ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika BA01. Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika BA0 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 005

() Určete rovnici kručnice o poloměru r, procházející počátkem, jestliže S[3; ]. [ ( 3) + (y ) = 3 ] () Znázorněte parabolu 0 9y + 6 = 0. [ ( 5) = 9(y 4) ] (3) Znázorněte množinu 4 + 4y 0, 4 + y 0. [ ( ) 4(y ), ( ) + y ] (4) Zjednodušte výraz sin +sin +cos +cos. [ tg, cos, π + kπ ] (5) Jsou dány matice A =, B = 3 AB BA. 0 4 7 [ AB BA = 6 4 4 ] 7 5 4 3 (6) Určete hodnost matice A = 0 0 0 3 0 3 0 [ h(a) = 4 ] 4 0 4 (7) Gaussovou eliminační metodou řešte soustavu lineárních rovnic: [ (; ; ; 3) ] + 3 4 = + + 3 + 4 = 8 3 + 4 = + + 3 4 = 4. Vypočtěte matici

(8) Gaussovou eliminační metodou řešte soustavu lineárních rovnic: + 7 + 5 3 + 4 = 4 3 4 = 5 3 + 3 4 = 3 + 9 + 8 3 + 3 4 = 7 + 5 + 3 3 + 4 = 5 [ (t + 5; /3; t ; t /3), t R ] sin cos (9) Vypočtěte determinant A = sin y cos y sin z cos z. [ sin( z) + sin(z y) + sin(y ) ] NP Vypočtěte Vandermondův determinant A = [ 88 ] 3 4 5 6 4 9 6 5 36 8 7 64 5 6 6 8 56 65 96 NP Pomocí Cramerova pravidla řešte soustavu lineárních rovnic: [ (3; 4; 5) ] (0) Jsou dány matice A = + + 4 3 + = 3 5 + + 3 + = 9 3 + 3 + = 0 0 0 3 0 0 a B = 0 3 3 3 NP: B, B A, (A B), A B, (B A)... Spočtěte A, [ A = B A = 6 0 3 0 0, B = 0 3 3 3 0 4 = (AB), 3 4 3 3 3,

A B = 0 3 3 3 3 0 7 8 3 3 3 = (BA) ] () Řešte( maticovou ) rovnici ( A X + ) B = C( pro neznámou ) X, jestliže 7 5 3 A =, B =, C =. 5 4 5 7 3 [ X = 9 A X + B = C / B zprava A X = C B / A zleva X = (A ) (C B) ( 4 3 9 ) ] NP Řešte maticovou rovnici A X A = B pro neznámou X, jestliže A = 0, B = 4 3 5 5. 3 3 0 3 3 3 [ X = A X A = B / A zleva X A = A B / A zprava X = A B A 0 0 0 ] () Zjistěte zda jsou dané vektory lineárně závislé: a = (; ; 5), b = ( 3; 3; ), c = (0; ; ), d = (5; 6; 7). [ jsou lineárně závislé] (3) Vektor c = (3; ; ) vyjádřete jako lineární kombinaci vektorů u = (; ; 3), u = (; ; ), u 3 = (4; ; ). [ v = u + u ] NP Určete vlastní čísla (spektrum) a vlastní vektory matice 3 0 0 A = 0 0 3 0 5 3. 4 3

4 [ λ,,3,4 =, (u v; u v; v; u) T ] (4) Určete vlastní čísla (spektrum) a vlastní vektory matice 0 3 A = 0 0 0. 0 [ λ, = 0, (0; s; 0; s) T ; λ 3,4 =, (t; 0; 0; t) T ] NP Určete zda následující matice z vektorového prostoru V = Mat 3,3 (R) jsou lineárně závislé nebo lineárně nezávislé: A = 0 3, A = 5 3 3 3, A 3 = 0, A 4 = 0 0 0 0. 0 3 4 0 0 [ jsou lineárně závislé ] (5) Určete objem rovnoběžnostěnu s vrcholy dolní podstavy A = [3; 4; 0], B = [9; 5; ], C = [; 7; ], jestliže krajní bod hrany AE je E = [3; ; 5]. [ V = [ a b c] = 08 ] NP Jsou dány body A = [; ; 4], B = [4; ; ], C = [; ; 6]. Určete jednotkový vektor v 0 kolmý k vektorům AB, AC. [ v 0, = ± 6 (4 i + 6 j + 3 k) ] (6) Vypočtěte objem čtyřstěnu s vrcholy A = [; 5; 4], B = [0; 3; ], C = [ ; 4; 3], D = [ 4; 4; ; ] a vzdálenost v vrcholu A od stěny BCD. [ V = 4 6, v = 4 457 ] (7) Napište obecnou rovnici roviny procházející bodem A = [3; 3; 4] a přímkou p. = 8 t p = y = 5t z = 3 4t [ 7 6y 8z 99 = 0 ]

(8) Je dána rovina σ : 43y 7z = 0, rovina ω : + 3y + z + 5 = 0 a rovina α určená body A = [; 3; 0], B = [; ; ], C = [4; ; ]. Vypočítejte úhel společných přímek rovin σ, ω a rovin σ, α. [ 90 ] (9) Určete sudost, lichost funkce f. a) y = [ funkce je sudá ] b) y = [ funkce je lichá ] y = [ funkce není sudá, ani lichá ] (0) Nakreslete graf funkce y = f(), jestliže ( ; ) a) f() = ; 3 (.5; b) y = 3 sin y = sin d) y = 3 sin( + 3π) e) y = sin( + 5π) 3 6 f) y = sin( + 3π) () Pomocí Hornerova schematu určete funkční hodnotu polynomu f v bodě 0. a) f : y = 3 3 3 5, 0 = [ 5 ] b) f : y = 5 3 4 + 7 +, 0 = [ 4 ] () Ukažte, že číslo 0 = je dvojnásobným kořenem polynomu f : y = 3 + 3 4. (3) Najděte všechny reálné kořeny polynomu f. a) f : y = 5 3 4 3 + + 4 [,,,, ] b) f : y = 5 + 6 4 + 9 3 3 0 3 [,, 3, 3± 5 ] f : y = 3 4 + 3 8 8 + 9 [,, 3, 3 ] 3 (4) Vyjádřete racionální funkci jako součet polynomu a ryzí racionální funkce. 5 a) f : y = 6 9 4 + 4 3 + 8 7 + 4 4 3 + NP) f : y = 4 3 4 3 + 7 [ = 3 + + 4 3 + ] [ = 4 85 + 4 + 3 + ]

6 + 3, [ = + ] (5) Napište tvar rozkladu funkce f v součet parciálních zlomků. NP) f : y = + 4 8 ( ) 3 8 ( + ) [ f : y = A + A ( ) + A 3 ( ) + B 3 + B + B 3 + B 4 3 + B 5 4 + B 6 5 + B 7 6 + 7 B 8 + C + D + C + D 8 + ( + ) + C 3 + D 3 ( + ) = + 4 8 3 ( ) 3 8 ( + ) ] 3 4 + b) f : y = ( + ) (3 + ) 3 [ f : y = A + B + + A + B 3 ( + ) + C 3 + + C (3 + ) + D + D + D 3 3 ] (6) Rozložte racionální funkci v součet polynomu a parciálních zlomků. a) f : y = 4 + 9 3 + b) f : y = 3 + 5 (7) Vypočtěte limity funkcí: [ = A + B + + C + = + 3 + + ] [ = + 5 + 3 ] 3 4 + 5 a) lim 5 3 + sin 3 b) lim 0 sin 4 lim 4 4 (8) Vypočtěte limity složených funkcí: [ neeistuje, lim 4 + 4 4 [ 0 ] [ 3 ] =, lim 4 4 4 = ] a) lim ln sin 3 [ ln 8 ] π/ b) lim arctg [ π 0 ] ( ) + lim [ 4 ]

7 (9) Vypočtěte limity typu k 0 : a) lim 3 + 9 + b) lim 0 sin cos lim 0 sin [ neeistuje, lim 0 cos sin [ ] [ ] =, lim 0 + cos sin = ] (30) Vypočtěte limity v nevlastním bodě: 3 + 4 a) lim 4 3 3 5 6 + 4 b) lim 4 3 b) lim arctg + 4 [ 0 ] [ ] [ ] NP S použitím definice derivace určete derivaci f () funkcí: a) f() = 3 [ D(f) = R, f () = 3 3, D(f ) = R {0} ] b) f() = 3 [ D(f) = R {0}, f () = 4 3 3, D(f ) = D(f) ] (3) Určete derivaci f () a definiční obory D(f), D(f ) funkcí: a) f() = 47 + 3 5 4 + 7 3 4 [ D(f) = R {0}, f () = 7 + 3 5 + 8 3 5, D(f ) = D(f) ] b) f() = ( 3 + 8)( ) [ D(f) = R, f () = 4 3 6 + 8, D(f ) = D(f) ] f() = e e + d) f() = log(3 + + ) [ D(f) = R {0, 3 }, f () = [ D(f) = R, f () = e (e + ), D(f ) = D(f) ] 6 + (3 + + ) ln 0 log (3 + + ), D(f ) = D(f) ]

8 (3) Určete první a druhou derivaci f (), f () a příslušné definiční obory funkcí: a) f() = + 3 [ f () = + 3 + 3, f () = ( + 9) ( + 3) 3, D(f) = D(f ) = D(f ) = R ] b) f() = ln sin + sin [ f () = cos, f () = sin cos, D(f) = D(f ) = D(f ) = R { π + kπ, k Z} ] (33) Určete druhou derivaci f () a příslušné definiční obory funkcí: a) f() = (ln ) [ f () =, D(f) = D(f ) = D(f ) = (0, ) ] b) f() = arctg( + ) [ f () = ( + ), D(f) = D(f ) = D(f ) = R ] (34) Najděte rovnici tečny t a normály n ke grafu funkce y = f(): a) f() = e cos v bodě A = [0,?] [ t : + y = 0, n : y + = 0 ] b) f() = e +, je-li t rovnoběžná s přímkou y + = 0 [ t : y + 3 = 0, n : 4 + y 3 = 0 ] (35) Najděte přírůstek funkce f a diferenciál df v čísle 0 pro přírůstek : f() = arccotg, 0 =, = 0. [ f = 0.09; df( 0 ) = 0. ] (36) Vypočítejte diferenciál funkce df v bodě pro přírůstek h: 4 + 3 [ df(, h) = 4 3 + 3 3 h ] (37) Napište následující funkce užitím MacLaurinova polynomu n-tého stupně: a) f() = ln(cos ), n = 6 [ T 6 () = 4 6 45 ] b) f() = +, n = 4 [ T 4 () = + 8 + 6 3 5 8 4 ]

(38) Napište následující funkce užitím Taylorova polynomu n-tého stupně v okolí bodu 0 : a) f() =, 0 =, n = 3 [ T 3 () = ( ) ( )3 + ] 4 8 6 b) f() = 3 ( ) ( ) 4( )3, 0 =, n = 3 [ T 3 () = + + ] 3 9 8 (39) Vypočítejte přibližně následující funkční hodnotu pomocí Taylorova polynomu n-tého stupně T n v okolí 0 : ln, 0 =, n = 0 [ f() = ln, T 0 () = 0 k= (40) Vypočtěte s pomocí L Hospitalova pravidla: ( ) k ( ) k, ln =. T 0 () =. 0.646 ] k 9 a) lim 3 + e b) lim 3 ln( + ) lim 3 d) lim ln [ ] [ ] [ 0 ] [ ] (4) Vypočtěte limity typu 0 : a) lim 0 + ln b) lim e [ 0 ] [ 0 ] (4) Najděte všechny asymptoty ke grafu funkce. y = ( )3 ( + ) [ =, y = 5 ] (43) Vyšetřete průběh funkce. a) f() = 3 3 + 3 +

0 b) f() = 3 f() = + arccotg (44) Integrace užitím základních vzorců. ( a) + + + ) d [ + ln + 3 + + C ] ( 4 b) 3 3 3 4 ) d [ 8 5 + 33 5 3 5 3 + 4 3 + C ] (0 + 5 ) 0 d [ ln 0 ln + 5 ln 5 + C ] 3 + d) d [ + 3 + C ] ( ) e) d [ + ln + C ] f) d [ arctg + C ] + 5 sin + 3 cos g) sin d [ 5 cos tg 3 cotg + C ] (NP) Integrace užitím základních vzorců. a) (3 + ) d [ 3 + + C ] b) ( + ) d [ 5 5 + 3 3 + C ] 3 + 3 d [ 3 + 3 ln + C ] 3 ( ) 3 d) d [ 7 3 6 5 + + C ] ( + ) 3 e) d [ 3 + 6 + 4 + 8 ln + C ] (45) Integrace substituční metodou. a) (4 3) 4 d [ 0 (4 3)5 + C ] b) ( 7) d [ 5 8 ( 7) + C ] 4 5 d [ 5 7 arcsin + C ] 49 7

d) e) f) g) cos d sin + [ ln sin + + C ] e e + d [ ln e + + C ] sin cos 3 d [ 4 cos4 + C ] e sin cos d [ e sin + C ] (NP) Integrace substituční metodou. e arctg e a) d [ arctg 3 e + e 3 + C ] d b) [ arccos + C ] sin 6 cos d [ 7 sin7 + C ] e d) d [ e + C ] cos(ln ) e) d [ sin(ln ) + C ] (46) Integrace metodou per partes. a) e d [ e e + C ] b) sin d [ cos + sin + C ] 4 3 e d [ e ( ) + C ] d) ln d [ ln + C ] e) ln 3 d [ (ln3 3 ln + 3 ln 3 4 ) + C ] f) ln( + ) d [ ln( + )( ) 4 + + C ] (NP) Integrace metodou per partes. cos a) sin 3 d [ sin cotg + C ] b) sinh d [ cosh sinh + C ]

d) e) 5e 4 d [ 5 4 e 4 5 6 e 4 + C ] e cos d [ e (cos + sin ) + C ] 5 ( + 5)e 4 d [ e ( + 5) + C ] (47) Integrace racionální lomené funkce. 3 + a) + + 5 d [ 3 ln( + + 5) arctg + + C ] b) 3 + 3 d [ ( ln 3 ) + 3 4 + 3 arctg 3 + C ] 3 + 4 9 d [ ln ( ) 4 ( 4) 5 ( )( ) ( + 3) 7 + C ] e + d) e d [ ln e + ln e + C ] 3 3 5 + 8 e) ( + )( ) d [ 3 ( ) + ln ( )( + ) + C ] (NP) Integrace racionální lomené funkce. + 4 9 a) d [ ln ( ) 4 ( 4) 5 ( )( + 3)( 4) ( + 3) 7 + C ] d b) 3 + d [ ( + ) ln 6 + + arctg + C ] 3 3 ( ) + 3 + 4 d [ 5 ln( + 3 + 4) + 9 arctg + 3 + C ] 7 7 (48) Integrace goniometrických funkcí. a) sin cos d [ sin + C ] b) tg d [ ln cos + C ] sin d [ sin + C ] cos cos d) cos 3 d [ 3 sin cos + 3 sin + C ] e) cos 3 d [ 3 sin 3 + C ]

f) cos d 3 tg [ ln + C ] (NP) Integrace goniometrických funkcí. a) sin 3 cos d [ 4 sin4 + C ] b) cos 5 sin d [ cos6 + C ] sin cos d [ ln sin + cos C ] sin + cos (49) Integrace iracionálních funkcí. a) d [ ( ln + ) + C ] + 3 + b) ( + )( ) d [ 3 3 + + C ] 4 3 7 3 + ( 3 6 d [ ) 5 4 + 4 3 + 30 + + 4 ln + + 36 ln + + C ] + + d) d [ + + ln + + C ] e) + d [ + ln + + C ] (NP) Integrace iracionálních funkcí. ( ) 3 d a) + 3 d [ 3 3 + ln + 3 + C ] b) 3 d [ 6 6 6 6 5 6 6 6 7 3 ln 5 7 6 + C ] + (50) Výpočet určitého integrálu úpravou. a) b) 5 3 3 0 d [ ln 5 3 ] 3 d [ 65 6 ] 5 d [ 0 ]

4 (5) Výpočet určitého integrálu metoda per partes. a) b) d) π 0 0 sin d [ π ] ln( + ) d [ 3 ln 3 ] arccos d [ π ] e 3 d [ 9 e3 + 9 ] (5) Výpočet určitého integrálu substituční metoda. a) b) d) 4 π 3 π 4 5 π 0 ( + ) d [ ln 3 3 ] sin sin 3 cos d [ 3 ] ln d [ ln 5 ] sin cos d [ 3 ] (NP) Výpočet určitého integrálu. a) b) d) 5 7 0 π π 4 + d [ 36 ] cosh d [ e e ] d ( + ) 3 d [ 9 ] cos sin d [ ] (53) Vypočtěte obsah křivočarého lichoběžníka ohraničeného křivkami + y =, y =, 0, y > 0. [ π 4 ]

5 (54) Vypočtěte délku oblouku rovinné křivky y = 4 ln,, 3. [ + ln 3 ] (55) Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací plochy P kolem osy. P : y = +, y = +. [ 6 5 π ] (56) Vypočtěte povrch tělesa, které vznikne rotací křivky kolem osy. P : = a cos 3 t, y = a sin 3 t, t 0, π, a > 0. [ 6πa ] (57) Najděte těžiště homogenní hmotné oblasti omezené křivkami y =, y = +. ( ) 4 + 5π [ T 0; ] 30π 0 NP Stanovte definiční obor dané funkce a načrtněte jej. a) z = ( + y) b) z = y + 5 y z = + y y d) z = arcsin( y ) + arcsin y [ a) Dz = {(; y) E : y + }; b) Dz = {(; y) E : y y }; Dz = E {(; y) E : y = y = }; d) Dz = {(; y) E : + y } ({(; y) E : y > 0} {(; y) E : y < 0}) {(; y) E : y > 0} {(; y) E : y < 0}] NP Vypočtěte parciální derivace prvního řádu daných funkcí. a) z = 3y b) z = (sin ) cos y y z = ye sin πy + y d) y = ln + y +

6 [ a) z = 3y ( y), z y = 3 ; ( y) b) z = cos cos y(sin ) cos y, z y = sin y ln sin (sin ) cos y ; z = y( + πy cos πy)z, z y = ( + πy cos πy)z; d) z = + y, z y = y + y ] NP Vypočtěte parciální derivace prvního řádu daných funkcí. ( ) + y a) z = + arcsin + y b) y y z = ( + y) +y [ a) z = y y y + + y, z y = y y y y + + y ; b) z = [ + ln( + y)]z, z y = [ + ln( + y)]z] NP Vypočtěte všechny parciální derivace druhého řádu daných funkcí. a) z = cos y b) z = y + y 3 [ a) = sin + 4 cos, z yy = y z yy = 4 y, 3 z y = y ] 3 4 3 cos y 3, z y = NP Vypočtěte všechny parciální derivace druhého řádu daných funkcí. a) z = + y b) z = ln( + y ) sin y ; b) z = 4y 9 7 3, [ a) z = y ( + y ), z y = 3y ( + y ), 5 z y = y( y ) ( + y ), 5 z yy = ( + y ) ; b) ( + y z ) 5 y ( + y ), z yy = y ( + y ) ] NP Vypočtěte všechny požadované derivace daných funkcí. a) z = e ln y + sin y ln, yy =?, yyy =? b) z = y + e y, z y =? =

7 [ a) z yy = e y sin y, z yyy = e y 3 NP Určete d z v bodě A funkce z = f(, y). cos y ln ; b) z y = + e y y 3 (4 + y ) ] a) z = sin sin y, A = [ π 4, π ] b) z = y ln, A = (, ) 4 [ a) d ddy dy ; b) d + ddy ] NP Určete d z v bodě A funkce z = f(, y). a) z = e y, A = [, ] [ a) 4e d + 6e ddy + e dy ] Taylorova věta pro funkci f(), X = [,,..., n ]: f(x) = f(x o ) +! df(x o) +! d f(x o ) + + n! dn f(x o ) + R n+ (X), kde zbytek R n+ (X) = (n + )! dn+ f( + δh,..., n + δh n ), δ (0, ). NP Napište Taylorův polynom stupně n pro funkci y = f(, y) v bodě A. a) z = e sin y, A = [0, 0], n = 3 b) z = sin(y), A = [0, π ], n = [ a) y + y + y 6 y3 ; b) π + (y π ) ] NP Napište Taylorův polynom stupně n pro funkci y = f(, y) v bodě A. a) z = ln( ) ln( y), A = [0, 0], n = 3 [ a) y + y + y ] Pravidla pro počítání složených funkcí: z = f(, y), = (t) a y = y(t) dz dt = ( ) f d dt + ( ) f dy y dt

8 w = f(, y, z), = (u, v), y = y(u, v) a z = z(u, v) ( ) w w u = ( ) w u + y ( ) w y u + y ( ) w w v = ( ) w v + y ( ) w y v + y z u, z v, Obecně: w = f(,..., m ), k = k (t,..., t n ), pro k =,..., m ( ) w w = ( ) w + ( ) w + + m, t i t i t i m t i kde i =,,..., n. NP Vypočtěte parciální derivace prvního řádu složených funkcí. a) z = u + v, u = + sin y, v = ln( + y) b) z = u v v u, u = cos y, v = sin y [ a) z = + + y ln(+y), z y = cos y+ ln(+y); b) +y z = 3 sin y cos y(cos y sin y), z y = 3 (sin y + cos y)( 3 sin y cos y) ] NP Vypočtěte parciální derivace prvního řádu složených funkcí. a) z = u v, u = ln( + y), v = e y [ a) z = vu v y + uv ln v e y y, z y = vuv y + uv ln u e y y ] y NP Určete první parciální derivace funkce z = f(, y), která je dána implicitně danou rovnicí. a) cos(a + by cz) = k(a + by cz) b) + y + z = e z [ a) z = a c, z y = b c ; b) z = ( + y + z ) = z y ] NP Vypočtěte první parciální derivace v bodě A funkce z = f(, y), která je dána implicitně danou rovnicí. a) e z + y + z + 5 = 0, A = [, 6, 0] [ π NP) cos + cos y + cos z = 0, A = 3, π, π ] 6

9 [ a) z (A) = 6, z y(a) =, NP) z (A) =, z y(a) = 0 ] Tečná rovina a normála plochy: Tečná rovina τ a normála n plochy z = f(, y) v bodě B 0 = [ 0 ; y 0 ; z 0 ] jsou dány rovnicemi tvaru: τ : ( 0 ) f (B 0 ) + (y y 0 ) f y (B 0 ) (z z 0 ) = 0 n : 0 f (B 0 ) = y y 0 f y (B 0 ) = z z 0 Je-li plocha dána implicitně F (; y; z) = 0, pak τ : ( 0 ) F (B 0 ) + (y y 0 ) F y (B 0 ) + (z z 0 ) F z (B 0 ) = 0 n : 0 F (B 0 ) = y y 0 F y (B 0 ) = z z 0 F z (B 0 ) Pro normálový vektor n tečné roviny platí n = (F (B 0 ); F y (B 0 ); F z (B 0 )). Normálu si můžeme vyjádřit parametricky ve tvaru: = 0 + tf (B 0 ), y = y 0 + tf y (B 0 ), z = z 0 + tf z (B 0 ); t R. NP Nalezněte tečnou rovinu a normálu v bodě A plochy z = f(, y) zadané implicitně danou rovnicí. a) + y + z 49 = 0, A = [, 6,?] b) (z )yz y 5 = 5, A = [,, ] [ a) τ : 6y + 3z 49 = 0, n : = + 4t, y = 6 t, z = 3 + 6t, τ : 6y 3z 49 = 0, n : = + 4t, y = 6 t, z = 3 6t ] NP Nalezněte lokální etrémy daných funkcí. a) z = y y + 6 + 3 b) z = 3 + y + 5 + y z = ln + ln y + ln( y) 6 [ a) [4; 4] - lok.ma.; b) [ ; ] - není, [0; 0] - lok.min., [ ; ] a [ 5 ; 0] - lok.ma., [3; 6] - lok.ma. ]

0 NP Nalezněte lokální etrémy daných funkcí. a) z = y + 50 + 0 y b) z = y y + 6y [ a) [5; ] - lok.min.; b) [4; 4] - lok.ma. ] NP Nalezněte vázané etrémy dané funkce při daných podmínkách. a) z = + y; podm. + y = 5 b) z = + y ; podm. + y = [ a) [; ] - lok.ma., [ ; ] - lok.nim.; b) [; ] - lok.min. ] NP Nalezněte vázané etrémy dané funkce při daných podmínkách. a) z = + y; podm. y = b) z = + y ; podm. + y = [ a) [; ] - lok.ma., [ ; ] - lok.nim.; b) [ ; ] - lok.min., [ ; ] - lok.ma. ] NP Najděte absolutní etrémy daných funkcí. a) z = + y 4 + 8y; na obdélníku 0, 0 y b) z = y + y ; Mje určena nerovnicí + y z = + y + 6y; na oblasti dané nerovnicí + y 5 [ a) [; ] - abs.ma., [; 0] - abs.nim.; b) [0; ], [0; ], [; 0], [ ; 0] - abs.ma., [0; 0] - abs.min.; [3; 4] - abs.min., [ 3; 4] - abs.ma.] NP Určete derivaci ve směru s v bodě A a gradient v bodě A funkce z = f(, y). z = + y y, A = [3; 4], s = (3; 4). [ z (A) = 9, grad z = 7 s 5 5 i 5 j ] NP Určete derivaci funkce z = ln( + y ) v bodě A = [; ]. a) ve směru tečného vektoru v bodě A ke křivce y =, b) ve směru, v němž je derivace maimální.

[ a) z s (A) = 3 z ; b) 5 s (A) = ] 5 NP Určete tečnou rovinu a normálu v bodě T plochy z = f(, y). z = y y, T = [; ;?]. [ τ : 3 + z 4 = o; n : = + 3t, y =, z = + t ] NP Určete tečnou rovinu a normálu v bodě T plochy z = f(, y). z = y, T = [ ; ;?]. [ τ : 8 + 4y z44 = o; n : = + 8t, y = + 4t, z = 4 t ] NP Nalezněte obecné řešení daných diferenciálních rovnic. a) y = 0 +y [ 0 + 0 y = C ] y b) y = [ arcsin y + arcsin = C ] NP Nalezněte partikulární řešení dané diferenciální rovnice. ( + y )d y( + )dy = 0, y( ) = [ y = 5 3 5 ]

Reference [] Novotný J.: Matematika I - Základy lineární algebry, CERM, FAST VUT Brno 004. [] Dlouhý, O. - Tryhuk, V.: Matematika I - Diferenciální počet funkce jedné reálné promenné, CERM, FAST VUT Brno 004. [3] Tryhuk, V.: Matematika I - Úvod do matematické logiky a teorie množin, CERM, FAST VUT Brno 994. [4] Tryhuk, V.: Matematika I - Reálná funkce jedné reálné promenné, CERM, FAST VUT Brno 994. [5] Veverka, J. - Slatinský E.: Matematika I3 - Diferenciální pocet funkce jedné reálné promenné, CERM, FAST VUT Brno 995. [6] Novotný J.: Matematika I4 - Lineární algebra, CERM, FAST VUT Brno 995. [7] Horňáková, D.: Matematika I5 - Vektorová algebra, CERM, FAST VUT Brno 995. [8] Horňáková, D.: Matematika I6 - Analytická geometrie, CERM, FAST VUT Brno 995. [9] Voráček, J.: Matematika I7 - Neurčitý integrál, CERM, FAST VUT Brno 995. [0] Voráček, J.: Matematika II - Určitý integrál a jeho užití, CERM, FAST VUT Brno 995. [] Daněček, J. - Dlouhý, O.: Integrální počet I, CERM, FAST VUT Brno 003. [] Daněček, J. - Dlouhý, O. - Koutková, H. - Prudilová, K. - Sekaninová, J. - Slatinský, E.: Sbírka příkladů z matematiky I., CERM, FAST VUT Brno 994. [3] Čermáková, H. - Hřebíčková, J. - Slaběňáková, J. - Šafářová, H.: Sbírka příkladů z matematiky II., CERM, FAST VUT Brno 994. [4] Prudilová, K. - Sekaninová, J. - Slatinský, E.: Sbírka příkladů z matematiky III., CERM, FAST VUT Brno 995. [5] Hřebíčková, J. - Ráček, J. - Slaběňáková, J.: Diferenciální počet v Maple 7, FAST VUT Brno, 00, http://math.fce.vutbr.cz/vyuka/matematika/diferencialni pocet/. [6] Hřebíčková, J. - Ráček, J. - Slaběňáková, J.: Integrální počet v Maple 7, FAST VUT Brno, 00, http://math.fce.vutbr.cz/vyuka/matematika/integralni pocet/. [7] Veverka, J.: Diferenciální počet II, Fakulta stavební, Brno 98. [8] Eliaš, J. - Horvát, J. - Kajan, J.: Zbierka úloh z vyššej matematiky,. časť, SVTL, Bratislava 965. [9] Černá, B.: Cvičení z lineární algebry, MZLU v Brně, Brno 998. [0] Jelínek, Z. - Samotná O.: Matematika - Integrální počet, Skriptum VŠ zemědělské v Brně, SPN, Praha 985. [] Jirásek, F. - Kriegelstein, E. - Tichý, Z.: Sbírka řešených příkladů z matematiky I, SNTL/ALFA, Praha 987. [] Karásek, J. - Maroš, B.: Integrální počet, Matematika - Metodické pokyny pro cvičení, CERM, FAST VUT Brno 994. [3] Kříž, J. - Křížová, H.: Diferenciální počet, metodické pokyny, Fakulta strojní VUT, Brno 978. [4] Vosmanská, G.: Matematika, MZLU v Brně, Brno 997. [5] Online verze tetů: Riešené úlohy z matematiky, Katedra Matematiky a Deskriptivnej geometrie, Stavebna fakulta, STU, Bratislava, http://www-kmadg.svf.stuba.sk/skripta/skripta.pdf. [6] Online verze tetů: Riešené úlohy z matematiky, Katedra Matematiky a Deskriptivnej geometrie, Stavebna fakulta, STU, Bratislava, http://www-kmadg.svf.stuba.sk/skripta/skripta.pdf.