Geometrické plikce určitého integrálu Osh rovinné olsti Je-li ploch ohrničen křivkou f () osou Při výpočtu oshu tkto omezených rovinných olstí mohou nstt následující zákldní přípd : Nechť funkce f () je spojitá n intervlu orzce, ohrničeného grfem funkce f (), osou přímkmi pomocí vzorce S f ( ) d, pro, pltí f ( ) Osh, se vpočítá Příkld: Určete osh orzce ohrničeného křivkmi +,,, Řešení: Nkreslíme náčrtek Rovinný útvr je ohrničený grfem kvdrtické funkce, ted prolou, osou dvěm přímkmi rovnoěžnými s osou Jeho osh se vpočítá jko určitý integrál funkce + pomocí vzorce S 8 ( + ) d + + 6 [ j ] f ( ) d Nechť funkce f () spojitá n intervlu, je zde záporná, neo mění v tomto intervlu znménko Osh příslušného orzce se vpočítá pomocí vzorce S f ( ) d
Při výpočtu určíme průsečík funkce f () s osou stnovíme intervl, ve kterých pltí f ( ) >, ve kterých je f ( ) < N kždém z těchto intervlů pk počítáme určitý integrál, přičemž v intervlech, ve kterých je funkce záporná, změníme znménko funkce f () Npř pro olst n orázku je S f ( ) d f ( ) d f ( ) d + f ( ) d c d c d Příkld: Vpočítejte osh orzce ohrničeného křivkmi sin,,, Řešení: Goniometrická funkce sin je n intervlu, spojitá v odě přechází z kldných do záporných hodnot Osh dného orzce vpočítáme podle vzorce : S sin d [ cos ] [ ] Poznámk: sin d sind cos ( + cos) cos ( cos + cos ) + + + 4 [ j ] ) Protože část útvru nd osou je stejně velká jko část pod osou, lo možné osh celého útvru počítt jko S sind ) Rozlišujme výpočet oshu orzce výpočet určitého integrálu Při výpočtu určitého integrálu sin d chom postupovli tkto : [ cos] ( cos ) ( cos) + sin d
Je-li ploch ohrničen dvěm křivkmi Osh rovinné olsti ohrničené funkcemi f () g (), spojitými n intervlu,, pro které n tomto intervlu pltí g( ) f ( ), dále přímkmi,, se vpočítá pomocí vzorce S [ f ) g( ) ] ( d Příkld: Vpočtěte osh orzce ohrničeného křivkmi e, e, Řešení : Nkreslíme zdné funkce získáme olst, jejíž osh máme určit Dolní mez příslušného integrálu ude tvořit první souřdnice průsečíku grfů funkcí Grf funkcí [,] e e e e se protínjí v odě, dolní mezí integrálu ude ted hodnot Horní mez je hodnot Protože grf funkce e leží nd grfem funkce e, osh ploch vpočítáme podle vzorce [ e ] [ e ] e + [ j ] S ( e e ) d e Počítáme-li osh ploch ohrničené dvěm křivkmi, jejíž část leží pod osou, použijeme stejný vzorec S [ f ( ) g( ) ] d
V přípdě, že nejsou eplicitně dán meze integrálu, le pouze křivk, které plochu ohrničují, vpočítjí se meze jko -ové souřdnice jejich průsečíků Poznámk: Pozor! Hledáme průsečík grfů funkcí, ted je-li křivk dná implicitně, je nutné nejdříve z předpisu vjádřit eplicitně funkci Příkld: Vpočítejte osh orzce ohrničeného křivkmi + +, + Řešení : Druhá křivk je zdná implicitně, uprvíme si předpis n tvr + Nkreslíme zdné funkce získáme plochu, jejíž osh máme určit Meze příslušného určitého integrálu jsou -ové souřdnice průsečíků oou křivek Získáme je vřešením rovnice + + + Ted + ( + )( ), Osh ploch je potom S ( + ) ( + + ) d ( + ) d + + [ j ] ( ) ( ) 8 4 + + + 4 4,5
Ojem rotčního těles Ojem těles, které vznikne rotcí ploch, ohrničené grfem nezáporné funkce f (), spojité n intervlu,, osou přímkmi, kolem os, se vpočítá pomocí vzorce V [ f ( ) ] d Ojem těles, které vznikne otáčením ploch ohrničené dvěm funkcemi kolem os, počítáme pomocí vzorce [ f ( ) ] [ g( ) ] d V Použijeme-li pro názornost následující orázek, je to vlstně V V V, kde V je ojem těles, které vznikne otáčením přímk, kolem os V je ojem těles, které vznikne otáčením prol Příkld: Vpočítejte ojem rotčního těles, které vznikne rotcí ploch ohrničené křivkmi,,, kolem os Řešení : Těleso vznikne rotcí ploch, znázorněné n orázku Ploch je shor ohrničená dvěm křivkmi, jejichž průsečíkem je od [, ] ohrničen grfem funkce V intervlu, je v intervlu, grfem funkce Ojem dného těles vjádříme jko součet dvou určitých integrálů : 5 V d d + + + 6 [ j ]