Mtemtická nlýz I (pro učitelské obory) Stnislv Trávníček Pvel Clábek Jroslv Švrček
Mtemtická nlýz I (pro učitelské obory) Stnislv Trávníček Pvel Clábek Jroslv Švrček
Obsh Úvod......................................... 9 1 Číselná os, supremum infimum...................... 11 1.1 Zákldní číselné množiny............................ 11 1.2 Zákldní vlstnosti číselných množin..................... 13 1.3 Supremum infimum............................. 15 1.4 Několik vět o reálných číslech číselných množinách............. 16 1.5 Klsifikce bodů vzhledem k množině..................... 18 1.6 Rozšířená reálná os.............................. 19 2 Číselné posloupnosti............................... 22 2.1 Pojem posloupnosti............................... 22 2.2 Zákldní vlstnosti číselných posloupností.................. 23 2.3 Limit posloupnosti.............................. 24 2.4 Nulové posloupnosti.............................. 26 2.5 Aritmetická posloupnost geometrická posloupnost............. 27 2.6 Některé význmné limity........................... 28 2.7 Číslo e...................................... 29 3 Pojem funkce................................... 32 3.1 Definice funkce................................. 32 3.2 Řešení rovnic nerovnic............................ 34 3.3 Vlstnosti funkcí................................ 35 3.4 Operce s funkcemi............................... 37 3.5 Funkce inverzní................................. 38 3.6 Rozšíření pojmu funkce............................ 39 4 Elementární funkce............................... 40 4.1 Přehled elementárních funkcí......................... 40 4.2 Algebrické funkce............................... 41 4.3 Goniometrické funkce funkce cyklometrické................. 45 4.4 Funkce exponenciální logritmické..................... 49 4.5 Funkce hyperbolické hyperbolometrické................... 50 5 Limit funkce................................... 53 5.1 Limit funkce podle Heineho......................... 53 5.2 Věty o limitách funkcí............................. 54 5.3 Výpočet limit.................................. 56 5.4 Limit funkce podle Cuchyho........................ 57 6 Spojitost funkce................................. 59 6.1 Pojem spojitosti funkce............................ 59 6.2 Funkce spojité n množině........................... 61 6.3 Vlstnosti funkcí spojitých n intervlu.................... 62 6.4 Stejnoměrná spojitost............................. 63 7 Derivce funkce................................. 65 7.1 Pojem derivce funkce............................. 65 7.2 Derivce funkce n množině.......................... 66 5
7.3 Vlstnosti derivcí............................... 67 7.4 Derivce elementárních funkcí......................... 69 7.5 Diferenciál funkce............................... 69 7.6 Derivce diferenciály vyšších řádů...................... 71 7.7 Derivce různých typů funkcí......................... 73 8 Zákldní věty diferenciálního počtu..................... 75 8.1 Úvod...................................... 75 8.2 Věty o střední hodnotě............................. 75 8.3 Některé důsledky vět o střední hodnotě.................... 78 8.4 Tylorův vzorec................................. 81 9 Užití diferenciálního počtu........................... 84 9.1 Monotónnost funkce.............................. 84 9.2 Lokální extrémy................................ 85 9.3 Největší nejmenší hodnot funkce n intervlu............... 86 9.4 Konvexnost konkávnost........................... 87 9.5 Inflexe inflexní body............................. 88 9.6 Asymptoty................................... 89 9.7 Průběh funkce................................. 91 9.8 Užití extrémů funkcí.............................. 93 10 Metody integrce pro funkce jedné proměnné............... 94 10.1 Zákldní vzorce................................. 94 10.2 Integrce užitím substitucí........................... 95 10.3 Metod per prtes............................... 97 10.4 Integrce rcionálních funkcí.......................... 99 10.5 Integrce některých ircionálních funkcí................... 102 10.6 Eulerovy substituce.............................. 103 10.7 Goniometrické hyperbolické funkce..................... 104 10.8 Goniometrické hyperbolické substituce................... 107 10.9 Užití Eulerových vzorců pro výpočet některých integrálů.......... 107 11 Riemnnův určitý integrál........................... 109 11.1 Definice Riemnnov integrálu......................... 109 11.2 Newtonův vzorec................................ 113 11.3 Zákldní vlstnosti určitého integrálu..................... 114 11.4 Výpočet určitých integrálů........................... 116 11.5 Dlší vlstnosti určitého integrálu....................... 118 12 Užití Riemnnov integrálu.......................... 121 12.1 Přibližné metody výpočtu Riemnnov integrálu............... 121 12.2 Užití určitého integrálu v geometrii...................... 122 12.3 Technické křivky................................ 126 12.4 Užití určitého integrálu ve fyzice....................... 128 13 Nevlstní integrály............................... 130 13.1 Nevlstní integrál vlivem meze........................ 130 13.2 Nevlstní integrál vlivem funkce........................ 132 13.3 Vlstnosti nevlstních integrálů........................ 133 13.4 Kriteri konvergence nevlstních integrálů.................. 133 6
14 Elementární metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic..... 136 14.1 Zákldní pojmy................................. 136 14.2 Zákldní problémy............................... 137 14.3 Seprce proměnných............................. 138 14.4 Užití substitucí................................. 140 14.5 Lineární diferenciální rovnice 1. řádu..................... 143 14.6 Ortogonální izogonální trjektorie...................... 145 14.7 Užití diferenciálních rovnic........................... 147 15 Číselné řdy.................................... 150 15.1 Zákldní pojmy................................. 150 15.2 Některé vlstnosti číselných řd........................ 152 15.3 Řdy s nezápornými členy........................... 153 15.4 Řdy s libovolnými členy, bsolutní konvergence............... 157 15.5 Alternující řdy................................. 158 15.6 Přerovnávání číselných řd........................... 159 15.7 Mocninné řdy................................. 162 15.8 Násobení řd.................................. 163 Seznm doporučené litertury........................ 165 7
Úvod Učební text Mtemtická nlýz I (pro učitelské obory) je určen především posluchčům prvního ročníku učitelských kombincí s mtemtikou n Přírodovědecké fkultě UP v Olomouci v rámci bklářského studijního progrmu. Skriptum vzniklo přeprcováním studijní opory, kterou vytvořil první z utorů této publikce jko doplněk ke stejnojmenné přednášce. Aktulizovný částečně doplněný učební text obshuje 15 kpitol, jejichž obsh pokrývá veškerou problemtiku zákldního kurzu mtemtické nlýzy v prvním ročníku výše uvedených studijních oboru, tj. úvod do diferenciálního integrálního počtu funkce jedné reálné proměnné. N tomto místě bychom chtěli vyjádřit nše vřelé poděkování oběm recenzentům prof. RNDr. Svtoslvu Stňkovi, CSc., doc. RNDr. Jitce Litochové, CSc., z jejich cenné připomínky, jimiž přispěli ke zkvlitnění celého učebního textu. Vydání této publikce bylo podpořeno projektem A-Mt-Net, síť pro trnsfer znlostí v plikovné mtemtice, č. CZ.1.07/2.4.00/17.0100. Autoři Olomouc, duben 2014 9
Kpitol 1 Číselná os, supremum infimum 1.1 Zákldní číselné množiny Uvedeme nejprve přehled zákldních číselných množin jejich oznčení. V celém textu budeme prcovt s následujícími množinmi, jejichž vlstnosti jsou probírány už n střední škole: N = {1, 2, 3,..., n,...} je množin všech přirozených čísel. Přirozená čísl používáme npř. jko pořdová čísl, třeb při zápisu členů posloupnosti: ( n ) = 1, 2, 3,..., n,... N 0 = {0, 1, 2, 3,..., n,...} = N {0} je množin celých nezáporných čísel. Těmito čísly je vyjádřen počet prvků konečných množin. Později uvidíme výhody použití čísel z N 0 jko indexů členů nekonečných mocninných řd: 0 + 1 x + 2 x 2 +... + n x n +... Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} je množin všech celých čísel. Celá čísl používáme npř. pro zápisy vzthující se k periodičnosti funkcí; npř. funkce y = cotg x není definován pro x = kπ, kde k Z je libovolné (celé) číslo. Q množin všech čísel rcionálních. Rcionální číslo je definováno jko číslo, které lze vyjádřit ve tvru k n, kde k Z n N. Podle potřeby lze tkový zlomek uvést n zákldní tvr, kde čittel jmenovtel jsou čísl nesoudělná. Rcionální čísl se používjí npř. při konstrukci některých méně obvyklých mtemtických objektů (viz dále). Množin Q je n číselné ose hustě uspořádán, mezi kždými dvěm rcionálními čísly leží dlší rcionální číslo (npř. jejich ritmeticky průměr). Rcionální čísl lze zpst i jko čísl desetinná. Jejich desetinný (dekdický) rozvoj je ukončený nebo periodický, dostneme jej ze zlomku k n dělením. Obrácený postup je již náročnější. Příkld 1 Rcionální číslo = 1,572 zpište ve tvru zlomku. Návod: První způsob řešení vychází z toho, že periodická část desetinného rozvoje čísl je geometrická řd. Pltí tedy = 1,5 + 72 10 3 + 72 10 5 + 72 10 7 +... = 3 2 + 72 10 3 1 1 1 100 Ve druhém způsobu řešení zpíšeme = 1,572 100 = 157,272, =... = 173 110. odkud po odečtení první rovnice od druhé dostneme 99 = 155,7, tedy = 1557 990 = 173 110. 11
R množin všech čísel reálných, je pro zákldní kurs mtemtické nlýzy zákldní číselnou množinou (pokud není řečeno jink, budeme rozumět pod pojmem číslo vždy číslo reálné). Dostneme ji tk, že vhodným způsobem zvedeme ircionální čísl. Reálná čísl zobrzujeme n číselné (reálné) ose: je to přímk, n níž zvolíme bod O jko obrz čísl 0 (počátek číselné osy) bod J jko obrz čísl 1, pomocí těchto dvou bodů pk n ní zobrzujeme všechn reálná čísl; body n číselné ose oznčujeme zprvidl přímo zobrzovnými čísly. Při rozšiřování pojmu číslo z Q n R vznikjí dvě otázky: zd existuje potřeb ircionálních čísel ( jk je zvést), zd zobrzení množiny R n číselnou osu je bijekce, tj. zd tké nopk i kždý bod číselné osy je obrzem nějkého reálného čísl. Vět 1.1.1 Neexistuje rcionální číslo, jehož druhá mocnin by byl rovn 2. Důkz: (sporem) Předpokládejme, že není splněno tvrzení věty, tj. že r Q: r 2 = 2. Číslo r je zřejmě kldné; vyjádříme je zlomkem v zákldním tvru r = p q, tedy p, q jsou čísl nesoudělná pltí rq = p. Umocníme: r 2 q 2 = p 2, tj. 2q 2 = p 2, odtud p 2 je sudé, což nstne, právě když p je sudé. Tedy p = 2k, odtud 2q 2 = 4k 2, proto q 2 = 2k 2, tkže q je sudé. Odtud plyne, že zlomek p q lze krátit dvěm. To je spor s předpokldem, že tento zlomek je v zákldním tvru. Bez ircionálních čísel (tj. v množině Q) bychom tk npř. nedovedli změřit úhlopříčku jednotkového čtverce (neměl by délku). Existuje tedy potřeb čísel, která nejsou rcionální která jsme nzvli ircionální. Logik rozšiřování číselných oborů říká, že nový druh čísel zvádíme pomocí čísel již dříve definovných. Při zvádění čísel reálných (tedy vlstně ircionálních, jen t jsou nová) lze postupovt tk, že definujeme tzv. řez v množině Q jko kždý rozkld množiny Q n dvě třídy, dolní horní, kde tedy kždé rcionální číslo ptří právě do jedné z těchto tříd kždé číslo z horní třídy je větší než kždé číslo z dolní třídy. Ircionální číslo pk ztotožníme s tkovým řezem, kde v dolní třídě není největší prvek v horní třídě není prvek nejmenší. Npř. číslo 2 je dáno řezem v Q, kde do dolní třídy ptří všechn čísl záporná t x z nezáporných, pro něž je x 2 < 2, do horní třídy ptří všechn zbývjící rcionální čísl. S podrobnostmi toho přístupu se seznámíte v přednáškách z lgebry ve třetím ročníku, kdy budete probírt Dedekindovy řezy; tm se tké seznámíte s jiným přístupem pomocí Cntorovy teorie fundmentálních posloupností. Množinu všech ircionálních čísel oznčíme Q ; je Q Q = R = Q Q. Všimněme si dekdického rozvoje: rcionální čísl mjí dekdický rozvoj ukončený nebo periodický, ircionální čísl mjí svůj dekdický rozvoj neukončený neperiodický; pro ircionální čísl čsto známe jen konečný počet míst jejich dekdického rozvoje (npř. pro číslo π), le není to prvidlo. Příkld 2 Npište dekdický rozvoj tkového ircionálního čísl, u něhož dovedeme jednoduše určit číslici n libovolném místě rozvoje. Návod: Uvžujte npříkld číslo 1,101001000100001..., kde jedničky v desetinné části jsou po řdě odděleny 1, 2, 3, 4,... nulmi. Zjistěte, jké číslice jsou n 990. 1000. desetinném místě. [1 0] 12
O množinách R Q říkáme, že jsou husté v množině R reálných čísel, což znmená, že mezi libovolnými dvěm reálnými čísly leží lespoň jedno číslo rcionální též lespoň jedno číslo ircionální. Důležitá cest k poznání množiny Q vede přes mohutnosti množin. Ztímco množiny N, Z, Q jsou spočetné (prvky těchto množin lze uspořádt do posloupnosti), tk množin R (tedy i Q ) spočetná není; říkáme, že R má mohutnost kontinu. C množin všech čísel komplexních; komplexní čísl zobrzujeme v Gussově rovině. Pltí: N N 0 Z Q R C. 1.2 Zákldní vlstnosti číselných množin O relcích opercích v číselných množinách o jejich přirozeném uspořádání pojednává podrobně lgebr. Avšk i v mtemtické nlýze se zbýváme mnoh význmnými číselnými množinmi. Při vyšetřování číselných množin využíváme jejich vlstnosti, o nichž dále pojednáme. Definice 1.2.1 Množin M se nzývá shor omezená, právě když L R tk, že x M pltí x L. Toto číslo L se nzývá horní odhd (resp. horní závor). Množin M se nzývá zdol omezená, právě když K R tk, že x M pltí x K. Toto číslo K se nzývá dolní odhd (resp. dolní závor). Množin M se nzývá omezená, právě když je omezená shor i zdol. Příkld 1 Kolik horních (dolních) odhdů má číselná množin? Vyjádřete, co znmená, že dná množin M není omezená shor, zdol, že není omezená. Co znmená, že číslo B není horním odhdem dné množiny? Pokud některý horní odhd množiny M ptří do množiny M, pk jej nzýváme největší prvek množiny M oznčujeme jej mx M. Podobně nejmenší prvek množiny M (definujte) oznčujeme min M. Příkld 2 Určete největší nejmenší prvek množin M 1 = { 1, 1 2, 1 4, 1 8,...}, M 2 = { 1 2, 1 2, 2 3, 2 3, 3 4, 3 4,...}, M 3 = { 0, 1, 1 2, 1 3, 1 4,...}. Návod: Množin M 1 má největší nemá nejmenší prvek, M 2 nemá největší ni nejmenší prvek, M 3 má prvek největší i nejmenší. K nejdůležitějším číselným množinám ptří intervly. Definice 1.2.2 Pro všechn, b R, < b, definujeme uzvřený intervl, b = {x R; x b}, otevřený intervl (, b) = {x R; < x < b}, podobně, b), (, b. Všechny tyto intervly mjí délku b. 13
Definice 1.2.3 Množinu, + ) = {x R; x } nzýváme neomezený intervl. Podobně (, + ), (, b, (, b). Množinu R zpisujeme též jko (, + ). Příkld 3 Definujte intervl, který zprv uzvřený zlev otevřený. Definujte intervl, který je nopk zprv otevřený zlev uzvřený (tzv. polouzvřený nebo polootevřený intervl). Někdy uvžujeme též degenerovné intervly:, = {}, (, ) = (prázdná množin). Pojmem intervl budeme všk dále vždy rozumět nedegenerovný intervl. Jestliže J je intervl s koncovými body, b (npř. J = (, b ), pk J = b znčí délku tohoto intervlu. Definice 1.2.4 Absolutní hodnot (modul) čísl R se oznčuje je definován tkto: { pro 0 = pro < 0. Vět 1.2.1 (vlstnosti bsolutní hodnoty) Pro všechn, b R pltí ) 0, přičemž = 0, právě když = 0, b) =, c) + b + b, d) b b, e) b = b, f) pro b 0 je = b b. Vlstnost c) (trojúhelníkovou nerovnost) můžeme zobecnit (užitím principu mtemtické indukce vzhledem k n): c ) Pro všechny n-tice reálných čísel 1, 2,..., n pltí nebo zkráceně 1 + 2 +... + n 1 + 2 +... + n n i i=1 n i. Geometrický význm bsolutní hodnoty: znčí vzdálenost obrzu čísl od počátku číselné osy, b = b vzdálenost obrzů čísel, b n číselné ose. i=1 0 b b Příkld 4 V oboru reálných čísel řešte nerovnice rovnici: ) x 3 < 2, b) 2 x + 2 3 x 2x 4, c) 3 5 4 x + 3 2 x + 1 3 4 x 2 = 0. 14
1.3 Supremum infimum Definice 1.3.1 Nechť M R, M. Číslo β R nzýváme supremum množiny M píšeme β = sup M, právě když má tyto dvě vlstnosti: 1. Pro všechn x M pltí x β, 2. Pro kždé β < β existuje x M tk, že pltí x > β. Vlstnost 1. znmená, že β je horní odhd, vlstnost 2. říká, že β je ze všech horních odhdů nejmenší, tedy: sup M je nejmenší horní odhd (závor) množiny M. Ovšem z definice nijk neplyne, že tkový nejmenší horní odhd existuje. β x β Definice 1.3.2 Nechť M R, M. Číslo α R nzýváme infimum množiny M píšeme α = inf M, právě když má tyto dvě vlstnosti: 1. Pro všechn x M pltí x α, 2. Pro kždé α > α existuje x M tk, že pltí x < α. Vlstnost 1. znmená, že α je dolní odhd, vlstnost 2. říká, že α je ze všech dolních odhdů největší, tedy: inf M je největší dolní odhd (závor) množiny M. Z definice opět nijk neplyne, že tkový největší dolní odhd existuje. Příkld 1 Určete sup M inf M pro množinu M = { 1 2, 2 3, 3 4,...}. Návod: Pltí sup M = 1, neboť všechny prvky množiny M jsou prvé zlomky jsou tedy menší než 1; jestliže všk vezmeme libovolné číslo r < 1, existuje vždy v M prvek n n+1, který je větší než r. Dále inf M = 1 2, neboť žádný prvek M není menší než 1 2, když zvolíme libovolné číslo s > 1 2, pk vždy právě pro prvek 1 2 pltí 1 2 < s. Přitom sup M není inf M je prvkem zdné množiny M. Tedy: supremum infimum množiny mohou, le nemusí být prvky této množiny. Pokud sup M je prvkem množiny M, je jejím největším prvkem; podobně pro inf M. Tké nopk, pokud má M největší prvek, je to součsně sup M; podobně pro nejmenší prvek. Vět 1.3.1 (o existenci suprem infim) Kždá neprázdná shor omezená množin reálných čísel má supremum. Kždá neprázdná zdol omezená množin reálných čísel má infimum. Tuto větu budeme povžovt z xiom vyjdřující zákldní vlstnost číselné osy. Tedy: existuje bijekce množiny R n číselnou osu kždé reálné číslo lze zobrzit n číselné ose kždý bod číselné osy je obrzem nějkého reálného čísl. Říkáme též: číselná os je spojitá. Pojmy číslo bod číselné osy povžujeme z synonym říkáme npř. bod x 0 místo číslo x 0 pod. Pojmy supremum infimum vět o existenci suprem infim jsou pro mtemtickou nlýzu velmi důležité. Hrjí podsttnou roli v řdě důkzů (viz npř. dále 1.4, důkz věty o vložených intervlech) při definici dlších důležitých mtemtických pojmů. 15
Reálná čísl relit Mtemtik svými prostředky modeluje relitu přitom používá metody bstrkce: bstrhuje od mnoh vlstností reálných objektů (které mohou být pro relitu velmi význmné) ponechává jen ty, které upotřebí při vytváření mtemtických modelů. Vytváří tk různé bstrktní objekty, jko je bod, čtverec, číslo, funkce, řd d. Tyto bstrktní modely jsou velmi vhodné pro popis studium relity, le přesto nesmíme změňovt model relitu. V určitých přípdech se nše reálné předstvy zkušenosti dostávjí do rozporu s některými mtemticky zcel přesně definovnými pojmy vlstnostmi. Npř. v reálném životě není nekonečno, tkže některé jeho vlstnosti odporují nšim prktickým zkušenostem, třeb to, že nekonečná množin je ekvivlentní s některou svou prvou částí; npř. množin všech lichých přirozených čísel má týž počet prvků (tj. stejnou mohutnost) jko množin N. Podobně n zákldě zkušeností z reálného svět je nepředstvitelné, že Q má větší mohutnost než Q (že ircionálních čísel je více než čísel rcionálních. Nše zkušenost říká, že když vedle sebe jsou umístěny nějké objekty, tk mezer mezi nimi je tk nějk stejně jko objektů (plňkový plot), le u čísel rcionálních ircionálních je to úplně nepředstvitelně jink. Mezi kždými dvěm čísly rcionálními je lespoň jedno číslo ircionální mezi kždými dvěm čísly ircionálními je lespoň jedno číslo rcionální, přičemž těch ircionálních mezi dvěm rcionálními je množin mohutnosti kontinu, ztímco rcionálních mezi dvěm ircionálními je jen spočetná množin. Definice ircionálních čísel, ť už použijeme jkoukoli metodu, vytváří jen mtemtický model nikoli relitu. Spojitost číselné osy, která se skládá z rcionálních ircionálních bodů, si nelze předstvit; snd i proto, že v reálném světě je to jink, tm neexistuje žádná přímk pohodu číselné osy jko dobře fungujícího mtemtického modelu nrušují různé fyzikální částice. N počítči se s reálnými čísly prcuje dvěm způsoby: čísl celá jsou uložen ve dvojkové soustvě podle počtu použitých bytů je dán jejich rozsh dostčující pro použití v prxi, výpočty jsou přesné; desetinná čísl se ukládjí jiným způsobem, to jen s určitou přesností, která hrje u složitých rozsáhlých výpočtů velkou roli. 1.4 Několik vět o reálných číslech číselných množinách Vět 1.4.1 (o ritmetickém geometrickém průměru dvou nezáporných čísel) Jsou-li, b libovolná nezáporná reálná čísl, pk jejich ritmetický průměr je větší nebo roven jejich průměru geometrickému, tj. + b b, 2 přičemž rovnost průměrů nstává právě při rovnosti obou čísel, b. Důkz: (princip) Zde je vhodný důkz přímý, přičemž vyjdeme z pltné nerovnosti ( b ) 2 0, jejíž úprvou dostneme přímo dné tvrzení. Příkld 1 Všimněte si slovní formulce věty. Přepište ji do formy převážně symbolické do formy zcel symbolické. Předcházející větu lze zobecnit následujícím způsobem, její důkz zde neuvádíme. 16
Vět 1.4.2 (nerovnost mezi ritmetickým geometrickým průměrem, AG nerovnost) Jsou-li 1, 2,..., n libovolná nezáporná reálná čísl, potom pltí 1 + 2 +... + n n Rovnost nstává, právě když 1 = 2 =... = n. n 1 2... n Vět 1.4.3 (Bernoulliov nerovnost) Pro kždé reálné číslo h > 1, kde h 0 pro kždé přirozené číslo n 2 pltí (1 + h) n > 1 + nh. Důkz: (princip) Užijeme princip mtemtické indukce vzhledem k n. V prvním kroku dokážeme tvrzení pro n = 2, tedy (1 + h) 2 = 1 + 2h + h 2 > 1 + 2h, ve druhém kroku předpokládáme, že pro jisté n 2 pltí (1 + h) n > 1 + nh. Obě strny poslední nerovnosti vynásobíme kldným číslem (1+h) dále n prvé strně vynecháme člen nh 2. Bernoulliov nerovnost se používá npř. při některých důkzech vlstností posloupností. Vět 1.4.4 (o rovnosti reálných čísel) Nechť p, q R. Jestliže ε > 0 pltí p q < ε, pk p = q. Důkz: (sporem) Kdyby p q, bylo by p q > 0. Zvolíme-li ε = p q, dostáváme, že p q < ε součsně p q = ε, což dává spor. Proto p = q. Tto jednoduchá vět usndňuje některé důkzy, npř. důkz následující věty. Vět 1.4.5 (o vložených intervlech) Nechť (J n ) je posloupnost omezených uzvřených intervlů J n = n, b n tkových, že J 1 J 2 J 3... Pk existuje bod x 0, který leží ve všech intervlech J n pro n N. Jestliže nvíc ε > 0 n N tk, že J n < ε, je tkový bod x 0 jediný. Důkz: (princip) Uvžujeme množinu A všech levých krjních bodů n intervlů J n množinu B jejich prvých krjních bodů b m ; pro všechn m, n N pltí n < b m. Podle věty o existenci suprem tedy existuje α = sup A, pro něž α b m ; podobně existuje β = inf B pro všechn n N pltí n α β b n, tedy n N: α, β n, b n. Pro důkz tvrzení věty stčí volit x 0 α, β. Je-li intervl α, β degenerovný, dostáváme x 0 jednoznčně. To nstává právě tehdy, když je splněn druhá podmínk věty, tedy když ε > 0 n N tk, že b n n < ε. Jelikož je β α b n n < ε, je podle věty o rovnosti reálných čísel α = β. Podmínk věty, zjišťující jednoznčnost společného bodu x 0 může být formulován i tkto: Jestliže posloupnost ( J n ) délek intervlů J n je nulová... Větu o vložených intervlech používáme při důkzech některých důležitých vlstností posloupností funkcí, zejmén ve spojení s tzv. Bolznovou metodou důkzu. 17
1.5 Klsifikce bodů vzhledem k množině Definice 1.5.1 Okolím bodu nzveme kždý otevřený intervl (c, d) konečné délky, který obshuje bod (tj. kde (c, d)); oznčení okolí bodu : U(). c d Tto je definice je formulován ve smyslu topologickém. Vět 1.5.1 (vlstnosti okolí) Okolí bodu má tyto vlstnosti: Pro kždé U() je U(). Ke kždým dvěm okolím U 1 (), U 2 () existuje okolí U() tk, že U() U 1 () U 2 (). Je-li b U(), pk existuje U 1 (b) tk, že U 1 (b) U(). Pro libovolná b existují U 1 (), U 2 (b) tk, že U 1 () U 2 (b) =. Pro důkzy některých vět je vhodnější definovt okolí bodu ve smyslu metrickém. Definice 1.5.2 ε-okolím bodu, kde ε R, ε > 0, nzýváme intervl ( ε, + ε); oznčení: U(, ε) nebo též U(). ε + ε Lehce ověříme, že ε-okolí má všechny uvedené vlstnosti okolí. Místo x U(, ε) lze rovněž psát x < ε. Definice 1.5.3 Prstencovým (redukovným) okolím bodu nzýváme množinu P () = U() {}. Podobně P (, ε) = U(, ε) {}. Dále se definuje levé U( ) resp. prvé U(+) okolí bodu jko intervl (c, nebo ( ε, resp., d) nebo, + ε); jsou to tzv. jednostrnná okolí. Ještě uvžujeme jednostrnná prstencová (redukovná) okolí P ( ) resp. P (+) to když z jednostrnného okolí vypustíme bod. Užitím pojmu okolí bodu lze klsifikovt body z R vzhledem k dné číselné množině M. Uvedeme si nyní zkrácené definice některých důležitých pojmů, používných v mtemtické nlýze. Vnitřní bod množiny M: Bod množiny M, který do M ptří i s některým svým okolím. Vnitřek množiny M: Množin všech vnitřních bodů množiny M. Hrniční bod množiny M: V kždém jeho okolí existuje bod množiny M též bod, který do M neptří. (Hrniční bod může, le nemusí ptřit do M.) 18
Hrnice množiny M: Množin všech hrničních bodů množiny M. Vnější bod množiny (vzhledem k množině) M: Bod číselné osy, který není vnitřním ni hrničním bodem množiny M. Vnějšek množiny M: Množin všech vnějších bodů množiny M. Množin M je otevřená: Kždý její bod je jejím vnitřním bodem. Množin M je uzvřená: Obshuje svou hrnici. Uzávěr M množiny M: Sjednocení množiny M její hrnice. Hromdný bod množiny M: V kždém jeho prstencovém okolí leží lespoň jeden bod množiny M. Izolovný bod množiny M: Bod množiny M, který není jejím hromdným bodem. Diskrétní množin: Všechny její body jsou izolovné. Derivce M množiny M: Množin všech hromdných bodů množiny M. Jelikož všechny tyto pojmy jsou zloženy vlstně jen n pojmu okolí, setkáváme se s nimi ve všech prostorech, kde se prcuje s okolím. N číselné ose (n rozdíl npř. od roviny) všk prcujeme i s pojmy levé okolí prvé okolí můžeme tedy definovt i levý hromdný bod prvý hromdný bod těchto pojmů skutečně využíváme při definování jednostrnných limit funkce. Příkld 1 Všechny výše uvedené pojmy plikujte n množinu M = 1, 0) { 1 2, 2 3, 3 } 4,.... 1.6 Rozšířená reálná os Je to model číselné osy, kterou rozšíříme o dv nové prvky: nevlstní číslo + nevlstní číslo. Oznčení rozšířené reálné osy: R = R {, + }. Zvedení nevlstních čísel nám umožňuje hlouběji, lépe jednodušeji formulovt mnohé pozntky mtemtické nlýzy. 19
Vlstnosti nevlstních čísel N rozšířené reálné ose definujeme přirozené uspořádání početní operce tk, že rozšíříme příslušná prvidl pltná n R. Uspořádání : x R: < x < +, zvláště < + ; ( ) = +, (+ ) =, + = = +. Okolí : U(+ ) toto oznčení budeme používt pro kždý intervl (c, + R ), le pokud budeme prcovt n R, použijeme toto oznčení (pro zjednodušení vyjdřování) též pro intervly (c, + ) R, což jsou vlstně prstencová okolí P (+ ) n R. Podobně pro U( ) P ( ). Supremum infimum: Pro množinu M, která není shor omezená, je sup M = +, pro množinu M, která není zdol omezená, je inf M =. Hromdné body: Definice je formálně stejná, tedy + nzveme hromdným bodem množiny M R, právě když v kždém jeho okolí P (+ ) leží lespoň jeden bod množiny M. Podobně pro. Npř. množin Z všech celých čísel má hromdné body +, sup Z = +, inf Z =, le smozřejmě + / Z, / Z. Početní operce s nevlstními čísly Operce s reálnýmy čísly můžeme rozšířit n nevlstní čísl následujícím způsobem: Sčítání odčítání : x R definujeme ±x + (+ ) = (+ ) ± x = ±x ( ) = (+ ) + (+ ) = (+ ) ( ) = +, ±x + ( ) = ( ) ± x = ±x (+ ) = ( ) + ( ) = ( ) (+ ) =. Nedefinujeme (+ ) (+ ), (+ ) + ( ), ( ) + (+ ), ( ) ( ). Násobení : x R, x > 0 definujeme Podobně pro x < 0. x (+ ) = (+ ) x = (+ ) (+ ) = ( ) ( ) = +, x ( ) = ( ) x = (+ ) ( ) = ( ) (+ ) =. Nedefinujeme 0 (+ ), (+ ) 0, 0 ( ), ( ) 0. Dělení : x R definujeme x/(+ ) = x/( ) = 0. Pro x > 0 je + /x = +, /x =, pro x < 0 je + /x =, /x = +. 20
Nedefinujeme + /+, + /, td., x/0 pro žádné x R, ni 0/0 nebo ± /0. Mocniny: n N definujeme (+ ) n = +, (+ ) n = 0, ( ) n = ( 1) n (+ ). Nedefinujeme (+ ) 0, ( ) 0, 0 0, 1 +, 1. Poznámk: Z prktických důvodů se někdy píše místo + jen, tkže npř. místo výrzu (+ )+(+ ) lze npst jen +. Jestliže všk prcujeme v komplexním oboru, kde se zvádí jediné komplexní nekonečno oznčovné, musíme dát pozor n jeho odlišení od + z rozšířené reálné osy R. Příkld 1 Vypočtěte = + 5 ( )/3 + ( ) 3 (100 ) 1200!/+. 21
Kpitol 2 Číselné posloupnosti 2.1 Pojem posloupnosti Definice 2.1.1 Kždé zobrzení N do R nzýváme číselná posloupnost. Zápis: ( n ) n=1 nebo jen ( n ); n se nzývá n-tý člen posloupnosti. Definici číselné posloupnosti lze zložit i n pojmu (reálné) funkce; pk je to funkce definovná n množině N všech přirozených čísel. Způsoby zdání posloupnosti Číselná posloupnost bývá zdán několik prvními členy (tk, by bylo ptrné prvidlo, jk vytvářet dlší členy), n-tým členem nebo rekurentně. Příkld 1 Je dán posloupnost Určete její n-tý člen. Návod: 1 1 4, 3 4 7, 5 7 10, 7 10 13,... n = 2n 1 (3n 2)(3n + 1) Při zdání n-tým členem zse nopk lze z příslušného vzorce počítt jednotlivé členy posloupnosti. Příkld 2 ( Příkldy číselných posloupností zdných n-tým členem: (( 1 + 1 n ) n), ( + (n 1)d). Vypočtěte členy jejich 1, 2, 3, 4. n n+1 ), ( ( 1) n n ), (q n 1 ), Rekurentní zdání obshuje zprvidl 1. člen (nebo několik prvních členů) prvidlo, jk vytvořit dlší člen ze členů předcházejících. Npříkld v sekci 2.5 n strně 27 je ritmetická posloupnost zdán tkto: 1 = n+1 = n + d pro n N. Podobně geometrická posloupnost je definován 1 = n+1 = n q pro n N. Příkld 3 Posloupnost ( n ) je zdán rekurentně tkto: 1 = 1, n+1 = 1 ( n + 10 ) ; 2 n je to posloupnost proximcí čísl 10. Vypočtěte první čtyři proximce. 22
Příkld 4 Fiboncciov posloupnost (f n ) je definován tkto: f 1 = 1, f 2 = 1, f n+2 = f n+1 + f n. Vypočtěte prvních 10 členů této posloupnosti. Posloupnost ( n ) je třeb odlišovt od množiny (všech) jejích členů (kdy se užívjí složené závorky). Npř. množin (všech) členů posloupnosti ( ) { 1 n je 1, 1 2, 1 3,..., 1 n,...}, množin (hodnot) členů posloupnosti (( 1) n ) je { 1, 1}. Definice 2.1.2 Posloupnost (b n ) se nzývá vybrná z posloupnosti ( n ) (nebo též podposloupnost), právě když existuje posloupnost přirozených čísel k 1 < k 2 < k 3 <... tk, že n N je b n = kn. Npř. posloupnost všech prvočísel je vybrná z posloupnosti (n) všech čísel přirozených, le není vybrná z posloupnosti (2n 1) všech čísel lichých. 2.2 Zákldní vlstnosti číselných posloupností V této kpitole se dále zbýváme jen číselnými posloupnostmi. Definice 2.2.1 Posloupnost se nzývá (shor, zdol) omezená, právě když tuto vlstnost má množin všech jejích členů. Npř. posloupnost (2n 1) je zdol omezená, není omezená shor, není omezená. Posloupnost (( 1) n ) je omezená shor i zdol, je omezená. Stcionární posloupnost (c) je omezená. Definice 2.2.2 Posloupnost ( n ) se nzývá rostoucí, právě když n N pltí n < n+1, klesjící, právě když n N pltí n > n+1, nerostoucí, právě když n N pltí n n+1, neklesjící, právě když n N pltí n n+1. Společný název pro všechny tyto druhy posloupností: posloupnosti monotonní pro první dv druhy: posloupnosti ryze monotonní. Definice 2.2.3 Operce s posloupnostmi jsou definovány tkto: násobení reálným číslem c: c ( n ) = (c n ); ritmetické operce součet, rozdíl, součin, podíl: ( n ) + (b n ) = ( n + b n ), ( n ) (b n ) = ( n b n ), ( n ) (b n ) = ( n b n ), ( n )/(b n ) = ( n /b n ), (pro b n 0); opčná posloupnost k ( n ) je ( n ); reciproká posloupnost k ( n ) je (1/ n ) (pro n 0). 23
2.3 Limit posloupnosti Definice 2.3.1 Říkáme, že posloupnost ( n ) má limitu, právě když pro kždé okolí U() existuje n 0 N tk, že pro všechn n N tková, že n n 0, pltí n U(), symbolicky zpsáno U() n 0 N n N: n n 0 n U(). Je-li R, nzývá se vlstní limit posloupnost ( n ) se nzývá konvergentní, pokud = ±, nzývá se nevlstní limit. Neexistuje-li vlstní limit, nzývá se posloupnost ( n ) divergentní. Zápisy: lim n = ; lim n = ; n pro n +. n Posloupnost tedy buď konverguje, nebo diverguje. V tomto druhém přípdě buď diverguje k + nebo k, nebo osciluje (tj. nemá limitu vlstní ni nevlstní). ( Npř. posloupnost n n+1 ) je konvergentní, má limitu 1, stcionární posloupnost (c) je konvergentní má limitu c, posloupnost ( n 100) je divergentní, má nevlstní limitu +, posloupnost (q n ) je pro q 1 divergentní, nemá limitu (osciluje). Definice 2.3.2 Je-li V (n) nějká výroková form pltí-li, že výrok: Existuje n 0 N tk, že pro všechn n N z nerovnosti n n 0 plyne V (n), je prvdivý výrok, pk říkáme, že V (n) pltí pro skoro všechn n. Pomocí tohoto vyjádření lze vyslovit definici limity posloupnosti npř. tkto: Říkáme, že posloupnost ( n ) má limitu, právě když v kždém okolí U() leží skoro všechny členy této posloupnosti. Věty o limitách Vět 2.3.1 Kždá číselná posloupnost má nejvýše jednu limitu. Důkz: (sporem) Kdyby existovly dvě limity, b, pk by existovl disjunktní okolí U(), U(b) tk, že pro skoro všechn n by mělo pltit součsně n U(), n U(b), což je spor. Vět 2.3.2 Má-li posloupnost ( n ) limitu, pk kždá posloupnost (b n ) vybrná z posloupnosti ( n ) má tutéž limitu. Důkz: Oznčme tuto limitu ; pk U() n 0 N tk, že n N: n n 0 n U(); pro k n > n 0 je ovšem též b m = kn U(), tkže b m U() pro skoro všechn m. Limit posloupnosti se tedy nezmění, vynecháme-li nebo pozměníme-li libovolný konečný počet členů posloupnosti. Při výpočtu limit využíváme tké tohoto postupu: 1. zjistíme, že dná posloupnost je konvergentní 2. njdeme limitu nějké vhodné vybrné posloupnosti. Pk toto je i limitou dné posloupnosti. Když nopk zjistíme, že nějká vybrná posloupnost je divergentní, znmená to podle předchozí věty, že je divergentní i dná posloupnost. Podobně zjistíme-li, že dvě vybrné posloupnosti mjí různou limitu, je dná posloupnost divergentní. 24
Vět 2.3.3 Kždá konvergentní posloupnost je omezená. Důkz: Oznčme limitu ; zvolme ε = 1. Pk množin M těch členů posloupnosti, které neleží v okolí U(, 1), je konečná. n N pk pltí min{min M, 1}, mx{mx M, + 1}. Tto vět ovšem nepltí obráceně, neboť npř. posloupnost (( 1) n ) je omezená, le je divergentní. Větší hloubku pohledu do vzthu mezi omezeností konvergencí dává následující vět. Vět 2.3.4 (Bolzno-Weierstrssov) Z kždé omezené posloupnosti lze vybrt konvergentní podposloupnost. Důkz: (princip: Bolznov metod půlení intervlů) Nechť ( n ) je omezená posloupnost, tj. K 1, L 1 tk, že n N je n K 1, L 1. Konstrukce vybrné posloupnosti: Z b 1 zvolíme libovolný člen dné posloupnosti ( n ), nechť v ní má index k 1. Intervl K 1, L 1 rozpůlíme oznčíme K 2, L 2 tu část, do níž je zobrzeno nekonečně mnoho členů posloupnosti ( n ). V K 2, L 2 vybereme z b 2 libovolný tkový člen posloupnosti ( n ), který má index k 2 > k 1. Intervl K 2, L 2 rozpůlíme, td. Oznčíme (jediný) společný bod všech intervlů K n, L n (podle věty o vložených intervlech). Pk U() pro skoro všechn n pltí inkluze K n, L n U(), tkže též b n U(), tedy b n. Vět 2.3.5 Kždá neklesjící shor omezená posloupnost je konvergentní. Důkz: (princip) Mějme dánu posloupnost ( n ); z omezenosti množiny M = { 1, 2,...} plyne existence vlstního suprem = sup M. Ze druhé vlstnosti suprem plyne, že v libovolném levém okolí U( ) leží lespoň jedno n, tkže vzhledem k monotónnosti ( n ) leží v U( ) skoro všechny členy posloupnosti ( n ). Vět 2.3.6 (o limitách součtu, rozdílu, součinu podílu) Nechť lim n =, lim b n = b. Pk pltí, pokud výrzy n prvých strnách mjí v R smysl: ) lim( n + b n ) = + b, lim( n b n ) = b, b) lim( n b n ) = b, c) pro b n 0, b 0 je lim( n /b n ) = /b, d) lim n =. Důkz: ukázk pro součet, kde, b jsou vlstní limity: ε > 0 n 1, n 2 N tk, že: n n 1 n U(, ε/2); n n 2 b n U(b, ε/2). Nechť n 0 = mx{n 1, n 2 } n n 0. Pk pltí ε/2 < n < + ε/2, b ε/2 < b n < b + ε/2. Sečtením obou nerovností dostneme ( n + b n ) U( + b, ε). Příkld 1 Dokžte větu pro součet, kde je vlstní limit b = +. 25
Vět 2.3.7 (limit nerovnosti) Nechť lim n =, lim b n = b pro nekonečně mnoho n pltí n b n. Pk b. Důkz: (sporem) Kdyby bylo > b, existovl by disjunktní okolí U(), U(b) tk, že x U() y U(b) by pltilo x > y. Pro skoro všechn n je všk n U(), b n U(b), tedy by pltilo n > b n, což dává spor s předpokldem věty. Pro konvergentní posloupnosti ( n ), (b n ) zřejmě pltí, že když pro nekonečně mnoho členů je n b n pro nekonečně mnoho členů je n > b n, pk = b. Vět 2.3.8 (vět o třech limitách) Nechť lim n =, lim b n = nechť pro skoro všechn n je n c n b n. Pk lim c n =. Důkz: (princip) Podle definice limity ptří do libovolného okolí U() skoro všechny členy posloupnosti ( n ) tké skoro všechny členy posloupnosti (b n ). Proto do U() ptří tké skoro všechny členy posloupnosti (c n ). Pro nevlstní limity má vět o třech limitách (zvná též vět o třech posloupnostech) speciální tvr. Je-li totiž lim n = +, lze brát z b n posloupnost (+ ), proto z nerovnosti n c n plyne lim c n = +. Podobně lze větu o třech limitách uprvit pro nevlstní limitu. 2.4 Nulové posloupnosti Jsou to posloupnosti, kde lim n = 0. Nulové posloupnosti fkticky nejsou jen zvláštním přípdem konvergentních posloupností, le i nopk, konvergenci bychom mohli definovt užitím nulových posloupností podle věty: Vět 2.4.1 n, právě když ( n ) 0. Dále uvedeme některé věty, které mjí vzth k nulovým posloupnostem. Vět 2.4.2 Jestliže n, pk n. Obrácená vět k této větě pro 0 nepltí, le pro = 0 no. Vět 2.4.3 Jestliže n +, je 1/ n posloupnost nulová. Jestliže jmenovtel zlomku konverguje k nule, je situce složitější: Vět 2.4.4 Je-li n N: n > 0, n 0, pk 1/ n +, n < 0, n 0, pk 1/ n, n 0, n 0, pk 1/ n +. Nulových posloupností se s výhodou využívá při výpočtech limit. 26
Příkld 1 Vypočtěte následující limity 6n 2 + n lim n + 4n 2 + 5, lim 6 2 2n + 5 2 n 4 n + 2 2n+1 2 n + 15, lim 7n + 150 n + n 2 0,25, lim n + n 3 8n 9n 2 + 10. 2.5 Aritmetická posloupnost geometrická posloupnost Někdy se pro uspořádné n-tice používá název konečné posloupnosti, který zčásti nvozuje použití posloupností v prxi. V prxi je mnoho situcí, kdy známe několik prvních členů 1, 2, 3,..., n nějké posloupnosti pomocí této znlosti chceme zjistit, zkonstruovt nebo předpovědět její dlší člen n+1. Může jít o posloupnost peněžních částek, (čsovou) posloupnost údjů o objemu výroby, posloupnost čsových termínů nebo intervlů d. Problémem je, jk určit dlší člen (nebo lespoň jeho přibližnou hodnotu) ze znlosti předchozích. Může jít o nlezení vzorce pro n-tý člen, rekurentního prvidl nebo i o jiný postup. Zvláštní pozornosti si zslouží posloupnost ritmetická posloupnost geometrická, které se v prxi vyskytují poměrně čsto. Aritmetická posloupnost je (definován jko) posloupnost, která je dán svým prvním členem 1, konstntní diferencí d rekurentním prvidlem n N: n+1 = n + d. Pokud nebude řečeno jink, budeme předpokládt, že 1 d jsou reálná čísl. Aritmetickou posloupnost lze všk rovněž definovt jko posloupnost, u níž rozdíl libovolných dvou po sobě jdoucích členů je konstntní. Z rekurentního prvidl dostneme vzorec pro n-tý člen: n = 1 + (n 1) d. (Dokzuje se jednoduše npř. užitím principu mtemtické indukce). Vidíme, že ritmetická posloupnost má pro d > 0 limitu +, pro d < 0 limitu. Příkld 1 V posledních třech měsících činil celkový objem zkázek přibližně 1 = 325 tis. Kč, 2 = 354 tis. Kč 3 = 383 tis. Kč. Jký objem lze očekávt ve 4. měsíci? Návod: Lze vyslovit hypotézu, že objem zkázek tvoří ritmetickou posloupnost, kde 1 = 325, d = 29 (tis. Kč). Pk 4 = 3 + d = 412 (tis. Kč). Lze očekávt objem zkázek z 412 tis. Kč. (Smozřejmě korektnost vyslovení tkové hypotézy závisí n prktických okolnostech.) Prktický význm může mít i součet s n prvních n členů ritmetické posloupnosti. Vzorec pro s n lze odvodit npř. tkto: Vyjádříme s n dvěm způsoby: s n = 1 + ( 1 + d) + ( 1 + 2d) +... + ( 1 + (n 1)d), s n = n + ( n d) + ( n 2d) +... + ( n (n 1)d) po sečtení máme 2s n = n( 1 + n ), tkže s n = n 2 ( 1 + n ). Příkld 2 N skládce jsou uloženy roury tk, že v dolní vrstvě jich je 26 kždá rour v kždé vyšší vrstvě vždy zpdá mezi dvě roury ve vrstvě nižší; vrstev je celkem 12. Kolik je n skládce rour? Návod: Položíme 1 = 26; pk d = 1. V horní vrstvě je 12 = 26 + 11 ( 1) = 15 rour celkem s 12 = 6(26 + 15) = 246 rour. 27
Geometrická posloupnost je (definován jko) posloupnost, která je dán svým prvním členem 1, konstntním kvocientem q rekurentním prvidlem n N: n+1 = n q. V této definici mohou být 1 q libovolná reálná čísl, v dlším textu všk budeme předpokládt (pokud nebude řečeno jink), že 1 0 q 0. Z těchto předpokldů lze tedy geometrickou posloupnost rovněž definovt jko posloupnost, u níž podíl libovolných dvou po sobě jdoucích členů je konstntní. Z rekurentního prvidl dostneme vzorec pro n-tý člen: n = 1 q n 1. (Dokzuje se jednoduše npř. mtemtickou indukcí). Příkld 3 V prvním měsíci roku činil obrt 300 000 Kč v kždém dlším měsíci byl o 5 % větší než v měsíci předchozím. Určete předpokládný listopdový obrt. Návod: Jde o geometrickou posloupnost, kde 1 = 300, q = 1,05, n = 11. Pk 11 = 300 1,05 10 300 1,629 = 489 tis. Kč. Viz poznámku z příkldem 1. Je-li 1 > 0, pk geometrická posloupnost ( 1 q n 1 ) má limitu 0 (pro q < 1) nebo 1 (pro q = 1) nebo + (pro q > 1) nebo nemá limitu (pro q 1). Prktický význm může mít opět součet prvních n členů geometrické posloupnosti (tj. n-tý částečný součet geometrické řdy). Vzorec pro s n lze odvodit tkto: Vyjádříme s n q s n : s n = 1 + 1 q + 1 q 2 +... + 1 q n 1 q s n = 1 q + 1 q 2 +... + 1 q n 1 + 1 q n. Odečtením druhé rovnice od první obdržíme s n (1 q) = 1 (1 q n ), tudíž s n = 1 1 q n 1 q tj. též s n = 1 q n 1 q 1. Příkld 4 Vynálezce šchové hry poždovl podle pověsti odměnu z kždé ze 64 polí šchovnice tkto: z 1. pole jedno obilní zrno, z 2. pole 2 zrn, z 3. pole 4 zrn, td., z kždé dlší vždy dvojnásobek. Kolik zrnek obilí měl dostt? Návod: Jde o geometrickou posloupnost, kde 1 = 1, q = 2, n = 64. Proto s 64 = 1 264 1 2 1 = 2 64 1 1,845 10 19 to je více obilí, než se kdy n Zemi urodilo. Aritmeticko-geometrická posloupnost (c n ) je definován jko součin ritmetické posloupnosti ( n ) geometrické posloupnosti (b n ) ve smyslu definice 2.2.3 součinu dvou posloupností. 2.6 Některé význmné limity Vět 2.6.1 > 0: lim n + n = 1. Důkz: (princip) Pro > 1 položíme n = 1 + u n, tedy u n > 0. Podle Bernoulliovy nerovnosti je = (1 + u n ) n > 1 + nu n, odkud 0 < u n < 1 n podle věty o třech limitách je u n 0. Pro < 1 použijeme předchozí výsledek n číslo 1/, pro = 1 je výsledek zřejmý. Podobně lze užitím vhodných odhdů odvodit následující limity: 28
Vět 2.6.2 n n = 1. lim n + Vět 2.6.3 > 1, k > 0: než mocnin n k.) Příkld 1 log Dokžte, že > 1: lim n n + n n lim n + n k = +. (Říkáme, že exponenciál n roste k + rychleji = 0. Návod: Pro ε > 0 je ε > 1, tkže pro skoro všechn n pltí 1 < n n < ε, odkud po zlogritmování nerovnosti při zákldu plyne uvedené tvrzení. Příkld 2 Vypočtěte lim n + q n, kde q > 0. n! Návod: Pro q 1 je tto limit rovn 0. Pro q > 1 má čittel i jmenovtel limitu +, tkže nelze použít větu o limitě podílu. Uvedený výrz oznčme n ; pk n+1 = q n + 1 n, ( ) proto pro skoro všechn n je posloupnost ( n ) klesjící zdol omezená (nulou), tkže má limitu; oznčme ji. Přejdeme-li v rovnosti ( ) k limitě, máme = 0. Říkáme, že fktoriál roste k + rychleji než exponenciál q n. Příkld 3 Ukžte, že kždé ircionální číslo je limitou neklesjící posloupnosti rcionálních čísel; njděte tyto posloupnosti pro r = π, s = 2. Návod: Lze uvžovt npř. posloupnost dolních desetinných proximcí. Poznámk: Kromě číselných posloupností prcujeme v mtemtické nlýze i s dlšími typy posloupností; uvžují se třeb posloupnosti množin (npř. intervlů), posloupnosti funkcí, td. Definice těchto posloupností vytvoříme podle stejného schémtu. Npř. posloupnost funkcí definujeme jko zobrzení množiny N do množiny všech funkcí. Prcujeme-li s jinými posloupnostmi než s posloupnostmi číselnými, je třeb dbát n korektnost definice posloupnosti, přípdně její limity. 2.7 Číslo e Funkce y = e x funkce y = ln x(= log e x) ptří k nejdůležitějším funkcím v mtemtické nlýze; v obou přípdech je zákldem Eulerovo číslo e. Číslo e je definováno jko limit posloupnosti (( 1 + 1 n) n ). Abychom tuto definici mohli povžovt z korektní, je třeb dokázt, že uvedená posloupnost je konvergentní; její členy oznčujme dále n. Důkz existence limity posloupnosti ( n ) lze provést ve dvou krocích: (i) dokážeme, že tto posloupnost je rostoucí, (ii) dokážeme, že je shor omezená. Existence konečné limity pk plyne z věty o limitě monotónní posloupnosti. d (i) Užitím AG nerovnosti pro n čísel ( 1 + 1 n) číslo 1 dostneme ( 1 + 1 ) n < n ( ) 1 + 1 n + 1 n n + 1 n+1 = n + 2 n + 1. 29
Umocněním obou strn této nerovnosti číslem n + 1 dostneme n = ( 1 + n) 1 n ( < 1 + 1 ) n+1 = n+1, n + 1 což znčí n < n+1, tedy posloupnost ( n ) je rostoucí. d (ii) Ukážeme, že posloupnost s členy b n = ( 1 + 1 n) n+1 = n ( 1 + 1 n) je klesjící. Jelikož 1 + 1 n > 1, dostneme pk n < b n < b 1 = 4. Vskutku, podle AG nerovnosti pro n + 1 čísel 1 číslo ( 1 + 1 n) pltí n+2 1 + 1 n < (n + 1) + (1 + 1 n ) n + 2 = (n + 1)2 n(n + 2). Obě strny této nerovnosti umocníme n n + 2, vynásobíme n (n + 2) n+2 vydělíme (n + 1) n+2. Tím získáme s ní ekvivlentní nerovnost ( 1 + 1 ) n+2 ( < 1 + 1 n+1, n + 1 n) tedy b n+1 < b n, což znčí, že posloupnost (b n ) je klesjící. Závěr: Podle věty o limitě monotónní posloupnosti existuje limit posloupnosti ( n ); nzýváme ji Eulerovo číslo oznčujeme ji e. Z předchozího plyne, že 2 < e < 4. Jiný přístup: d (i) Podle binomické věty je n = ( 1 + 1 n) n = 1 + ( ) n 1 1 n + ( ) n 1 2 n 2 +... + ( ) n 1 k n k +... + ( ) n 1 n n n. První dv členy součtu n prvé strně jsou rovny 1, pro kždý dlší člen provedeme úprvu ( ) n 1 n(n 1)...(n k + 1) = k nk n k 1 ( k! = 1 1 ) ( 1 2 ) (... 1 k 1 ) 1 n n n k!. Pro posloupnost ( n ) tk pltí, že kždý její člen n je součtem n + 1 kldných výrzů, v nichž jsou činitelé tvru ( 1 ( n) j. Jestliže ) nyní přejdeme ( ) od n k n + 1, je n+1 součtem n + 2 výrzů s činiteli tvru 1 j n+1. Jelikož 1 j n+1 > ( 1 n) j nvíc v n+1 je o jeden kldný sčítnec víc, je n+1 > n, posloupnost ( n ) je rostoucí. ( ) d (ii) Ve výrzu pro n nhrdíme všechny závorky 1 j n+1 číslem 1, tkže pltí 30 n < c n = 1 + 1 + 1 2! + 1 3! +... + 1 n! < 1 + 1 + 1 2 + 1 2 2 +... + 1 < 3. 2n 1
Výpočet čísl e Hodnotu čísl e lze vcelku sndno určit jko součet číselné řdy. Vidíme, že pro konstntní k < n pltí ( n > 2 + 1 1 ) ( 1 n 2! +... + 1 1 ) ( 1 2 ) (... 1 k 1 ) 1 n n n k!. Odtud pro n + máme e c k tkže pltí n < c n e; podle věty o třech limitách pk je lim c n = e. Přitom c n je podle své definice tzv. n-tým částečným součtem řdy n + tkže ( e = lim 1 + 1 ) n = 1 + 1 n + n 1! + 1 2! +... + 1 +... = 2,718 281 828 4590... n! Tto řd poměrně rychle konverguje má jednoduchý lgoritmus výpočtu členů, tkže výpočet hodnoty čísl e n zdný počet desetinných míst lze provést vcelku rychle. 31
Kpitol 3 Pojem funkce 3.1 Definice funkce Písmeno x nzýváme proměnná n (číselné) množině M, právě když může být ztotožněno s libovolným prvkem množiny M. Pojem funkce nvzuje n pojem binární relce n pojem zobrzení jejichž zákldní znlost zde předpokládáme. Definice 3.1.1 Kždé zobrzení f z R do R (tj. zobrzení v R) nzýváme reálná funkce jedné reálné proměnné. Je-li (x, y) f, píšeme y = f(x); x se nzývá nezávisle proměnná, y závisle proměnná; říkáme též, že y je funkcí x. Chceme-li vyjádřit, že y je (ztím nepojmenovnou) funkcí x, zpíšeme y = y(x). Vedle vyjádření funkce f se tolerují též zápisy funkce f(x) (chceme-li zdůrznit oznčení nezávisle proměnné) nebo funkce y = f(x) (chceme-li zdůrznit oznčení obou proměnných). S pojmem funkce jsou spjty dvě význmné množiny: definiční obor funkce: D(f) = {x R; (x, y) f}, funkční obor (obor hodnot): H(f) = {y R; (x, y) f}. Hodnotu proměnné vyjdřujeme číslem nebo symbolem proměnné s indexem. Npř. v bodě x 0 = 2 má funkce y = 3x hodnotu y 0 = 6. Je-li M D(f), je f(m) oznčení pro {f(x); x M}. Je tedy H(f) = f(d(f)). Nopk, je-li B H(f), pk definujeme f 1 (B) jko množinu {x D(f); f(x) B}. Grfem funkce f v krtézských souřdnicích rozumíme množinu všech bodů krtézské soustvy souřdnic Oxy, pro jejichž souřdnice x, y pltí (x, y) f. Grfické znázornění funkce čsto svou názorností pomáhá k pochopení vlstností průběhu funkce; pro některé funkce všk grf nedovedeme sestrojit, npř. pro Dirichletovu funkci (viz dále). Grfy funkcí lze uvžovt tké v polární souřdnicové soustvě, kdy ovšem dostáváme jiné křivky. Npř. grfem přímé úměrnosti y = kx v krtézských souřdnicích je přímk, grfem téže funkce ϱ = kϕ v polárních souřdnicích je Archimedov spirál. Neřekneme-li jink, uvžujeme vždy grf v krtézských souřdnicích. Způsoby definice funkce Funkci f lze vyjádřit tkto: f = {(x, y) D(f) R; V (x, y)}. Zdt (definovt) funkci f tedy znmená udt její definiční obor D(f) jisté prvidlo V (x, y), jehož oborem prvdivosti je f které stnovuje, jk k zdnému x D(f) njít (vypočítt) hodnotu f(x). Podle toho, jk je toto prvidlo formulováno, rozlišujeme tto zdání funkce: ) (Explicitní) rovnicí, npř. f = {(x, y) R R; y = x 2 1}, nebo jednoduše f: y = x 2 1. 32
U funkce definovné rovnicí, není-li řečeno jink, bereme z D(f) nejširší množinu, pro niž má rovnice smysl. Je-li předepsán jiný definiční obor, musíme jej uvést, npř. f: y = x 1, x N. b) Tbulkou, npř. x 2 1 0 1 2 3 y 3 0 1 0 3 8 Tké zdání funkce výčtem prvků lze povžovt z zdání tbulkou, jde jen o jinou formu zápisu; npř. f = {( 2; 3), ( 1; 0), (0; 1), (1; 0), (2; 3), (3; 8)}. Tbulkou či výčtem prvků bývjí zdávány funkce, jejichž funkční hodnoty byly získány měřením nebo kde jsou tyto hodnoty důležitější než příslušné prvidlo (npř. dňové tbulky, bodovcí sportovní tbulky). Tbelci funkce všk používáme i u funkcí definovných jink, pokud může tbulk posloužit lépe k přehlednosti nebo jiné prktické potřebě (npř. tbulk cen v závislosti n hmotnosti zboží). c) Grfem (zprvidl krtézským (obr. vlevo)). Dlší druhy grfů šchovnicový, uzlový (obr. vprvo) nebo grf v polární soustvě souřdnic bývjí méně čsté. y 2 3 1 0 x 5 4 Grfem bývjí čsto vyjdřovány ty funkce, jejichž průběh je zpisován v přístrojích grficky n ppírová médi nebo n displeji. d) Po částech; tk je definován npř. Dirichletov funkce { 0 pro x ircionální χ(x) =. 1 pro x rcionální Podobným způsobem je definován funkce signum (znménko) { 1 pro x < 0 sgn x = 0 pro x = 0. 1 pro x > 0 Rovnice y = χ(x) y = sgn x všk již povžujeme z rovnice funkcí. e) Implicitní rovnicí, npř. x 2 + y 2 = 25; tkto se definují implicitní funkce y = y(x), s nimiž je technik práce někdy poněkud odlišná. Zejmén bývá vymezen množin M R R, pro niž má pltit (x, y) M. Npř. u výše uvedené rovnice může být zdáno, že M je polorovin y 0. f) Prmetricky: Prmetrické vyjádření je tvru x = ϕ(t), y = ψ(t), t J, kde ϕ, ψ jsou funkce definovné n množině (intervlu) J, přičemž funkce y = f(x) je definován vzthem f = {(x, y) R R; t J tk, že (x = ϕ(t)) (y = ψ(t))}. 33