Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu reg. č. CZ..7/2.2./28.2 Obsah Definice it funkce Okoĺı bodu Limita funkce Nevlastní ita Limita v nevlastním bodě 2 Vlastnosti it 3 Spojitost funkce 4 Vlastnosti spojitých funkcí 5 Výpočet it Pravidla pro počítání s itami Spojitá funkce Složená funkce Podíl funkcí Polnom a racionální funkce Karl Theodor Wilhelm Weierstrass

Limita funkce - okoĺı bodu Definice (okoĺı bodu) Necht a δ > jsou reálná čísla. Okoĺım bodu nazýváme otevřený interval ( δ, + δ), značíme O δ ( ). δ + δ Jestliže z okoĺı O δ ( ) vjmeme bod, hovoříme o rzím okoĺı bodu, značíme Ōδ( ). δ + δ Rzím okoĺım bodu rozumíme ted množinu ( δ, ) (, + δ). Rzí okoĺı bodu se nazývá také prstencové okoĺı bodu. Definice (jednostranné okoĺı bodu) Necht a δ jsou reálná čísla, δ >. Pravým okoĺım bodu nazýváme interval, + δ). + δ Levým okoĺım bodu nazýváme interval ( δ,. δ Pravým rzím okoĺım bodu nazveme interval (, + δ). + δ Levým rzím okoĺım bodu nazveme interval ( δ, ). δ

Příklad (pojem ita) Sledujme chování funkce = 2 3 4 v okoĺı bodu = 4. V tomto bodě není 4 daná funkce definovaná: D(f) = R {4}, tj. 4. = 2 3 4 4 = ( 4)( + ) 4 = + 5 Píšeme 2 3 4 4 4 = 5 4 Pokud jsou hodnot bĺızké číslu 4 (avšak různé od 4), jsou funkční hodnot bĺızké číslu 5. Limita funkce Definice (ita funkce) Řekneme, že funkce f má v bodě R itu L R, jestliže ke každému ε > eistuje δ > takové, že pro všechna z rzího okoĺı Ō δ ( ) bodu platí f() O ε (L). Píšeme f() = L. Nepřesně zápis f() = L znamená, že jsou-li hodnot bĺızké (avšak ), jsou funkční hodnot f() bĺızké L. Hodnota it nezávisí na funkční hodnotě v bodě, funkce v tomto bodě nemusí být vůbec definována. Zvoĺıme-li libovolně úzký pás kolem přímk = L, pak k němu musíme umět najít interval kolem bodu tak, ab graf funkce f na množině ( δ, ) (, + δ) ležel celý ve zvoleném pásu.

Poznámka (geometrický význam it) f() = L L + ε L L ε δ + δ V rzím okoĺı bodu probíhá graf funkce f v pásu ohraničeném přímkami = L ε, = L + ε. Šířku 2ε tohoto pásu voĺıme libovolně. Jednostranné it Definice (jednostranné it) Nahradíme-li v definici it rzí okoĺı bodu pravým rzím okoĺım, dostáváme definici it zprava f() = L. + Nahradíme-li v definici it rzí okoĺı bodu levým rzím okoĺım, dostáváme definici it zleva f() = L. Tto it nazýváme jednostranné it. V případě it zleva bereme v úvahu jen bod ležící vlevo od, tj. ( δ, ). V případě it zprava uvažujeme pouze bod ležící vpravo od, tj. (, + δ).

Definice (Rozšířená množina reálných čísel) Rozšířenou množinou reálných čísel R rozumíme množinu reálných čísel R rozšířenou o bod a +. Ted R = R {, + }. Bod ± nazýváme nevlastní bod, zatímco bod množin R nazýváme vlastní bod. Pro a R definujeme operace: a + = = a = = + = ( ) ( ) = Je-li a >, pak a =, a ( ) = Je-li a <, pak a =, a ( ) = Nejsou definován operace, ±, ± ± Tto výraz se nazývají neurčité výraz. ( ) = ± = a = a = a není definováno dělení nulou. Variant it Možné variant it vlastní ita ve vlastním bodě: f() = L, nevlastní ita ve vlastním bodě: vlastní ita v nevlastním bodě: nevlastní ita v nevlastním bodě: kde, L R. f() = ±, f() = L, ± f() = ±, ± O itě ve vlastním bodě mluvíme, kdž se přibližuje ke konečnému číslu, a o itě v nevlastním bodě, kdž se bĺıží k + nebo k. O vlastní itě mluvíme, pokud je ita rovna konečnému číslu, a o nevlastní itě, pokud je ita rovna + nebo.

Nevlastní ita Definice (nevlastní ita) Funkce f má v bodě R nevlastní itu +, jestliže ke každému číslu h R eistuje δ > takové, že pro všechna z rzího okoĺı Ō δ ( ) bodu platí f() > h. Píšeme f() = +. Funkce f má v bodě R nevlastní itu, jestliže ke každému číslu d R eistuje δ > takové, že pro všechna z rzího okoĺı Ō δ ( ) bodu platí f() < d. Píšeme f() =. Nevlastní ita vjadřuje skutečnost, že v okoĺı bodu funkce neomezeně roste nebo klesá. Analogick s použitím pravého (levého) rzího okoĺı v definici nevlastní it můžeme definovat nevlastní itu zprava (zleva). Poznámka (geometrický význam nevlastní it) f() = + h δ + δ Graf funkce f na množině ( δ, + δ) { } leží celý nad přímkou = h.

Příklad (nevlastní ita) 2 = + neeistuje Limita eistuje, i kdž funkce není definována v bodě. + = + a = Limita v nevlastním bodě Definice (ita v nevlastním bodě) Funkce f má v nevlastním bodě + itu L R, jestliže ke každému číslu ε > eistuje číslo k R takové, že pro všechna reálná čísla > k platí f() O ε (L). Píšeme f() = L. + Funkce f má v nevlastním bodě itu L R, jestliže ke každému číslu ε > eistuje číslo m R takové, že pro všechna reálná čísla < m platí f() O ε (L). Píšeme f() = L.

Poznámka (geometrický význam it v nevlastním bodě) f() = L + L + ε L L ε k Graf funkce f leží pro každé > k uvnitř pásu o šířce 2ε, který je sestrojen kolem přímk = L. Příklad (ita v nevlastním bodě) + ( + ) =, ( + ) = = +

Nevlastní ita v nevlastním bodě Předchozí definici it v nevlastních bodech lze rozšířit i na případ, kd hodnota it bude nevlastní. Příklad (nevlastní ita v nevlastním bodě) ln = + + + e = +, ale e = e e Vlastnosti it Věta (jednoznačnost it) Funkce má v každém bodě nejvýše jednu itu. Věta (souvislost it s jednostrannými itami) Funkce f má ve vlastním bodě itu právě, kdž má v tomto bodě itu zprava i zleva a obě jsou si rovn: f() = L právě, kdž + f() = f() = L. Limita neeistuje, jestliže některá z jednostranných it neeistuje, jednostranné it jsou navzájem různé.

Příklad Funkce f je zadaná grafem, D(f) = R {, }: 2 3 3 3 f() = 3 f() = 3 f() neeistuje, nebot f() =, f() = + f() = f() neeistuje, nebot 3 f() = 3 3, f() = 2 3 + f() = Spojitost funkce Definice (Spojitost v bodě) Funkce f se nazývá spojitá v bodě R, je-li v tomto bodě definována a má v bodě itu rovnou funkční hodnotě, tj. f() = f( ). Definice (spojitost zprava a zleva) Řekneme, že funkce f je spojitá zprava v bodě R, jestliže spojitá zleva v bodě R, jestliže + f() = f( ), f() = f( ).

Definice (spojitost na intervalu) Řekneme, že funkce f je spojitá na otevřeném intervalu (a, b), jestliže je spojitá v každém vnitřním bodě tohoto intervalu. Řekneme, že funkce f je spojitá na uzavřeném intervalu a, b, jestliže je spojitá ve všech jeho vnitřních bodech, v bodě a je spojitá zprava a v bodě b je spojitá zleva. Definice (bod nespojitosti) Bod, ve kterých funkce f není spojitá, se nazývají bod nespojitosti. Příklad (bod nespojitosti) Funkce f zadaná grafem 2 3 3 3 má bod nespojitosti 3,,, 3, v bodě 3 je spojitá zleva

Věta (spojitost elementárních funkcí) Základní elementární funkce a funkce, které vznikl součtem, rozdílem, součinem, podílem a skládáním těchto funkcí, tzn. elementární funkce, jsou spojité v každém vnitřním bodě svého definičního oboru. Poznámka Bod nespojitosti základních elementárních funkcí jsou bod, v nichž tto funkce nejsou definované. Bod nespojitosti funkce = tg jsou bod π 2 + kπ, k Z, funkce = cotg jsou bod kπ, k Z, racionální lomené funkce jsou nulové bod jmenovatele. Vlastnosti spojitých funkcí Věta (Weierstrassova věta) Necht f je funkce spojitá na uzavřeném intervalu a, b. Pak je na intervalu a, b ohraničená, nabývá na intervalu a, b své největší a nejmenší hodnot. ma = f() b a min

Věta (Bolzanova věta) Necht funkce f je spojitá na uzavřeném intervalu a, b. Pak f nabývá na a, b všech hodnot mezi svou nejmenší a největší hodnotou. Jestliže platí f(a) f(b) < (tj. f(a) a f(b) mají opačná znaménka), pak eistuje číslo c (a, b) s vlastností, že f(c) =. = f() f(a) f(b) c b a Graf funkce f protíná osu v bodě c. Na Bolzanova větě je založena metoda půlení intervalů. Výpočet it Věta (pravidla pro počítání s itami) Necht f a g jsou funkce, které mají itu v bodě R a necht c R je libovolná konstanta. Pak platí c = c, c f() = c f(), ( ) f() ± g() = f() ± g(), ( ) f() g() = f() g(), f() g() = f() g() pokud g(). Tto vzorce můžeme použít i při počítání s nevlastními itami, pokud nevedou k neurčitým výrazům,,.

Příklad (pravidla pro počítání s itami) (3e 2e ) = 3 e 2 e = 3 2 = 2 (arctg + arccotg ) = arctg + arccotg = π 2 + = π 2 3 ln(2 ) 2 + 4 = ln(2 ) (2 + 4) = 5 = 4 (e ) cos = (e ) cos = = Limita spojité funkce Je-li funkce f spojitá v bodě, je hodnota it rovna funkční hodnotě v bodě. Limitu počítáme dosazením do funkce. Příklad (výpočet it dosazením) 3 3 + 5 2 4 = + 5 4 = 5 4 2 arctg( ) = arctg( ) = arctg = π 4

Limita složené funkce Věta (ita složené funkce) Necht g() = b a f(u) = L. Necht eistuje takové rzí okoĺı Ō δ ( ) u b bodu, že pro všechna z tohoto okoĺı je g() b. Pak složená funkce f (g()) má v bodě itu a platí f (g()) = f(u) = L. u b Při výpočtu it složené funkce nejprve určíme itu vnitřní složk. Pokud je ita vnitřní složk vlastní, dosadíme její hodnotu do vnější složk. nevlastní nebo pokud obdržíme nedefinovaný výraz, použijeme substituci a uvedenou větu. Příklad (ita složené funkce) cos(e ) = cos =, protože e = 2 earctg = e π 2, protože arctg = π 2 3 ln + = ln u =, protože u + = 4 arctg (e ) = arctg u = π, protože u 2 e =

Limita podílu funkcí -. úprava funkce Věta (Limita funkcí shodujících se v rzím okoĺı) Jestliže pro všechna z rzího okoĺı Ō δ ( ) bodu platí f() = g() a eistuje g() = L, pak také f() = L. Větu můžeme použít při výpočtu it racionální lomené funkce tpu. Příklad 2 3 4 4 4 = = 4 ( 4)( + ) 4 = 4 ( + ) = 5. Limita podílu funkcí - 2. ita tpu k Věta (ita tpu k ) Necht f() = k, k R a g() =. Eistuje-li rzí okoĺı bodu, že pro všechna z tohoto okoĺı platí f() f() >, pak g() g() = +, f() f() <, pak g() g() =. Věta platí i pro jednostranná okoĺı a příslušné jednostranné it. Při výpočtu it tpu k, kde k, k R je potřeba určit obě jednostranné it a zjistit, zda se rovnají. Není-li tomu tak, ita neeistuje.

Příklad (ita tpu k ) 2 = + neeistuje, protože =, = 2 ( ) 2 = + 2 ( ) 2 = 2 = +, protože 2 = +, + = = +. + 2 ( ) 2 = 2 = +. + Limita podílu funkcí - 3. ita tpu k Věta (ita tpu k ) Necht f() = k, k R a g() = ±. Pak f() g() =. Pokud dostaneme po dosazení do it podílu funkcí f() g() výraz tpu k, kde k R (číslo k je konečné), potom je ita rovna nule. Příklad (Limita tpu k 4 2 = 2 + sin ln = ) 4 = =

Limita polnomu a racionální lomené funkce v ± Věta (ita polnomu a racionální lomené funkce v nevlastních bodech) Platí (a n + a n + + a n + a n ) = a n, ± ± ± Příklad a n + a n + + a n + a n b m + b m + + b m + b m = ( 33 2 + ) = 33 = ( 3) 2 5 + 2 2 2 3 2 2 + 3 = 2 5 3 2 = 3 4 2 3 + 3 4 3 + 4 4 = + 4 4 = 2 + 3 4 3 3 2 + 4 = 2 3 3 = 2 + 2 3 2 = ± a n b m. 3 = + 3 3 = 2 3 3 = 3 4 = 3 4 2 = Poznámka Limit tpu a se řeší pomocí derivací a tzv. l Hospitalova pravidla.

Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu reg. č. CZ..7/2.2./28.2 za přispění finančních prostředků EU a státního rozpočtu České republik