Cyklometrické funkce
Definice. Cyklometrické funkce jsou funkce arcsin(x) (čteme arkussinus x), arccos(x) (čteme arkuskosinus x), arctg(x) (čteme arkustangens x) a arccotg(x) (čteme arkuskotangens x), které jsou inverzní ke goniometrickým funkcím (sin(x), cos(x), tg(x), cotg(x) ).
Definice. Cyklometrické funkce jsou funkce arcsin(x) (čteme arkussinus x), arccos(x) (čteme arkuskosinus x), arctg(x) (čteme arkustangens x) a arccotg(x) (čteme arkuskotangens x), které jsou inverzní ke goniometrickým funkcím (sin(x), cos(x), tg(x), cotg(x) ). Definice. Funkce y = arcsin(x) je inverzní k funkci x = sin(y), y π 2, π 2 definována pro x 1, 1. Tedy: Je-li x 1, 1, pak arcsin(x) je jednoznačně určené číslo y z intervalu π 2, π 2, pro než sin(y) = x. ; je
Definice. Cyklometrické funkce jsou funkce arcsin(x) (čteme arkussinus x), arccos(x) (čteme arkuskosinus x), arctg(x) (čteme arkustangens x) a arccotg(x) (čteme arkuskotangens x), které jsou inverzní ke goniometrickým funkcím (sin(x), cos(x), tg(x), cotg(x) ). Definice. Funkce y = arcsin(x) je inverzní k funkci x = sin(y), y π 2, π 2 definována pro x 1, 1. Tedy: Je-li x 1, 1, pak arcsin(x) je jednoznačně určené číslo y z intervalu π 2, π 2, pro než sin(y) = x. ; je
Definice. Cyklometrické funkce jsou funkce arcsin(x) (čteme arkussinus x), arccos(x) (čteme arkuskosinus x), arctg(x) (čteme arkustangens x) a arccotg(x) (čteme arkuskotangens x), které jsou inverzní ke goniometrickým funkcím (sin(x), cos(x), tg(x), cotg(x) ). Definice. Funkce y = arcsin(x) je inverzní k funkci x = sin(y), y π 2, π 2 definována pro x 1, 1. Tedy: Je-li x 1, 1, pak arcsin(x) je jednoznačně určené číslo y z intervalu π 2, π 2, pro než sin(y) = x. ; je
Definice. Funkce y = arccos(x) je inverzní k funkci x = cos(y), y 0, π ; je definována pro x 1, 1. Tedy: Je-li x 1, 1, pak arccos(x) je jednoznačně určené číslo y z intervalu 0, π, pro než cos(y) = x.
Definice. Funkce y = arccos(x) je inverzní k funkci x = cos(y), y 0, π ; je definována pro x 1, 1. Tedy: Je-li x 1, 1, pak arccos(x) je jednoznačně určené číslo y z intervalu 0, π, pro než cos(y) = x.
Definice. Funkce y = arccos(x) je inverzní k funkci x = cos(y), y 0, π ; je definována pro x 1, 1. Tedy: Je-li x 1, 1, pak arccos(x) je jednoznačně určené číslo y z intervalu 0, π, pro než cos(y) = x.
Definice. Funkce y = arctg(x) je inverzní k funkci x = tg(y), y ( π 2, π 2 ); je definována pro x (, ). Tedy: Je-li x (, ), pak arctg(x) je jednoznačně určené číslo y z intervalu ( π 2, π 2 ), pro než tg(y) = x.
Definice. Funkce y = arctg(x) je inverzní k funkci x = tg(y), y ( π 2, π 2 ); je definována pro x (, ). Tedy: Je-li x (, ), pak arctg(x) je jednoznačně určené číslo y z intervalu ( π 2, π 2 ), pro než tg(y) = x.
Definice. Funkce y = arctg(x) je inverzní k funkci x = tg(y), y ( π 2, π 2 ); je definována pro x (, ). Tedy: Je-li x (, ), pak arctg(x) je jednoznačně určené číslo y z intervalu ( π 2, π 2 ), pro než tg(y) = x.
Definice. Funkce y = arccotg(x) je inverzní k funkci x = cotg(y), y (0, π); je definována pro x (, ). Tedy: Je-li x (, ), pak arccotg(x) je jednoznačně určené číslo y z intervalu (0, π), pro než cotg(y) = x.
Definice. Funkce y = arccotg(x) je inverzní k funkci x = cotg(y), y (0, π); je definována pro x (, ). Tedy: Je-li x (, ), pak arccotg(x) je jednoznačně určené číslo y z intervalu (0, π), pro než cotg(y) = x.
Definice. Funkce y = arccotg(x) je inverzní k funkci x = cotg(y), y (0, π); je definována pro x (, ). Tedy: Je-li x (, ), pak arccotg(x) je jednoznačně určené číslo y z intervalu (0, π), pro než cotg(y) = x.
Taylorova věta
Věta 1. (Taylorova věta) Necht funkce f má spojité derivace až do řádu n + 1 v bodě x 0 a jeho okolí U(x 0 ). Potom pro každé x U(x 0 ) platí f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) 2 +... + f(n) (x 0 ) (x x 0 ) n 2! n! } {{ } T n (x)...taylorův polynom n-tého stupně funkce f(x) + R n+1 (x, x 0 ) } {{ } zbytek a existuje ξ = ξ(x) ležící mezi x a x 0, tak že výraz pro zbytek R n+1 (x, x 0 ) lze vyjádřit ve tvaru R n+1 (x, x 0 ) = f(n+1) (ξ) (x x 0 ) n+1 (n + 1)!
Věta 2. (Taylorova věta) Necht funkce f má spojité derivace až do řádu n + 1 v bodě x 0 a jeho okolí U(x 0 ). Potom pro každé x U(x 0 ) platí f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) 2 +... + f(n) (x 0 ) (x x 0 ) n 2! n! } {{ } T n (x)...taylorův polynom n-tého stupně funkce f(x) + R n+1 (x, x 0 ) } {{ } zbytek a existuje ξ = ξ(x) ležící mezi x a x 0, tak že výraz pro zbytek R n+1 (x, x 0 ) lze vyjádřit ve tvaru R n+1 (x, x 0 ) = f(n+1) (ξ) (x x 0 ) n+1 (n + 1)! Příklad. Určete Taylorův polynom T 4 (x) pro funkci f(x) = sin(x) v okolí počátku.
Věta 3. (Taylorova věta) Necht funkce f má spojité derivace až do řádu n + 1 v bodě x 0 a jeho okolí U(x 0 ). Potom pro každé x U(x 0 ) platí f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) 2 +... + f(n) (x 0 ) (x x 0 ) n 2! n! } {{ } T n (x)...taylorův polynom n-tého stupně funkce f(x) + R n+1 (x, x 0 ) } {{ } zbytek a existuje ξ = ξ(x) ležící mezi x a x 0, tak že výraz pro zbytek R n+1 (x, x 0 ) lze vyjádřit ve tvaru R n+1 (x, x 0 ) = f(n+1) (ξ) (x x 0 ) n+1 (n + 1)! Příklad. Určete Taylorův polynom T 4 (x) pro funkci f(x) = sin(x) v okolí počátku. sin(x) = x x3 3! + R 5.
Aproximace funkce sin(x) Taylorovým polynomem v okolí počatku.
Aproximace funkce sin(x) Taylorovým polynomem v okolí počatku.