Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Vyšetřete průběh následuících funkcí. Příklad. = x +arctg( x ). D(f) =R.. Funkce e spoitá na R. 3. Funkce není lichá, sudá, ani periodická.. lim x ± =+ (převáží člen x ). 5. První derivace e 8 >< + f + >: + = x x+3 x x+ = (x ) + +( x) = x x+ = +( x) x x+ +(x ) (x ) (x ) + (x ) + x<0 0 <x< = x x+3 x x+ = (x ) + (x ) + x> V bodech 0, funkce derivace nemá, poněvadž limity derivací zleva a zprava v těchto bodech dávaí f (0) = 3, f +(0) =, f () = 0, f +() =. Odtud e zřemé, že funkce e na (, 0) klesaící, na (0, ) a (, + ) rostoucí, ze spoitosti pak plyne, že e rostoucí na (0, + ). Maxima a minima se může nabývat pouze v bodech, kde derivace neexistue. Protože na okolí nuly derivace mění znaménko, e v bodě 0 (globální minimum), f(0) = arctg() = π. Na okolí bodu e funkce rostoucí, lokální extrém zde funkce nemá. 6. Druhá derivace e ( (x ) f x<, x 0 (x x+) (x ) x> (x x+) (Protože první derivace není v bodech 0, spoitá, nemůže mít funkce v těchto bodech druhou derivaci.) Odtud plyne, že funkce f e konkávní na (, 0), (0, ) a (, + ). Funkce není konvexní ani konkávní na žádnémokolíbodů0a(lzeupočítatzdefinice). 7. Asymptota v : a = lim =, b = lim x x ( ax) = π x = y = x + π. Asymptota v + : a = lim =, b = lim x + x ( ax) = π x + = y = x + π. 8. Oborem hodnot e H(f) =[f(0), + ) =[ π, + ). Hodí se eště spočíst, že f() =, neboť v tomto bodě se výrazně mění charakter funkce. 0

Příklad. = x 3 x. D(f) =R \±.. Funkce e spoitá na D(f). 3. Funkce e lichá, není sudá, není periodická.. lim x ± =±, lim x ± = ±. 5. První derivace e 8 < f : x (x 3) (x ) 3/ x (, ) (, + ) x (x 3) ( x ) 3/ x (, +) Vbodech± funkce derivace nemá. Odtud e zřemé, že funkce e rostoucí na (, 3), na (, )ana( 3, + ), na ( 3, ) a (, + 3) e klesaící. Globální maxima a minima funkce nemá. V bodě 3 má lokální maximum 3 3,vbodě 3má lokální minimum 3 3, neboť na okolí těchto bodů první derivace mění znaménko. 6. Druhá derivace e 8 < f : 6x(x +) (x ) 5/ x (, ) (, + ) 6x(x +) ( x ) 5/ x (, ) Odtud plyne, že funkce f e konkávní na (, ), (, 0) a konvexní na (0, ) a (, + ). Funkce má tedy v bodě 0 inflexní bod. Je f(0) = 0. 7. Asymptota v : a = lim =, b = lim ( ax) =0 = y = x. x x x Asymptota v + : a = lim =, b = lim ( ax) =0 = y = x. x + x x + Asymptota y = x e tedy společná pro obě nekonečna. Vbodech± má funkce asymptoty bez směrnice. 8. Oborem hodnot e H(f) =R (ze spoitosti na (, )). 0

3 Příklad 3. = ( x )e x. D(f) =R.. Funkce e spoitá na R. 3. Funkce není lichá, sudá, ani periodická.. lim x + = 0, lim x =+. 5. O znaménku vnitřku absolutní hodnoty rozhodue člen ( x )=( x)( + x). První derivace e tedy f e x (x x ) x (, ) e x (x x ) x (, ) (, + ) Vbodech, funkce derivace nemá, poněvadž limity derivací zleva a zprava v těchto bodech dávaí f ( ) = e, f +( ) = e, f () = e, f +() = e. Protože e x > 0naR a x x =0 x, =±, e zřemé, že funkce e klesaící na (, ) a na (, ) a rostoucí na (, ) a na (, + ). Extrémů se může nabývat pouze v bodech, kde e první derivace nulová a kde neexistue = podezřelé body sou,,, +. Protože f(±) = 0 a funkce f e nezáporná, má v bodech ± (globální) minimum. Protože na okolí bodů ± se mění monotonie, na levém okolí obou bodů e funkce klesaící anapravémrostoucímávbodech± lokální maxima. 6. Druhá derivace e f e x (x x +) x (, ) (, + ) e x (x x +) x (, ) Platí, že f 0 x { 3, + 3} f (x) > 0 x (, ) ( 3, ) ( + 3, + ) f (x) < 0 x (, 3) (, + 3) Na příslušných intervalech, kde e f (x) > 0 e funkce konvexní, na příslušných intervalech, kde e f (x) < 0 e funkce konkávní. V bodech ± 3máinflexníbody. 7. Asymptota v : a = lim =, asymptotu nemá. x x Asymptota v + : a = lim =0, b = lim ( ax) =0 = y =0. x + x x + 8. Oborem hodnot e H(f) =[0, + ). 0

Příklad. =(x 3x +)exp( x +3 3) f e x (x x ) x ( 3, + ) e 6 x (x 5x +5) x (, 3) f e x (x )(x +) x ( 3, + ) e 6 x (x 5)(x ) x (, 3) lim x ± x = ±. 0

5 Příklad 5. =cos(x) sin(x) f cosx cos x sin x sin x f cosx sin x 5cosx sin x lim x ± x = neex. 0.5 0

6 Příklad 6. =sinx cos x f cos x +sinx cos x>0 cos x sin x cos x<0 f sin x +cosx cos x>0 sin x cos x cos x<0 lim =0, lim 0 x = neex. 0.5 0

7 Příklad 7. =(x arctg(x 5)) sgn(x) ( (x 6)(x ) f x (, 0) x 0x+6 (x 6)(x ) x (0, + ) x 0x+6 ( (x 5) f x (, 0) (x 0x+6) (x 5) x (0, + ) (x 0x+6) lim = ±, lim ± x = π 0

8 Příklad 8. = 3 (x +) 3 (x ) f «3 3 x + 3 x! f p 9 p 3 (x ) 3 (x +) x ± x ± lim =0, lim 0 x =0. 0

9 Příklad 9. =arcsin( sin x) f cosx sin x p sin x f cos x p ( sin x) 3 x π + kπ, k Z x π + kπ, k Z lim =0, lim 0 x = neex. 0

0 Příklad 0. =(x x +)e x f e x x(x +) x<0 e x (x )(x ) x>0 f e x (x +3x +) x<0 e x (x 5x +5) x>0 lim =0, lim 0 x =0 0.5 Příklad. =e sin x cos x 0 f e sin x (sin x cos x) f e sin x cos x(cos x 3sinx ) lim =0, lim 0 x = neex. 0 ( Příklad. =exp ) sin pro x R \{kπ, k Z}, f(kπ) =0pro k Z. x f e cotg x sin x sin x kπ, f (kπ) =0. x f e sin x sin 6 ( + 6 cos x +cosx) x x kπ lim =0, lim 0 x = neex.

0. 0. 0 Příklad 3. = 3 x e x f e x x(3x ) 3x /3 f e x (9x x ) 9x /3 lim =+, asymptota v není x x lim =0, lim 0 x =0. x + x x + 0.5 0 Příklad. = 3cosx +cos 3 x f 3sinx 6cos x sin x cos x>0 3sinx 6cos x sin x cos x<0 f 3cosx +cosx sin x 6cos 3 x cos x>0 3cosx +cosx sin x 6cos 3 x cos x<0 lim =0, lim 0 x = neex.

0 Příklad 5. =(x )e x f e x (x ) x> xe x x< f e x (x 3) x> e x (x +) x< lim =0, lim 0 x =0. 0. 0. 0

3 Příklad 6. =x tg x f cos x f sin x cos 3 x lim x ± x x π + πk, k Z x π + πk, k Z = neex.

Příklad 7. =arcsin x x Definiční obor: x x x x odtud plyne, že 3x x 0 x x 0 D(f) =(, 0] [ 3, + ) Derivace. 8 >< f >: r (x ) x(3x (x ) r (x ) x(3x (x ) 0 < x x < < x x < 0 8 >< f >: x 9x+ (x ) 5 x(3x ) (x ) x 9x+ (x ) 5 x(3x ) (x ) «3/ 0 < x x < «3/ < x x < 0 lim =0, lim x ± x 0 x = π x ± 6. ( Příklad 8. =arctgx +arcsin ) x +x 0 Využite substituce x =tgy (e možná na celém R), faktu, že tgy +tg y =sin(y) afaktu,že Dostanete tak, že 8 < z z ( π, π ) arcsin(sin z) = π z z ( π, π : ) π z z ( π,π) 8 < π x (, ) = arctgx x (, ) : π x (, + )

5 0

6 Příklad 9. =(x +)e /x f e/x (x )(x +), x 0 x f e/x (5x +), x 0 x lim =, lim x =3. 0 5 0

7 Příklad 0. Pro funkci f určete intervaly monotonie, intervaly konvexity/konkávnosti a obor hodnot: ( ) x =arctg x + [rostoucí na intervalech (, ), (, + ); konvenxní na (, ) a (, /), konkávní na ( /, + ). H(f) =( π/,π/) (π/,π/). Příklad. Pro funkci f určete asymptoty v +, v a určete obor hodnot: =log (e x+ + x ). [asymptota v + : y = x + ; asymptota v neexistue. H(f) =R.] Příklad. (a) Nalezněte obor hodnot funkce =e x 6αx v závislosti na parametru α. (b) Rozhodněte, pro která α R e funkce ge x αx 3 konvexní na R. [(a) pro α<0eh(f) =R, proα =0eH(f) =(0, + ), pro α>0eh(f) =[6α( log(6α)), + ). (b) Funkce g e konvexní na R, pokudα [0,e/6].] Příklad 3. Pro funkci =e arcsin x určete D(f), intervaly konvexity a konkávnosti, inflexní body a spočtěte tečny v inflexních bodech. [D(f) =[, ], f earcsin x (x+ x ), / einflexníbod,konkávnínax (, / ), ( x ) 3/ konvexní na x ( /, ). f earcsin x, tečna má směrnici f x ( / ) = e π/, tečna prochází bodem [ /,e π/ ], má tedy tvar y = e π/ x +e π/ ]

8 Příklad. Spočtěte derivaci a ednostranné derivace funkce f všude, kde existuí. =(cosx) /x, x ( π/,π/) \{0}, f(0) = / e. [f (cosx) /x x ( logcosx x +tgx) nad(f) \{0}, f (0) = 0.] Příklad 5. Spočtěte derivaci a ednostranné derivace funkce f všude, kde existuí. =arcsin( x ) [f x3 x x 8 pro x (, + ) \{0}, f (0) = 0, f ( ) =, f +( ) = ] Příklad 6. Zistěte, kde má funkce f derivaci. Zistěte, kde e f spoitá. =(x ) x cos( x + x ) pro x 0,, f(0) = 0, f() = 0. [Funkce e spoitá na R a derivaci má v každém bodě vyma nuly.] Příklad 7. Rozhodněte, zda existue c tak, že funkce f má v bodě vlastní derivaci. = x pro x, = x + c(x ) pro x<. [c = 6 log (log )] Příklad 8. Spočtěte ( derivaci ) funkce f v bodě. x = arcsin +x + x. [0] Příklad 9. Spočtěte derivaci a ednostranné derivace funkce f všude, kde existuí. =max{,e sin x } [f 0prox (π, π) +kπ, k Z; f e sin x cos x pro x (0,π)+kπ, k Z; f + (kπ) =,f (kπ) =0,f + ((k +)π) =0,f ((k +)π) =, k Z.] Příklad 30. Spočtěte derivaci a ednostranné derivace funkce f všude, kde existuí. [..] znamená celou část. = [ π arctg x] sin(πx) [x R\{, 0, } e f [ π arctg x] π cos(πx), f ( ) = π, f + ( ) = π, f (0) = f + () = π, f () = f +(0) = 0.] Příklad 3. Spočtěte derivaci a ednostranné derivace funkce f všude, kde existuí. = sin x sin x [Pro x R \{k π,k Z} e f sgn(sin x) cosx sin x + sin x cos x; f (kπ) =0pro k Z; f +( π + kπ) =( )k, f ( π + kπ) =( )k+ pro k Z.] Příklad 3. Spočtěte derivaci a ednostranné derivace funkce f všude, kde existuí. =(x + x) cos x [f (x +) cos x +(x sin x + x) pro x R \{kπ, k Z}; f (0) = 0; cos x f + (kπ) =(k π +kπ) a f (kπ) = (k π +kπ),pokudk Z \{0}.] Příklad 33. Spočtěte derivaci a ednostranné derivace funkce f všude, kde existuí. [..] značí celou část. =(max{x, }) [x] [f 0prox (, ), f [x]x [x] pro x (, + ) \ N; Prok N e f + (k) =kk, f () = 0 a f (k) =+ pro k>.] Příklad 3. Spočtěte derivaci a ednostranné derivace funkce f všude, kde existuí. =max{min{cos x, (/)}, ( /)} [f 0prox ( π/3,π/3) + kπ, k Z; f sin x pro x (π/3, π/3) + kπ, k Z; f +(π/3 +kπ) = 3/, f (π/3 +kπ) =0,f +(π/3 +kπ) =0,f (π/3 +kπ) = 3/, f +(π/3+kπ)= 3/, f (π/3+kπ)=0,f +(5π/3+kπ)=0,f (5π/3+kπ)= 3/, k Z] Příklad 35. (**) Spočtěte derivaci funkce f všude, kde existue. = sin x pro x 0, f(0) =. x [f x cos x sin x x pro x 0, lim x 0 (sin x)/x x = lim x 0 sin x x x = lim x 0 (x x 3 3! +...) x x =0.]