je mootóí vypočtěte její limitu. ( R;) log 4. Je dá posloupost { } ) dokžte, že je rostoucí log b) určete rekuretí vzorec. log 5. Rozhoděte, jestli jsou poslouposti shor- zdol omezeé, rostoucí-klesjící : ) { } ( R, zdol ) b) c) d) e) 5 4 ( R, omezeá) ( R, omezeá) ( R, omezeá) ( R, omezeá) 6. U poslouposti rozhoděte o mootóosti vypočtěte její limitu:... 4 9 6 5
7. Určete, zd je posloupost mootóí: ) b) ( K ) { log log( ) } ( R) c) { } ( K ) d) { } e) ( R) 4 8. Posloupost je dá rekuretě ( ) ) odhděte dokžte vzorec pro -tý čle poslouposti b) rozhoděte, zd je posloupost rostoucí- klesjící (K) c) rozhoděte, zd je posloupost omezeá. (O) 9. Vypočtěte limitu poslouposti. Určete, zd je kovergetí či divergetí: ) b) c). ( R) ( K,) ( K, ) ( K,0) 6 d) e) f) g) h) i) 5 ( ). 4 5 ( )( ) ( ) 4 5 4 5 4... 0. Určete prví osmý čle poslouposti: ) 4 0 b) 5 0 6 9 ( D) ( D) ( K,) ( K,0) 5 K, K, 8 8 9 8. Mezi čísl 4 7 vložte čísl tk, by s dými čísly tvořil ritmetickou posloupost o součtu 46. Určete počet 0 čísel; d vložeých čísel její difereci.
. Čísl,,, 4, 5 mjí tu vlstost, že prví tři tvoří geometrickou posloupost posledí 4 tvoří ritmetickou posloupost. Určete tto čísl, jestliže: 4 4 5. 5 8 ( 8;4;;0; ). Určete velikosti vitřích úhlů prvoúhlého trojúhelík, jestliže jeho úhly tvoří po sobě jdoucí čley ritmetické 0 ;60 ; 90 poslouposti. 4. Součet prvích deseti čleů ritmetické poslouposti je 90, souči prostředích čleů je 57. Určete je! (;5;9;;7;;5;9;;7) 5. V ritmetické poslouposti 0, 7, 4,,... jděte čle, jež je rove / 8 součtu všech předcházejících čleů ; 66 6 5 ritmetické poslouposti. 6. Velikosti str prvoúhlého trojúhelík tvoří ritmetickou posloupost. Velikost větší odvěsy je 4. Vypočtěte velikost str úhlů. ( α 6 5 ; β 5 8 ; 8; c 0 ) 7. Částk se má rozdělit tk, by prví osob dostl 00,- kždá dlší o 5,- více. Kolik osob lze podělit při částce 0; 0 45Kč 5,- kolik doste posledí z ich. 8. Urči ritmetickou posloupost je-li: 0 5 6 7 ( ; d ) 9. Je dá ritmetická posloupost: 80 d 8 46 s Určete:,. 0. Určete geometrickou posloupost v íž pltí: s 4 5 9 4 ; 6 8; 4 q ; q ; 8 4. Určete velikost ejmešího vitřího úhlu prvoúhlého trojúhelík, jestliže jeho stry tvoří tři po sobě jdoucí α 8 0 čley geometrické poslouposti.. Určete počet prvích -čleů geometrické poslouposti, jeli: q s 80 ( 8) ( ). V geometrické poslouposti je: 5 s 0 7
Určete. ( 0 ; q ) 4. Mezi čísl 5 640 vložte čísel tk, by součet vložeých čísel byl 60 by všech tvořil geometrickou posloupost. 0; q 5. Pro která t R eistuje: lim t t ( t ( ;0) ) 6. Povrch kvádru je 78 cm, součet délek hr jdoucích z jedoho vrcholu je cm. Vypočtěte objem kvádru, jsou-li hry tři po sobě jdoucí čley geometrické poslouposti. V 7cm 4 7 48 Určete q.. V geometrické poslouposti je: 48 7 5 6 5 48 s 0 Určete, q,. 4; q 7; q ( q ; ; 0) 7. Určete tři kldá čísl, by byl z sebou jdoucími čley geometrické poslouposti, víme-li, že jejich součet je součet jejich převráceých hodot je 7 /. ( ;6; ) 8. Určete geometrickou posloupost, je-li: s 968 ( q ) 9. V geometrické poslouposti je: 05 5 4 50 ( q ) 0. V geometrické poslouposti je:. Určete čtyři čísl, z ichž tři tvoří ritmetickou posloupost posledí tři geometrickou posloupost. Přitom součet krjích dvou čísel je 7 součet prostředích je 6. 5 q q ; 4 7 ; 9 ; d 4 99 9 ; d 4. Původí ce stroje byl 40000,- Kč. Jkou ceu bude mít stroj z 0 let, je-li ročě mortizová 0%. 4. Vkldtel si uložil v bce 0000,- Kč termíový vkld dvou let, při pololetím úrokovcím období. Ročí úroková mír je % dň z úroků je 5%. Kolik bude mít V 4800Kč vkldtel z dv roky? 8
5. Obč si zložil osobí koto v bce v úvodu roku vkldem 500,- Kč. Kždý měsíc pk vkládl 500,- po dobu 5 let, Úroková mír bky byl 9%, úroky byly připisováy koci kždého roku. Dň z úroků je 5%. Kolik měl střdtel koci pátého roku? ( V 4, 80Kč ) 6. Bk poskytl podikteli počátkem roku úvěr ve výši jede milio koru dobu tří let s úrokovou mírou 4% při úrokovcím období roku. Podiktel zpltí dluh ve třech stejých splátkách to vždy koci roku. Kolik s 4, 40Kč bude kždým rokem splácet? 7. Vyjádřete zlomkem čísl: (- 0,4; 0,75;,55;... ) 8. Řešte rovici: ( ) ( ) ( )... 9. Určete součet: ) b) si ( ) ( )... 4 c) cos cos... 4 6 ; ; ;... 99 65 si s si 6 s s si ) tg b) tg tg...... tg tg. 4... log log 9 7 c) log... log( 4 4) 8 ± ; 0 d) ( ) ( ) ( ) 4 Řešte: ) b) si tg c) log... log( 4 4) d) 4 4 4 8 4. Vypočtěte:... )... 4... b) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 )... 4. Do rovostrého trojúhelík o délce hry je vepsá kruh, do kruhu je vepsá rovostrý trojúhelík, do ěj zse kruh td. Vypočtěte součet obshů tkto vziklých: 40. Řešte rovici: 9
) trojúhelíků s b) kruhů s π 9 44. V rovormeém trojúhelíku ABC s přepoou AB sestrojíme výšku CC, v trojúhelíku ACC výšku C C, z vrcholu C v trojúhelíku AC C výšku C C z vrcholu C td. Vyjádřete délku ekoečé čáry CC C C. pomocí délky odvěsy BC. ( d. ( ) ) 45. V krychli ABCDEFGH o hrě 6 cm ozčte postupě A, B, C, D středy hr EF, FG, GH, HE. Čtverec A B C D tvoří podstvu dlší krychle A B C D E F G H, která je postveá původí krychli. Ozčte postupě A, B, C, D středy hr E F, F G, G H, H E. Čtverec A B C D tvoří podstvu dlší krychle A B C D E F G H, která je postveá předchozí krychli. Teto postup stále opkujte. Vypočítejte objem ekoečé pyrmidy, která tkto vzike. 4 4 V 7 ( ) cm 0
Dlší dovedosti: - Možá mturití otázk: Vektorová lgebr 8. Vektorová lgebr Úlohy:. Určete vektor v, který je kolmý k u (5; ) v,5. má velikost. Určete úhly v ABC: A[-;0], B[;5], C[4;]. Vypočtěte jeho plochu. α 54 ; β 57 0 ; χ 74 45 S 4,6. V trojúhelíku ABC je AB u, BC v. Vyjádřete pomocí vektorů u, v vektory AM, BN, CP, kde M, N, P jsou středy str proti vrcholům A, B, C. 4. Je dá prvidelý šestiúhelík ABCDEF vektory: u B-A, v E-F. Vyjádřete pomocí vektorů u, v vektory: F-C, b E-D, c F-D, d B-F, e C-E. Dále určete součet vektorů b c. ) u H-A, v B-C, P B b) u B-A, v F-G, P D c) u G-A, v A-H, P D 6. V trojúhelíku ABC ozčíme střed stry BC jko P. Dokžte, že pltí: (B-A) (C-B) (A-C) (A-P) 7. Je dá krychle ABCDEFGH. Dokžte, že pltí: (C-A) (E-D) (F-A) (F-C) 8. Je dá prvidelý šestiúhelík ABCDEF. Dokžte, že: AB AC AD AE AF AD 9. Jsou dáy body A[;], B[;-],C[;]: ) dokžte, že body A, B, C jsou vrcholy ( u k. v) 5 b) vypočtěte vzdáleost těžiště T od vrcholu C. TC 0. Jsou dáy vrcholy ABC: A[0;5], B[6;-] těžiště T[;6]. C ;5 Určete souřdice vrcholu C. ( [ ]). Vypočtěte souřdice těžiště MNQ: M[;], N[0;4], Q[- ;4]. T 0;. Dokžte, že ABCD je lichoběžík v jkém poměru jsou velikosti záklde velikost úhlu BAD; A[;], B[;5],C[ α 9 45 ; c : : 7;9], D[4;]. 5. Je dá krychle ABCDEFGH. Určete bod X tk, by pltilo u v X-P. Zpište bod X pomocí vrcholů krychle:
. Dokžte, že ABCD jsou vrcholy kosočtverce; A[0;0], B[;-4], C[6;0], D[;4]. Vypočtěte velikosti jeho hr, úhlopříček velikosti vitřích úhlů. 5; α e 6; f 06 6 ; 4..Vektor u ( 0; ;4) vyjádřete jko lieárí kombici vektorů ( ; ;), b ( ; ;), c (0;4;). 8 u 5 0b c 5. Zjistěte, zd body A, B, C, D leží v roviě (využijte lieárí kombice vektorů): ) A[;-;], B[6;-0;], C[-;-;-5], D[;-8;-4] (o) b) A[;0;], B[;;-], C[4;6;-], D[;;5]. (e) c) A[;;-], B[;;5], C[-;;], D[;;]. (o) 6. 7. Určete úhel vektorů u, v je-li u 5, 8 v u v 7. ( ϕ 60 ) 8. Vektory u, v svírjí úhel 0 přitom pltí u, v. Určete úhel vektorů u v vektoru b u v. ϕ 0 4 9. Jsou dáy vektory ( ;5; ); ( ; ;); c ; ;. b Určete souřdice vektoru, který je kolmý k vektorům dále pltí:. c 6., b 7 9 ; ; 4 4 4 0. V prostoru je dá krychle ABCDEFGH o délce hry. Zvolte soustvu souřdic pomocí sklárího součiu určete velikost úhlu ϕ mezi vektorem (H-B) vektorem: ) A-B b) G-A c) A-F d) G-B. V trojúhelíku ABC jsou dáy vrcholy A[0;0], B[;0] těžiště T ;. Dokžte, že trojúhelík ABC je prvoúhlý vypočtěte velikosti všech jeho úhlů. α 90 ; β 60 ; χ 0. Určete všechy body přímky p: - 7y 6 0, ze kterých je vidět úsečk AB v zorém úhlu 90, je-li A[0;-], B[6;6]. P 6;6 ; Q ;5 ( [ ] [ ]). Určete vektor v, který je kolmý k vektoru ( 5; ) jehož velikost je 4. v u 48 0 ; 4. Je dá prvidelý čtyřboký jehl ABCDV, jehož podstvá hr má velikost 4, výšk jehlu v 6 střed hry BC je bod E. Zvolte vhodě soustvu souřdic řešte úlohy: ) vypočtěte velikost bočí hry jehlu b) určete velikost úhlu vektorů v V E u D A c) určete velikost úhlu vektorů u w C A
5. Je dá trojúhelík ABC, A[;;], B[4;;], C[;4;-], 7 Vypočítejte jeho obsh: S 6. Vypočítejte vektorový souči vektorů u v, je-li dáo: ) u ( ;; ) v ( ;4; ), w ( 0; 7;9) b) u ( 0;; ) v ( ;0; ), w ( ;; ) c) u ( ; ; ) v ( 4; ;6 ), w ( ;; ) d) u ( ; ) v ( ;4 ), w ( 0;0;5 ) 7.Jsou dáy vektory u ( ;;4 ) v ( ; m;0). Určete hodotu prmetru m R tk, by pltilo u v 4 6. m ; m 5. Jsou dáy body A[;;-], B[;-;5], C[0;;7], D[8;0;]. ) vypočítejte obshy všech stě b) vypočítejte objem čtyřstěu ABCD. c) vypočítejte vektory, které jsou určey všemi výškmi čtyřstěu ABCD.. Vypočítejte obsh trojúhelíku v roviě, jsou-li jeho vrcholy dáy souřdicemi: A[-;-], B[;0], C[;]. (S5) 4. Vypočítejte obsh rovoběžíku ABCD v roviě, jsou-li dáy body A[;], B[;], C[-;-]. (S0) 8. N ose určete bod X tk, by obsh trojúhelík PQX byl. Souřdice P, Q jsou: P[4;0], Q[;-4]. X ;0 ; X ;0 ( [ ] [ ]) 7 9. N ose y určete bod Y tk, by obsh trojúhelík XYZ byl 0. Souřdice X, Z jsou: X[;;0], Z[;;]. 0. Jsou dáy vektory ( ;4; ) b ( ;; ) prmetru p R tk, by pro vektor z ( ; p;) pltilo: z zb ( p 5; p ). Určete hodotu. Vypočítejte objem čtyřstěu ABCD, jsou-li dáy jeho vrcholy: A[;;-], B[;-;], C[;;], D[-;;0]. (V)
9. Alytická geometrie lieárích útvrů Dlší dovedosti: - zát zvedeí soustvy souřdic u plošých prostorových útvrů - úsekový tvr přímky v roviě jeho geometrický výzm - vzájemý převod jedoho druhu rovice přímky jiý Možé mturití otázky: Alytická geometrie v roviě Alytická geometrie v prostoru Úlohy:.Je dá trojúhelík ABC, A[;4], B[;-], C[-4;-6]. Určete prmetrické, obecé směricové rovice přímek, kterých leží: ) str c b) výšk v c c) těžice t b d) os úsečky BC e) středí příčk rovoběžá s AC f) kolmice AB bodem A.. Bod S[;-] je střed čtverce, jehož str leží přímce p: y 0. Njděte rovice přímek, kterých leží osttí stry čtverce. y 8 0 y 4 0 y 6 0. V ABC je vrchol A[-;-4], B[4,-] průsečík výšek V[;-]. Určete souřdice vrcholu C těžiště T. 4 C ; ; T ; ; O ; [ ] 4 Jsou dáy body A[;5], B[9;-], C[-4;]. Dokžte, že se jedá o trojúhelík, určete jeho vitří úhly obsh. α 04 7 ; β 8 0 ; S 4,5 5 N přímce - y 0 jděte body, které mjí od bodu A[;-] vzdáleost 0. X 4 09 6 ; 5 09 ; Y 5 4 5 09 6 ; 09 5 6 Určete souřdice bodu A souměrě sdružeého s bodem A[ A 4;5 8;] podle přímky p: P[;0], u (;). ( [ ]) 7. Je dá trojúhelík ABC, A[-;4], B[;-], C[5;-]. Vypočítejte: ) vitří úhel β trojúhelík ( β 98 8 ) b) odchylku přímek AB BC ( ϕ 8 5 ) c) odchylku osy úsečky AB osy d) velikost úhlu ATB, kde T je těžiště trojúhelík ABC. 8. Jsou dáy přímky p: y k q: y. Určete směrici k přímky p tk, by odchylk přímek p q byl 0 ; 4
. Npište obecou rovici přímky q, která prochází bodem A má od přímky p odchylku α: ) A[6;]; p: -.y 7 0; α 0 ( y. 6 0) b) A[5; ]; p:.y 0; α 60 ( y. 0) 0. Npište rovici přímky p, která prochází bodem A[;] má od bodu B[;-] vzdáleost v. y 0 y 0. N přímce 5-4y 8 0 jděte bod, který má stejou X 0;5,5 vzdáleost k bodům M[;5] N[7;-]. ( [ ]). Jsou dáy body M[-;], A[5;-], B[;7]. Určete všechy přímky, které procházejí bodem M mjí od bodů A,B stejou vzdáleost. 4 y y 5 0. N přímce p: y 0 jděte bod C tk, by trojúhelík ABC byl rovormeý, se zákldou AB, kde A[6;4], B[;- ]. C ; 4 4. Určete rovici přímky, která prochází bodem ( [ ; 5] ) A jejíž vzdáleost od počátku soustvy souřdic je. y 4 0 7 y 0 0 5. Jsou dáy body A[;-], B[;4], C[;]. Njděte souřdice bodu D tk, by čtyřúhelík ABCD byl rovoběžík. AD ; 5 ( [ ]) 6. Npište obecou rovici přímky p, která prochází bodem M [4;6]. Dv dé body A[-6;0], B[0;-6] mjí od přímky stejou vzdáleost. y 0 0 y 0 7. Vypočítejte souřdice vrcholů B, C rovormeého trojúhelík ABC se zákldou AB, víte-li, že vrchol A [;- ], vrchol C leží ose, dále víte, že os úhlu χ má C ;0 ; B 5; 6 rovici o: y 6 0. ( [ ] [ ]) 8. Vypočítejte souřdice vrcholů rovormeého trojúhelík ABC se zákldou AB, jestliže záte obecou rovici přímky, které leží těžice t : 4 y 5 0, A ; ; B 4; ; C 0; 5 těžiště T[4;-7] S AB [;]. ( [ ] [ ] [ ]) 9. Vypočítejte souřdice vrcholů čtverce ABCD tk, by vrchol A ležel přímce : y 0 vrchol C ležel přímce c: 5y 0. Střed čtverce S[-;]. A ; ; B 0; ; C ; ; D 4;0 ( [ ] [ ] [ ] [ ]) 0. Vypočítejte souřdice vrcholů kosočtverce ABCD tk, záte-li vrchol B[4;-] víte-li, že úhlopříčk AC leží přímce p: y 4 0. Dále pltí, že AC BD. A 4; ; C 8; ; D 8; ( [ ] [ ] [ ]) 5
. Jsou dáy vrcholy ABC: A[5;8], B[-;9], C[-4;5]. Zjistěte, zd průsečík výšek, těžiště střed kružice opsé leží v téže přímce.. Bodem A[;;-] veďte přímku, která je kolmá roviu ρ: r y - s z r - s P ;; Určete souřdice pty této kolmice. ( [ ]). Dokžte, že vrcholy A[4;-;], B[-8;0;4], C[8;;] tvoří vrcholy trojúhelíku. Urči jeho obsh vitří úhly (těžiště, rovici osy stry...). S α 4 8 0,6; T ; ; ; 7 0 ; β ; χ 0 0 4. Určete obrz bodu A[;0;-8] v osové souměrosti podle přímky p: - t y t A 5; 6;0 z - t ( [ ]) 5. Určete obrz bodu A[;-4;-6] v rovié souměrosti učeé A ; ; roviou y - 4z - 0. ( [ ]) 6. Jsou dáy body A[;-;-], B[;-;-], C[;-;-], D[0;;- ]. ) vypočtěte vzdáleost bodu D od roviy ABC d b) jděte souměrě sdružeý bod D podle roviy ABC D ;; ( [ ]) c) vypočtěte objem tohoto jehlu. V 7. V prostoru je umístě prvidelý čtyřboký jehl ABCDV, jehož podstvá hr AB výšk v 5. Určete: ) vzdáleost středu S podstvy od hry AV (v,9) b) vzdáleost středu S podstvy od roviy ADV (v,44) c) objem jehlu. (V5) 8. Je dá čtyřstě ABCD: A[0;;], B[;0;], C[-;-;5], D[0;-;-6]. Vypočtěte odchylky: ) AD ABC ( α 4 0 ) b) ADC ABC ( β 46 0 ) χ 6 5 c) DC ABD 9. Jsou dáy body A[;-;], B[-;-;] rovi ρ: y 8z 6 0. Njděte roviu jdoucí body A B 9 y z 0 tkovou, že je kolmá k ρ. 0. ABC je urče vrcholy A[;0;4], B[4;-;0] těžištěm T[ C ;5; ;;]. Určete souřdice vrcholu C. ( [ ]). Určete obecou rovici roviy, která prochází body A[;; ], B[;-;5] je kolmá k roviě ρ: 4y-z70. z 5z 0. Průsečicí p dvou rovi ρ, σ prochází rovi φ kolmá ke třetí roviě τ. Npište obecou rovici roviy φ, je-li: ρ: -yz-0 σ: y-z0 τ: -y-z0 4 z 5z 0 6
. Je dá rovi ρ: -yz-0 přímk p: t y - t z ) Určete vzájemou polohu společé body přímky roviy P ; ; b) Npište rovici přímky q, která je prvoúhlým průmětem t přímky p do roviy ρ. y t z t 7. Je dá krychle ABCDEFGH s hrou 4cm. S je střed hry AE, K je střed hry BC, L je střed hry BC. Vypočítejte: ) vzdáleost středu hry FG od přímky DS b) vzdáleost E od roviy FSH c) přímky BK roviy ALG d) odchylku rovi BCK ALH. 4. Jsou dáy vrcholy čtyřstěu A[6;0;0], B[0;5;0], C[5;6;0] D[ ;;8]. Určete: ) odchylku rovi ABC BCD ( ϕ 7 6 ) ϕ 87 4 b) odchylku mimoběžek AB CD 5. Prvidelý čtyřboký jehl ABCDV má výšku v 6, délku hry AB 4. Ozčte S střed hry AV, M střed hry VC, T těžiště trojúhelíku BCV. Vypočítejte: 67 ) délku úsečky ST d b) vzdáleost M od přímky AB. ( v ) 6. V soustvě souřdic je umístě prvidelý čtyřboký jehl ABCDV tk, že A[;;0], B[4;;0], C[4;;0], D[;;0], V[ ;;4]. Vypočtěte: ) vzdáleost středu S podstvé hry BC od přímky AV ( d,06) v 4 b) výšku jehlu, když V je jeho vrchol. 7
0. Alytická geometrie kvdrtických útvrů Dlší dovedosti: -zát zvedeí soustvy souřdic u plošých prostorových útvrů -úsekový tvr přímky v roviě jeho geometrický výzm -vzájemý převod jedoho druhu rovice přímky jiý Možé mturití otázky: Alytická geometrie v roviě Alytická geometrie v prostoru Úlohy:. Určete číslo tk, by přímk p byl tečou ke křivce k; k: y 69 p: 7 t y 7 t 5. ; 5. Njděte rovici kružice, která se dotýká přímky p v bodě T[ ;] přímky q: p: 7 y 5 0 q: y 0 ( 6) ( y ) 50 9 y 800. Určete souřdice společých bodů křivek: k: y 5 l: y 8 4y 65 0 Dále určete, pod jkým úhlem se tyto křivky protíjí. X ;4 ; X 5;0 ; ϕ ( [ ] [ ] 0 ). Njděte rovici kružice souměrě sdružeé s kružicí k podle přímky p; k: ( ) ( y ) p: y 0 (( 5) ( y ) ) y 5. N elipse jděte body, které mjí od jejího 00 6 prvého ohisk F vzdáleost 4. X ;5 ; X 5; 5 ( [ ] [ ]) 5 6. Je dá elips 5 6y 00 přímk y. Npište rovici tečy elipsy, která má od dé přímky odchylku 45. 6y 4 0 6y 4 0 6 y 0 6 y 0. Je dá elips 6y 8 bod M[4;-]: ) dokžte, že M je vějším bodem b) jděte tečy z bodu M k elipse y 0 5y 9 0 ϕ 56 0 c) určete úhel teče 8
8. N elipse 4 9y 6 jděte body, které mjí od přímky y 5 0 mimálí miimálí vzdáleost. Určete ji. 9. Elipse je vepsá čtverec. Vypočtěte velikosti jeho str. b e 0. Je dá elips 4 9y 6 bod Q[;]. Njděte přímku, která vytíá elipse tětivu, která je půleá bodem Q. 4 9y 0. Njděte odchylku křivek: ) 9 5y 900 y 64 b) 8 9y 7 c) y 4 4y ( ϕ 7 5 ) y 4 ( ϕ 6 50 ; φ 90 ) ( ϕ 67 45 ). Vypočtěte souřdice bodů, která leží prbole y 8 mjí od jejího ohisk vzdáleost 0. X 8; ; Y 8;. Z bodu K[-;0] veďte tečy k prbole y 8. 4. Njděte tečy křivek v jejich společých bodech: y 7 y 9. ( [ ] [ ]) y 0 y 0 5. Npište osovou rovici hyperboly, která prochází bode M[ 5;6] má symptotu y 0. 9 y H : 44 64 6. Určete rovici tečy hyperboly. y, která je rovoběžá s přímkou 4y 5 0. Vypočtěte souřdice dotykových bodů. Dále vypočtěte souřdice ohisek. 4y 4 0; X [ 4; ] 4y 4 0; Y [ 4;]. Je dá hyperbol 9y bod M[;]: ) určete velikost poloos, ohisk vrcholy ; b ; F 0;0 ; F 0;0 [ ] [ ] A ;0 ; B ;0 b) zjistěte polohu bodu M vzhledem k hyperbole (vě) c) určete všechy přímky jdoucí bodem M mjící s hyperbolou společý právě jede bod. t : 5 y 7 0; t : y 0; : y 0; : y 6 0 8. Je dá H:. y K: y 4. Určete úhel, pod kterým se křivky protíjí. (α0 ) 9. Určete možiu všech bodů, které mjí od počátku soustvy souřdic třikrát větší vzdáleost ež od přímky p: 4. 4( 4,5) y H : 9 8
0. Jsou dáy kružice k : y - 4y 0 k : y - 6-8 0. Vypočítejte průsečíky těchto kružic. Npište rovici přímky, která těmito body prochází.. Jsou dáy kružice k: y -8-4y 60 0 l: y - 4-6y - 0 ) určete průsečíky dých kružic b) pište rovice teče kružic k, l v jejich průsečících c) vypočtěte odchylku těchto teče. Npište rovici kružice, která: ) prochází středy str trojúhelík ABC: A[;5], B[;9], C[ 5;-]. Určete její průsečíky se strmi trojúhelíku ABC b) má střed v bodě S[5;4] dotýká se přímky p p: 5 -y - 9 0 c) prochází bodem M[;4] dotýká se obou souřdicových os.. Určete rovice teče elipsy 8 y 45, které mjí od jejího středu vzdáleost d. 4. N elipse 4 9y 6 jděte body, které mjí ejmeší ebo ejvětší vzdáleost od přímky p: 4y -5 0. 5. Je dá elips 5 9y 45 bod M[0;-]: ) dokžte, že M je bodem vější oblsti elipsy b) pište rovice teče elipsy procházející bodem M ) vypočtěte odchylku těchto teče 6. Npište osovou rovici elipsy, která má ecetricitu e prochází bodem M[; 6]. Stovte, pro která 0 hodoty reálého prmetru m je přímk p o rovici p: m. y 4 0 sečou elipsy. 7. Je dá hyperbol - 9y - 9 0 bod M[5;0]. Npište rovice všech přímek, která procházejí bodem M mjí s hyperbolou právě jede společý bod. 8. Je dá prbol o rovici y 6 4y 4 0 přímk p: y 7 0. Npište rovici tečy t p k dé prbole. U prboly určete vrchol, ohisko, rovici řídící přímky zkreslete ji v soustvě souřdic. 9. Npište rovici kružice, která prochází body F [;], F [ ;4] dotýká se osy. 0.. Npište rovici kružice, která má střed v bodě S[-5;4] přímce p: y 4 vytíá tětivu délky 8.. Npište rovici kružice, která prochází bodem M[;] dotýká se dých přímek p: y 6 0 q: y 0.. Npište rovici kružice, která se dotýká kružice k: ( ) y 8, přímky p: y 8 0. její střed leží kolmici vedeé středem kružice k přímku p.. Do elipsy y 6 vepište rovostrý trojúhelík KLM tk, by vrchol K splývl s hlvím vrcholem (vedlejším vrcholem) elipsy vrcholy L, M ležely dé elipse. Vypočítejte souřdice vrcholů K, L, M velikost jeho stry. 4. Jsou dáy prboly P : y 4. Npište rovice jejich společých teče črtěte obrázek. y P :
5. Jsou dáy elipsy E : 4 5 y 0 E : 5 4y 0. Npište rovice jejich společých teče črtěte obrázek. 6. Jsou dáy kružice k : y 5 k : ( -0) y 45. Npište rovice jejich společých teče črtěte obrázek. 7. Vyšetřete možiu bodů X v roviě, které mjí od bodu A[-;6] dvkrát větší vzdáleost ež od počátku souřdic. 8. Jsou dáy body M[-;0], N[;0]. Vyšetřete možiu bodů X v roviě, pro které pltí: XM XN 6 9. Jsou dáy body M[ ; ], N[- ;- ]. Vyšetřete možiu bodů X v roviě, pro které pltí: XM - XN