E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II (6 V.5. Gaussova-strogradského věta Má-li vektorováfunkce f (U,V,W spojitévšechn parciálníderivacevotevřenémnožině G E 3, pak skalární funkci divf(x U V W (X+ (X+ (X, X G naýváme divergencí vektorového pole f. Pole f se naývá solenoidální v G, jestliže tok vektorového pole f každou uavřenou, jednoduchou, po částech hladkou plochou G je nulový. Necht a funkce f (U,V,W má spojité všechn parciální derivace v oblasti G E 3 ; b G je uavřená, jednoduchá, po částech hladká plocha orientovaná jednotkovým vektorem vnější normál; c int G. Potom f d p + divf ddd int Ponámka: Pokud je plocha orientována áporně, tj. vektorem vnitřní normál, pak bude na pravé straně naménko mínus. Příklad674.Jsou dán skalární funkce ϕ(,, 3 a vektorová funkce f(,, (, +,3 v E 3. Spočítejte div(gradϕ a div(rotf. ( ϕ Řešení : grad ϕ ϕ, ϕ, ϕ (, 3, 3, div(gradϕ ( ϕ ϕ + 6 3, i j k i j k rotf f (3,,, U V W + 3 div(rot f ( f. Příklad675.*Určete, kde je vektorové pole f(,, solenoidální. ( +3+5, 3,+ Řešení : Pro definiční obor musí platit a. Dostaneme oblasti G i, i,,3,4 : G {[,, E 3 : <, < }, G {[,, E 3 : <, > }, G 3 {[,, E 3 : >, < }, G 4 {[,, E 3 : >, > }. V každé těchto oblastí je div f + +. K výpočtu toku daného pole f libovolnou uavřenou plochou ležící v kterékoliv těchto oblastí le použít G.. větu, jejíž předpoklad jsou splněn. Je ted 5
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II (6 f d p int divf ddd int Zadané vektorové pole je solenoidální v každé oblastí G i. ddd. Příklad676.Je dáno vektorové pole f(,, (,,. Určete definiční obor + + G E 3 funkce f a ověřte, že divf v G. Pro která následujících kladně orientovaných ploch f d p eistuje a kd le použít G.-. větu? a {[,, E 3 ; + + 4 }; b je povrch kvádru :, 3,,,, ; c 3 {[,, E 3 ; + + 6 +5 }. Řešení : Definiční obor je E 3 \[,,. Snadno se přesvědčíme, že div f : divf(x ( ( + + ( + + + ( + +. a ( 4+4+ + 4 ( + +, [,, Integrál neeistuje a nele použít G.-. větu. b [,, integrál eistuje, ale [,, int integrál eistuje a nele použít G.-. větu. c +( 3 + 4, [,, 3, [,, int 3. Daný integrál eistuje a le použít G.- větu. f d p divf ddd ddd. 3 int 3 int 3 Užitím G.-. vět vpočtěte tok vektorového pole f vnější stranou uavřené ploch : Příklad677. f (3+, +5,+ +, je povrch tělesa omeeného rovinami,,, +,. 5
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II (6 Řešení : f d p divf ddd int (3++ddd int 6 int trojbokého hranolu ddd 6 ( int 6. ddd se rovná objemu vnitřku ploch, což je objem Příklad678. f (,,, 3, kde {[,, E 3 ; + +, }; {[,, E 3 ; + + 9, }; 3 {[,, E 3 ; + 9, } Řešení : 3 int : < + + < 9 > π/ ( π [ sinϑ π/ ( 3 [ r 5 π 5 r r cosϑdr dϕ 3 3 rcosϕcosϑ rsinϕcosϑ rsinϑ J r cosv dϑ π/ π 5 (35 484 5 π. f d p int int div f ddd ( + + ddd < r < 3 ϕ π < ϑ π + + r π cosϑdϑ dϕ 3 r 4 dr Příklad679.Určete tok vektorového pole f (,, plochou {[,, E 3 ; + + 4, }, orientovanou normálovým vektorem n o ([,, i. Řešení : Plocha je polovina kulové ploch s bod majícími -ové souřadnice neáporné. Takto adaná plocha není uavřená. Tok touto plochou můžeme spočítat pomocí plošného integrálu f d p. Chceme-li použít G.-. větu, musíme přidat ještě plochu tak, ab bla plocha uavřená, stejně orientovaná. Ted 53
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II (6 ( f d p f d p+ G.-. f d p ± f d p (,, d p (,, n o dp (,, (,,dd + 4 int ( :, + 4 n o (,, normál ploch, směřují dovnitř ploch div f ddd Vrátíme se k ( a při použití vět G.-. pamatujeme, že normál směřují dovnitř ploch, takže před trojným integrálem na pravé straně napíšeme naménko minus. f d p+ (+ ddd ( objemu koule int ( 4 3 π 3 6 3 π. Je dáno vektorové pole f a je dána plocha. a Napište Gaussovu-strogradského větu. věřte, že jsou splněn předpoklad pro výpočet toku vektorového pole f plochou. b Načrtněte danou plochu. c Vpočítejte divf. d Vpočítejte f d p, tj. tok vektorového pole úloh a. 68. f (+cos,+e,+sin, je dovnitř orientovaný povrch tělesa, které je omeené plochami o rovnicích 4,. cdiv f 3 d 4π 68. f ( 3,,, D {[,, E 3 : + 4, 3}, plocha je povrchem tělesa D orientována vně. cdiv f 3 d36π 68. f (,,, plocha je povrchem tělesa D a je orientována vnější normálou, D {[,, E 3 ; + + 4, }. [ cdiv f d8π 54
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II (6 683. f (,+,, je povrch tělesa D, který je orientovaný směrem dovnitř, D {[,, E 3 :,, +, 4 }. cdiv f d /4 684. f (,,, D {[,, E 3 ;,, /, +}, je povrch tělesa D orientovaný směrem ven. cdiv f 3 d 35/8 685. f (+,,, D {[,, E 3 : + 6 }, je povrch tělesa D orientovaný směrem vně. cdiv f d 64π/3 686. f (,e,, D {[,, E 3 ; 3 +3 3}, plocha je dovnitř orientovaný povrch tělesa D. cdiv f + d 7π/ 687. f (, 3,, je povrch tělesa D {[,, E 3 : + 4}, který je orientovaný vně. cdiv f 3 d6π 688. f (,,, je vně orientovaný povrch tělesa, které je omeeno plochami + 4,, 3. cdiv f + + d3π 55
E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II (6 Užitím G.-. vět vpočtěte tok vektorového pole f po částech hladkou uavřenou a orientovanou plochou : 689. f (,,, je povrch kužele s poloměrem podstav a a výškou b, orientace vnější normálou. [πa b 69. f (,,, jepovrchdutéhoválceomeenéhoplochami : +, : + 4, 3 :, 4 : 3, orientace vnější normálou. [7π 69. f ( 3, 3, 3, : + +,, :, + orientace je dovnitř ploch. [ 6 5 π 69. f (,,, je povrch krchle a, a, a, orientace vnější normálou. [3a 4 693. f (,,, {[,, E 3 ; + + a }, orientace vnitřní normálou. [ 4πa 3 694. f (,,, je kulová plocha se středem v bodě [,, a poloměrem r 3, orientace vnější normálou. [ 7π 695. f (,,, je povrch tělesa omeeného plochami : + a, : a, 3 : a (a >, orientace je dovnitř ploch. [πa 3 696. f (,,, je povrch tělesa omeeného 4, + 4, orientace je dovnitř ploch. 697. f (,,, je povrch tělesa omeeného plochami +, 3, orientace vnější normálou. 698. f ( 3,,, je povrch tělesa omeeného plochami +, 4, orientace vnější normálou. 699. f (,,, {[,, E 3 ; 4 + 4 + }, orientace vnější 9 normálou. [ 6 3 π [7π [ 6 3 π 7. f (,, +, je povrch tělesa omeeného plochami + b,, a, (, a, orientace vnější normálou. [b aπ [3π 7. f (,,, ječástválcovéploch + 9, 4 (plochajeotevřená, n o ([3,, i. Výpočet proved te a přímo pomocí plošného integrálu; b užitím vět G.-. (Plocha se musí uavřít pomocí :, : 4. [ 7π 7. f ( +, +. Ve kterých následujících adáních ploch le +, použít větu G.-.? V kladném případě vpočítejte f d p. a : + + 4, orientace vnější normálou; b je povrch kvádru omeeného rovinami,,, 3,, 5, orientace vnitřní normálou. [anele; b le; 6 56