Středoškolská techika 05 Setkáí a prezetace prací středoškolských studetů a ČVUT ŘEŠENÍ DOKONALÉHO TVARU MOSTNÍHO NOSNÍKU Z HLEDISKA POTENCIÁLNÍ ENERGIE - ŘETĚZOVKA Duša Köig Středí průmyslová škola strojická a Středí odborá škola profesora Švejcara, Plzeň Klatovská 09, Plzeň Abstrakt Tato práce je zaměřeá a aalytické řešeí ideálího tvaru hlavích osíků obloukového mostu z hlediska poteciálí eergie. K samotému řešeí je použit aalogický příklad: Ve dvou bodech zavěšeý provaz kostatího průřezu ve volém prostoru zaujme tvar, který je pro ěj z hlediska poteciálí eergie ejpřijatelější. Najdeme-li fukci popisující tvar takto zavěšeého provazu, můžeme a jejím základě defiovat ideálí tvar hlavích osíků obloukového mostu. Tato práce je začátkem většího projektu - ávrhu osé kostrukce obloukového mostu za použití kompozitích materiálů, a kterém je spolupracováo s ČVUT v Praze a ZČU v Plzi. Obecá rovice řetězovky Řetězovka je křivka, kterou zaujme ve dvou bodech zavěšeý provaz kostatího průřezu ve volém prostoru. Obr.: Náčrt daé situace
Každá fyzikálí soustava se saží dostat do stavu s co možá ejmeší poteciálí eergií. Každý bod provazu má tedy miimum poteciálí eergie. Vyjádřeí poteciálí eergie ifiitezimálího úseku provazu: Obr.: Schematické zakresleí ifiitezimálího úseku řetězovky dl = (dx) + (dy) y = dy dy = y dx. dx dl = (dx) + (y dx) = (dx) [ + (y ) ] = + (y ) dx. Hmotost ifiitezimálího úseku provazu: dm = ρ dv = ρ dl S = ρ l. dl = ρ l + (y ) dx ; substituce: ρ l = ρ. S, ρ hustota provazu, S obsah průřezu provazu, ρ l lieárí hustota provazu. Poteciálí eergie ifiitezimálího úseku provazu: de p = dm g y = ρ l + (y ) dx g y = ρ l g y + (y ) dx. Nyí je zapotřebí staovit omezeí řetězovky. Pro lepší představu prvího omezeí použijeme aalogický příklad. Uvažujme kuličku vhozeou do kulové ádoby. Kulička se může acházet v kterémkoliv místě ádoby, po chvilce kmitáí se však ustálí a dě, protože právě v této poloze má miimálí poteciálí eergii. Nechť je E p okamžitá eergie 3 kuličky a E p miimálí poteciálí eergie kuličky. Jestliže se kulička již achází v místě s miimem poteciálí eergie, platí tedy E p = E p, můžeme psát: δe p = E p E p = E p E p = 0. δe p je variací 4 fukce E p. Ifiitezimálí - ekoečě malý. Obecě hustota materiálu osíku. 3 Eergie v daém časovém okamžiku.
Daý provaz se bude chovat podobě jako kulička v předcházejícím případě. Provaz zaujme polohu s miimem poteciálí eergie, stejě jako kulička. Pro. omezeí řetězovky: δe p = 0. Předpokládejme, že provaz bude dokoale tuhý, ebude se tedy měit jeho délka l. Pro. omezeí řetězovky: δl = 0. Jsou zformulováa dvě omezeí. Pro získáí jedé závislosti, která v sobě bude obsahovat obě omezeí, použijeme metodu Lagrageových multiplikátorů 5. Obecý zápis metody Lagrageových multiplikátorů: δ δx λ Lagrageův multiplikátor; λ R. Pro řetězovku: [f(x) λ. g(x)] = 0 = δf(x) λ δg(x), 0 = δe p λ δl = de p λ. dl = ρ l g y + (y ) dx λ + (y ) dx = = (ρ l g y λ) + (y ) dx = F dx F = (ρ l g y λ) + (y ). F Fukcioál 6 řetězovky. F: F(x, y(x), y (x)) Fukcioál je řešitelý pomocí Eulerovy-Lagrageovy rovice: ( F y j d dx F j ) = 0. j= Teto vztah je zapotřebí upravit do vhodějšího tvaru z hlediska itegrováí za pomoci dalších vzorců: d dx (y j F j ) = dy j dx F j + y j d dx ( F j ) ; j N+, df dx = F x + F y j. y j + F j dy j dx. Řešíme soustavu tří rovic: ( F y j d dx F j ) = 0 j / y ; j N +, j= d dx (y j F j ) = dy j dx F j + y j 3 d dx ( F j ), df dx = F x + F y j y j + F j dy j dx, 4 Variace je změa daé fukce jako celku. 5 Jedá se o metodu hledáí extrémů fukce, která je ějakým způsobem omezeá. 6 Fukcioál chápeme jako fukci jié fukce. Obecě je to zobrazeí z možiy fukcí do možiy čísel, apř. možiy všech reálých čísel R.
y j (y j F y j y j d dx F j ) = 0, j= d dx ( F j ) = dy j dx F j d dx (y j F j ), df dx F x = y j F F + yj j dy j dx, (y j F y j + dy j dx F j d dx (y j F )) = 0, j j= df dx F x = y j F F + yj j dy j dx. ( df dx F x d dx (y j F )) = 0, j j= ( d dx (F y j F j ) F x ) = 0, j= Pro j = : d dx F (F y ) F x = 0. Fukcioál F eí explicitě závislý 7 a souřadici x tz. F x = 0: Po itegraci: itegračí kostata; R. d dx F (F y ) = 0. F y F =, Dosadíme za fukcioál F: = F y F = (ρ l g y λ) + (y ) y [(ρ l g y λ) + (y ) ]. V rovici je azačeá derivace fukcioálu F, tuto derivaci řešíme samostatě: 7 Neí plě defiovaý. 4
F = [(ρ l g y λ) + (y ) ] = (ρ l g y λ) ( + (y ) ) = = (ρ l g y λ) [ + (y ) ] = (ρ l g y λ) {f[g(y )]} = = (ρ l g y λ) f (u) g (y ) ; substituce: u = + (y ), (ρ l g y λ) f (u) g (y ) = (ρ l g y λ) = (ρ l g y λ) ( u ) y, (u ) [ + (y ) ] = (ρ l g y λ) ( u ) y = (ρ l g y λ) { [ + (y ) ] } y = (ρ l g y λ) = (ρ l g y λ) + (y ) y, + (y ) y = (ρ y l g y λ) + (y ). F y = (ρ l g y λ) + (y ). Hodotu derivace fukcioálu F dosadíme do rovice a řešíme: = (ρ l g y λ) + (y ) y [(ρ l g y λ) + (y ) ], y = (ρ l g y λ) + (y ) y (ρ l g y λ) + (y ), = (ρ l g y λ) ( + (y ) = (ρ l g y λ) ( ( + (y ) ) (y ) + (y ) ), (y ) + (y ) ) = = (ρ l g y λ) ( + (y ) (y ) ) = (ρ l g y λ) + (y ) + (y ), + (y ) = ρ l g y λ. Pro řešeí této difereciálí rovice je zvolea metoda separace proměých: + (y ) = ρ l g y λ /, [ + (y ) ] = (ρ l g y λ) = + (y ) = + ( dy dx ), (ρ l g y λ) = ( dy dx ), 5
(ρ l g y λ) = ( dy dx ) /, (ρ l g y λ) c = (dx dy ) (ρ l g y λ) c = dx dy, dy = dx, (ρ l g y λ) c (ρ l g y λ) c dy = (ρ l g y λ) c dy = x + c, c itegračí kostata; c R. K itegraci levé stray rovice je použit vzorec: du u a = argcosh (u a ) + c,. (ρ l g y λ) c dy = x + c = argcosh ( ρ l g y λ ) + c c 3, c 3 itegračí kostata; c 3 R. ρ l lieárí hustota, x + c c 3 = argcosh ( ρ l g y λ ), cosh ( x + c c 3 ) = ρ l g y λ, y = ρ l g [λ + cosh ( x + c c 3 )] ; substituce: C = c c 3. Rovice řetězovky pro lao: f: y = ρ l g [λ + c x + C cosh ( )]. g gravitačí zrychleí; g = 9,8 (m s ), λ Lagrageův multiplikátor; λ R, itegračí kostata; R, C kostata 8 ; C R. Pro určeí kokrétí rovice tvaru osíků mostu je zapotřebí staovit kostaty v rovici řetězovky. Kokrétí rovice řetězovky pro hlaví osíky mostu Předběžě avržeé řešeí: Otočeím řetězovky z obr. o 80 získáme tvar hlavích osíků mostu: 8 Tato kostata je substitučím ahrazeím vztahu mezi itegračími kostatami c a c 3. Pro zjedodušeí rovice jsou tyto dvě kostaty složey do jedié kostaty C. 6
Rovice řetězovky pro hlaví osíky: f α : y = ρ l g [λ + c x + C cosh ( )]. Na takto vziklé křivce 9 volíme tři body, a základě kterých bude možo defiovat kostaty řetězovky: Obr.3: Staoveí tří bodů Bod O je počátkem kartézského systému souřadic: O = [0 ; 0]. Bod A je globálím extrémem řetězovky: a délka mostu, b výška mostu. A = [ a ; b]. Bod B se achází a koci mostu: B = [a ; 0]. Výraz (x + C) v rovici řetězovky, určuje posuutí řetězovky po ose x. x + C = 0 x = C řetězovka je souměrá podle přímky p: x = C. Řetězovka z obr.3 je souměrá podle přímky p: x = a C = a C = a. f α : y = ρ l g [λ + c x + C cosh ( )] = ρ l g [λ + cosh ( x a f α : O = [0 ; 0]; A = [ a ; b] ; B = [a ; 0] f α: y = ρ l g [λ + cosh ( x a 9 Taktéž řetězovce. 7
O f α : 0 = ρ l g. [λ + cosh ( 0 a )] = ρ l g [λ + cosh ( a A f α : b = a ρ l g. [λ + cosh ( a )] = ρ l g [λ + cosh 0], B f α : 0 = ρ l g [λ + cosh ( a a )] = a ρ l g [λ + cosh ( )]. 0 = ρ l g [λ + cosh ( a b = ρ l g (λ + cosh 0) = ρ l g [λ + ( e0 + e 0 0 = a ρ l g [λ + cosh ( )]. 0 = ρ l g [λ + cosh ( a b = ρ l g (λ + ), 0 = a ρ l g [λ + cosh ( )]. Řešeím této soustavy rovic jsou kostaty λ,. Předběžá vizualizace mostu Obr.4: Náčrt představy desigu 8
Hlaví osíky, zázorěé oražovým obrazcem, budou vyrobey ze sedvičových profilů 0. Podle pevostích aalýz bude dále rozhoduto o materiálu, ze kterého bude vyrobea závěsá kostrukce, zázorěá modrými svislými čarami. Sedvičové profily (sedviče) Obr.5: Ukázka sedvičových profilů Tyto kompozití materiály jsou zvoley pro výrobu hlavích osíků kvůli jejich velké tuhosti v ohybu a ízké hmotosti. Hmotostí porováí ocelových I profilů a sedvičových profilů : Obr.6: I profil Obr.7: Sedvič ρ Fe = 7 800( kg m 3 )... přibližá hustota oceli, 9 ρ c = 00 (kg m 3 )... hustota jádra, S I80 = 758. 0 6 (m )... obsah průřezu profilu 3 I 80, t = 3 (mm)... tloušťka 4 face-u 5, h = 80 (mm)... výška osíku 6, 0 Termiologická pozámka: sedvičový profil... sedvič Aby bylo porováváí objektiví, budou mít porovávaé osíky stejou délku, výšku i šířku. Viz obr.7. Jedá se o středí část osíku, které se říká jádro. Tato hodota byla poskytuta a kozultacích a ČVUT v Praze. 3 Zjištěa ze strojických tabulek. 4 Velikost tloušťky byla poskytuta a kozultacích a ČVUT v Praze. 5 Viz obr.7. Jedá se o vrchí a spodí část osíku. Jsou to vlastě desky, v tomto případě vyráběé z oceli.
Hmotost I profilu: b = 4 (mm)... šířka osíku 7, l (mm)... délka osíku. m I80 = S I80 l ρ Fe = 758 0 6 7 800 l = 5,9 4 l (kg). Hmotost sedvičového profilu: m s = S Fe ρ Fe l + S c ρ c l = (S Fe ρ Fe + S c ρ c ) l = = [tb. ρ Fe + b. (h t). ρ c ]. l, m s = [ 3 4 0 6 7 800 + 4 (80 3) 00] l = 0,3 05 l (kg), S Fe obsah ocelových desek, S c obsah jádra. Hmotostí porováí: m I 80 m s = 5,9 4 l 0,3 05 l = 9,008 sedvičový osík je 9x lehčí ež I profil. Ohybová tuhost obou osíků je při tom přibližě stejá 8. Použitá literatura RIEČAN, B.; BERO P.; SMIDA, J.; ŠEDIVÝ, J; BUŠEK, I. Matematika pro IV. ročík gymázií. Praha : Státí pedagogické akladatelství, 987. LEINVEBER, Ja a Pavel VÁVRA. Strojické tabulky: pomocá učebice pro školy techického zaměřeí. 3., dopl. vyd. Úvaly : Albra, 006, xiv, 94 s. ISBN 80-736-033-7. Iteretové stráky Ecyklopedie fyziky [olie]. [cit 05-03-4]. Dostupé z WWW: http:// fyzika. jreichl. com/ Iovace studijího oboru Geotechika [olie]. [cit 05-03-4]. Dostupé z WWW: http://www. geotechici. cz/ Sbírka řešeých úloh z fyziky [olie]. [cit 05-03-9]. Dostupé z WWW: http:// fyzikaliulohy. cz/ 6 Zjištěo ze strojických tabulek. 7 Zjištěo ze strojických tabulek. 8 Tato iformace získáa a kozultaci a ČVUT v Praze. 0