26. listopadu a 10.prosince 2016

Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016

Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce

K čemu integrální počet? určení funkce, je-li znám její derivce neurčitý integrál výpočet plochy, která je vymezen grfem funkce f (x) n intervlu,, b osou nezávislé proměnné x, délky křivky, objemu, fyzikálních veličin - moment,... Úloh: zdné funkci f budeme hledt funkci F tkovou, by pltilo: F = f. Doporučený text http://homel.vsb.cz/~s164/cd/pdf/print/ip.pdf

Neurčitý integrál Definice. Necht funkce f (x) je definovná n intervlu I. Funkce F (x) se nzývá primitivní k funkci f (x) n I, jestliže pltí F (x) = f (x) pro kždé x I. Množin všech primitivních funkcí k funkci f (x) n I se nzývá neurčitý integrál z funkce f (x) znčí se f (x)dx: f (x)dx = F (x) Vět. Necht funkce F (x) je primitivní k funkci f (x) n intervlu I. Pk kždá jiná primitivní funkce k funkcif (x) n I má tvr F (x) + c, kde c R. Vět. Je-li funkce f spojitá n intervlu I, pk n tomto intervlu existuje lespoň jedn primitivní funkce k funkci f.

Vět. Necht n intervlu I existují integrály f (x)dx g(x)dx. Pk n I existují tké integrály (f (x) ± g(x))dx f (x)dx, kde R je libovolná konstnt, pltí: (f (x) ± g(x))dx = f (x)dx ± g(x)dx, f (x)dx = f (x)dx Neurčitý integrál ze součtu (rozdílu) je součtem (rozdílem) neurčitých integrálů, konstntu lze z neurčitého integrálu vytknout. Přímo z definice neurčitého integrálu vyplývá pltnost rovností [ f (x)dx] = f (x) F (x) dx = F (x) + c, c R

Zákldní integrční metody Tbulkové integrály Metod per prtes Substituční metod

Tbulkové integrály 1 2 0dx = c dx = x + c 3 x α dx = xα+1 α + 1 + c α R, α 1 1 4 dx = ln x + c x 5 e x dx = e x + c 6 x dx = x ln + c, > 0 7 sin xdx = cos x + c 8 cos xdx = sin x + c 1 9 dx = rctgx + c 1 + x2 1 10 dx = rcsinx + c 1 x 2 1 11 cos 2 dx = tgx + c x Příkldy ( x 1 3 1 ) dx x 2 3 4 5 6 7 8 x 3 1 x 1 dx x 4 1 x + 2 dx ( 3 ) 2 x x dx x 2 x 2 + 2 1 + x 2 dx dx sin 2 x cos 2 x cos 2x cos 2 x dx cotg 2 xdx

Substituční metod Připomenutí: (F [ϕ(x)]) = F [ϕ(x)] ϕ (x) Vět. Necht funkce f (u) má n otevřeném intervlu J primitivní funkci F (u), funkce ϕ(x) má derivci n otevřeném intervlu I pro libovolé x I je ϕ(x) J. Pk má složená funkcef [(ϕ(x))]ϕ (x) n intervlu I primitivní funkci pltí f [(ϕ(x))]ϕ (x) dx = F [ϕ(x)] + c Použití: Oznčíme u = ϕ(x). Rovnost u = ϕ(x) diferencujeme: u = du dx = 1, ϕ (x) = dϕ(x) dx Nhrdíme ϕ(x) u, ϕ (x) dx du: f [(ϕ(x))]ϕ (x) dx = ϕ(x) = u ϕ (x)dx = du = f (u) du

Příkldy : substituční metod 1 2 3 4 5 6 7 8 sin x cos xdx dx x ln x dx 1 x 2 rccosx e x e x + 2 dx sin 2xdx e 5x dx dx x 2 + 9 dx 4x x 2

Metod per-prtes Připomenutí: (u(x) v(x)) = u (x) v(x) + u(x) v (x) u(x) v (x)dx = u(x) v(x) u (x) v(x)dx Příkldy 1. (2x + 3) cos x dx 2. x 2 ln x dx 3. x ln 2 x dx 4. ln x dx 5. 6. 7. 8. rctgx dx e x cos x dx cos(ln x)x dx 2x sin 2 x dx

Rozkld n prciální zlomky Rcionální funkce je podíl dvou mnohočlenů. Kždou neryze lomenou rcionální funkci (stupeň čittele je větší než stupeň jmenovtele nebo je mu roven) lze dělením převést n součet mnohočlenu ryze lomené rcionální funkce ( stupeň čittele je menší než stupeň jmenovtele). Prciální zlomky A, k N, α, A R (x α) k Mx + N (x 2 + px + q) k, k N, M, N, p, q R, p2 4q < 0

Rozkld n prciální zlomky - příkldy Necht R(x) P(x) je rcionální ryze lomená funkce. Q(x) Podle rozkldu jmenovtele Q(x) = (x α 1 ) k 1... (x α r ) kr (x 2 +p 1 x +q 1 ) l 1... (x 2 +p s x +q s ) ls rozkládáme R(x) n součet prciálních zlomků: k násobnému reálnému kořenu α hledáme A i : A 1 x α,..., A k (x α) k l násobným komplexně sdruženým kořenům (x + px + q): M 1 x + N 1 x 2 + px + q,..., M l x + N l (x 2 + px + q) l 2x x + 8 1. x 2 6x + 5 dx 3. x 3 + 8 dx dx 3x + 1 2. x 2 (x 1) dx 4. x 3 1 dx

Integrály obshující goniometrické funkce: R(cos x, sin x) cos m x sin n x dx, m, n Z spoň jedno z čísel m, n je liché: substituce: (m je liché) sin x = t resp. (n je liché) cos x = t cos x dx = dt resp. sin x dx = dt, sin 2 x = 1 cos 2 x cos 2 x = 1 sin 2 x obě čísl jsou sudá úprv: sin 2 x = Příkldy 1. cos 5 x sin 2 x dx 2. 1 cos 2x, cos 2 x = 2 3. 1 sin x dx, x (0, π) 1 + cos 2x 2 cos 2 x dx univerzální substituce t = tg x, x ( π, π), 2 x = rctg t, dx = 2 2t 1 t2 dt, sin x =, cos x = 1 + t2 1 + t2 1 + t 2

Integrály obshující odmocniny R(x, s x): substituce x = t s x 2 + x + 1 Příkld: x + x dx R(x, s x + b): substituce x + b = t s R(x, x 2 + bx + c): Eulerovy substituce, goniometrické substituce

Určitý integrál Existence: Necht funkce f (x) je definovná n uzvřeném intervlu, b. Necht je splněn n tomto intervlu kterákoliv z následujících podmínek: (1) f (x) je monotónní, (2) f (x) je spojitá, (3) f (x) je omezená má nejvýše konečný počet bodů nespojitosti. Potom existuje určitý integrál b f (x)dx. Výpočet určitého integrálu: Newtonov - Leibnitzov formule Necht funkce f (x) je integrovtelná n intervlu, b necht F (x) je její primitivní funkce. Potom pltí: b f (x) dx = F (b) F ()

Aplikce určitého integrálu Geometrické plikce Obsh rovinné množiny Délk křivky Objem rotčního těles Obsh pláště rotčního těles Fyzikální plikce hmotnost, sttický moment, souřdnice těžiště, moment setrvčnosti...

Výpočet obshu (plochy) rovinných útvrů Necht je funkce f (x) integrovtelná n intervlu, b, je n něm nezáporná. Pk pro obsh křivočrého lichoběžník ohrničeného shor grfem funkce f (x), přímkmi x =, x = b osou x pltí P = b f (x) dx. Je-li funkce f (x) n intervlu, b nekldná, pro obsh křivočrého lichoběžník ohrničeného zdol grfem funkce f (x), přímkmi x =, x = b osou x pltí P = b f (x) dx. Necht jsou funkce f (x) g(x) integrovtelné pltí g(x) f (x) pro kždé x, b. Pk pro obsh křivočrého lichoběžník ohrničeného zdol grfem funkce g(x), shor grfem funkce f (x) přímkmi x =, x = b pltí P = b (f (x) g(x)) dx.

Příkldy Vypočtěte obsh rovinného obrzce ohrničeného 1 y = 4 x 2 ; y = 0 2 xy = 4; x + y = 5 3 y 2 = 2x + 1, x y 1 = 0 4 y 4, x 2 y, x 2 4y

Prmetricky zdná funkce Necht funkce f je dán prmetrickými rovnicemi x = ϕ(t) y = ψ(t), přičemž funkce ϕ(t) ψ(t)jsou spojité pro t α, β. Je-li funkce ϕ(t) ryze monotonní má spojitou derivci n intervlu α, β, přičemž ϕ(α) = ϕ(β) = b, pk pro obsh křivočrého lichoběžník ohrničeného shor grfem funkce f, přímkmi x =, x = b osou x pltí β P = ψ(t)ϕ (t) dt. Příkldy 1 x = 2 sin t, y = 2 cos t, 0 t π; 2 x = 2t t 2, y = 2t 2 t 3, 0 t 2 α

Délk oblouku křivky Necht je funkce f (x) definovná n intervlu <, b > má zde spojitou derivci. Pk délk této křivky s = b 1 + [f (x)] 2 dx. Necht funkce f je dán prmetrickými rovnicemi x = ϕ(t) y = ψ(t), přičemž funkce ϕ(t) ψ(t)jsou spojité pro t α, β, přičemž funkce ϕ(t) ψ(t) mjí spojité derivci n intervlu α, β Pk délk této křivky Příkldy s = β 1 y = ln x, 3 x 8 α [ϕ (t)] 2 + [ψ (t)] 2 dt. 2 x = 2 cos t, y = 2 sin t, 0 t π

Objem rotčního těles Necht je funkce f (x) spojitá nezáporná n intervlu <, b >. Pk rotční těleso, které vznikne rotcí křivočrého lichoběžník ohrničeného shor funkcí f (x), osou x přímkmi x =, x = b kolem osy x, má objem V = π b f 2 (x) dx Pro výpočet objemu rotčního těles, které vznikne rotcí oblsti ohrničené křivkmi g(x) f (x) kolem osy x pro x <, b > použijeme vzth V = π b f 2 (x) dx π b g 2 (x) dx = π b [ f 2 (x) g 2 (x) ] dx Zcel nlogicky můžeme určit objem rotčního těles, jehož plášt vznikl rotcí spojité křivky x = h(y), y < c, d > kolem osy y: d V = π h 2 (y) dy c Příkld: y = x 2, x = y 2 kolem osy x; kolem osy y

Obsh pláště rotčního těles Necht je funkcef (x) spojitá nezáporná n intervlu <, b > má zde spojitou derivc if (x). Pk pro obsh rotční plochy vzniklé rotcí oblouku křivkyy = f (x) kolem osy x pltí S = 2π b f (x) 1 + [f (x)] 2 dx Necht je funkce f dán prmetrickými rovnicemi x = ϕ(t) y = ψ(t), t α, β, přičemž funkce ϕ(t), ψ(t) mjí spojité derivce n intervlu α, β funkceψ(t) je nezáporná n intervlu α, β. Pk pro obsh plochy, která vznikne rotcí grfu funkce f kolem osy x pltí β S = 2π ψ(t) [ϕ (t)] 2 + [ψ (t)] 2 dt α

Křivk zdná prmetricky Necht je křivk dán prmetrickými rovnicemi x = ϕ(t) y = ψ(t), t α, β, přičemž funkce ϕ(t), ψ(t) mjí spojité derivce n intervlu α, β. Je-li délková hustot ρ křivky konstntní, pk má křivk hmotnost β m = ρ [ϕ (t)] 2 + [ψ (t)] 2 dt α Pro sttické momenty pltí β S x = ρ ψ(t) [ϕ (t)] 2 + [ψ (t)] 2 dt S y = ρ α β α ϕ(t) [ϕ (t)] 2 + [ψ (t)] 2 dt Momenty setrvčnosti této křivky dostneme ze vzthů: β I x = ρ ψ 2 (t) [ϕ (t)] 2 + [ψ (t)] 2 dt I y = ρ α β α ϕ 2 (t) [ϕ (t)] 2 + [ψ (t)] 2 dt Těžiště T = (ξ, η) má souřdnice ξ = S y m, η = S x m

Křivk zdná explicitně Necht je hmotná křivk určená explicitní rovnicíy = f (x) se spojitou derivci f (x) n intervlu <, b > konstntní délkovou hustotou ρ. Pk má křivk hmotnost m = ρ Pro sttické momenty pltí: S x = ρ S y = ρ b b b 1 + [f (x)] 2 dx f (x) 1 + [f (x)] 2 dx x 1 + [f (x)] 2 dx Momenty setrvčnosti této křivky dostneme ze vzthů: b I x = ρ f 2 (x) 1 + [f (x)] 2 dx I y = ρ b x 2 1 + [f (x)] 2 dx Těžiště T = (ξ, η) má souřdnice ξ = S y m, η = S x m

Těžiště moment setrvčnosti rovinné oblsti Necht je hmotná rovinná oblst ohrničen křivkmi g(x) f (x), kde g(x) f (x) n intervlu, b. Pk hmotnost této oblsti s konstntní plošnou hustotou ρ je m = ρ Pro sttické momenty pltí: S x = ρ 1 2 S y = ρ b b b [f (x) g(x)] dx [f 2 (x) g 2 (x)] dx x[f (x) g(x)] dx Momenty setrvčnosti této rovinné oblsti dostneme ze vzthů: S x = ρ 1 3 S y = ρ b b [f 3 (x) g 3 (x)] dx x 2 [f (x) g(x)] dx Těžiště T = (ξ, η) má souřdnice ξ = S y m, η = S x m