Derivace Derivace Před mnoha lety se matematici snažily o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici zápolili s problémem určení rychlosti nerovnoměrného pohybu K zásadnímu obratu došlo v 8 století (Newton, Leibniz), kdy byly poprvé zormulovány základy dierenciálního počtu Objevil se pojem derivace Pojem derivace dnes nachází aplikace všude, kde se popisuje dynamika chování yzikálně realizovatelného systému Matematicky jde přitom o itu jistého podílu DEFINICE DERIVACE Derivace unkce y () je unkce ( ) ( + ) ( ) y, () dy deinovaná pro taková, pro něž ita eistuje Namísto () se značí též d a čte se "dy podle d" Platí D ( ) D ( ), neboť pro některá D ( ) nemusí ita eistovat Veličina se nazývá změna nezávisle proměnné, veličina y ( + ) () změna unkce y ( () ) Pro pevně zadané c D ( ) se číslo (c) nazývá derivace unkce v bodě c značí se též ( ) c Označíme-li c +, pak z plyne c a (c) lze vyjádřit alternativně ve tvaru ( c) ( c + ) ( c) ( ) ( c) () c c Poznámka: Derivace je tedy vyjádření poměru změny unkce (unkční hodnoty) k odpovídající nekonečně malé změně nezávisle proměnné Její deinice vychází z geometrického významu (viz dále obr ) a) Určíme () a () pro () Podle () dostáváme ( ) + + ( ) ( + ) ( + ) 6 odtud () ( )
Derivace b) Určíme () a () pro () e Podle () dostáváme (e + e e ) e e e (viz důležité ity v předchozí kapitole) odtud () ( ) e e Derivace elementárních unkcí se určí výpočtem ity podle (), případně aplikací pravidel pro počítání s derivacemi, které si ukážeme později Uveďme nyní přehled základních vzorců ( c ) ( ) s s s log ( ) a, c je libovolná konstanta ( a ) a ln a ( e ) e ( ) ln ( sin ) cos ( cos ) sin tg cos ( ) ( cotg ) ( arcsin ) ( arccos ), s je libovolná konstanta, a je libovolná kladná konstanta, a ln a, a je libovolná kladná konstanta sin + ( arctg ) ( arccotg ) + Jako vzorec pro přibližný výpočet derivace unkce v bodě c, (c), (pokud (c) Tyto vzorce, podobně jako pravidla pro počítání s derivacemi, je nutné naučit se nazpaměť
Derivace eistuje) lze použít i podílu příslušného k itě ve vztahu (), neboť (pro dosti malé ) je podíl přibližným odhadem ity, tj ( c + ) ( c) ( c) () Určíme přibližně () pro unkci () / Pro dosti malé, např,, dostaneme užitím () ( +,) ( ) ( ),97,,, (přesná hodnota je ) INTERPRETACE Geometrická: Již víme, že derivace se objeví při řešení úlohy nalezení rovnice tečny ke grau unkce Uvažujme unkci a body P[c, (c)], Q[c +, (c + )] jejího grau (obr ) Spojnice těchto bodů (sečna s grau) má směrnici k s tg α a platí k s ( c + ) ( c) Blíží-li se k nule ( ), blíží se bod Q k bodu P a tudíž přejde sečna s v tečnu t grau unkce v bodě P[c, (c)] Její směrnice bude dána výrazem k t ( c + ) ( c) (4) Výraz na pravé straně (4) je pak v souladu s deinicí () derivace unkce v bodě c, tj (c) Tedy k t (c) Rovnice tečny ke grau unkce v bodě P[c, (c)] má přitom obecně tvar + ( c) ( c)( c) y (5) + Tento tvar vychází z analytické geometrie, kde platí věta: Má-li přímka danou směrnici k a prochází bodem A[, y ], lze ji vyjádřit rovnicí y k( ) + y
Derivace Určíme rovnici tečny ke grau unkce () v bodě příslušném Platí (), dále (), () a užitím (5) dostáváme rovnici tečny ve tvaru y ( ), tudíž po úpravě y y (c + ) Q s (c + ) (c ) t (c) β P α c c + Obr Z geometrické interpretace je zřejmé, že eistence derivace úzce souvisí s eistencí tečny ke grau Dá se tedy očekávat, že neeistuje-li tečna ke grau v daném bodě, pak nebude eistovat ani derivace příslušné unkce v příslušném bodě Takovými typickými body na grau jsou body typu hrotu, zlomu apod Pro unkci znázorněnou na obrázku je oprávněná hypotéza, že neeistuje (c), (d) Obr VLASTNOSTI DERIVACÍ Eistence derivace stačí k tomu, aby unkce byla v bodě spojitá: Jestliže eistuje derivace unkce v bodě c, (c), pak je unkce spojitá v bodě c (Věta obrácená neplatí!) Jestliže eistují (), g(), pak pro D( ) D(g) eistují ( ± g)(), ( g) (), 4
Derivace g a je-li navíc g(), i ( ) a platí ± (6) ( g) ( ) ( ) ± g ( ) ( g ) ( ) ( ) g( ) + ( ) g ( ) ( ) g ( ) g( ) ( ) g ( ) [ g( ) ] (7) (8) (Vztahy (6) (7) jsou tzv základní pravidla pro počítání s derivacemi) a ) ( tg ) ( 7) ( ) tg + ( tg ) tg + tg + cos cos Při derivaci unkce tg jsme využili znalostí základního vzorce, můžeme ale postupovat i jinak, protože víme, že unkce tg sin / cos a) ( tg ) ( 7) ( ) tg + ( tg ) tg + ( 8) tg + ( sin ) cos ( cos ) cos Přitom jsme využili vztah sin + cos sin cos sin cos + sin tg + cos tg + cos sin + cos b) sin cos ( 8) ( 6) cos sin sin sin ( sin + cos ) ( sin cos ) ( sin + cos )( sin cos ) ( sin cos ) ( cos sin )( sin cos ) ( sin + cos )( cos + sin ) ( sin cos ) cos ( sin cos ) cos ( sin cos ) sin ( sin + sin cos + cos ) ( + cos ) ( sin cos ) ( sin cos ) Velmi důležitá je věta o derivaci složené unkce: Jestliže pro unkce y (u), u g() eistují (u) a g (), pak eistuje derivace složené unkce y (g()) a platí 5
Derivace [ ( g( ) )] ( g( ) ) g ( ) (9) pro taková, pro něž jsou všechny příslušné unkce deinovány Vzorec (9) se zapisuje také ve tvaru dy d dy du () du d Určíme y pro y ( + ) Položíme u g() +, y (u) u Užitím () dostáváme y ( u ) ( + ) u ( + ) 6( + ) dy dy du d du d Výpočet derivace složené unkce se po jisté prai provádí mechanicky principem podle (9), aniž je třeba ormálně provádět rozklad složené unkce Zkusme takto vypočítat znovu předchozí příklad ( + ) ( + ) 6( + ) y unkcí Přirozeným způsobem lze vzorec (9) zobecnit i pro unkci složenou z více než dvou Určíme ypro y sin ( + ) Tedy [ ( )] ( ) ( ) cos + y sin + cos + sin( + ) [Pomůcka pro výpočet derivace y: y je složená unkce po sin po ( + ) tj nejprve derivujeme jako odmocninu, pak jako sinus a pak derivujeme ( + ) ] Pro unkci () u() v() se postupuje tak, že se () přepíše do tvaru (viz vlastnosti logaritmické unkce) () e v() ln u() a aplikuje se vzorec (9) sin sin sin sin ln sin ln sin ( ) platí ( ) e a odtud ( ) e cos ln + cos ln + 6
Derivace VYŠŠÍ DERIVACE Pro celé číslo n se n-tá derivace (n) unkce deinuje rekurentně vztahy ( ) ( n) ( n ) ( ) pokud pro všechna m,,, n eistují unkce (m) na nějaké neprázdné podmnožině M D( )Užívá se též označení ( ) d d n n pro n, případně n, se značí, případně, namísto (), případně () Pro pevně zadané c se číslo (n) (c) nazývá n-tá derivace unkce v bodě c Z deinice je zřejmé, že vyšší derivace se vypočtou opakovaným provedením derivace Pro () sin dostáváme () cos, () ( () ) sin, () ( () ) cos, (4) () ( () ) sin atd L HOSPITALOVO PRAVIDLO Při výpočtu it podílu unkcí nastává potíž, jestliže ita unkce ve jmenovateli (případně i v čitateli) je rovna nule V takových případech (ale i v jiných) může být užitečná následující věta, nesoucí tradiční název L Hospitalovo pravidlo Jestliže platí ( ) g( ) c c () nebo c ( ) ± g () a platí-li c g ( ) ( ) a, kde a, c R, pak rovněž platí ( ) ( ) a c g 7
Derivace Pokud zůstávají předpoklady v platnosti, lze použít této věty i opakovaně Zdůrazněme, že v případě nesplnění předpokladů (), případně () nelze věty použít a) + + ( ), ( + + ), je splněno (), typ ( ) ( ) ( + ) + 4 9 ( + ) ln b) ln ( + ),, je splněno (), typ + Podmínka () se často vyjadřuje tak, že jde o výraz typu Analogicky se hovoří o výrazech typu, avšak podmínka () vyžaduje daleko méně totiž jen g ( ) ± Při výpočtu jiných typů, u kterých nelze přímo použít vět o itách, lze postupovat tak, že se snažíme převést je korektními úpravami na tvary splňující (), případně () c Cílové znalosti Derivace, geometrická interpretace Derivace elementárních unkcí L Hospitalovo pravidlo 8
Derivace X Derivace_CVIČENÍ POJEM DERIVACE, VLASTNOSTI DERIVACÍ Určete y, pro unkci ( ) y,,, Určete y, pro unkci ( ) y,,, + 6 Najděte: a) ( ), ( 8) pro unkci ( ) π 6 6 + b) ( t), pro unkci ( t) cost( sint) 4 Najděte ( ) : a) ( ) cos + sin b) ( ) d) ( ) arcsin sin + cos sin cos c) ( ) ( + ) arctg 5 Najděte ( ) : cos a) ( ) sin b) ( ) ln tg c) ( ) 5 e) ( ) arcsin ) ( ) g) ( ) ( tg ) d) ( ) lnsin( + ) + INTERPRETACE 6 Určete rovnici tečny grau unkce ( ) sin π v bodě,? 7 Určete rovnici tečny grau unkce ( ) v bodě [,] VYŠŠÍ DERIVACE 8 Odvoďte vzorec pro n-tou derivaci unkce a) y ln b) k y e, k je konstanta 9
Derivace L HOSPITALOVO PRAVIDLO 9 Určete ity: a) ( + ) ln b) cotg c) π tg sin d) cos Určete ity: a) a e ln e a ( ) + b) + + c) + + sin d) lncos ( ) ( + ) ln cos e Určete ity: a) ln b) cotg
Derivace VÝSLEDKY CVIČENÍ y y,, y y, 5 a) ( ), ( 8 ) b) ( t) sin t cos t 6 π, 6 4 a) ( ) sin + cos b) ( ) ( sin cos ) c) ( ) arctg + d) ( ) arcsin + sin 5 a) ( ) sin cos b) ( ) c) ( ) 5 cos sin ln 5 e) ( ) ) ( ) ( ln +) 6 t : y 7 t : y 8 a) y n ( n) ( ) ( n ) 9 a) b) n! b) c) d) 4 a) a b) c) 6 d) 9 ( n) n k y k e d) ( ) cotg ( + ) + ln tg + sin g) ( ) ( ) tg + a) b)