E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II (206 II. Diferenciální počet funkcí více proměnných II.. Definiční obor funkce z = f(, Určete definiční obor funkcí a zakreslete jej : Příklad 42. z = ln(2 Proměnné a musí splňovat současně tto podmínk : D D 2 2 > 0 = > 0, 0 > 0 = > D = {[,] E 2 : < 0, > 0}, D 2 = {[,] E 2 : > 0, > }. 0 Pro definiční obor dané funkce dostaneme D = D D 2 Příklad 43. z = arcsin D D 2 Proměnné a musí splňovat současně tto podmínk : a 0. Takže platí : > 0 : = + + < 0 : = + + D = {[,] E 2 : < 0, + }, D 2 = {[,] E 2 : > 0, +}. Pro definiční obor dané funkce dostaneme D = D D 2. 2 44.z = ln( 2 2 45.z = ln [D = {[,] E 2 : 0 2 + 2 < ; 2 } ] 6 2 + 2 [D = {[,] E 2 : 2 + 2 6, [,] [0,0]}] 46.z = 3 7ln(+ln [D = {[,] E 2 : > e }] 47.z = 2+ 4+ 6 2 2 [D = {[,] E 2 : 2 + 2 6; 4 2}] 6
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II (206 48.z = 3 [D = {[,] E 2 : + < }] 49.z = 4 [D = {[,] E 2 : 4}] Určete a načrtněte definiční obor, zapište graf funkce a načrtněte v E 3 plochu, která je grafem dané funkce : Příklad 50. f(, = 4 2 + 2 2 + 2 0 D(f = {[,] E 2 ; 2 + 2 0} D(f = E 2 4 z Grafem funkce je množina gr(f = {[,,z] E 3 ;[,] D f, z = 4 2 + 2 }. Příklad 5. f(, = 2 +2 2 +2 0 D(f = {[,] E 2 ; 2 +2 0}. -2 Hranicí D(f je parabola o rovnici +2 = 2 s osou v ose a vrcholem [ 2,0]. z -2 Grafem funkce je množina gr(f = ={[,,z] E 3 ;[,] D f E 2, z = 2 +2}, což je horní polovina rotačního paraboloidu o rovnici +2 = 2 +z 2 s osou rotace v ose a vrcholem [ 2,0,0]. 7
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II (206 Příklad 52. f(, = 2 9 2 36-6 6 2 9 2 36 0 D(f = {[,] E 2 ; 2 9 2 36 0}, hranicí je hperbola o rovnici 2 36 2 4 = s vrchol [ 6,0] a [6,0] -6 z 6 Grafem funkce je množina gr(f = = {[,,z] E 3 ;[,] D(f E 2, z = 2 9 2 36} a to je horní polovina eliptického dvoudílného hperboloidu s vrchol [ 6,0,0] a [6,0,0] II.2. Limita a spojitost funkce Všetřete limit funkce v bodě : sin( 2 + 2 Příklad 53. lim [,] [0,0] 2 + 2 Vužijeme skutečnost, že lim ( 2 + 2 = 0 a provedeme substituci [,] [0,0] t = 2 + 2. Potom lim [,] [0,0] sin( 2 + 2 2 + 2 sint = lim = t 0 t Příklad 54.* lim [,] [,] [,] M 3 3 4 4, [,] M, kde M = {[,] E 2 ; 0} Jde o neučitý výraz 0 0 3 3 4 = 4 = lim [,] [,] [,] M lim [,] [,] [,] M, ale nabízí se elementární úprava, kterou provedeme lim [,] [,] [,] M 2 + + 2 (+( 2 + 2 = 3 4. ( ( 2 + + 2 ( (+( 2 + 2 = e 2(2 + 2 tg ( 2 + 4 55. lim [,] [0,0] 2 + 2 [2] 56. lim [,] [0,0] 3( 2 + 4 [ 3] 8
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II (206 Příklad 57. Všetřete spojitost funkce f(, = v bodě [0,0]. { 2 2,[,] [0,0] 2 2 + 2, [,] = [0,0] Funkcef(,jespojitávbodě[ 0, 0 ],právěkdž lim f(, = f( 0, 0. [,] [ 0, 0 ] 2 2 V našem případě lim [,] [0,0] 2 2 + = 0 = substituce t l 0 2 2 = t = lim H = t 0 t+ = lim t 0 2 t+ = 2 = f(0,0 = daná funkce f(, je spojitá v bodě [0,0]. Určete množin, na nichž jsou dané funkce definované : 58. f(, = 2 + 2 2 + 4 + [E 2] 59. f(,,z = e z2 + sin(+ [E 3] 60. f(, = 2 2 6. f(, = 4 4 2 + 2 [D(f = E 2 \[0,0], lze spojitě dodefinovat f(0,0 = lim [,] [0,0] 62. f(,,z = ln ( 2 + 2 +z 2 [D(f = E 2 \{ = 2 2 }] 2 2 2 + 2 = 0] [D(f = {[,,z] E 3 : 2 + 2 +z 2 }\{[0,0,0]}] 63. f(,,z = sin(2 + 2 +z 2 2 2 + 2 +z 2 [D(f = E 3 \[0,0,0], lze spojitě dodefinovat f(0,0,0 = 0 ] 64. f(,,z = 65. f(,,z = + z +4 2 +4 2 4 [D(f = {[,,z] E 3 : 0 z 0] [ D(f = {[,,z] E 3 : 0,, 4}] II.3. Parciální derivace funkce Značení pro funkci z = f(,: f. parciální derivace : (, = f (, = z = z f (, = f (, = z = z. parciální derivace v bodě [a,b]: z = f (a,b; [a,b] ( f 2. parciální derivace : ( f = 2 f 2 = f ; = 2 f = (f ; 9 z = f (a,b [a,b] ( f = 2 f = f 2 ( f = 2 f = (f
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II (206 Najděte parciální derivace prvního řádu daných funkcí podle jejich proměnných. Příklad 66. f(, = (2 3 4 f = 4(2 3 3 2, f = 4(2 3 3 ( 3 Příklad 67. f(, = 5 4 2 + +22 3 f = 20 3 2 + +4, f = 0 4 2 3 Příklad 68. f(, = 2 +3, > 0 f = 2 +3 ln 2, f = ( 2 +3 2 +2 Příklad 69. f(, = f = f = pro > 2 2, 2 2( 2 2 = 3/2 ( 2 2 2 2 2 2 Příklad 70. f(,,z = ( z 2 2 2 2 2 2 = 2 2 + 2 ( 2 2 2 2 = 2 ( 2 2 2 2. f(,,z = z, f = z z, f = z ln z, f z = z ln. Vpočítejte parciální derivace dané funkce podle všech proměnných: 7. f(, = ln(3 +2 [f = 72. f(, = 3 2 3 3 +2, f = 3 +2 ] [f = 3, f = 3 2] 73. f(, = ln( 2 [f =, f = 2 ] 74. f(, = cos+ 2 sin 3 [f = sin, f = 2 cos] 75. f(, = [f = 2 3, f = 2 ] 76. f(, = ( 2 + e 2 [f = 2e 2 2( 2 +e 2, f = e 2 ] ( 77. f(, = 2 2 +arctg [f = 2 2 2 f +2, = + 2 + 2] 78. f(, = ln( 2 + 2 20 [f = 2 + 2 20, f = 2 + 2 20 ] 79. f(, = 3 + 3 3 6 2 4 5 [f = 3 2 3 4 5, f = 2 2 3 2 3 ] 80. f(, = 2 2 + 2 [f = 22 ( 2 + 2 2, f = 2 2 ( 2 + 2 2] 0
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II (206 8. f(ϕ,ψ = sinϕ cosψ [f ϕ = cosϕ cosψ, f ψ = sinϕ sinψ] 82. g(u,v = v tg(u 2 v 3 [g u = 2uv 4 cos 2 (u 2 v 3, gv = tg(u2 v 3 + 3u2 v 3 cos 2 (u 2 v 3 ] 83. f(t,u,v = ln(tu e uv +cos(tv [f t = t v sin(tv, fu = u veuv, f v = ue uv t sin(tv] Příklad 84. Určete obor diferencovatelnosti funkce f(, = 2 2. f = 2 2 + 2 2 2, f = 2 2. Z teorie víme, že spojitost parciálních derivací je postačující pro diferencovatelnost funkcí. V tomto příkladě je to podmínka: 2 2 > 0 = <. D D 2 D = {[,] E 2 : < 0, (, }, D 2 = {[,] E 2 : > 0, (,}. Příklad85.Je dána funkce f(, = ln( ++ 9 2 2. Určete a podmínk pro definiční obor a defiční obor grafick znázorněte, b hodnotu f(a, kde A = [,2], c f (A. a podmínk pro definiční obor: + > 0 = > 9 2 2 > 0 = 2 + 2 < 9 3 =, < 0 =, > 0 b f(,2 = ln( +2+ 9 4 = ln3+ 2 c f ( ( (A = + 2 2 (9 2 2 3 A = 24. 86. Dokažte, že funkce z = f(, = 2 sin( 2 2 vhovuje diferenciální rovnici 2 z +z = 2z pro všechna [,] E 2. [Návod : Stačí spočítat z,z a do rovnice dosadit]
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II (206 Vpočtěte parciální derivace dané funkce v bodě A : 87. z = 2 2, A = [2,0] [z (A =, z (A = 0] 88. z =, A = [3,2] [z(a = 2/9, z(a = /3] 89. f = 2 e sinz, A = [,0,π/6] [f (A =, f (A = /2, f z(a = 3/2] 90. f = ln( 2 +3z, A = [2,,] [f (A = 2/3, f (A = /6, f z(a = /2] 2