Úrvy lgebrických výrzů Mociy odmociy Pro kždé reálé r, s kždé > 0, b > 0 (res ro kždé celé r, s kždé 0, b 0 ltí: r 0 s rs, r r ( b b r r r r s r+ s b b r s rs b : b Dále ltí +, (, ( Je-li N, 0, eistuje rávě jedo číslo 0 tk, že zčí se Je-li číslo < 0, > 0 liché, má rovice r íšeme Neí-li liché, symbol ro < 0 edeiujeme r r Toto číslo se zývá -tá odmoci z čísl rávě jedo reálé řešeí, totiž číslo < 0 Místo POZOR: sudé odmociy jsou deiováy ouze ro ezáorá čísl, liché odmociy jsou deiováy ro všech reálá čísl (tedy i ro záorá! Pltí + 0 0,,, b b,, b b m m m m,,, b b m m Pro > 0, N, r Z deiujeme r r Potom ltí: r r r r r r Pro všech > 0, b > 0 ro všech r Q, s Q ltí: r r r r s r+ s r s r s r r r rs, (, ( b b,, r s b b POZOR! (, le!
Umocňováí rozkld dvojčleů ± b ± b + b, 3 3 3 ± b ± 3 b + 3 b ± b, 4 4 3 3 4 ± b ± 4 b + 6 b ± 4 b + b, obecě (Newtoov biomická vět: Čísl ( k ( ± ± ( k k k k b b ; k 0 jsou tzv biomické koeiciety (kombičí čísl,! k ( k! k! Jejich hodoty lze sdo jít omocí Psclov trojúhelíku: mocitel dvojčleu biomické koeiciety 0 3 3 3 4 4 6 4 5 5 0 0 5 6 6 5 0 5 6 ( zčátku koci kždého řádku je jedičk, dlší čísl jsou vždy součtem ejbližších dvou čísel o řádek výš Pro rozkld dvojčleů ltí: b ( + b( b 3 3 ± b ( ± b( b + b 4 4 b ( + b( b( + b + b elze rozložit 3 k k k b ( + b( b + b + ( b + + b b b ( + b( b + b + ( b + + k k k Rozkld olyomu P + + + + 0 + + b b kořeové čiitele: Pltí-li P 0 0, zývá se číslo 0 koře olyomu P (, výrz 0 kořeový čiitel ltí P ( Q 0 Polyom -tého stuě má (v oboru komleích čísel rávě kořeů Jsou-li,,, (e utě růzé kořey (reálé ebo komleí olyomu P (, ltí P ( ( ( - rozkld kořeové čiitele dále 0 ( Pro kořey olyomu druhého stuě + + ltí zámý vzorec b ± b 4c, ; P b c k ± k c je-li koeiciet b sudý, b k, můžeme oužít vzorec, Zřejmě ltí P + b + c ( (, tedy ro je ( ( ( + + b ( +, c ; jik ltí ( ( ( + + b ( +, c obecě ro olyom P + + + + ltí 0 ( 0
Fukce IDA: Fukce (zobrzeí : A B, y je odmoži krtézského součiu A B (relce z A do B, ro kterou ltí: A! y B : (, y Jsou-li možiy A, B koečé, můžeme říslušé možiy A, B, jejich krtézský souči A B i ukci A B zdt výčtem rvků; jsou-li tyto možiy ekoečé, oíšeme říslušé řiřzeí omocí ředisu (výrokovou ukcí, ř {(, } y y Obvykle rozumíme ukcí rávě teto řiřzovcí ředis tk, jk se ukce deiovl středí škole: Středí škol: Fukce je ředis, který řiřzuje kždému rvku ějké možiy (deiičího oboru možiy (oboru hodot H Tímto zůsobem budeme chát ojem ukce v ředmětu IMA tedy i v tomto semiáři D rvek jié Fukcí (jedé roměé obvykle rozumíme tkové zobrzeí, kdy deiičí obor i obor hodot jsou číselé možiy Budeme se věovt řevážě reálým ukcím jedé reálé roměé, tedy zobrzeím : D H, D R, H R Je-li ukce zdá ějkým ředisem, řičemž eí elicitě zdá její deiičí obor, rozumíme jím možiu všech R, ro která má říslušý ředis smysl Tuto možiu zýváme řirozeým deiičím oborem ukce Gr ukce jedé roměé je moži bodů v roviě dá vzthem Γ (, y D y { } tedy rávě t moži, omocí íž se deiuje ukce v ředmětu IDA Rovost ukcí: Přímo z deiice ojmu ukce lye, že ltí g, jestliže D Dg : g Zúžeí ukce: Zúžeí ukce možiu M (ebo též rciálí ukce je ukce dé ředisem : M M M D M s deiičím oborem D M Některé tyy ukcí: Fukce je rostoucí res klesjící možiě M, ltí-li, M < ( < ( res < ( > ( eklesjící res erostoucí možiě M, ltí-li, M < ( ( res < ( ( Fukce je rostá, ltí-li, D : ( ( Fukce je sudá res lichá, ltí-li ( res ( D eriodická, jestliže 0tk, že ltí ( + D
Fukce je ohričeá (shor res zdol, je-li její obor hodot ohričeý (shor res zdol, tedy ltí-li k R y H : y k res k y Vytvářeí ových ukcí z dých ukcí, g, ϕ (vzthy ltí ro všech z deiičích oborů vziklých ukcí složeá ukce iverzí ukce ϕ (čti o ϕ je dá vzthem ( ϕ ( ϕ, má iverzí ukci je ukce s deiičím oborem rovým oboru hodot ukce s vlstostí y ( y - je rostá jsou vzájem souměré odle římky y Gry ukcí (osy 3 kvdrtu součet, rozdíl, souči odíl ukcí ukce ± g, g, s vlstostmi g ± g + g, g g, g g Elemetárí ukce Polyomy jsou ukce zdé omocí ředisu tvru P + + + + 0 řičemž je stueň olyomu, i 0 je koeiciet u i-té mociy i je bsolutí čle 0 Číslo 0, ro které ltí P 0 0, je koře olyomu Je-li 0 koře olyomu P 0, zývá se výrz 0 kořeový čiitel, řičemž ltí P ( 0 Q Vlstosti olyomů - olyom -tého stuě má v oboru komleích čísel rávě kořeů - jsou-li,,, (e utě růzé kořey olyomu P + + + + 0 (reálé ebo komleí, ltí P ( ( ( - rozkld kořeové čiitele dále ( - 0 Fukčí hodoty olyomu určujeme omocí Horerov schémtu Určeí P ( α ro b P + + + + + + : i i 0 i 0 b α b + b i α b + i i b0 α b + P( α α b0 + 0 α i Přitom ltí α ( i 0 P ( b + b + + b + + b + b + P( α Je-li α koře olyomu P, tedy ltí P ( α 0, dostáváme v dolím řádku tbulky koeiciety olyomu, který vzike o vytkutí kořeového čiitele α
Seciálí řídy: Lieárí ukce je ukce tvru k + q, D R, H R (ro k 0 Grem je římk: (0 k 0 + q q - úsek ose y k k tgϕ - směrice q 0 k + q růsečík k s osou Kvdrtická ukce je ukce tvru b c + +, D R, grem je rbol: b b b b b y + b + c y c y c 4 4 - rovice tvru y b k ( ; V [, b] je vrchol rboly k >, je rbol otevřeá horu, v itervlu (, ukce klesá, v itervlu (, k <, je rbol otevřeá dolů, v itervlu (, ukce roste, v itervlu (, Je-li 0 je-li 0 roste; klesá y y k > 0 otevřeá horu V, 0 ( 0 vrchol [0, 0] y 4 + 4 y 0 (, vrchol V [, 0], k > 0, otevřeá horu y + y + ( +, vrchol V [, ], k > 0, otevřeá horu y y ( 0, vrchol V [0, ], k < 0, otevřeá dolů Rcioálí lomeé ukce P jsou ukce tvru R, Qm kde P res Qm ( jsou olyomy stuě res m Rcioálí ukce je ryze lomeá ro < m eryze lomeá ro m
Seciálí říd: + b d Lieárí lomeá ukce je ukce tvru,, b, c, d R,, c 0 c + d c b d + b c b d řičemž y y d eboli d c d c c + c c + můžeme urvit tvr c ( c grem je hyerbol s vrcholem V [, b] symtotmi, y b y b k ; Nříkld ro ( + + 3 5 y 5 je grem hyerbol y + 5, V, symtoty, y, která má vrchol [, ] je rostoucí itervlech (, (, rostá celém deiičím oboru Mocié ukce jsou ukce tvru, kde R Přitom mohou stt tyto možosti: 0 - jedá se o kosttu b je řirozeé číslo, N Potom se jedá o seciálí říd olyomu r c je celé záoré číslo, r, r N Potom, D R { 0 } r d je řevráceá hodot řirozeého čísl, Potom, D 0, ro sudé, D R ro liché q q e je rcioálí číslo, Potom je složeá ukce, q je ircioálí číslo Potom D 0, ro > 0 D (0, ro < 0 Gry mociých ukcí : q
Eoeciálí ukce jsou ukce tvru, kde > 0; D R, H (0, Fukce je rostoucí ro >, klesjící ro 0 < < ; ro se jedá o kosttu ( Gry všech eoeciálích ukcí rocházejí bodem [0,] Logritmické ukce ři zákldu, kde 0 < < ebo k ukcím, tedy ltí >, jsou ukce tvru log ; D ( o, log H R jik řečeo log je číslo, ěž je třeb zákld umocit, bychom dostli číslo Jsou iverzí Logritmická ukce ři zákldu e,78888 se stručě zývá logritmická ukce (řirozeý logritmus zčí se l : log e Logritmickou ukci ři zákldu 0 (dekdický logritmus zčíme log : log0 logb l Je-li > 0, b > 0, řičemž, b, ltí log, seciálě log logb l Všechy logritmické ukce rocházejí bodem [,0] Gry eoeciálích ukcí Gry logritmických ukcí Goiometrické ukce ebo tké trigoometrické ukce reálého rgumetu (úhlu v obloukové míře jsou ukce si, cos, tg, cotg Lze je zvést omocí jedotkové kružice tkto: je-li délk oblouku jedotkové kružici mezi bodem [,0] růsečíkem této kružice s olořímkou, která vychází z očátku souřdic, je si rove druhé souřdici tohoto růsečíku, cos jeho rví souřdici Zřejmě ltí zákldí trigoometrická idetit + (z Pythgorovy věty si cos
Dále deiujeme si cos tg, cotg cos tg si { k π k Z} { kπ k Z} D D R, D R ( +,, D R, si cos tg cotg Fukce si cos jsou eriodické s eriodou π, si je lichá, cos sudá, ukce tg cotg jsou liché ukce eriodické s eriodou π Gry ukcí ( si ( cos ( tg ( cotg Hodoty goiometrických ukcí ro ěkteré rgumety: 0 π / π 3 π / π π / 6 π / 4 π / 3 si 0 0 0 / / 3 / cos 0 0 3 / / / tg 0 eí de 0 eí de 0 3 / 3 3 cotg eí de 0 eí de 0 eí de 3 3 /3 Užitečé vzthy: π si si( π si( π + si( π, 0, ltí : cos cos( π cos( π + cos( π, tg tg( π, cotg cotg( π
Vyjádřeí goiometrické ukce dého rgumetu omocí jié goiometrické ukce téhož rgumetu: si cos ± si tg si cotg si cos tg cotg ± tg ± si ± cos + tg + cotg ± ± si cos + tg ± si si ± cos cos ± cos cos tg tg ± cotg + cotg cotg cotg Následující idetity ro goiometrické ukce ltí vždy ro ty rgumety, ro které mjí obě stry smysl: Součtové vzorce: tg ± tg y si( ± y si cos y ± cos si y tg( ± y tg tg y cotg cotg y cos( ± y cos cos y si si y cotg( ± y cotg ± cotg y Pro souči goiometrických ukcí ltí: si si y cos( y cos( + y si cos y si( + y + si( y cos cos y cos( y + cos( + y cos si y si( + y si( y Goiometrické ukce ásobků rgumetů: tg tg si si cos cos cos si + tg + tg 3 si 3 3si 4si cos 3 4 cos 3cos tg cotg tg cotg tg cotg tg cotg cotg tg Goiometrické ukce olovičích rgumetů: ( cos si cos cos si + si si tg + cos si + cos ( + cos si cos cos + + cos + si + si cotg cos si cos Mociy ukcí si cos : 3 si cos si 4 3si si 3 cos + cos cos 3cos + cos 3 3 4
Alytická geometrie Vektorem v roviě (res v rostoru rozumíme možiu všech rovoběžých souhlsě orietových stejě dlouhých úseček Zvolíme-li jedu kokrétí z těchto úseček, ř u AB, mluvíme o umístěí vektoru do očátečího bodu A Jestliže vektor umístíme do očátku souřdé soustvy [0,0] (res [0,0,0], otom souřdice kocového bodu jsou souřdice vektoru u Je-li vektor umístě v bodě A, u AB, A [, ], B [ b, b ] (res A [,, 3 ], B [ b, b, b3 ], B A b, b u b, b, b otom ro souřdice vektoru u ltí u (res Ze vzthu u B A lye B A + u Oerce s vektory u ( u, u, v ( v, v (res ( u, u, u, ( v, v, v Velikost vektoru u u + u (res u v : 3 3 u u + u + u 3 Očý vektor u ( u, u (res u ( u, u, u3 k-ásobek vektoru ku ( ku, ku (res k ( ku, ku, ku u, k R 3 O vektorech u k uříkáme, že jsou kolieárí 3 3 Rovost vektorů u v ( u v u v (res ( u v u v u3 v3 Součet vektorů u + v ( u + v, u + v (res u + v ( u + v, u + v, u3 + v3 Rozdíl vektorů u v ( u v, u v (res u v ( u v, u v, u3 v3 Lieárí kombice vektorů ku + kv ( ku + kv, ku + kv (res ku + kv ( ku + kv, ku + kv, ku3 + kv3, k, k R Sklárí souči vektorů u v uv + uv ( R (res u v uv + uv + u3v3 ( R, u v u v cosϕ, kde ϕ ( u, v, ϕ 0, π Vektorový souči vektorů u ( u, u, u, v ( v, v, v 3 3 (ouze v rostoru! je vektor (( uv3 u3v, ( u3v uv3, ( uv uv u v i j k u u u 3 v v v 3, který je kolmý roviu, v íž leží vektory u, v ro jeho velikost ltí u v u v siϕ (lošý obsh kosodélík tvořeého vektory u, v řičemž trojice vektorů u, v, u v tvoří rvotočivý systém (viz obrázek Přímk v roviě Prochází-li římk body A, B, otom ro bod X tedy ro ěkteré t R ltí X A t ( B A, eboli u v je vektor X A kolieárí s vektorem B A, X A + t ( B A, t R rmetrická rovice římky zdé dvěm body A, B Pro jedotlivé složky ro A [, ], B [ b, b ]: + t ( b, t R y + t( b
Prochází-li římk bodem A [, ] rovoběžě s vektorem s ( s, s, který se zývá směrový vektor římky, otom ro bod X je vektor X A kolieárí s vektorem s, tedy ro ěkteré t R ltí X A t s, eboli X A + t s, t R rmetrická rovice římky zdé bodem A směrovým vektorem s Pro jedotlivé složky je-li A [, ] s (, : s s + t s y + t s, t R Obecá rovice římky : + by + c 0 se odvodí z rmetrických rovic elimicí rmetru: dále t s s s t s s s ( s ( y 0 s y t ss y t s s s s y + s s 0 s, b s ( s s ( y ( s s ( X A,, 0, 0, tedy ro libovolý bod X římce + by + c 0 je olohový vektor X A Normálový vektor římky o rovici by c 0 + + je vektor (, b Pro b 0 můžeme obecou rovici římky řevést směricový tvr kolmý vektor (, b b ( libovolý jeho ásobek c y k + q římk je grem lieárí ukce (viz kitol ukce 0 + by0 + c Vzdáleost bodu A [ 0 y0 ] od římky : + by + c 0: d(, A + b Odchylk římek : + b y + c 0, q : + b y + c 0 je rov úhlu jejich ormálových vektorů, ltí tedy Přímk rovi v rostoru (, b (, b + b b cos ϕ, ϕ 0, (, b (, b + b + b Alogickou úvhou, omocí které jsme odvodili rmetrickou rovici římky v roviě, odvodíme Prmetrické rovice římky zdé dvěm body A [,, 3 ], B [ b, b, b3 ] : + t ( b, y + t( b, z + t b, t R π 3 3 3 zdé bodem A [,, 3 ] směrovým vektorem s ( s, s, s3 : + t s, y + t s, z + ts t R 3 3 Přímku v rostoru lze zdt jko růsečici dvou rovi; obecá rovice římky v rostoru eeistuje! Jestliže z rmetrických rovic vyjádříme rmetr t vziklé vzthy orováme, dosteme tk zvé y z 3 koické rovice římky s s s 3 Třemi body A, B, C, které eleží v římce, je zdá rovi ρ, ro jejíž libovolý bod X je vektor X A ěkterou lieárí kombicí vektorů B A C A, ltí tedy X A t ( B A + t ( C A, t, t R X A + t B A + t C A rmetrická rovice roviy ρ zdé třemi body A, B, C eboli
ve složkách ro A [,, 3 ], B [ b, b, b3 ], C c, c, c3 : y + t ( b + t ( c t, t R z + t ( b + t ( c Prochází-li rovi ρ bodem A [,, 3] rovoběžě se dvěm ekolieárímii vektory u ( u, u, u3, v v, v, v, otom ro bod X ρ je vektor X A ěkterou lieárí kombicí vektorů u, v, tedy ro 3 ěkterá t, t R ltí X A t u + t v, eboli X A + t u + t v rmetrická rovice roviy ρ zdé bodem A ve složkách ro A [,, 3 ], u ( u, u, u, v ( v, v, v : Obecá rovice roviy ρ : + by + cz + d 0 se odvodí z rmetrických rovic elimicí ( Pltí tedy (,, ( 3 ( 3 b c k u v u v, u v u v, u v u v k u v ; teto vektor je kolmý směrové [ ] 3 3 + t ( b + t ( c 3 3 3 dvěm ekolieárími vektory u, v + t u + t v y + t u + t v z + t u + t v 3 3 rmetrů: t u + tv v v ( v ( y t ( uv u v ( uv3 u3v y t u + tv v y tu + tv v 3 v3 ( y v ( z 3 t ( uv3 u3 v ( uv uv z 3 tu3 + tv3 v u v u v + y u v u v + z u v u v ( 3 3 3 3 0 vektory roviy ρ, tedy (, b, c 3 3 3 3 3 3 t, t R ormálový vektor roviy ρ Vzdáleost bodu A [ 0 y0, z 0 ] od roviy ρ : + by + cz + d 0 : d( ρ, A Kuželosečky jsou rovié křivky, které dostly solečý ázev roto, že vzikou jko řez kužele roviou odle toho, jký má tto rovi sklo vzhledem k ose res ovrchové římce kuželu, dosteme rbolu rovi je rovoběžá s ovrchovou římkou (která rochází vrcholem kuželu, b elisu rovi svírá s osou b kružici rovi je kolmá d hyerbolu rovi je rovo viz obrázek (který ochází z Wikiedie u kuželu úhel ( 0, π π osu kuželu ( ϕ, ϕ, oběžá s osou kuželu ( ϕ 0 + by + cz 0 0 0 + b + c
Elis je křivk, jejíž kždý bod má od dých dvou bodů v roviě stejý součet vzdáleostí Elis má dvě ohisk, ozčme je E F Elis obshuje dv hlví vrcholy A B dv vedlejší vrcholy C D Střed elisy, obrázku vrchol S, leží ve středu úsečky EF, tedy mezi ohisky Přímk, která rochází hlvími vrcholy ( tké ohisky, se zývá hlví os elisy, římk která rochází vedlejšími vrcholy, se zývá vedlejší os elisy Úsečk, která sojuje libovolý hlví bod střed elisy, se zývá hlví oloos N obrázku se jedá o úsečky AS BS Úsečk, která sojuje libovolý vedlejší bod střed elisy, se zývá vedlejší oloos N obrázku se jedá o úsečky CS DS Rovice elisy se středem v očátku souřdic osmi v souřdých osách má tvr y +, b S m, osy jsou rovoběžé se souřdými osmi, má rovice tvr je-li střed elisy v bodě [ ] ( m ( y + b V řídě b r dostáváme kružici s rovicí y r m + y r + res Hyerbol je kuželosečk, ro jejíž kždý bod ltí, že bsolutí hodot rozdílu vzdáleostí od dvou evě dých bodů je vždy stejá Bodům F F se říká ohisk Bod S se zývá střed hyerboly chází se ve středu úsečky F F Přímk F F se zývá hlví os hyerboly Kolmice k této ose v bodě S se zývá vedlejší os hyerboly Průsečíky hyerboly s hlví osou se zývjí vrcholy hyerboly, obrázku vrvo to jsou body A B Úsečky AS BS se zývjí hlví oloosy hyerboly Jejich délku zčíme Délku vedlejší oloosy hyerboly zčíme b Vzdáleost ohisk od středu se zývá ecetricit, zčíme ji e Pltí vzth e + b Přímky,, rocházející středem hyerboly rodloužeé úhloříčky obdélíku vytvořeého omocí oloos viz obrázek jsou symtoty hyerboly Rovice hyerboly se středem v očátku souřdic hlví osou v ose o res v ose o y má tvr y y res, b b
je-li střed hyerboly v bodě S [ m, ] ( m ( y ( y ( m hlví os je rovoběžá s osou o res s osou o y má rovice tvr res b b Prbol je křivk, která má od dé římky od dého bodu, který té římce eleží, kosttí vzdáleost Bod F se zývá ohisko rboly Přímk d se zývá řídící římk rboly Přímk FD se zývá os rboly, je kolmá k řídící římce rochází ohiskem Bod V se zývá vrchol rboly chází se ve středu úsečky FD Délku úsečky FD zýváme rmetrem rboly Jedá se o vzdáleost ohisk od řídící římky Rovice rboly U rboly rozlišujeme celkem čtyři růzé řídy Jk je orietová os rboly, tj jestli je os svislá (rovoběžá s osou y, jko obrázku, ebo jestli je os vodorová (rovoběžá s osou o Dále k rozlišujeme říd, kdy je rbol otevřeá horu ebo dolů levo ebo rvo Nechť má rbol V m, vrchol [ ] Prbol má osu rovoběžou s osou o y je otevřeá horu Potom má rovici: m ( y y ( ohisko má souřdice F m, + Prbol má osu rovoběžou s osou o y je otevřeá dolů Potom má rovici: m ( y y ( ohisko má souřdice F m, + 3 Prbol má osu rovoběžou s osou o je otevřeá dorv Potom má rovici: ( y ( m ohisko má souřdice F m +, 4 Prbol má osu rovoběžou s osou o je otevřeá dolev Potom má rovici: ( y ( m ohisko má souřdice F m, V řídech je rbol grem kvdrtické ukce, v řídech 3 4 se ejedá o gry ukcí (viz mtemtikcz
Komleí čísl Deiujeme imgiárí jedotku i jko číslo, jehož druhou mociou je, i Komleím číslem se zývá výrz z + y i kde, y R Přitom se zývá reálá složk, y imgiárí složk čísl z; íšeme Re z, y Im z Komleí čísl, jejichž imgiárí složk je ulová, ztotožíme s reálými čísly Komleí čísl, jejichž reálá složk je ulová, se zývjí ryze imgiárí Pro očítáí s komleími čísly ltí ásledující rvidl : Rovost komleíchčísel : Sčítáí (odčítáí Násobeí Děleí + y i + y i y y ( + ± ( + ( ± + ( ± y i y i y y i ( + ( + ( + ( + y i y i y y y y i y i + y y y y i + + + yi + y + y Absolutí hodotu komleího čísl z deiujeme ředisem z + y i + y Komleě sdružeé číslo kčíslu z ječíslo z y i Pltí:, z z y i y i z z y i y i y z + + + + + z + z z + z, z z z z z z z z, z z z z, + + z z Zázorěí komleích čísel Komleí čísl zázorňujeme jko body v roviě, které říkáme Gussov rovi ebo rovi komleích čísel Vodorová os souřdic se zývá reálá os, svislá imgiárí os [ ] Komleí číslo z + y i zázorňujeme jko bod, y Přitom zřejmě (odle Pythgorovy věty je z rov [ y] vzdáleosti bodu, od očátku souřdic z z
Úhel ϕ (v oboukové míře, který svírá růvodič obrzu čísl z s kldým směrem reálé osy, se zývá rgumet komleího čísl z zčí se rg z y rctg > 0 y rctg + π < 0, y > 0 rg z y rctg π < 0, y < 0 π y > 0 ± 0, y < 0 Nechť z + y i, ϕ rg z Výrz ( cosϕ siϕ z z + i se zývá goiometrický tvr komleího čísl z Je vhodý ro ásobeí umocňováí komleíchčísel : ( ( cosϕ siϕ ( cosϕ siϕ z z ( cos( ϕ ϕ i si( ϕ ϕ ( cosϕ + siϕ ( cosϕ + siϕ z z z + i z + i + + + z z i z z z i z ( cos( ϕ ϕ i si( ϕ ϕ + ( ( ϕ ϕ ( ϕ ϕ z z cos + isi z cos + isi, kde Z Předchozí vzth se zývá Moivreov vět Řešeí rovice z, kde z je komleí číslo celé, je dáo rávě všemi čísly ϕ + kπ ϕ + kπ z cos + i si, k 0,,, Souhr těchto čísel zýváme -tou odmociou z čísl z Jestliže oložíme e iϕ cosϕ + isi ϕ ( Eulerův vzorec, dosteme eoeciálí tvr komleího čísl z z e iϕ Vzthy ro ásobeí umocňováí komleích čísel v eoeciálím tvru vyývjí z vlstostí eoeciálí ukce ( 0 0